Algorithmus von Prim

15. Minimale Spannbäume
Definition 15.1:
1. Ein gewichteter ungerichteter Graph (G,w) ist ein
ungerichteter Graph G=(V,E) zusammen mit einer
Gewichtsfunktion w : E → R .
2. Ist H=(U,F), U ⊆ V, F ⊆ E , ein Teilgraph von G, so
ist das Gewicht w(H) von H definiert als
w (H) = ∑ w (e )
e∈F
∈F
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
1
Minimale Spannbäume - Definition
Definition 15.2:
1. Ein Teilgraph H eines ungerichteten Graphen G
heißt Spannbaum von G, wenn H ein Baum auf
den Knoten von G ist.
2. Ein Spannbaum S eines gewichteten ungerichteten
Graphen G heißt minimaler Spannbaum von G,
wenn S minimales Gewicht unter allen
Spannbäumen von G besitzt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
2
Berechnung minimaler Spannbäume
Ziel: Gegeben ein gewichteter ungerichteter Graph (G,w),
G=(V,E). Wollen effizient einen minimalen Spannbaum von
(G,w) finde.
Vorgehensweise: Erweitern sukzessive eine Kantenmenge
A ⊆ E zu einem minimalen Spannbaum
1. Zu Beginn A = { }.
2. Ersetzen in jedem Schritt A durch A ∪ {(u, v )} ,
wobei (u, v ) eine A-sichere Kante ist.
3. Solange bis A = V − 1
Definition 15.3: (u, v ) heißt A-sicher, wenn mit A auch
A ∪ {(u, v )} zu einem minimalen Spannbaum erweitert
werden kann.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
3
Generischer MST-Algorithmus
Generic − MST(G, w )
1 A ←{ }
2 while A ist noch keine Spannbaum
3
do Finde eine A - sichere Kante (u, v )
4
A ← A ∪ {(u, v )}
5 return A
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15.Minimale Spannbäume
4
Schnitte in Graphen
Definition 15.4:
1. Ein Schnitt (C,V-C) in einem Graphen G=(V,E) ist
eine Partition der Knotenmenge V des Graphen.
2. Eine Kante von G kreuzt einen Schnitt (C,V-C), wenn
ein Knoten der Kante in C und der andere Knoten
in V-C liegt.
3. Ein Schnitt (C,V-C) ist mit einer Teilmenge A ⊆ E
verträglich, wenn kein Element von A den Schnitt
kreuzt.
4. Eine (C,V-C) kreuzende Kante heißt leicht, wenn
sie eine Kante minimalen Gewichts unter den
(C,V-C) kreuzenden Kanten ist.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
5
Schnitt in einem Graphen (1)
b
4
S
V-S
8
d
2
11
a
c
7
i
7
8
h
4
6
14
9
e
10
1
g
2
f
S
V-S
Schnittkanten
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
6
Charakterisierung sicherer Kanten
Satz 15.5: Sei (G,w), G=(V,E) ein gewichteter ungerichteter
Graph. Die Kantenmenge A ⊆ E sei in einem minimalen
Spannbaum von (G,w) enthalten. Weiter sei (C,V-C) ein
mit A verträglicher Schnitt und (u, v ) sei eine leichte
(C,V-C) kreuzende Kante. Dann ist (u, v ) eine A-sichere
Kante.
Korollar 15.6: Sei (G,w), G=(V,E), ein gewichteter
ungerichteter Graph. Die Kantenmenge A ⊆ E sei in
einem minimalen Spannbaum von (G,w) enthalten.
Ist (u, v ) eine Kante minimalen Gewichts, die eine
Zusammenhangskomponente C von GA = (V, A ) mit
dem Rest des Graphen G A verbindet, dann ist (u, v )
eine A-sichere Kante.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
7
Beweis des Satzes - Illustration
x
p
y
u
Knoten in C
Kanten in A
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v
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15.Minimale Spannbäume
8
Algorithmus von Prim - Idee
Zu jedem Zeitpunkt des Algorithmus besteht der Graph
G A = (V, A ) aus einem Baum TA und einer Menge von
isolierten Knoten IA .
Eine Kante minimalen Gewichts, die einen Knoten in IA
mit TA verbindet, wird zu A hinzugefügt.
Die Knoten in IA sind in einem Min-Heap organisiert.
Dabei ist der Schlüssel key[v] eines Knoten v ∈ IA
gegeben durch das minimale Gewicht einer Kante, die
v mit TA verbindet.
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15.Minimale Spannbäume
9
Algorithmus von Prim - Pseudocode
Pr im − MST (G, w, r )
1 for all v ∈ V
2
do key[v ] ← ∞
π [v ] ← NIL
3
4 key[r ] ← 0
5 Q ← Build - Min - Heap (V )
6 while Q ≠ { }
7
do u ← Extract - Min (Q )
8
for all v ∈ Adj[u ]
9
do if v ∈ Q ∧ w (u, v ) < key [v ]
10
then π [v ] ← u
11
key[v ] ← w (u, v )
12
Decrease - Key(Q, v, key[v ])
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15.Minimale Spannbäume
10
Heap-Decrease-Key
Decrease-Key (H, v, key[v ]) ersetzt aktuellen
Schlüssel von v durch neuen Wert key[v ]. Dabei muss
der neue Schlüssel kleiner als der alte Schlüssel sein.
Kann bei einem Heap mit n Elementen in Zeit O (log(n))
ausgeführt werden.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Prim – Illustration (1)
4
8
b
h
i
7
h
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g
c
2
7
f
d
2
8
e
10
8
b
9
14
6
1
11
a
d
4
i
7
8
4
7
2
11
a
c
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
12
Algorithmus von Prim – Illustration (2)
4
8
b
h
i
7
h
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g
c
2
7
f
d
2
8
e
10
8
b
9
14
6
1
11
a
d
4
i
7
8
4
7
2
11
a
c
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Prim – Illustration (3)
4
8
b
h
i
7
h
SS 2008
g
c
2
7
f
d
2
8
e
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8
b
9
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6
1
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a
d
4
i
7
8
4
7
2
11
a
c
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
14
Algorithmus von Prim – Illustration (4)
4
8
b
h
i
7
h
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g
c
2
7
f
d
2
8
e
10
8
b
9
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6
1
11
a
d
4
i
7
8
4
7
2
11
a
c
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
15
Algorithmus von Prim – Illustration (5)
4
c
7
d
2
11
a
i
7
8
h
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8
b
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15.Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Prim – Laufzeit
Zeile 7 pro Durchlauf O (log( V )), wird V -mal
durchlaufen.
Zeilen 8-12 pro Durchlauf O (log( V )) (für HeapDecrease-Key).
Zeilen 9-12 2 E -mal durchlaufen, da Größe aller
Adjazenzlisten zusammen genau 2 E .
Satz 15.7: Der Algorithmus von Prim berechnet in Zeit
O ( V log( V ) + E log( V )) einen minimalen Spannbaum
eines gewichteten ungerichteten Graphen (G,w),
G=(V,E).
Mit Fibonacci-Heaps Verbesserung auf O ( V log( V ) + E )
möglich.
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15.Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal – Idee (1)
Kruskals Algorithmus berechnet minimale
Spannbäume, allerdings mit anderer Strategie als
Prims Algorithmus.
Kruskals Algorithmus erweitert sukzessive Kantenmenge A zu einem Spannbaum. Zu jedem Zeitpunkt besteht G A = (V, A ) aus einer Menge von
Bäumen.
Eine Kante minimalen Gewichts, die in G A keinen
Kreis erzeugt, wird zu A in jedem Schritt hinzu
gefügt.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
18
Algorithmus von Kruskal – Idee (2)
Solch eine Kante muss zwei Bäume in GA
verbinden.
Korrektheit folgt dann aus Satz 15.5 und
Korollar 15.6.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Charakterisierung sicherer Kanten
Satz 15.5: Sei (G,w), G=(V,E) ein gewichteter ungerichteter
Graph. Die Kantenmenge A ⊆ E sei in einem minimalen
Spannbaum von (G,w) enthalten. Weiter sei (C,V-C) ein
mit A verträglicher Schnitt und (u, v ) sei eine leichte
(C,V-C) kreuzende Kante. Dann ist (u, v ) eine A-sicher
Kante.
Korollar 15.6: Sei (G,w), G=(V,E), ein gewichteter
ungerichteter Graph. Die Kantenmenge A ⊆ E sei in
einem minimalen Spannbaum von (G,w) enthalten.
Ist (u, v ) eine Kante minimalen Gewichts, die eine
Zusammenhangskomponente C von GA = (V, A ) mit
dem Rest des Graphen G A verbindet, dann ist (u, v )
eine A-sichere Kante.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal - Datenstruktur
Kruskals Algorithmus benötigt Datenstruktur mit deren
Hilfe
1. Für jede Kante (u, v ) ∈ E effizient entschieden
werden kann, ob u und v in derselben ZusamMenhangskomponente von G A liegen.
2. Zusammenhangskomponenten effizient verschmolzen werden können.
Solch eine Datenstruktur ist Union-Find-Datenstruktur
für disjunkte dynamische Mengen.
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15. Minimale Spannbäume
21
Disjunkte dynamische Mengen (1)
Gegeben ist eine Menge U von Objekten.
Verwaltet wird immer eine Familie {S1, S 2 ,K, Sk } von
disjunkten Teilmengen von U.
Teilmengen Si werden identifiziert mit Hilfe eines
Elements aus Si , einem so genannten
Repräsentanten.
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15. Minimale Spannbäume
22
Disjunkte dynamische Mengen (2)
Die folgenden Operationen sollen unterstützt werden:
1. Make-Set(x). erzeugt Teilmenge {x} mit Repräsentant x.
2. Union(x,y): vereinigt die beiden Teilmengen, die
x bzw, y enthalten.
3. Find-Set(x): liefert den Repräsentanten derjenigen
Menge, die x enthält.
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15. Minimale Spannbäume
23
Union-Find mit verketteten Listen
Realisierung einer Datenstruktur für disjunkte dynamische
Menge kann mit verketteten Listen erfolgen:
1. Für jede Teilmenge S gibt es eine verkettete Liste
S der Objekte in S.
2. Repräsentant ist dabei das erste Objekt der Liste.
3. Zusätzlich head [S ] und tail [S ] Verweise auf erstes
bzw. letztes Element der Liste. Feld size [S ]
speichert Größe der Liste.
4. Für jedes Element x der Liste Verweis rep [x ] auf
Repräsentanten der Liste.
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15. Minimale Spannbäume
24
Union-Find mit verketteten Listen - Illustration
c
h
head
e
b
/
tail
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15. Minimale Spannbäume
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Operationen Make-Set und Find-Set
Make-Set: Erzeugen einer 1-elementigen Liste
möglich in Zeit O (1).
Find-Set(x): Ausgabe des Repräsentaten rep[x ]
möglich in Zeit O (1)
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15. Minimale Spannbäume
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Operation Union
Union(x,y):
Sx enthalte x und Sy enthalte y.
1. Bestimmen, welche der Listen kürzer ist.
2. Hänge kürzere Liste an längere Liste.
3. Ersetze Repräsentanten für die Elemente der
kürzeren Liste.
Lemma 15.8: Die Operation Union kann in Zeit
proportional zur Länge der kürzeren Liste durchgeführt werden.
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15. Minimale Spannbäume
27
Analyse vieler Operationen
Satz 15.8: Werden verkettete Listen als Union-FindDatenstruktur benutzt und werden insgesamt m
Operationen Make-Set, Find-Set und Union ausgeführt, von denen n Operationen Make-Set Operationen
sind, so können alle Operationen zusammen in Zeit
O (m + n log(n)) ausgeführt werden.
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15. Minimale Spannbäume
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Kruskals Algorithmus und Union-Find
Benutzen Union-Find-Datenstruktur, um Zusammenhangskomponenenten von G A = (V, A ) zu verwalten.
Test, ob (u,v) zwei verschiedene Zusammenhangskomponenten verbindet durch Test, ob
Find-Set(u)=Find-Set(v).
Verschmelzen von Zusammenhangskomponenenten
durch Union.
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Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal - Pseudocode
Kruskal − MST(G, w )
1 A ←{ }
2 for alle v ∈ V
3
do Make - Set (v )
4 Sortiere die Kanten von G nach aufsteigen dem Gewicht.
5 for alle Kante (u, v) von G in der Reihenfolg e aufsteigen den
Gewichts
6
do if Find - Set (u) ≠ Find - Set (v )
7
then A ← A ∪ {(u, v )}
8
Union(u, v )
9 return A
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15. Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal – Illustration (1)
4
8
b
h
i
7
h
SS 2008
g
c
2
7
f
d
2
8
e
10
8
b
9
14
6
1
11
a
d
4
i
7
8
4
7
2
11
a
c
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal – Illustration (2)
4
8
b
h
i
7
h
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g
c
2
7
f
d
2
8
e
10
8
b
9
14
6
1
11
a
d
4
i
7
8
4
7
2
11
a
c
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal – Illustration (3)
8
b
4
g
8
c
f
2
7
d
2
11
i
7
h
e
10
1
b
8
SS 2008
9
14
6
7
h
a
d
4
i
8
4
c
2
11
a
7
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Algorithmus von Kruskal – Illustration (4)
8
b
4
h
i
7
h
SS 2008
g
c
f
2
7
d
2
8
e
10
8
b
9
14
6
1
11
a
4
i
7
8
4
d
2
11
a
c
7
4
14
6
9
e
10
1
g
2
f
Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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Laufzeitanalyse von Kruskals Algorithmus
Satz 15.9: Werden verkettete Listen als Union-FindDatenstruktur benutzt, so ist die Laufzeit von
Kruskals Algorithmus O ( V log( V ) + E log(E )).
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Datenstrukturen und Algorithmen
15. Minimale Spannbäume
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