Parkettierungen der Ebene, 2. Teil PA2

Parkettierungen der Ebene, 2. Teil
Mathematik
PA2
T. Hunziker, dipl. Math, dipl. ML
Mar 17
Hilfsmittel: Geo-Dreieck, Zirkel, Taschenrechner, Formelsammlung
Homogene Parkettierungen
Ein Parkett heisst homogen, wenn es nur aus einer, sich wiederholenden Figur besteht.
Parkettierungen mit nicht regelmässigen Dreiecken und Vierecken
Satz: Jedes Dreieck parkettiert die Ebene.
Bringen Sie zwei kongruente Dreiecke so zusammen,
dass sie ein Parallelogramm bilden.
Aneinander gereihte Kopien dieses Parallelogramms
überdecken die Ebene (Abb rechts).
Satz: Jedes Viereck parkettiert die Ebene.
Spiegeln wir das Viereck am Mittelpunkt einer Seite,
so entsteht ein Sechseck mit paarweise parallelen Seiten.
Einfache Translationen ergeben nun
die gesuchte Parkettierung (Abb. rechts).
Das Kairo-Fünfeck
In Kairo findet man Strassen mit einem fünfeckigen Pflastersteinmuster wie
in der Abbildung rechts.
Konstruktion des Grundfünfecks:
1. Beliebiges Quadrat ABCD
2. Z irgendwo auf AB wählen
3. ΔZBC abschneiden und oben
ankleben
4. Achsenspiegelung an AD
D
A
C
Z
B
Parkettierungen mit modifizierten gleichseitigen Dreiecken
Frage: Auf welche Art und Weise darf man ein gleichseitiges Dreieck verändern, so dass die
entstehende Figur die Ebene immer noch parkettiert?
Bsp.1
Wir wählen den Streckenzug AM frei. MB entsteht aus AM durch eine Rotation um M. Der Streckenzug
AB ist somit punktsymmetrisch, und zwei Figuren lassen sich zu einem Rhombus zusammenfügen.
Bsp.2
AB ist frei wählbar (Abb.1). Jetzt spiegelt man AB an der Mittelsenkrechten m (Abb.2). Anschliessend
wird der gespiegelte Streckenzug um 60° auf AC gedreht (Abb.3).
Zwei Figuren lassen sich zu einem "modifizierten Rhombus" (Abb.4) zusammenfügen.
Weitere Möglichkeiten --> Siehe Aufgabe 5!
Aufgabe 1
a) Was ist eine homogene Parkettierung?
b) Skizzieren Sie zwei homogene Parkette.
Aufgabe 2
Wahr oder falsch? Mit kurzer Begründung oder einem Gegenbeispiel!
a) Jedes homogene Parkett ist regulär.
b) Eine Archimedische Parkettierung kann nicht homogen sein.
c) Die duale Parkettierung einer Archimedischen Parkettierung ist immer homogen.
d) Es gibt unendlich viele verschiedene Kairo-Fünfecke.
Aufgabe 3
Vervollständigen Sie zu einem homogenen Parkett. Zeichnen Sie jeweils mindestens sechs Polygone ein.
a)
b)
Aufgabe 4
a) Konstruieren Sie ein Kairo-Fünfeck!
b) Vervollständigen Sie zu einem homogenen
Parkett. Mindestens 10 Vielecke zeichnen!
Aufgabe 5
Es gibt insgesamt acht Möglichkeiten, wie man ein gleichseitiges Dreieck modifizieren kann, damit es
weiterhin die Ebene parkettiert.
Acht Typen von Modifikationen:
Bedeutung der Symbole:
AB muss eine unveränderte Strecke sein.
A
A
B
M
B
Der Streckenzug AM ist frei wählbar. MB entsteht
aus AM durch eine Rotation um M um 180°.
(= Punktspiegelung an M)
Der Streckenzug AB ist frei wählbar. AC
entsteht durch eine Rotation von AB um 60°.
Der Streckenzug AB ist frei wählbar. AC
entsteht durch eine Spiegelung von AB an m,
gefolgt von einer Rotation um A.
m = Mittelsenkrechte von AB
Skizzieren Sie zu jedem der acht Typen ein konkretes Beispiel:
Typ 1
Typ 2
Typ 3
Typ 4
Typ 5
Typ 8
Typ 6
Typ 7
Aufgabe 6
a) Zeichnen Sie ein modifiziertes Dreieck vom Typ 2, 3 ODER 4. Legen Sie dann mit diesem
Parkettstein ein Parkett. Auf separatem A4-Blatt, ev. mit Computer.
Wenn Sie Lust haben, können Sie die Kacheln am Schluss unterschiedlich einfärben!
b) Auf einem neuen A4-Blatt dasselbe wie a), aber diesmal Typ 5, 6, 7 oder 8.
Aufgabe 7
Bestimmen Sie jeweils den Typ (1-8) gemäss den Tabellen in Aufgabe 5:
a)
b)
L: Typ
d)
c)
L: Typ
L: Typ
e)
L: Typ
g)
f)
L: Typ
L: Typ
L: Typ
Aufgabe 8
Vervollständigen Sie die Figuren so, dass sie die Ebene parkettieren. Die Lösungsfigur muss
vollständig im Kasten liegen.
a)
b)
c)
Aufgabe 9
Konstruieren Sie ein gleichseitiges 9-Eck, welches die Ebene parkettiert. Verlangt ist eine exakte
Konstruktion. (Hinweis: benutzen Sie ein modifiziertes gleichseitiges Dreieck)
Aufgabe 10
a) Welche der Typen 1-8 "funktionieren" auch für unregelmässige Dreiecke (d.h. Dreiecke, bei denen
alle drei Seiten verschieden lang sind)? „Funktionieren“ heisst: man kann damit die Ebene
parkettieren.
b) Welche der Typen 1-8 "funktionieren" für gleichschenklige, nicht-gleichseitige Dreiecke?