Universität Stuttgart Institut für Theoretische Physik 1 Apl. Prof. Dr. J

Universität Stuttgart
Institut für Theoretische Physik 1
Apl. Prof. Dr. J. Main
Übungen zur Vorlesung „Statistische Mechanik“, WS 2015/16
9. Übungsblatt vom 09. Dezember 2015
Abgabe: 16.12.2015
Besprechung: 13./14.01.2015
Aufgabe 1: Votieraufgabe
1 Punkte
Zeigen Sie, dass die Entropie des idealen Gases (vgl. Aufg. 3 vom 8. Übungsblatt) eine konkave
Funktion bezüglich U und V ist.
Aufgabe 2: schriftliche Aufgabe
3 Punkte
Beim Joule-Thomson-Versuch wird ein Gas mit Temperatur T1 und Druck P1 über eine Drossel
quasistatisch und unter thermischer Isolierung auf einen niedrigeren Druck P2 entspannt. Dabei
wird die Temperatur des Gases erhöht oder erniedrigt, je nachdem, ob es sich in einem Zustand
oberhalb oder unterhalb der Inversionskurve befindet.
a) Betrachten Sie ein Mol des Gases und begründen Sie, dass bei diesem Versuch die molare
Enthalpie h konstant bleibt. Nehmen Sie dann kleine Druckdifferenzen dP = P2 − P1 an
und ermitteln Sie den Koeffizienten
∂T
∂P h
unter Verwendung des isobaren Ausdehnungskoeffizienten α und cp . Wie ist die Inversionskurve definiert?
Hinweis: Benutzen Sie das Differenzial von s (T, P ) und eine Maxwell-Relation.
b) Bestimmen und skizzieren Sie für das van der Waalssche Gas den Verlauf der Inversionskurve in einem Pr − Tr - sowie in einem Pr − vr -Diagramm. Pr , Tr und vr sind die auf die
kritischen Daten reduzierten Größen. Die kritischen Daten lauten für H2 : Tk = 33, 2 K,
Pk = 1, 295 MPa und für Luft: Tk = 132, 5 K, Pk = 3, 384 MPa. Geben Sie die höchste und
die kleinste Inversionstemperatur und den größten Inversionsdruck für H2 und Luft an.
Hinweis: Benutzen Sie α aus Aufgabe 1 vom 5. Übungsblatt.
c) Nach welcher Formel berechnet man die Endtemperatur T2 des Joule-Thomson-Versuches?
Die Anfangstemperatur T1 wird durch ein Vorkühlmittel und der Enddruck P2 in der
Regel durch den Atmosphärendruck gegeben. Wie muss man allgemein den Anfangsdruck
P1 wählen, damit man eine maximale Abkühlung erhält?
Bitte wenden!
Aufgabe 3: Votieraufgabe
4 Punkte
Die Strahlung in einem abgeschlossenen Hohlraum mit Volumen V kann man als Photonengas
betrachten, das die Temperatur T und den Strahlungsdruck P = u/3 besitzt, wobei u die Energiedichte des Gases bezeichnet. Es befindet sich im thermischen Gleichgewicht mit den Wänden
des Hohlraumes.
U
a) Begründen Sie die Formel P = 3V
= u3 für den Strahlungsdruck. Gehen Sie dazu von
der Impulsdichte eines Photonenbündels aus und betrachten sie den Impulsübertrag auf
die Wände des Hohlraumes. Macht es etwas aus, ob diese reflektierend oder absorbierend
sind?
b) Leiten Sie das Stefan-Boltzmannsche Gesetz der Hohlraumstrahlung ab,
u = σT 4 ,
indem Sie das Differential der Entropie dS betrachten und den Kirchhoffschen Satz verwenden. Er besagt, dass die Energiedichte u eine universelle Funktion ist, die nur von der Temperatur abhängt. Die unbestimmte Konstante σ hat den Wert σ = 7, 56 · 10−16 J m−3 K−4 .
c) Wie lautet die Entropie S = S(T, V )? Berechnen Sie die adiabatische Kompressiblität
1 ∂V
κS = −
.
V ∂P S
d) Im Teilvolumen V1 eines Hohlraumes V = V1 + V2 befindet sich Strahlung mit der Temperatur T1 , während V2 strahlungsfrei ist. Durch ein Loch in der Trennwand lässt man
die Strahlung plötzlich ins Volumen V2 eintreten (siehe Gay-Lussac-Versuch). Das gesamte
System sei abgeschlossen und die Wärmekapazität der Wände vernachlässigbar. Berechnen
Sie die Änderung
i) der Temperatur
ii) des Strahlungsdruckes
iii) der Enthalpie und
iv) der Entropie. Ist der Prozess irreversibel?
e) Die elektromagnetische Hintergrundstrahlung des Universums verhält sich wie die Hohlraumstrahlung bei einer Temperatur von 2, 7 K. Berechnen Sie den Strahlungsdruck.
Aufgabe 4: Votieraufgabe
1 Punkte
Betrachten Sie die Koexistenz von Wasser und Eis, um die Druckabhängigkeit der Schmelztemperatur zu bestimmen. Was bewirkt eine Erhöhung des Druckes um 13,6 MPa? Begründen Sie
damit die Bewegung von Gletschern.
Hinweise: Die latente Wärme von schmelzendem Wasser bei 0◦ C ist 3.35 · 105 J/kg. Die spezifischen Volumina der festen und flüssigen Phasen sind vfest = 1.09 · 10−3 m3 /kg und vflüssig =
1.00 · 10−3 m3 /kg.