Lineare Algebra und analytische Geometrie I

Dr. B. Ackermann
2. Gruppenübung zur Vorlesung
Prof. Dr. R. Dipper
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
Winter 2009/10
Aufgabe P 5.
Sei M eine Menge von Aussagen. Wir definieren eine Relation
auf der Menge M durch
A
B für A, B ∈ M genau dann, wenn A ⇒ B wahre Aussage ist. Überprüfen Sie, ob die
Relation
immer reflexiv, symmetrisch, transitiv bzw. antisymmetrisch ist.
Aufgabe P 6. Alle Katzen sind grau
Mit Hilfe vollständiger Induktion beweist man, dass alle Katzen grau sind. Der Induktionsanfang
für n = 1 ist klar, denn es gibt eine graue Katze. Nehmen wir also an, dass in einer Menge
von n Katzen jede Katze grau ist. Wir müssen die Aussage für n + 1 Katzen beweisen. Aus
den n + 1 Katzen wählen wir n aus, diese sind laut Induktionsannahme grau. Nun wählen
wir nochmals n Katzen aus, so dass die übrig gebliebene Katze von der letzten Auswahl dabei
ist. Diese sind laut Induktionsannahme auch grau. Daher sind alle n + 1 Katzen grau und die
Aussage bewiesen.
Wo sind die Fehler in dem Beweis?
Aufgabe P 7.
Zeigen Sie mit Hilfe von vollständiger Induktion nach n: Ist M eine endliche Menge mit n
Elementen, dann hat die Potenzmenge P(M ) 2n Elemente.
Aufgabe P 8.
Sei A = {1, 2, 3, 4, 5} und B = {a, b, c, d, e, f } bzw. C = {α, β, γ, δ, ε}. Gegeben seien
Teilmengen von A × B bzw. A × C . Entscheiden Sie jeweils, ob die Teilmengen eine Abbildung
beschreiben und zeichnen Sie ein Pfeildiagramm der Relation.
(a) {(1, c), (5, d), (2, b), (4, a), (3, d)} (b) {(5, b), (4, b), (3, d), (2, a)}
(c) {(3, a), (2, d), (4, f ), (5, b), (1, c)} (d) {(5, α), (3, γ), (2, α), (4, γ), (3, δ), (1, β)}
(e) {(4, δ), (2, α), (3, α), (1, α), (3, δ)} (f) {(1, ε), (3, α), (2, β), (4, γ), (5, δ)}
Aufgabe P 9.
Zeigen Sie, dass man einen Pfannkuchen mit n geraden Schnitten in höchstens
zerteilen kann.
n2 +n+2
2
Stücke
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2. Gruppenübung
Lineare Algebra und analytische Geometrie I
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 4.
Zeigen Sie per vollständiger Induktion:
(a) 8 teilt 9n − 1 für alle natürlichen Zahlen n (d. h. es gibt eine ganze Zahl z ∈ Z mit
9n − 1 = 8z ).
(b) Sei n eine natürliche Zahl. Man nehme alle nichtleeren Teilmengen der Menge {1, . . . , n}
der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Für jede dieser Teilmengen bilde man das Produkt
aller Elemente und nehme den Kehrwert. Summiert man alle diese Kehrwerte auf, dann
erhält man n.
Beispiel: Für n = 3 würde das also so funktionieren: Die nichtleeren Teilmengen sind
{1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}. Die zugehörigen Produkte sind (in dieser
Reihenfolge): 1, 2, 3, 2, 3, 6, 6, und die Kehrwerte 11 , 12 , 31 , 12 , 31 , 16 , 61 . Aufsummiert erhält
man
1 1 1 1 1 1 1
+ + + + + + =3
1 2 3 2 3 6 6
Hinweis: P8 zu verstehen, ist hier sicherlich hilfreich!
Aufgabe H 5.
Sei R eine Relation auf einer Menge M , die reflexiv und transitiv ist. Wir definieren eine neue
Relation ∼ auf M durch
m ∼ n ⇔ (mRn und nRm)
für n, m ∈ M .
(a) Zeigen Sie, dass ∼ eine Äquivalenzrelation ist.
(b) [m] bezeichne nun die Äquivalenzklasse von m ∈ M bezüglich ∼. Zeigen Sie: Sind
m, m0 , n, n0 ∈ M mit [m] = [m0 ] und [n] = [n0 ], dann gilt mRn genau dann, wenn
m0 Rn0 gilt.
Sei A die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich ∼. Wir definieren auf A eine Relation
R0 durch
[m]R0 [n] ⇔ mRn für n, m ∈ M.
Überlegen Sie sich, dass diese Definition tatsächlich Sinn macht. (Hinweis: Es hat was
mit dem ersten Teil von (b) zu tun.)
(c) Zeigen Sie, dass R0 eine partielle Ordnung ist.
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