Blatt 9 - ITAP | Universität Stuttgart

Theoretische Physik IV - Statistische Mechanik
Übungen (Woche 51)
WS 2009/2010
Blatt 9
Aufgabe 1/9; Votieraufgabe
1 Punkt
Zeigen Sie, dass die Entropie des idealen Gases (vgl. Aufgabe 3/8) eine konkave Funktion
bezüglich U und V ist.
Aufgabe 2/9; Hausaufgabe
3 Punkte
Beim Joule-Thomson-Versuch wird ein Gas mit Temperatur T1 und Druck P1 über eine
Drossel quasistatisch und unter thermischer Isolierung auf einen niedrigeren Druck P2
entspannt. Dabei wird die Temperatur des Gases erhöht oder erniedrigt, je nachdem, ob
es sich in einem Zustand oberhalb oder unterhalb der Inversionskurve befindet.
T1 P1 v 1
T2 P2 v 2
a) Betrachten Sie ein Mol des Gases und begründen Sie, dass bei diesem Versuch die
molare Enthalpie h konstant bleibt. Nehmen Sie kleine Druckdifferenzen dP = P2 −P1
an und ermitteln Sie den Koeffizienten
∂T
∂P h
in Abhängigkeit von cp und α. Wie ist die Inversionskurve definiert?
Hinweis: Benutzen Sie das Differenzial von s(T, P ) und eine Maxwell-Relation.
b) Bestimmen und skizzieren Sie für das van der Waals’sche Gas den Verlauf der Inversionskurve in einem Pr − Tr − sowie in einem Pr − vr −Diagramm. Pr , Tr und vr sind
die auf die kritischen Daten reduzierten Größen. Die kritischen Daten lauten für H2 :
Tk = 33.2 K, Pk = 13.2 at und für Luft: Tk = 132.5 K, Pk = 34.5 at. Geben Sie die
höchste und die niedrigste Inversionstemperatur und den größten Inversionsdruck für
H2 und Luft an.
Hinweis: Benutzen Sie α aus Aufgabe 1/5.
c) Nach welcher Formel berechnet man die Endtemperatur T2 des Joule-ThomsonVersuches? Die Anfangstemperatur T1 wird durch ein Vorkühlmittel und der Enddruck P2 in der Regel durch den Atmosphärendruck gegeben. Wie muss man allgemein den Anfangsdruck P1 wählen, damit man eine maximale Abkühlung erhält?
Aufgabe 3/9; Votieraufgabe
4 Punkte
Die Strahlung in einem abgeschlossenen Hohlraum mit Volumen V kann als Photonengas
betrachten werden, das die Temperatur T und den Strahlungsdruck P = u/3 besitzt, wobei
u die Energiedichte des Gases bezeichnet. Es befindet sich im thermischen Gleichgewicht
mit den Wänden des Hohlraumes.
U
= u3 . Gehen Sie dazu von
a) Begründen Sie die Formel für den Strahlungsdruck P = 3V
der Impulsdichte eines Photonenbündels aus und betrachten sie den Impulsübertrag
auf die Wände des Hohlraumes. Macht es etwas aus, ob diese reflektierend oder
absorbierend sind?
b) Leiten Sie das Stefan-Boltzmann’sche Gesetz der Hohlraumstrahlung
u = σT 4
ab, indem Sie das Differenzial der Entropie dS betrachten und den Kirchhoff’schen
Satz verwenden. Dieser besagt, dass die Energiedichte u eine universelle Funktion ist,
die nur von der Temperatur abhängt. Die unbestimmte Konstante σ hat den Wert
σ = 7.56 · 10−16 J m−3 K−4 .
c) Wie lautet die Entropie S = S(T, V )? Berechnen Sie die adiabatische Kompressiblität
1 ∂V
κS = −
.
V ∂P S
d) Im Teilvolumen V1 eines Hohlraumes V = V1 + V2 befindet sich Strahlung mit der
Temperatur T1 , während V2 strahlungsfrei ist. Durch ein Loch in der Trennwand lässt
man die Strahlung plötzlich ins Volumen V2 eintreten (siehe Gay-Lussac-Versuch).
Das gesamte System sei abgeschlossen und die Wärmekapazität der Wände vernachlässigbar. Berechnen Sie die Änderung der Temperatur, des Strahlungsdruckes,
der Enthalpie und der Entropie. Ist der Prozess reversibel?
Aufgabe 4/9; Votieraufgabe
1 Punkt
Betrachten Sie die Koexistenz von Wasser und Eis, um die Druckabhängigkeit der Schmelztemperatur zu bestimmen. Was bewirkt eine Erhöhung des Druckes um 134 atm? Begründen Sie damit die Bewegung von Gletschern.
Hinweis: Die latente Wärme von schmelzendem Wasser bei 0◦ C ist 3.35 · 105 J/kg. Die
spezifischen Volumina der festen und flüssigen Phasen sind vfest = 1.09 · 10−3 m3 /kg und
vflüssig = 1.00 · 10−3 m3 /kg.