¨Ubung zur Vorlesung: Algorithmen und Datenstrukturen

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Übung zur Vorlesung: Algorithmen und Datenstrukturen
Blatt 2, Abgabe: bis 28.10.2016 um 8:30 Uhr in den Briefkästen auf 25.13.O2.
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Aufgabe 1 (30 Punkte):
Gegeben sind folgende Aussagen:
1. Alle grünen Frösche können quaken.
2. Jeder Frosch ist entweder grün oder glücklich.
3. Ein Frosch kann quaken genau dann wenn alle seine Kinder glücklich sind.
4. Jeder Frosch ist glücklich, wenn alle seine Kinder quaken können.
5. Ein Frosch ist grün, wenn er Kind mindestens eines grünen Frosches ist.
Wir formalisieren diese Aussagen nun mit Hilfe der Logik:
Sei F die Menge aller Frösche. Das einstellige Logikprädikat happy(x) gibt an, ob Frosch
x ∈ F glücklich ist, green(x) gibt an, ob Frosch x ∈ F grün ist und quak(x) gibt an, ob
Frosch x ∈ F quaken kann. Das zweistellige Logikprädikat child(x, y) gibt an, ob Frosch
x ∈ F ein Kind von Frosch y ∈ F ist. Formulieren Sie nun die obigen Aussagen.
Sie werden hierzu neben boolschen Funktionen ebenfalls den Existenzquantor (∃) und den
Allquantor (∀) benötigen.
Beispiel: Die Aussage “Alle Frösche können quaken” wäre formal: ∀x ∈ F : quak(x)
Aufgabe 2 (30 Punkte):
Seien A und B zwei Mengen.
1. Vervollständigen Sie die folgenden Definitionen für die Schnittmenge A ∩ B, die Vereinigungsmenge A∪B, die Differenzmenge A\B und das Teilmengenprädikat A ⊆ B.
(a) A ∩ B := {x |
}
(b) A ∪ B := {x |
}
(c) A \ B := {x |
}
(d) A ⊆ B :⇔
2. Zeigen Sie, dass die folgenden vier Aussagen äquivalent sind.
(a) B ⊆ A
(b) B ∪ A = A
(c) B ∩ A = B
(d) B \ A = ∅
Aufgabe 3 (30 Punkte):
Betrachten Sie die folgenden sechs Funktionen fi : N0 → N0 , i = {1, . . . , 6}. (wir verstehen
unter f (n) immer max{0, df (n)e}.)
f1 (n) = n2
f4 (n) = 2n
f2 (n) = n3
f5 (n) = log (n)
f3 (n) = n2 log (n)
f6 (n) = 2n2 + 3n + 4
Füllen Sie folgende Tabelle aus, indem Sie für jedes Paar (fi , fj ) entweder O, Ω oder Θ
eintragen. Tragen Sie Θ ein, genau dann wenn fi ∈ Θ(fj ) gilt. Ansonsten tragen Sie O
bzw. Ω ein, wenn fi ∈ O(fj ) bzw. fi ∈ Ω(fj ) gilt.
j
i
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
Aufgabe 4 (10 Punkte):
Zeigen Sie mit Hilfe einer vollständigen Induktion: 2n ∈ O(2n )