Übungen zur Vorlesung Mathematische

Übungen
zur Vorlesung
Mathematische Rechenmethoden I
Prof. Dr. Haye Hinrichsen, WS 16/17
Aufgabe 34 Der Quabla-Operator (2 Punkte)
Eine in der Physik häufig gebrauchte Verallgemeinerung des Laplace-Operators ∇2 = ∆ =
∂2
∂2
∂2
+ ∂y
2 + ∂z 2 ist der sogenannte Quabla-Operator
∂x2
1 ∂2
1 ∂2
∂2
∂2
∂2
= 2 2 −∆ = 2 2 − 2 − 2 − 2 ,
c ∂t
c ∂t
∂x
∂y
∂z
~
wobei c die Lichtgeschwindigkeit ist. Betrachten Sie eine ebene Welle f (~r, t) = ei(k·~r−ωt) ,
wobei ~r = (x, y, z) der Ortsvektor ist, und berechnen Sie f . Welche Bedingungen müssen
~k und ω erfüllen, damit die Wellengleichung f = 0 ist ?
Lösungsvorschlag für Aufgabe 34:
Sei ~k = (k1 , k2 , k3 ).
Es gilt:
∆f (~r, t) = −|~k|2 · f (~r, t)
(1)
Beweis:
∆f (~r, t) =
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
~
ei(k·~r−ωt) =
∂2
∂2
∂2
=
+
+
ei(k1 x+k2 y+k3 z−ωt) =
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
y+k3 z−ωt)
= i2 k12 + i2 k22 + i2 k32 e|i(k1 x+k2{z
}=
=f (~
r,t)
= i2 (k12 + k22 + k32 ) f (~r, t) =
|
{z
}
=|~k|2
= −|~k|2 · f (~r, t)
Des Weiteren ist
1 ∂2
ω2
f
(~
r
,
t)
=
−
f (~r, t)
c2 ∂t2
c2
(Beweis analog).
Damit folgt sofort:
f (~r, t) : =
1 ∂2
(1),(2)
− ∆ f (~r, t) =
2
2
c ∂t
ω2
~k|2 · f (~r, t) =
f
(~
r
,
t)
−
−|
c2
ω2
2
~
= |k| − 2 f (~r, t)
c
=−
(2)
Bedingung für f = 0:
⇔
f (~r, t) = 0
2
~ r−ωt)
|~k|2 − ωc2 e|i(k·~
{z } = 0
⇔
|~k|2 −
ω2
c2
6=0
=0
Damit folgt:
ω(~k) = ± c|~k|
Diese Beziehung zwischen der Kreisfrequenz ω und dem Wellenvektor ~k wird Dispersionsrelation genannt. In diesem einfachen Fall einer ebenen Welle handelt es sich
um eine lineare Beziehung.
Aufgabe 35 Taylor-Entwicklung in zwei Dimensionen (3 Punkte)
Entwickeln Sie die folgenden Funktionen auf dem R2 bis zur zweiten Ordnung um den
angegebenen Punkt:
(a) f (x, y) = (x2 − y 2 )(x3 + y 3 ) um (1, 1).
(b) f (x, y) = exp(x) cos(y) um (0, π/2).
(c) f (x, y) =
x2 −3xy+1
1+x2
um (0,0).
Lösungsvorschlag für Aufgabe 35:
2D-Taylorentwicklung einer Funktion f (~x) um den Punkt ~a = (a1 , a2 ), wobei ~x =
(x1 , x2 ) zur 2. Ordnung:
f (~x) ≈ f (~a) +
2
X
∂f (~a)
|i=1
∂xi
2
· (xi − ai ) +
2
1 X X ∂ 2 f (~a)
· (xi − ai )(xj − aj )
2
∂xi ∂xj
(3)
i=1 j=1
{z
~ (~a)·(~
=∇f
x−~a)
}
Hilfreich bei dieser Aufgabe ist noch der Satz von Schwarz : Ist eine mehrdimensionale
Funktion in allen Variablen mindestens zwei mal stetig differenzierbar (was hier
der Fall ist), so ist die Reihenfolge der Ausführung zweier partieller Ableitungen
unerheblich, d.h.
∂ ∂
∂ ∂
f (x, y) =
f (x, y)
∂x ∂y
∂y ∂x
(a) f (x, y) = (x2 − y 2 )(x3 + y 3 ) um ~a = (1, 1)
Partielle Ableitungen:
∂f
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x2
∂2f
∂y 2
∂2f
∂x∂y
= 5x4 − 3x2 y 2 + 2xy 3
= −5y 4 + 3y 2 x2 − 2yx3
= 20x3 − 6xy 2 + 2y 3
= −20y 3 + 6yx2 − 2x3
=
∂2f
= 6xy(y − x)
∂y∂x
(3)
⇒ f (x, y) ≈ 4(x − 1) − 4(y − 1) + 8(x − 1)2 − 8(y − 1)2
(b) f (x, y) = exp(x) cos(x) um ~a = (0, π/2)
Partielle Ableitungen:
∂f
∂x
∂f
∂y
∂2f
∂x2
∂2f
∂y 2
∂2f
∂x∂y
= exp(x) cos(y)
= − exp(x) sin(y)
= exp(x) cos(y)
= − exp(x) cos(y)
∂2f
= − exp(x) sin(y)
∂y∂x
(3)
π
π
⇒ f (x, y) ≈ − y −
−x y−
2
2
(c) f (x, y) =
x2 −3xy+1
1+x2
=
um ~a = (0, 0)
Partielle Ableitungen:
3 x2 − 1 y
∂f
=
∂x
(x2 + 1)2
∂f
3x
=− 2
∂y
x +1
2
6x x2 − 3 y
∂ f
=−
∂x2
(x2 + 1)3
∂2f
=0
∂y 2
3 x2 − 1
∂2f
∂2f
=
=
∂x∂y
∂y∂x
(x2 + 1)2
(3)
⇒ f (x, y) ≈ 1 − 3xy
Aufgabe 36 Totales Differential (3 Punkte)
Ein Elektron bewege sich auf einer Kreisbahn ~r(t) = (cos ωt, sin ωt, 0) in einem elektrischen Potential
1
1
Φ(~r) = Q p
−p
.
((x − a)2 + y 2 + z 2
(x + a)2 + y 2 + z 2
~ = −∇Φ.
~
(a) Bestimmen Sie das elektrische Feld E
(b) Berechnen Sie die Leistung P = U̇ , die das Elektron im Potential U = −eΦ erbringt.
(c) Wie groß ist die Leistung in dem zeitabhängigen Potential
1
1
−p
?
Φ(~r, t) = sin(2πωt) Q p
((x − a)2 + y 2 + z 2
(x + a)2 + y 2 + z 2
Lösungsvorschlag für Aufgabe 36:
~ r) = −∇Φ(~
~ r):
(a) Elektrisches Feld E(~
~ r) = −∇Φ(~
~ r) = −∇
~ Q
E(~
∂
∂x
∂
−Q  ∂y

∂
∂z

=
=
!
1
p
−p
(x − a)2 + y 2 + z 2
(x + a)2 + y 2 + z 2

1
1
p
−p
(x − a)2 + y 2 + z 2
(x + a)2 + y 2 + z 2

=
1
x−a
3/2
 ((x−a)2 +y2 +z 2 )

y
Q  ((x−a)2 +y2 +z 2 )3/2

z
((x−a)2 +y 2 +z 2 )3/2
−
−
−
Q
((x − a)2 + y 2 + z 2 )3/2
=
!
=

x+a
((x+a)2 +y 2 +z 2 )3/2 

y

((x+a)2 +y 2 +z 2 )3/2 
z
((x+a)2 +y 2 +z 2 )3/2
=




x−a
x+a
Q




y 
 y −
3/2 
2
2
2
((x + a) + y + z )
z
z
(b) Kreisbahn ~r(t) des Elektrons im elektrischen Feld:

 

x(t)
cos(ωt)

 

~r(t) = y(t) =  sin(ωt) 
z(t)
0
Potentielle Energie U (t) des Elektrons am Punkt ~r(t):
U (t) := −e Φ(~r(t)) = eQ
1
p
(cos(ωt) + a)2 + sin2 (ωt)
1
−p
(cos(ωt) − a)2 + sin2 (ωt)
!
Mit sin2 (ωt) + cos2 (ωt) = 1 folgt:
U (t) = eQ
1
!
1
p
−p
1 + a2 + 2a cos(ωt)
1 + a2 − 2a cos(ωt)
Leistung P (t) des Elektrons:
1
1
d
+
sin(ωt)
P (t) = U (t) = eQaω
dt
(1 + a2 + 2a cos(ωt))3/2 (1 + a2 − 2a cos(ωt))3/2
(c) Analoge Rechnung für
Φ(~r, t) = Q sin(2πωt)
1
1
!
1
!
p
−p
(x − a)2 + y 2 + z 2
(x + a)2 + y 2 + z 2
liefert
U (t) = eQ sin(2πωt)
1
p
−p
1 + a2 + 2a cos(ωt)
1 + a2 − 2a cos(ωt)
bzw.
P (t) =eQaω
1
1
+
3/2
2
2
(1 + a + 2a cos(ωt))
(1 + a − 2a cos(ωt))3/2
+ 2πeQω
1
1
p
−p
1 + a2 + 2a cos(ωt)
1 + a2 − 2a cos(ωt)
sin(ωt) sin(2πωt)+
!
cos(2πωt)