Kap. 12 weiter (Teil III): Statistische Hypothesen

# $%
'
"
&
! "
"$
'
%
#
#
"
$
Hypothesentests, die zur Untersuchung der Differenz (bzw. der Gleichheit) der
unbekannten Mittelwerte µ 1 und µ 2 zweier Grundgesamtheiten mit bekannten
Standard-abweichungen σ 1 und σ 2 unter Verwendung zweier unabhängigen
Stichproben eingesetzt werden, bezeichnet man als Zweistichproben-Gauß-Test oder
Zweistichproben-z-Test.
Falls die Verteilung der Stichproben-Mittelwerte X bzw. Y aus den beiden Gesamtheiten
normalverteilt ist und die beiden Stichproben der Größen N 1 bzw. N 2 unabhängig
voneinander sind, so ist die Differenz der beiden Stichproben-Mittelwerte D = X – Y
auch normalverteilt (s. Kap. 10. Abschnitt 10.6). Daher gehorcht die standardisierte
Zufallsvariable
δ
D
(X
Z =
)−
− Y
σ 12
(µ1
+
N1
− µ2
)
σ 22
N2
der Standard-Normal-Verteilung. (s. Kap. 10 und auch Kap. 11)
Wird zur Aufstellung einer Nullhypothese für den Vergleich der Mittelwerte zweier
Grundgesamtheiten µ 1 – µ 2 ein bestimmter Wert δ 0 vermutet, so lässt sich anhand der
obigen Zufallsvariable für die Standard-Normal -Verteilung die Testgröße aus zwei
unabhängigen konkreten Stichproben durch
δ0
d
zˆ =
(x
− y
σ 12
)
N1
−
(µ1
+
σ 22
− µ2
)
N2
berechnen. Für eine Nullhypothese H0 können nach Fragestellung folgende unterschiedliche
Gegenhypothesen Ha aufgestellt werden.
(
H0 :
Ha :
µ1 –µ2 = δ0
µ1 –µ2 < δ0
((
H0 : µ 1 – µ 2 = δ 0
Ha : µ 1 – µ 2 > δ 0
(((
H0 : µ 1 – µ 2 = δ 0
Ha : µ 1 – µ 2 ≠ δ 0
24
*
$
&
)
#
# $%
µ2
+ $$
%
µ1
σ1 und σ2 #
!
)
!
"
#
"
Testgröße für den Vergleich der Mittelwertwerte anhand zweier konkreten Stichproben aus den beiden
Grundgesamtheiten:
d
(x
zˆ =
σ 12
− y
)
− (δ 0
N1
+
σ 22
H0 :
Ha :
Kritische Grenzen
aufgrund der
Irrtumswahrscheinlichkeit α und
der Gegenhypothese
Ha
µ1–µ2=δ0
µ1 –µ2< δ0
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
)
N2
Graph der Verteilung der Testfunktion für die
Mittelwertdifferenz X − Y von Stichproben der
Größen N1 und N2 aus zwei
Grundgesamtheiten mit Angabe der
kritischen Bereiche
und der Entscheidungsregel
$%
(µ 1 – µ 2
Z =
δ 0)
!
( X − Y ) − ( µ1 − µ 2 )
σ 12
(Linkseitiger Test)
" $&
(z)
N1
+
σ 22
N2
zα
α
z
0
zα
Ablehn.Bereich
H0
verwerfen, falls zˆ < z α
$%
µ1–µ2=δ0
(µ 1 – µ 2
µ1 –µ2> δ0
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
Z =
δ 0)
!
( X − Y ) − ( µ1 − µ 2 )
σ 12
(Rechtseitiger Test)
" $&
(z)
N1
+
σ 22
N2
α
z1 – α
z
0
z1 – α
Ablehn.Bereich
verwerfen, falls ẑ > z 1 − α
$%
µ1–µ2=δ0
µ1–µ2 ≠ δ0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
Z =
N1
und
z1 – α 2
!
( X − Y ) − ( µ1 − µ2 )
σ 12
zα 2
" $&
(z)
+
σ 22
N2
α/2
α/2
z
zα / 2
0
Ablehn.Bereich
z1 – α / 2
Ablehn.Bereich
H0 verwerfen, falls
zˆ < z α 2 oder ẑ > z 1 − α 2
25
H0
,
% Für die Produktion von Fernsehern hat eine Firma Flüssigkristallanzeigen (LCD) bei zwei
verschiedenen Herstellern A bzw. B bestellt. Die Lebensdauer der LCD’s sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Die Standardabweichungen sind bekannt und betragen 0,2
Jahre bzw. 0,1 Jahre. Die Firma hat eine zufällige Stichprobe von 5 LCD’s aus Hersteller A
und eine zufällige Stichprobe von 8 LCD’s aus Hersteller B entnommen. Dabei erhielt sie die
Mittelwerte 5,8 Jahre bzw. 5,5 Jahre. Ist auf dem Signifikanzniveau von 5% die mittlere
Lebensdauer der LCDs von A höher als die von B? (S. auch Kap. 11. Bsp. 7.)
./
$
Gesamtheit A : µ A : unbekannt ; σ A = 0,2
Stichprobenumfang aus A: NA = 5
Gesamtheit B : µ B : unbekannt ; σ B = 0,1
Stichprobenumfang aus B: NB = 8
Da die beiden Gesamtheiten normalverteilt sind, sind die Verteilung der StichprobenMittelwerte aus den beiden Gesamtheiten auch normalverteilt, obwohl beide
Stichprobengrößen < 30 sind.
(
δ0
H0 : µ A – µ B = 0
Nullhypothese:
Gegenhypothese: Ha : µ A – µ B > 0
Die mittlere Lebensdauer beider LCD-Typen
sind gleich
Die mittlere Lebensdauer der LCDs von A ist
höher als die von B
((
$
)
0
Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0,05
(((
1
Es liegt ein rechtseitiger Test vor. Folglich ist die kritische Grenze: z1 – α = 1,645
(#
$ /
δ0
d
zˆ =
(x
σ
#
− y
2
A
)
NA
−
(µ A
+
σ
− µB
2
B
)
= 3,119
NB
*
" $
Hier liegt ein rechtseitiger Test vor. Da die Testgröße ẑ = 3,119 größer als die
kritische Grenze z1 – α = 1,645 ist, liegt ẑ im Ablehnungsbereich. Daher wird die
Nullhypothese H0 : µ A – µ B = 0 mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5%
gegenüber der Gegenhypothese Ha : µ A – µ B > 0 abgelehnt. Daraus schließen wir,
dass auf dem Signifikanzniveau von 5% die mittlere Lebensdauer der LCDs von A
höher als die von B ist.
26
' σ 2σ
# $%
'
"
&
%
#
! "
"$
'
" $
#
Hypothesentests, die zur Untersuchung der Differenz (bzw. der Gleichheit) der
unbekannten Mittelwerte µ 1 und µ 2 zweier Grundgesamtheiten mit unbekannten aber
gleichen Standardabweichungen σ 1 und σ 2 unter Verwendung zweier unabhängigen
Stichproben eingesetzt werden, bezeichnet man als Zweistichproben-t-Test (mit σ 1 = σ 2)
Wenn die Varianzen der beiden Grundgesamtheiten unbekannt aber gleich sind σ 12 = σ 22,
ersetzten wir in der standardisierte Zufallsvariable
(X
Z =
− Y
)−
σ 12
(µ1
+
N1
− µ2
)
σ 22
N2
die Varianzen σ 12 und σ 22 durch die Schätzfunktionen der Varianzen S12 bzw. S22 der
beiden unabhängigen Stichproben der Größen N 1 bzw. N 2 . Wenn die beiden
Gesamtheiten normalverteilt sind, dann gehorcht die Zufallsvariable
δ
D
(X
T =
− Y
) − (µ1
S p2
N1
+
− µ2
)
S p2
N2
der Studentschen-t-Verteilung mit ν = N 1 + N 2 – 2 Freiheitsgeraden, wobei
S p2
=
(N1
− 1 ) S 12 +
(N 2
− 1 ) S 22
N1 + N 2 − 2
der Schätzer für die Varianzen σ 12 = σ 22 ist. (s. Kap. 11 Abschnitt 11.3.2).
Die Struktur des Zweistichproben-t-Tests (mit σ 1 = σ 2) ist dem Zweistichproben-z-Test
ähnlich.
27
*
$
)
#
σ1 = σ2
&
%
#
µ1
$%
#
$%
)
!
µ2
σ1 = σ2 #
!
"
+ $$
"
#
Testgröße für den Vergleich der Mittelwertwerte anhand zweier konkreten Stichproben aus den beiden
Grundgesamtheiten:
d
(x
tˆ =
s
H0 :
Ha :
2
p
− y
)
− (δ 0
N1 +
s
)
, wobei s p2
=
(N1
− 1 ) s 12 +
(N 2
(µ 1 – µ 2
ist.
N1 + N 2 − 2
2
p
N2
Anzahl der Freiheitsgeraden: ν = N 1 + N 2 – 2
Kritische Grenzen Graph der Verteilung der Testfunktion für
aufgrund der
die Mittelwertdifferenz X − Y von
IrrtumswahrStichproben der Größen N1 und N2 mit den
scheinlichkeit α
Varianzen S12 bzw. S22 aus zwei
und der
Grundgesamtheiten mit Angabe der
Gegenhypothese
kritischen Bereiche und der
Ha
Entscheidungsregel
$
µ1–µ2=δ0
− 1 ) s 22
µ1 –µ2< δ0
δ 0)
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
$&
!
fν ( t )
T
=
(X
− Y
S
(Linkseitiger Test)
)−
2
p
(µ1
+
N1
)
− µ2
S
2
p
N
2
α
t
tα
0
tα
Ablehn.Bereich
H0 verwerfen, falls tˆ < t α
$
µ1–µ2=δ0
(µ 1 – µ 2
µ1 –µ2> δ0
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
δ 0)
$&
!
fν ( t )
T
=
(X
− Y
S
(Rechtseitiger
Test)
)−
2
p
N1
(µ1
S
+
− µ2
)
2
p
N2
α
t
t 1–
α
0
t1 – α
Ablehn.Bereich
H0 verwerfen, falls tˆ > t 1 − α
$
µ1–µ2=δ0
µ1–µ2 ≠ δ0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
!
fν ( t )
T =
(X
− Y
) − (µ1
S p2
N1
tα 2
+
− µ2
)
S p2
N2
α/2
α/2
und
t 1–
$&
t
tα / 2
0
Ablehn.Bereich
Ablehn.Bereich
α 2
t1 – α / 2
H0 verwerfen, falls
tˆ < t α
2
oder
tˆ > t 1
−α 2
28
3 $
4
In einem Experiment der Zeitschrift „Popular Science“ aus dem Jahre 1981 wurden die
Spritverbrauchswerte von 2 Auto-Marken der Mittelklasse von VW und Toyota untersucht,
die ähnliche Diesel-Motoren besaßen. Dabei wurden 12 VW-Wagen und 10 Toyota-Wagen
bei der Geschwindigkeit 90 km/h untersucht. Dabei erhielt man für die VW-Wagen einen
durchschnittlichen Verbrauch von 16 Km pro Liter und eine Standardabweichung von 1 Km
pro Liter. Und für die Toyota-Wagen einen durchschnittlichen Verbrauch von 11 Km pro Liter
und eine Standardabweichung von 0,8 Km pro Liter. Es wird angenommen, dass die
Verbrauchswerte für beide Marken normalverteilt und deren Standardabweichungen
identisch sind. Gibt es auf dem Signifikanzniveau 5% Unterschiede zwischen den
durchschnittlichen Verbrauchswerten beider Automarken? (S. auch Kap. 11. Aufg. 2.)
./
$
29
#
'
5
$%
' σ 6σ
"
&
! "
"$
'
#
"
%
#
$
Hypothesentests, die zur Untersuchung der Differenz (bzw. der Gleichheit) der
unbekannten Mittelwerte µ 1 und µ 2 zweier Grundgesamtheiten mit unbekannten aber
ungleichen Standardabweichungen σ 1 und σ 2 unter Verwendung zweier unabhängigen
Stichproben eingesetzt werden, bezeichnet man als Zweistichproben-t-Test (mit σ 1 σ 2)
Wenn die Varianzen σ 12 bzw. σ 22 der beiden Grundgesamtheiten unbekannt und
verschieden sind σ 12
σ 22 , ersetzten wir in der standardisierte Zufallsvariable
(X
Z =
− Y
)−
σ 12
N1
(µ1
+
− µ2
)
σ 22
N2
diese durch die Schätzfunktionen der Varianzen S12 bzw. S22 der beiden unabhängigen
Stichproben der Größen N 1 bzw. N 2. Wenn die beiden Gesamtheiten normalverteilt sind,
dann gehorcht die Zufallsvariable
δ
D
(X
T =
− Y
) − (µ1
S 12
N1
+
− µ2
)
S 22
N2
der Studentschen-t-Verteilung mit der Freiheitsgerade
S 12
ν =
S 12
(N1
+
N1
2
N1
− 1)
S 22
S 22
+
(N 2
2
N2
2
N2
− 1)
(s. auch Kap. 11 Abschnitt 11.3.3)
, ' ) $
Da ν eine natürliche Zahl sein muss, runden wir diese berechnete Freiheitsgerade.
Die Struktur des Zweistichproben-t-Tests (mit σ 1
ähnlich.
σ 2) ist dem Zweistichproben-z-Test
30
'
*
$
)
σ1
&
#
#
σ2
%
µ1
#
$%
µ2
! σ1
$%
! "
σ2 #
)
"
+ $$
#
Testgröße für den Vergleich der Mittelwertwerte
anhand zweier konkreten Stichproben aus den
beiden Grundgesamtheiten:
d
tˆ =
(x
s 12
H0 :
Ha :
− y
N1
)
− (δ 0
+
s 22
)
Anzahl der Freiheitsgeraden:
s 12
+
N1
ν =
s 12
N2
Kritische Grenzen
aufgrund der
Irrtumswahrscheinlichkeit α
und der
Gegenhypothese
Ha
s 22
2
+
− 1)
(µ 1 – µ 2
µ1 –µ2< δ0
δ 0)
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
2
N2
(N 2
− 1)
Graph der Verteilung der Testfunktion für
die Mittelwertdifferenz X − Y von
Stichproben der Größen N1 und N2 mit den
Varianzen S12 bzw. S22 aus zwei
Grundgesamtheiten mit Angabe der
kritischen Bereiche und der
Entscheidungsregel
$
µ1–µ2=δ0
N2
s 22
N1
(N1
2
$&
!
fν ( t )
T
=
(X
− Y
)−
S 12
(Linkseitiger Test)
(µ1
+
N1
− µ2
)
S 22
N2
α
tα
t
0
tα
Ablehn.Bereich
H0 verwerfen, falls tˆ < t α
$
µ1–µ2=δ0
(µ 1 – µ 2
µ1 –µ2> δ0
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
!
fν ( t )
T
=
(X
− Y
)−
S 12
δ 0)
N1
(Rechtseitiger
Test)
t 1–
$&
(µ1
+
− µ2
)
S 22
N2
α
t
0
α
t1 – α
Ablehn.Bereich
H0 verwerfen, falls tˆ > t 1 − α
$
µ1–µ2=δ0
µ1–µ2 ≠ δ0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
!
fν ( t )
T =
(X
− Y
) − ( µ1
S 12
N1
tα 2
+
− µ2
)
S 22
N2
α/2
α/2
und
t 1–
$&
t
tα / 2
0
t1 – α / 2
Ablehn.Bereich
Ablehn.Bereich
α 2
H0 verwerfen, falls
tˆ < t α
2
oder
tˆ > t 1
−α 2
31
3 $
7
Für die Produktion von Fernsehern hat eine Firma Flüssigkristallanzeigen (LCDs) bei zwei
verschiedenen Herstellern A bzw. B bestellt. Die Lebensdauer der LCDs sei eine
normalverteilte Zufallsvariable. Die Standardabweichungen sind unterschiedlich. Die Firma
hat eine zufällige Stichprobe von 5 LCDs aus Hersteller A und eine zufällige Stichprobe von
7 LCDs aus Hersteller B entnommen. Dabei erhielt sie die Mittelwerte 5,8 Jahre bzw. 5,5
Jahre sowie die Standardabweichung 0,18 bzw. 0,15. Ist auf dem Signifikanzniveau von 5%
die mittlere Lebensdauer der LCDs von A höher als die von B? (S. auch Kap. 11. Aufg. 3.)
./
$
32
!
$
! "
'
# $%
'
0
&
"
#
"
%
"
#
"
$
Hypothesentests, die zur Untersuchung der Differenz (bzw. der Gleichheit) der
unbekannten Mittelwerte µ 1 und µ 2 zweier Grundgesamtheiten mit unbekannten
Standardabweichungen σ 1 und σ 2 unter Verwendung zweier abhängigen Stichproben
eingesetzt werden, bezeichnet man als Zweistichproben-t-Test für zwei verbundene
Stichproben.
Bei zwei abhängigen Stichproben der Größen N 1 = N 2 = N lässt sich der Hypothesentest
für den Vergleich von µ 1 und µ 2 auf einen t-Test für den Mittelwert zurückführen. (s.
Abschnitt 12.2.2 ).
Wenn die beiden Gesamtheiten normalverteilt sind, dann gehorcht die Zufallsvariable
D
T =
(X
δ
− Y
) − (µ1
− µ2
)
SD
N
der Studentschen-t-Verteilung mit der Freiheitsgerade ν = N – 1
Dabei ist:
S D2
mit D i =
(
X
i
− Yi
)
=
1
N − 1
und D =
N
(D i
−D
)2
i =1
(X − Y )
(s. auch Kap. 11 Abschnitt 11.3.4.)
Die Struktur des Zweistichproben-t-Tests für zwei verbundene Stichproben ist dem
Einstichproben-t-Test ähnlich. (s. Abschnitt 12.2.2).
33
!
#
$%
)
!
"
0
$
*
"
"
&
)
#
%
!
µ1
+ $$
#
µ2
#
Testgröße für den Vergleich der Mittelwertwerte anhand zweier konkreten Stichproben aus den beiden
Grundgesamtheiten:
tˆ =
( d ) − ( δ0 )
sd
, wobei s 2 =
d
1
N − 1
N
(d i
−d
)2
ist.
i =1
N
mit N1 = N2 = N , d i =
H0 :
Ha :
µ1–µ2=δ0
(µ 1 – µ 2
(
xi − yi
)
und d =
(x −
y
)
Anzahl der Freiheitsgeraden: ν = N – 1
Kritische Grenzen Graph der Verteilung der Testfunktion für
aufgrund der
die Mittelwertdifferenz D = X − Y von
IrrtumswahrStichproben der Größen N1 = N2 = N und
scheinlichkeit α
der Varianz SD2 aus zwei Grundgesamtheiten
und der
mit Angabe der kritischen Bereiche und der
Gegenhypothese
Entscheidungsregel
Ha
µ1 –µ2< δ0
(
$
fν ( t )
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
T =
δ 0)
(Linkseitiger Test)
)
$&
!
D – δ
SD
N
α
t
tα
tα
0
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls tˆ < t α
µ1–µ2=δ0
(µ 1 – µ 2
µ1 –µ2> δ0
$
fν ( t )
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
T =
δ 0)
$&
!
D – δ
SD
N
(Rechtseitiger
Test)
t 1–
α
t
0
α
t1 – α
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls tˆ > t 1 − α
µ1–µ2=δ0
µ1–µ2 ≠ δ0
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
tα 2
$
fν ( t )
T =
!
D – δ
SD
N
α/2
α/2
t
und
t 1–
$&
α 2
tα / 2
0
t1 – α / 2
AblehnungsBereich
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls
tˆ < t α
2
oder
tˆ > t 1
−α 2
34
3 $
8
Folgende Tabelle zeigt die Fertigungszeiten für die Herstellung eines Produkts durch 6
Mitarbeiter einer Firma beim Einsatz von zwei unterschiedlichen Herstellungsmethoden.
Mitarbeiter: i
Fertigungszeiten durch
Herstellungsmethode: A
(in Minuten) : x i
Fertigungszeiten durch
Herstellungsmethode: B
(in Minuten) : y i
1
2
3
4
5
6
6
5
7
6,2
6
6,4
5,4
5,2
6,5
5,9
6
5,8
Differenzen der
Fertigungszeiten
durch beide
Methoden
di = xi – yi
0,6
– 0,2
0,5
0,3
0
0,6
Ist auf dem Signifikanzniveau von 5% die durchschnittliche Fertigungszeit beim Einsatz der
beiden Methoden durch die Mitarbeiter der Firma unterschiedlich? (S. auch Kap. 11. Aufg. 4.)
./
$
35
-
! "
%
"$
'
"
3
#
"
%
$
Hier werden Hypothesentests, die zur Untersuchung der Gleichheit der unbekannten
Anteilswerte p 1 und p 2 zweier Grundgesamtheiten unter Verwendung zweier
unabhängigen Stichproben eingesetzt werden, vorgestellt.
Wenn wir zwei unabhängige Stichproben der Größen N 1 bzw. N 2 aus den beiden
Gesamtheiten ziehen, liegt wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Züge in jeder
Stichprobe ein N-faches Bernouli-Experiment vor.
So kann aus der Anzahl X der Elemente mit der Eigenschaft A bei den N 1 Ziehungen die
Schätzfunktion
X
Pˆ 1 =
N1
für die Erfolgswahrscheinlichkeit p 1 der ersten Gesamtheit bestimmen werden. Und aus
der Anzahl Y der Elemente mit der Eigenschaft A bei den N 2 Ziehungen kann die
Schätzfunktion
Y
Pˆ 2 =
N2
für die Erfolgswahrscheinlichkeit p 2 der zweiten Gesamtheit bestimmen werden.
Erhält man für zwei konkrete Stichproben mit den Umfängen N 1 bzw. N 2 die Anzahlen
x Erfolge bzw. y Erfolge für das Eintreten der Eigenschaft A , so erhält man die
Schätzwerte pˆ 1 = x N 1 bzw. pˆ 2 = y N 2 .
Falls die Bedingungen
N 1 · p̂ 1· q̂ 1 > 9
(mit q̂ 1 = 1 – p̂ 1 ) sowie
N 2 · p̂ 2· q̂ 2 > 9
( mit
q̂ 2 = 1 – p̂ 2 )
erfüllt sind, können die beiden binomialverteilten Stichproben-Verteilungen für X bzw. Y
sowie für P̂ 1 bzw. P̂ 2 als normalverteilt betrachtet werden. Dann gehorcht die
standardisierte Zufallsvariable
P̂ D
π
Z =
(Pˆ
1
− Pˆ 2
p1 q1
N1
) − (p
+
1
− p2
)
p2 q2
N2
der Standard-Normal-Verteilung. (s. Kap. 11 Abschnitt 11.3.5)
Wird bei der Aufstellung einer Nullhypothese die Gleichheit der Anteilswerte p 1 = p 2 = p
zweier Grundgesamtheiten vermutet (d.h. p 1 – p 2 = π = 0 ), so reduziert sich die obige
Zufallsvariable Z auf den folgenden Ausdruck
36
Z =
(Pˆ
1
− Pˆ 2
pq
N1
)− 0
( Pˆ
=
pq
+
pq
N2
1
− Pˆ 2
1
N1
+
)
1
N2
Folglich ergibt sich folgende Testgröße aus zwei unabhängigen konkreten Stichproben:
p̂ d
pˆ 1 − pˆ 2
zˆ =
1
pˆ qˆ
Dabei sind:
x
pˆ 1 =
;
N1
pˆ 2 =
y
N2
und
N1
pˆ =
+
1
N2
x + y
N1 + N 2
mit qˆ = 1 − pˆ
Für eine Nullhypothese H0 können nach Fragestellung folgende unterschiedliche
Gegenhypothesen Ha aufgestellt werden.
(
((
H0 :
Ha :
p1 = p2
p1 < p2
H0 : p 1 = p 2
Ha : p 1 > p 2
(((
H0 : p 1 = p 2
Ha : p 1 ≠ p 2
37
%
!
"
#
)
3
+ $$
%
#
Falls die Bedingungen N 1 · p̂ 1· q̂ 1 > 9 (mit q̂ 1 = 1 – p̂ 1 ) sowie N 2 · p̂ 2· q̂ 2 > 9 ( mit q̂ 2 = 1 – p̂ 2 )
erfüllt sind, kann die Binomial- durch die Normal-Verteilung approximiert werden.
Testgröße für die Gleichheit der Anteilswerte anhand zweier konkreten Stichproben aus den beiden
Grundgesamtheiten:
x + y
y
x
pˆ 1 − pˆ 2
wobei pˆ 1 =
; pˆ 2 =
und pˆ =
mit
zˆ =
N1
N2
N1 + N 2
1
1
pˆ qˆ
+
N1
N2
qˆ = 1 − pˆ
H0 :
Ha :
Kritische Grenzen
aufgrund der
Irrtumswahrscheinlichkeit α und
der Gegenhypothese Ha
p 1 = p2
p1 < p2
Einseitiger Test
mit unterer Grenze
Graph der Verteilung der Testfunktion für die Anteile
X
Y
und Pˆ 2 =
Pˆ 1 =
N1
N2
einer Eigenschaft A von Stichproben der Größen N1
und N2 aus zwei Grundgesamtheiten mit Angabe der
kritischen Bereiche und der Entscheidungsregel
$%
(z)
Z =
(Pˆ
1
− Pˆ 2
pq
(Linkseitiger Test)
N1
" $&
!
)−0
pq
+
N2
α
zα
z
0
zα
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls zˆ < z α
p 1 = p2
p1 > p2
$%
(z)
Einseitiger Test
mit oberer Grenze
Z =
(Pˆ
1
− Pˆ 2
pq
(Rechtseitiger
Test)
N1
+
" $&
!
)−0
pq
N2
α
z
z1 – α
0
z1 – α
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls ẑ > z 1 − α
p 1 = p2
p1
p2
Zweiseitiger Test
mit oberer und
unterer Grenze
$% " $&
(z)
Z =
(Pˆ
1
− Pˆ 2
pq
N1
zα 2
+
)−0
pq
N2
α/2
α/2
z
zα / 2
und
z1 – α 2
!
AblehnungsBereich
0
z1 – α / 2
AblehnungsBereich
H0 verwerfen, falls
zˆ < z α 2 oder ẑ > z 1 − α 2
38
,
% 4
Eine Firma möchte ein neues Verfahren zur Herstellung eines bestimmten Artikels einführen.
Dafür entnimmt sie Stichproben aus der Produktion des alten Herstellungsverfahrens und
aus der Produktion des neuen Herstellungsverfahrens. In der ersten Stichprobe aus dem
alten Verfahren waren von den 1500 Artikeln 75 defekt und in der zweiten Stichprobe aus
neuem Verfahren waren von den 2000 Artikeln 80 defekt. Ist auf dem Signifikanzniveau 5%
der Anteil an defekten Artikeln beim neuen Herstellungsverfahren geringer als der beim alten
Verfahren?
./
$
(
Nullhypothese:
H0 : p N = p A
Gegenhypothese: Ha : p N < p A
Der Anteil an defekten Artikeln ist bei beiden
Herstellungsmethoden gleich.
Der Anteil an defekten Artikeln ist beim neuen
Verfahren geringer als beim alten.
((
$
)
0
Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit: α = 0,05
(((
1
Es liegt ein linkseitiger Test vor. Folglich ist die kritische Grenze: z α = – 1,645
(#
$ /
pˆ N =
x
NN
pˆ N − pˆ A
zˆ =
pˆ qˆ
#
pˆ A =
= 0,04 ;
1
NN
+
y
NA
= 0,05 ;
pˆ =
x + y
NN + NA
= 0,0443
= – 1,423
1
NA
*
" $
Hier liegt ein linkseitiger Test vor. Da die Testgröße ẑ = – 1,423 größer als die
kritische Grenze z α = – 1,645 ist, liegt ẑ nicht im Ablehnungsbereich. Daher kann die
wird die Nullhypothese H0 : p N = p A nicht abgelehnt werden. Daher können wir
annehmen, dass der Anteil an defekten Artikeln bei beiden Herstellungsverfahren
gleich sind.
, ' ) $
Das obige Beispiel kann auch als ein rechtseitiger Test gelöst werden!
39