Kap. I: Die Primfaktorzerlegung

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Chr.Nelius : Zahlentheorie (SoSe 2017)
Kap. I: Die Primfaktorzerlegung
§ 1. Teilbarkeit im Bereich der ganzen Zahlen
Bezeichnungen:
N = {1, 2, 3, 4, . . .} Menge der natürlichen Zahlen ≥ 1
N = {0, 1, 2, 3, 4, . . .} Menge der natürlichen Zahlen ≥ 0
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1,2, 3, . . .} Menge der ganzen Zahlen
Q = ab | a, b ∈ Z , b 6= 0 Menge der rationalen Zahlen
R : Menge der reellen Zahlen
−2 ∈ Z bedeutet: −2 ist ein Element der Menge Z , d.h. −2 ist eine ganze Zahl.
−2 6∈ N bedeutet: −2 ist kein Element der Menge N , d.h. −2 ist keine natürliche Zahl.
Es gilt:
N⊂N ⊂Z⊂Q⊂R
0
0
Dabei bezeichnet ⊂ die Teilmengenbeziehung zwischen zwei Mengen , bei der die Gleichheit ausgeschlossen ist.
M ⊂ N bedeutet, dass die Menge M eine echte Teilmenge der Menge N ist, d.h. dass
jedes Element von M auch Element von N ist und dass M 6= N gilt. M ⊆ N dagegen
bezeichnet die Teilmengenbeziehung, die die Gleichheit einschließt.
Wir werden unsere zahlentheoretischen Untersuchungen (fast) ausschließlich im Bereich der
ganzen Zahlen durchführen, d.h. insbesondere, dass das Arbeiten mit Brüchen (also rationalen
Zahlen) nicht erlaubt ist.
Z
Auf der Menge
der ganzen Zahlen gibt es zwei Rechenoperationen: die Addition und die
Multiplikation. Für beide Rechenoperationen gelten entsprechende Rechenregeln (wie z.B. Assoziativität, Kommutativität und Existenz eines neutralen Elementes), jedoch gibt es einen
gravierenden Unterschied: Man kann in subtrahieren aber nicht dividieren. Wir können dies
folgendermaßen formulieren:
Z
Für beliebige ganze Zahlen a und b hat die Gleichung
a+x = b
(genau) eine Lösung im Bereich der ganzen Zahlen, nämlich b + (−a) = b − a. Betrachtet
man dagegen die entsprechende Gleichung
(⋆)
a · x = b,
so muss man feststellen, dass es ganze Zahlen a und b gibt, für die diese Gleichung keine Lösung
in
besitzt, z.B. für a = 0, b = 1 oder a = 2, b = 3 . Verlangt man die Lösbarkeit der
Gleichung (⋆) für alle a, b ∈ mit a 6= 0 , so führt dies auf die Konstruktion der rationalen
Zahlen, also auf eine Zahlbereichserweiterung.
Z
Z
Auf der anderen Seite gibt es aber Fälle, in denen die Gleichung (⋆) doch eine ganzzahlige
Lösung besitzt, z.B.
2 · x = 6.
Dies führt auf den Begriff der Teilbarkeit.
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(1.1) DEF: a und b seien ganze Zahlen. Dann heißt a ein Teiler von b (in Zeichen: a | b) ,
wenn es eine ganze Zahl k ∈ gibt mit der Eigenschaft
Z
a·k = b
In diesem Fall sagt man auch, dass a die Zahl b teilt oder dass b ein (ganzzahliges)
Vielfaches von a ist.
(1.2) BEM: a) Jede ganze Zahl a besitzt die sog. unechten Teiler ±1 und ±a .
Davon verschiedene Teiler heißen echte Teiler von a .
b) Es gilt a | 0 für alle a ∈
Z
Z , insbesondere
0|0.
c) Für b ∈ gilt: 0 | b ⇐⇒ b = 0 .
Durch die Bezeichnung ”A ⇐⇒ B” wird die Äquivalenz zweier Aussagen A und B zum
Ausdruck gebracht. Man liest dies als ”die Aussage A ist äquivalent zur Aussage B” oder
”die Aussage A gilt genau dann, wenn die Aussage B gilt”.
d) Für die Teilbarkeitsbeziehung zwischen zwei ganzen Zahlen a und b ist das Vorzeichen
unerheblich, d.h. es gilt
a| b ⇐⇒ (−a)| b ⇐⇒ a| (−b) ⇐⇒ (−a)| (−b)
e) Bei der obigen Definition der Teilbarkeit wird die Division nicht benutzt.
!
f) Ist a kein Teiler von b , so schreibt man dafür a 6 | b .
(1.3) SATZ: Wichtige Eigenschaften der Teilbarkeit
a, b, c seien ganze Zahlen. Dann gilt:
a) a | a (Reflexivität der Teilbarkeitsrelation)
b) a | b und b | c
c) a | b und a | c
=⇒
=⇒
a | c (Transitivität der Teilbarkeitsrelation)
a | (xb + yc) für alle x, y ∈
Z
(1.3c) bedeutet: Teilt eine Zahl a zwei andere Zahlen b und c , so teilt sie auch jede ganzzahlige Linearkombination (oder Vielfachensumme) x · b + y · c von b und c .
(1.4) DEF: Der Betrag | x | einer reellen Zahl x ist definiert durch
| x | :=
(
x für x ≥ 0
−x für x < 0
(1.5) SATZ: a und b seien ganze Zahlen. Dann gilt:
a) b 6= 0 und a | b
b) a | b und b | a
=⇒
=⇒
|a| ≤ |b|
|a| = |b|.
(1.6) BEM: Für natürliche Zahlen m und n gilt sogar: m | n und n | m =⇒ m = n .
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(1.7) SATZ: a) Jede ganze Zahl b 6= 0 besitzt nur endlich viele Teiler. Die Anzahl der
Teiler von b ist ≤ 2 · | b | .
b) 0 ist die einzige ganze Zahl, die unendlich viele Teiler besitzt.
(1.8) DEF: Für b ∈
Z bezeichne
T + (b) := { n | n ∈
N
0
, n|b} ⊆
N
0
die Menge aller nichtnegativen Teiler von b .
Z
Seien a, b ∈
. Gilt a | b und ist b 6= 0 , so gibt es genau eine Zahl
(1.9) SATZ:
k ∈ mit a · k = b .
k heißt dann der zu a komplementäre Teiler von b .
Z
(1.10) DEF: Für eine reelle Zahl x ∈
ganze Zahl, die kleiner–gleich x ist.
(1.11) BEM: Für x ∈
R gilt
R bezeichnet
⌊x⌋ (lies: Floor von x) die größte
⌊x⌋ ≤ x < ⌊x⌋ + 1 .
N
und gelte n = k · l . Dann gilt
(1.12) SATZ: Seien k, l, n ∈
√
√
a) k ≤ ⌊ n⌋ oder l ≤ ⌊ n⌋ .
√
√
b) Im Falle k ≤ ⌊ n⌋ folgt l ≥ ⌊ n⌋ .
(1.13) Verfahren zur Bestimmung aller positiven Teiler einer Zahl n ∈
N:
√
(1) Bestimme m := ⌊ n ⌋
(2) Teste der Reihe nach, ob die Zahlen 1, 2, 3, . . . , m Teiler von n sind oder nicht.
Berechne zu jedem gefundenen Teiler von n den dazu komplementären Teiler von n . Auf
diese Art erhält man alle positiven Teiler von n .
(1.14) BEM: a) Will man alle ganzzahligen Teiler von n bestimmen, so nimmt man zu
jedem positiven Teiler t von n auch noch die negative Zahl −t hinzu.
b) Für b ∈
Z gilt
T + (b) = T + (| b |) .
BEMERKUNG: Die positiven Teiler einer natürlichen Zahl n und die zwischen ihnen geltenden Teilbarkeitsbeziehungen lassen sich in einem sog. Hasse–Diagramm veranschaulichen.
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(1.15) DEF: Die Anzahl aller positiven Teiler einer natürlichen Zahl n ∈
τ (n) bezeichnet (τ (lies: tau) kleines griechisches t).
N wird mit
(1.16) BEM: a) τ (n) = | T + (n) |
(Hinweis: Für eine endliche Menge M bezeichnet | M | die Anzahl der Elemente von M .)
b) Aus dem Beweis von (1.7) folgt
c)
n
τ (n)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
1 2 2 3 2 4 2 4 3
ungerade ↑
(1.17) SATZ: Sei n ∈
↑
4
2
6
2
4
4
↑
N . Genau dann ist
(1.18) SATZ: Für a, b ∈
a) a | b
1 ≤ τ (n) ≤ n
5
↑
n eine Quadratzahl, wenn τ (n) ungerade ist.
Z sind folgende Aussagen äquivalent:
b) T + (a) ⊆ T + (b)
(1.19) DEF: Für a ∈
Z bezeichne
V + (a) := { n | n ∈
N
0
, a|n} ⊆
N
0
die Menge aller nichtnegativen Vielfachen von a .
(1.20) SATZ: a) Für jedes a ∈
Z , a 6= 0
ist V + (a) eine unendliche Menge.
b) 0 ist die einzige ganze Zahl, die eine endliche Vielfachenmenge besitzt
(genauer: V + (0) = {0}).
(1.21) SATZ: Für a, b ∈
a) a | b
Z sind folgende Aussagen äquivalent:
b) V + (b) ⊆ V + (a)