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Vorlesungsskript
PHYS1100.0 Elektrizität und
Magnetismus
Bachelor Physik
Bachelor Wirtschaftsphysik
Lehramt Physik
Othmar Marti
Institut für Experimentelle Physik
Universität Ulm
veröffentlicht unter
Lizenzinformationen
2. August 2017
2
2
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
Nothing is too wonderful to be true if it be consistent
with the laws of nature.
Why, sir, there is every possibility that you will soon be
able to tax it! (to PM William Gladstone, on the
usefulness of electricity)
But still try, for who knows what is possible?
Michael Faraday, 1791-1861
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
9
1.1 Lizenzinformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Dank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Elektrostatik
2.1 Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz . . . . . . . . . . .
2.2 Das elektrische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz
2.3.1 Dipole in elektrischen Feldern . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Elektrische Felder von Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Influenz und Bildladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Elektrostatisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . .
2.8 Energie des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8.1 Diskussion Versuch Flächenladungsdichte . . . . . . . . . .
2.9 Elektrische Eigenschaften der Materie . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.1 Dielektrika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9.2 Elektrische Phänomene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10 Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik . . . .
3 Elektrische Ströme
3.1 Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes . . . . .
3.2 Das Ohmsche Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Elektromotorische Kraft und Joulsche Wärme . . . . . . . . . .
3.4 RC-Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Schaltungen und Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Grafische Methode zur Bestimmung von Arbeitspunkten
3.5.2 Transistoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Magnetfeld und Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Die magnetische Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme . . . . . . . .
3.7.2 Relativistische Berechnung . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.3 Magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . .
3.8.1 Eigenschaften des B-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.2 Das Biot-Savart-Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8.3 Das Ampèresche Durchflutungsgesetz . . . . . . . . . . .
3.8.4 Quellenfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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84
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88
89
89
92
96
101
Inhaltsverzeichnis
6
3.8.5 Das B-Feld einer beliebigen Stromverteilung
3.9 Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Die Lorentz-Transformation der Felder E und B . .
3.11 Zusammenfassung: Ströme . . . . . . . . . . . . . .
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4 Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische Induktionen
119
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1.1 Eine bewegte Leiterschleife in einem stationären B-Feld . . . 119
4.1.2 Der magnetische Fluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
4.1.3 Induktionsgesetz von Faraday, Integral- und Differentialform 123
4.1.4 Wirbelströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
4.1.5 Unendlich lange Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
4.1.6 Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
4.1.7 Kirchhoffsche Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.8 Wechselstromkreise, Impedanzen . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.9 Elektromotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.1.10 Betatron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
4.1.11 Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
4.2 Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie . . . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.1 Kugeln im inhomogenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 153
4.3.2 Der Satz von Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.3 Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
4.3.4 Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
4.3.5 Das magnetische Moment des Elektrons: Spin . . . . . . . . 161
4.3.6 Paramagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.3.7 Ferromagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
4.4 Zusammenfassung: zeitlich veränderliche Magnetfelder . . . . . . . . 168
173
. 173
5 Die Maxwellschen Gleichungen
5.1 Was wissen wir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Auflösung des Widerspruchs zur Kontinuitätsgleichung, Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Maxwellgleichungen in isotropen zeitunabhängigen Medien . . . .
5.5 Anwendung der Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6 Elektromagnetische Wellen
6.1 Die Wellengleichung im Vakuum . . . . . . . . . .
6.2 Allgemeine Lösung der Wellengleichung . . . . . .
6.3 Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem
6.3.1 Wellenwiderstand . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Poynting-Vektor und Energiefluss . . . . . . . . .
6.5 Elektromagnetische Wellen im Raum . . . . . . .
6.5.1 Ebene Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Kugelwellen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 Lichtgeschwindigkeit im Medium und Intensität .
179
. 179
. 181
. 183
. 187
. 189
. 189
. 191
. 195
. 195
. 196
6
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176
177
7
Inhaltsverzeichnis
6.7
6.8
6.9
Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7.1 Polarisation durch Absorption (Dichroismus) . .
Die Fresnelschen Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.1 s-Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.2 p-Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.3 Grenzfall des senkrechten Einfalles . . . . . . .
6.8.4 Brewster-Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8.5 Beispielkurven für die Fresnelformeln . . . . . .
6.8.6 Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche . . . . .
6.8.7 Felder und Intensitäten bei senkrechtem Einfall
6.8.8 Evaneszente Wellen . . . . . . . . . . . . . . . .
Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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208
212
213
216
217
221
222
224
A Literaturhinweise
227
B Begriffe
229
C Mathematische Sätze
237
C.1 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
C.2 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
C.3 Differentiation einfacher Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
C.4 Taylorreihe und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
C.5 Einige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
C.6 Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten 242
C.7 Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
C.7.1 Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
C.8 Vektoridentitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C.8.1 Produkte mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
C.8.2 Ableiten von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
C.8.3 Vektorableitungen bei Skalarfeldern . . . . . . . . . . . . . . 248
C.8.4 Vektorableitungen bei Vektorfeldern . . . . . . . . . . . . . . 249
C.8.5 Graphische Darstellung der Ableitungen in drei Dimensionen 250
C.8.6 Totale Ableitung bei mitgeführten Koordinatensystemen . . 255
C.9 Satz von Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
C.10 Satz von Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
C.11 Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
D Rechnen mit Integralen
259
D.1 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
D.2 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
D.2.1 Bestimmte Integrale und Integrale mit variabler oberer Grenze261
D.3 Berechnung von Linienintegralen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
D.4 Die Diracsche Deltafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
E Umrechnung zwischen Koordinatensystemen
E.1 Vom kartesischen ins sphärische System . .
E.2 Vom sphärischen ins kartesische System . .
E.3 Vom kartesischen ins zylindrische System .
E.4 Vom zylindrischen ins kartesische System .
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
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267
268
268
268
269
7
Inhaltsverzeichnis
8
E.5 Vom sphärischen ins zylindrische System . . . . . . . . . . . . . . . 269
E.6 Vom zylindrischen ins sphärische System . . . . . . . . . . . . . . . 269
F Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
F.1 Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
271
. 273
. 275
. 280
G Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken
283
H Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen
285
I
Drehungen
289
I.1 Drehmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
I.2 Drehung von Vektoren und Matrizen (oder Tensoren) . . . . . . . . 290
I.3 Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln . . . . . . . . . . . . . . . . 291
J Berechnung elektrischer Felder
J.1 In der Nähe eines Leiterstückes . . . . . . . . . . . . . . .
J.2 Auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe . . . . . . . . .
J.3 Innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche .
J.4 In allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter
.
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293
. 293
. 295
. 297
. 298
K Lorentztransformationen
301
K.1 Lorentztransformationen für die magnetische Induktion . . . . . . . 301
K.2 Lorentztransformation für das magnetische Feld . . . . . . . . . . . 302
Abbildungsverzeichnis
303
Tabellenverzeichnis
307
Literaturverzeichnis
309
Index
313
8
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
1. Einleitung
1.1. Lizenzinformationen
Diese Skript wird unter der Creative Commons Lizenz CC-BY-SA 4.0 veröffentlicht. Dies heisst,
• Sie dürfen das Werk ganz oder in Teilen in allen denkbaren Formaten weiterverwenden, vervielfältigen und weiterverbreiten
• das Werk oder Teile davon neu zusammenstellen, verändern und darauf weitere Werke aufbauen,
sofern Sie
• den Namen der Verfassers dieses Werkes sowie deren Institution, die Universität Ulm, nennen und angemessene Rechte- und Urheberrechtsangaben
machen, einen Link zur Lizenz beifügen und angeben, ob Sie Änderungen
vorgenommen haben. Dabei darf nicht der Eindruck entstehen, die Verfasser
oder die Universität Ulm würden Sie oder Ihre Nutzung unterstützen.
• Wenn Sie Dieses Werk oder Teile davon neu zusammenstellen, verändern
und darauf weitere Werke aufbauen, dürfen Sie ihre Beiträge nur unter der
gleichen Lizenz wie dieses Werk wie dieses Original verbreiten.
Sie dürfen insbesondere keine weiteren Einschränkungen einsetzen und auch keine technischen Verfahren wie z.B. DRM verwenden, die anderen Nutzern etwas
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Der Lizenzgeber kann diese Freiheiten nicht widerrufen solange Sie sich an die
Lizenzbedingungen halten.
Eine detaillierte Erklärung finden Sie unter
http://www.uni-ulm.de/en/einrichtungen/e-learning/blog/article/was-sind-eigentlichcc-lizenzen.html
oder unter
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oder unter
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und
wurden unter
Die CC-Icons und -Buttons
der Lizenz CC BY von http://creativecommons.org/about/downloads veröffentlicht.
Einleitung
10
1.2. Dank
Ich habe mich über alle Kommentare und Anregungen zu diesem Skript vor allem
von Studierenden gefreut. Ich bin Herrn Nils Tobias Krämer sehr dankbar für das
sorgfältige Durchlesen des Skripts.
10
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2. Elektrostatik
Elektrostatik wird benötigt, um
• die Wirkung von Klebestreifen,
• die Ladungstrennung beim Ausgiessen,
• die Funktion von Elektronenröhren,
• die Funktion der Braunschen Röhre und
• die Funktion des Kondensators
beschreiben.
Versuch zur Vorlesung: Entfernen eines Klebestreifens von einem Elektrometer
Versuch zur Vorlesung:
Ladungstrennung (Versuchskarte ES-24)
Versuch zur Vorlesung:
Ladungstrennung (Versuchskarte ES-25)
Die Elektrostatik befasst sich mit der Wechselwirkung elektrisch geladener Körper.
Seit dem Altertum ist bekannt, dass Körper sich durch reiben aufladen können.
Wo haben Sie sich schon aufgeladen? Staub oder kleine Teilchen bleiben an aufgeladenen Körpern hängen. Sie werden auch gegen die Gravitationskraft angezogen.
Die Kraft zwischen Ladungen kann stärker als die Gravitationskraft
sein.
Es gibt auch Situationen, wo sich durch Reibung geladene Teilchen abstossen.
Es gibt mindestens zwei Arten von Ladungen!
Versuch zur Vorlesung:
Reibungselektrizität (Versuchskarte ES-15)
Elektrostatik
12
Genaue Untersuchungen haben gezeigt, dass es genau zwei Arten von Ladungen gibt. Lichtenberg benannte die Ladungen so, dass Ladungen auf geriebenen
Glasstäben positiv genannt werden und Ladungen auf geriebenem Bernstein negativ.
• Zwei Ladungen ziehen sich an, wenn sie verschiedener Art sind
(positiv und negativ oder negativ und positiv)
• Zwei Ladungen stossen sich ab, wenn sie gleichnamig sind (positiv und positiv oder negativ und negativ)
Ladung ist eine extensive Grösse, das heisst, sie skaliert mit der Grösse des Systems.
Versuch zur Vorlesung:
Ladungen löffeln (Versuchskarte ES-13)
Genaue Messungen zeigen, dass für Elektronen die elektrostatischen Kräfte etwa
4.1681 × 1042 mal stärker als die Gravitationskräfte sind12 . Die Gravitationskräfte
können also nur beobachtet werden, da die Ladungen sich im Mittel sehr genau
kompensieren.
2.1. Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz
(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 617]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik
[Kne78, pp. 189])
1
2
m2
2
Gravitation: FG (r) = G r2e = 6.670 × 10−11 Nkgm2
Elektrostatische Kraft: FE (r) =
= 2.3068 × 10
12
−28
2 −2
Nm r
2
1 qe
4πε0 r 2
=
2
(9.1091×10−31 kg)
r2
1
2
4π8.8544×10−12 NCm2
= 5.5345 × 10−71 N m2 r−2 .
2
(1.6021×10−19 C )
r2
.
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
13
2.1 Elektrische Ladung und Coulombsches Gesetz
Abbildung 2.1.: Auslenkung zweier mit identischer Ladung q geladener Kugeln.
Wenn zwei Kugeln mit der gleichen Ladung q geladen sind, werden sie nach aussen
abgestossen. Wird die Ladung verändert, ändert sich die Kraft proportional.
q1
F1
=
q2
F2
(2.1.1)
Dabei wird angenommen, dass die Ladungen Punktladungen sind.
Ladungen werden in Coulomb, abgekürzt, C, angegeben.
Eine Messung der Kräfte mit einer Drehwaage (nach Cavendish) ergibt das folgende Gesetz
F (r) = K
q1 · q2 r 12
2
r12
r12
(2.1.2)
wobei die Konstante vom Masssystem abhängt und im SI-System
K=
1
4πε0
(2.1.3)
ist. Die Konstante ε0 heisst Permittivität des Vakuums. Ihre Grösse ist
ε0 = 8.8544 · 10−12 C2 /(N m2 )
(2.1.4)
Indem man ε0 festlegt, legt man die Grösse der Ladungseinheit fest. Im SI-System
wurde K = 10−7 c2 = 8.9874 · 109 gesetzt, damit die elektrischen Grössen einen
handhabbaren Zahlenwert haben. Mit dieser Definition folgt der Wert von ε0 .
Dieses Gesetz kann durch folgende Überlegung erraten werden:
• F (r) ist ein Vektorfeld.
• Der mathematische Fluss dieses Vektorfeldes durch ein Flächenelement dA
ist dΦ(r) = dA · F (r), wobei die Richtung von A die Richtung der Normalen zu diesem Flächenelement ist.
• Der gesamte Fluss des Kraftfeldes durch die Kugeloberfläche A(r) = 4πr2
"
"
ist durch Φ(r) =
dΦ(r) =
F (r)dA gegeben.
A
A
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
13
Elektrostatik
14
• Da das Problem kugelsymmetrisch ist, kann F (r) nicht von der Richtung
abhängen und muss radial sein. Damit kann die Kraft vor das Integral genommen werden.
"
• Φ(r) = F (r)
dA = 4πr2 F (r)
A
• Wenn der Fluss des Vektorfeldes F unabhängig von r sein soll, so muss die
Kraft umgekehrt proportional zu r2 sein.
Versuch zur Vorlesung:
Coulomb-Gesetz (Versuchskarte ES-31)
Das Coulombsche Gesetz lautet
F (r) =
1 q1 · q2 r 12
2
4πε0 r12
r12
(2.1.5)
Das Coulombsche Gesetz ist mathematisch äquivalent zum Gravitationsgesetz.
Alle Aussagen über die Gravitation gelten auch für Ladungen, mit der Abweichung,
dass Ladungen zwei Vorzeichen haben können.
Elektrostatische Kräfte sind additiv.
Ladungen sind nicht beliebig teilbar. Versuche von Millikan ergaben, dass die
kleinste beobachtbare Ladung den Betrag 1.6022 · 10−19 C hat. Diese Ladung ist
auf
Elektronen q = −e = −1.6022 · 10−19 C (Masse: me = 9.1096 · 10−31 kg) und
Protonen q = e = 1.6022 · 10−19 C (Masse: mp = 1.6726 · 10−27 kg)
zu finden. e heisst die Elementarladung. In Kernbauteilen, den Quarks, gibt es
Ladungen vom Betrage e/3. Diese Ladungen sind aber nicht frei zu beobachten.
Ladungen können nur paarweise entstehen (jeweils die gleiche negative und positive Ladung). Die Gesamtladung in einem abgeschlossenen System ist konstant.
2.2. Das elektrische Feld
Wir wollen eine Formulierung finden, die die Stärke der elektrostatischen Kraft als
eine Feldgrösse mal die Ladung der Testladung beschreibt, also F = qE. Damit
14
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15
2.2 Das elektrische Feld
haben wir eine Beschreibung der Elektrostatik, die unabhängig von der Testladung
ist. Genauer formuliert hat man
F (r)
q→0
q
E(r) = lim
(2.2.1)
Wir definieren
Das elektrische Feld der Ladung Q ist durch
E(r) =
1 Qr
4πε0 r2 r
(2.2.2)
gegeben.
E ist das elektrische Feld und somit auch der Feldvektor des elektrischen Feldes3 .
Die Einheit von E ist [E] = N C−1 = V m−1 .4
V
E/ N
=m
C
Stromleitung in Wohnhäusern
10−2
Radiowellen
10−1
Atmosphäre
102
Sonnenlicht
103
Unter einer Gewitterwolke
104
In einer Röntgenröhre
106
Laser
bis 1012
Am Ort des Elektrons im Wasserstoffatom
6 · 1011
Auf der Oberfläche eines Urankerns
2 · 1021
Tabelle 2.1.: Elektrische Felder in der Natur
Eine Verteilung von N + 1 Ladungen qi (r i ) hat das elektrische Feld
E(r) =
N
X
i=0
E(r − r i ) =
N
1 X
qi
r − ri
2
4πε0 i=0 |r − r i | |r − r i |
(2.2.3)
Die obige Gleichung gilt für alle r i , r, i = 0 . . . N . Für kontinuierliche Ladungsverteilungen führt man eine Ladungsdichte
∆Q(r)
∆V →0 ∆V
ρel (r) = lim
(2.2.4)
ein. Das resultierende elektrische Feld ist dann
3
4
g ist der Feldvektor des Gravitationsfeldes
Es ist V A = W = N m/s sowie C/s = A. Also ist C V = A s V = N m und damit C = N m/V.
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Elektrostatik
16
1
E(r 0 ) =
4πε0
$
ρel (r) r 0 − r
dV
|r 0 − r|2 |r 0 − r|
(2.2.5)
Versuch zur Vorlesung:
Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4)
Feldlinien dienen zur Visualisierung des elektrischen Feldes. Formal konstruiert
man eine Feldlinie, indem man von einem Ausgangspunkt aus den Vektor des
elektrischen Feldes abträgt und dann vom neuen Startpunkt aus wieder gleich verfährt. Zeichnet man quer zu den Feldlinien eine Linie und zählt, wie viele Feldlinien
man pro Längeneinheit hat, ist dies ein Mass für die Feldstärke. Das Konzept der
Feldlinien stammen von Michael Faraday.
Feldlinien laufen von der positiven Ladung zu der negativen Ladung.
Abbildung 2.2.: Feldlinien. Links von einer positiven Ladung, rechts von einer
negativen Ladung. Die Feldlinien zeigen von der positiven Ladung
zu der negativen Ladung.
Versuch zur Vorlesung:
Applet: elektrostatische Felder (Versuchskarte )
Link zur Vorlesung:(Applet: elektrostatische Felder)
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2.2 Das elektrische Feld
Abbildung 2.3.: Feldlinien bei zwei gleichen positiven Ladungen.
1. Elektrische Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen Ladungen.
2. Um eine einzelne Punktladung herum sind alle Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt
3. Die Anzahl der Feldlinien, die von positiven Ladungen ausgehen, oder auf negativen Ladungen enden, ist proportional zu
der Grösse der Ladung.
4. An jedem Punkt des Raumes ist die Feldliniendichte proportional zur Feldstärke in diesem Punkt.
5. In grosser Entfernung wirkt ein System von Ladungen wie eine
einzige Punktladung, deren Grösse der Gesamtladung des Systems entspricht.
6. Feldlinien schneiden sich nicht.
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Elektrostatik
18
Abbildung 2.4.: Feldlinien bei einer positiven Ladung und einer vom Betrage her
gleichgrossen negativen Ladung.
Wenn das elektrische Feld die einzige Ursache der Beschleunigung ist, dann gilt
a=
q
E
m
(2.2.6)
Ladungen, die aus der Ruhe durch ein elektrisches Feld beschleunigt werden, folgen
den Feldlinien. Elektrische Felder, die eine Ladung q mit der Masse m ablenken,
erlauben q/m zu bestimmen.
2.3. Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das
Gausssche Gesetz
Nach der Gleichung (2.2.4) kann die gesamte Ladung in einem Raumgebiet begrenzt durch die Fläche A durch
$
Q=
ρel (r)dV
V (A)
ausgedrückt werden.
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(2.3.1)
19
2.3 Zusammenhang zwischen Ladung und Feld: das Gausssche Gesetz
Q
da
R
Kugel
Abbildung 2.5.: Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im
Zentrum
Wir betrachten eine kugelsymmetrische Situation um eine Punktladung Q. Wir
definieren den Normalenvektor am Ort r als n = r/ |r| = r/r. Das Oberflächenelement da ist da = r2 sin ΘdΘdϕ.
Das elektrische Feld an der Kugeloberfläche ist
E(r) =
Q r
4πε0 |r|3
(2.3.2)
Wir erhalten damit das Gausssche Gesetz
Z
Z
E · nda =
Kugeloberfläche
Kugeloberfläche
Z
=
Kugeloberfläche
=
=
Q
4πε0
Q
r
2 ·
|r|
4πε0 |r|
Q r2
·
4πε0 |r|2
Z
!
·
r 2
r sin ΘdΘdϕ
|r|
!
r
r
·
sin ΘdΘdϕ
|r| |r|
sin ΘdΘdϕ
Kugeloberfläche
Q
ε0
(2.3.3)
Z
Die Grösse Φ =
E · da ist der Fluss des Vektorfeldes E oder der Fluss
Oberfläche
des elektrischen Feldes E durch die Oberfläche. Dieses Integral kann vereinfacht
werden, indem wir die dielektrische Verschiebung
D(r) = ε0 E(r)
(2.3.4)
einführen. Die Einheit der dielektrischen Verschiebung ist [D] = C/m2 = A s/m2 .
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Elektrostatik
20
Weiter ist
Z
Z
D · da =
Kugeloberfläche
D · nda = Q
(2.3.5)
Kugeloberfläche
Allgemein gilt die obige Gleichung für beliebige geschlossene Flächen S, die das
Volumen V (S) einschliesst.
Q
Q
Q
Abbildung 2.6.: Approximation von beliebigen Oberflächen durch Kugelsegmente. Approximation einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
durch Punktladungen.
"
"
D(r) · n(r)da(r)
D(r) · da(r) =
(2.3.6)
A
A
= Qin A
$
=
ρel (r)dV
V (A)
Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.9.1)) kann die Gleichung umgeschrieben
werden in
"
D(r) · da(r) =
A
$
$
div D(r)dV =
V (A)
ρel (r)dV
(2.3.7)
V (A)
Diese Gleichung muss für alle Oberflächen S gelten. Deshalb müssen die Integranden gleich sein
div D(r) = ρel (r)
(2.3.8)
Dies ist die Differentialform der Gleichung für die elektrische Verschiebung. Die
physikalische Interpretation ist: die Ladungen sind die Quellen (Divergenz) der
20
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21
2.4 Elektrische Felder von Leitern
elektrischen Verschiebung und damit des elektrischen Feldes.
Im ladungsfreien Raum lautet Gleichung (2.3.8): div D(r) = 0. Diese Gleichung
ist mathematisch äquivalent zur Kontinuitätsgleichung strömender inkompressibler
Flüssigkeiten. Für deren Geschwindigkeitsfeld v(r) gilt nämlich div v(r) = 0.
2.3.1. Dipole in elektrischen Feldern
Es gibt Moleküle, bei denen die negativen und die positiven Ladungen getrennte
Schwerpunkte haben. Eine negative Ladung −q im Abstand ` von einer positiven
Ladung q heisst Dipol mit dem Dipolmoment
p = q`
(2.3.9)
Die Einheit des Dipolmoments ist [p] = C m. Der Vektor des Dipols zeigt von
−q nach +q.
+q
-q
Abbildung 2.7.: Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld.
Im homogenen elektrostatischen Feld E wirkt auf die positive Ladung die Kraft
F und auf die negative Ladung −F . Zusammen bilden diese beiden Kräfte ein
Kräftepaar und erzeugen damit ein Drehmoment
T = ` × F = (q`) × (F /q) = p × E
(2.3.10)
Versuch zur Vorlesung:
Drehmoment auf einen elektrischen Dipol (Versuchskarte ES-30)
2.4. Elektrische Felder von Leitern
(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 645])
Versuch zur Vorlesung:
Elektrische Feldlinien (Versuchskarte ES-4)
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Elektrostatik
22
Die elektrischen Felder
• in der Nähe eines ausgedehnten Leiters
• auf der Symmetrieachse eines Kreisrings
• auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe
• innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche
• in allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter
werden im Anhang berechnet.
Versuch zur Vorlesung:
Faraday-Becher (Versuchskarte ES-9)
Versuch zur Vorlesung:
Faraday-Käfig (Versuchskarte ES-21)
Versuch zur Vorlesung:
Van-de-Graaff-Generator (Versuchskarte ES-19)
Wir berechnen das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb einer Kugelschale.
Abbildung 2.8.: Berechnung eines Feldes einer Kugelschale
Die eingeschlossene Ladung durch die Kugelfläche mit dem Radius r > R ist
"
Qges =
ε0 Er da = ε0 Er 4πr2
(2.4.1)
Da die Gesamtladung innerhalb dieser Fläche Q ist, haben wir
22
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23
2.4 Elektrische Felder von Leitern
Q
= Er 4πr2
ε0
(2.4.2)
Damit ist für r > R
Er (r) =
1 Q
4πε0 r2
(2.4.3)
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugelschale ist also ununterscheidbar vom elektrischen Feld einer Punktladung. Für r < R ist die eingeschlossene
Ladung Q = 0. Damit ist auch Φges = Er 4πr2 = 0 und folglich für r < R
Er = 0
(2.4.4)
E−Feld einer Kugelschale
E(r)
2.0
E
1.5
Er = Q/(4π ε0 r2)
1.0 Er = 0
0.5
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
r
Abbildung 2.9.: Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale.
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Kugel mit dem Radius R wird analog
berechnet. Ausserhalb der Kugel für r > R ist wie oben Φges = Er 4πr2 = Q/ε0 .
Also ist für r > R
Er (r) =
1 Q
4πε0 r2
(2.4.5)
Wenn die Ladungsdichte ρel = Q/V = Q/( 4π
R3 ) ist, ist die von einer zur homogen
3
geladenen Kugel konzentrischen Kugelschale mit r < R umschlossene Ladung Q0 =
ρel V (r) = ρel 4π
r3
3
Q(r) =
Q 4π 3
r3
r
=
Q
4π 3
R3
R 3
3
(2.4.6)
Weiter haben wir Er 4πε0 r2 = Q. Also ist für r < R
Er (r) =
1 Qr
4πε0 R3
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(2.4.7)
23
Elektrostatik
24
E−Feld einer homogen geladenen Kugel
2
2.0 Er = Qr/(4π ε0 R )
Ek(r)
Ek
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
r
Abbildung 2.10.: Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel
Abbildung 2.11.: Integrationsfläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer
Ebene
Das elektrische Feld einer homogen geladenen Platte kann wie folgt berechnet
werden.
• Da wir Translationsinvarianz für jede Richtung in der Plattenebene haben,
muss das elektrische Feld senkrecht auf der Platte stehen.
• Die elektrischen Felder auf den beiden gegenüberliegenden Seiten der Platte
müssen entgegengesetzt gerichtet sein, da die Platte eine Ebene mit Spiegelsymmetrie darstellt.
• Wir verwenden eine zylinderförmige Fläche parallel zur Platte. Die Seitenflächen können beliebig hoch sein, da die Symmetrieüberlegungen besagen,
dass sie keinen Beitrag zum Fluss liefern.
Wenn σ die Ladungsdichte auf der Platte ist, dann ist
"
σA
=Φ=
En da = 2AEn
ε0
da sowohl die Unterseite wie auch die Oberseite einen Beitrag liefern.
Also ist
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(2.4.8)
25
2.4 Elektrische Felder von Leitern
Er =
σ
2ε0
(2.4.9)
homogen im Raum.
Abbildung 2.12.: Elektrisches Feld um eine endliche Platte.
Wir betrachten eine endliche ebene leitfähige Platte mit der Ausdehnung `. Wir
können drei Fälle unterscheiden:
r ` Das elektrische Feld ist von dem einer unendlich ausgedehnten ebenen leitfähigen Platte nicht unterscheidbar.
r ≈ ` Das elektrische Feld befindet sich in einem Zwischenzustand.
R ` Das elektrische Feld ist von dem einer Punktladung im Kugelmittelpunkt
nicht unterscheidbar.
Ein Beispiel für diese Art Flächenladungen sind Klebestreifen. Andreas Döring
[Dör01] gibt an, dass Haftklebematerialien spezifische Haftenergien von Et =
30 · · · 300 J/m2 haben. Die Definition von Et ist
vs F ∆t
vs Z
F (t)dt ≈
A
A
wobei vs = 0.01 m/s die Geschwindigkeit ist, mit der der Klebestreifen abgezogen
wird und A die Kontaktfläche ist. ∆t = 0.1 s ist die Loslösezeit. Die Haftkraft
rührt von Ladungen her. Bei einer Flächenladungsdichte σ ist E = σ/ε0 . Die Kraft
auf eine Flächenladungsdichte σ ist dann F/A = σ 2 /ε0 . Mit den Daten von Herrn
Döring erhalten wir
Et =
F
σ2
Et
=
=
A
ε0
vs ∆t
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Elektrostatik
26
und daraus die Flächenladungsdichte
e
σ= 2 =
d
s
ε0 Et
vs ∆t
Dabei haben wir angenommen, dass Elementarladungen e im Abstand d angebracht sind. d ist dann
d=
v s
u
u
vs ∆t
t
e
ε0 Et
Wenn wir Et einsetzen erhalten wir d ≈ 10 nm . . . 18 nm. Dieser Abstand korreliert
gut mit den bekannten Moleküldurchmessern.
Bei zwei homogen geladenen Platten, deren Flächenladungsdichte vom Betrage
her gleich sind, aber unterschiedliches Vorzeichen haben, heben sich die Felder
ausserhalb der Platten auf. Gleichzeitig verstärken sich die Felder im Inneren: Die
elektrische Feldstärke wird E = σ/ε0 .
Abbildung 2.13.: Elektrisches Feld entgegengesetzt gleich geladener Platten.
Sind die Platten jedoch gleich geladen (oder ist die Oberflächenladung der Platten
gleich), kompensieren sich die elektrischen Felder im Innern der Platte, verstärken
sich aber im Aussenraum. Wieder ist im Aussenraum E = σ/ε0 .
Abbildung 2.14.: Elektrisches Feld gleich geladener Platten
Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.
26
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2.4 Elektrische Felder von Leitern
Da Ladungen im Inneren eines Leiters beweglich sind, folgt, dass das elektrische
Feld an einer beliebigen Oberfläche, die sich ganz im Inneren eines Leiters befindet, null ist. Damit ist die umschlossene Ladung ebenso null. Daraus folgt, dass
Ladungen sich nur an der Oberfläche eines Leiters befinden können.
Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters kann mit dem Gaussschen
Gesetz berechnet werden. Wir betrachten eine zylinderförmige Fläche, deren eine
Kreisfläche unter der Oberfläche des Leiters und deren andere über der Oberfläche
des Leiters ist.
Abbildung 2.15.: Integrationsfläche
Der gesamte Fluss ist
"
Φges =
En da =
Q
ε0
(2.4.10)
da das elektrische Feld im Inneren des Leiters null ist und die Höhe der Seitenflächen verschwinden soll, haben wir
"
I
1
En da = En
da = En A = Aσ
(2.4.11)
ε0
obere Fläche
und
En =
σ
ε0
(2.4.12)
Aus dem Gaussschen Gesetz werden die zwei folgenden Schlüsse gezogen:
• Die makroskopisch beobachtbare elektrische Ladung eines Leiters befindet sich auf seiner Oberfläche.
• Das elektrische Feld an der Oberfläche eines Leiters steht senkrecht zu dieser Oberfläche und hat die Grösse Er = σ/ε0
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27
Elektrostatik
28
2.4.1. Influenz und Bildladung
Abbildung 2.16.: Links: Feldlinien in der Nähe eines Leiters. Rechts: Diese Feldlinien können mit einer Bildladung erklärt werden.
Da elektrische Feldlinien immer senkrecht auf der Oberfläche eines Leiters stehen
müssen, sieht das Feldlinienbild einer Punktladung in der Nähe eines Leiters wie die
Hälfte des Feldlinienbildes eines Dipols aus. Das elektrische Feld der Punktladung
erzeugt an der Oberfläche die Influenzladung σ(r), die das äussere Feld im Leiter
abschirmt. Formal kann das Feldlinienbild berechnet werden, indem man zu einer
Ladung q im Abstand a von der Oberfläche eines Leiter im Leiter innen eine
Bildladung −q auch im Abstand a von der Oberfläche verwendet.
Das Konzept der Bildladung zeigt, dass eine Ladung q im Abstand a von einem
Leiter mit der Kraft
F (a) = −
1 q2
4πε0 4a2
(2.4.13)
angezogen wird. Die Senkrechtkomponente (z-Komponente) des elektrischen Feldes
ist im Abstand r vom Aufpunkt in der Leiteroberfläche
Ez (r, a) = −
2
qa
4πε0 (r2 + a2 )3/2
(2.4.14)
Damit ist die Oberflächenladungsdichte
σ(r) = −
1
qa
2
2π (r + a2 )3/2
(2.4.15)
Mit analogen Überlegungen kann auch die Bildladungsdichte von kontinuierlichen
Ladungsverteilungen berechnet werden5 .
2.5. Elektrostatisches Potential
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 192]) (Siehe Tipler, Physik
[TM04, pp. 681])
5
Auch bei Dielektrikas gibt es Bildladungen
28
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29
2.5 Elektrostatisches Potential
Die Arbeit ist durch
Zr2
W (r1 → r2 ) =
F (r) · dr
(2.5.1)
r1
definiert.
Die potentielle Energie eines Kraftfeldes F (x) ist die Arbeit gegen diese Feldkraft.
Nach dem 3. Newtonschen Axiom ist F ext = −F . Also
Epot (x2 ) = Epot (x1 ) +
= Epot (x1 ) −
Zx2
x1
Zx2
F ext (x) · dx
(2.5.2)
F (x) dx = Epot (x1 ) − W (x1 → x2 ) (2.5.3)
x1
Eine potentielle Energie existiert, wenn
• Die Arbeit W (r 1 → r 2 ) unabhängig vom Weg ist.
• Die Arbeit für jede geschlossene Bahn null ist (Die Bahn darf keine Singularitäten des Feldes umschliessen).
• rot F (r) = 0 für alle r
Die potentielle Energie einer Probeladung q im Feld der Ladung Q ist
Epot (r 2 ) = Epot (r 1 ) −
Zr2
r1
1 qQ r
· dr
4πε0 r2 r
(2.5.4)
Q
Abbildung 2.17.: Approximation eines beliebigen Integrationsweges
durch KreisR
segmente. Auf den Kreissegmenten
(grün)
ist E · ds = 0, entR
R
lang der radialen Teile ist E · ds = E(r)ds.
Da wir jede Bahnkurve durch Stücke in radialer Richtung und durch Bahnen mit
r = const approximieren können, und da die Bahnen auf den Kugelflächen keinen
Beitrag geben (sie sind senkrecht zur Kraft) können wir das Integral vereinfachen.
r2
qQ Z dr
Epot (r 2 ) = Epot (r 1 ) −
4πε0 r r2
(2.5.5)
1
qQ
1
= Epot (r1 ) −
−
4πε0
r
r2
r1
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qQ
= Epot (r1 ) +
4πε0
1
1
−
r2 r1
29
Elektrostatik
30
Üblicherweise setzt man Epot (r = ∞) = 0. Damit wird
Epot (r) =
qQ
1
·
4πε0 r
(2.5.6)
Aus der potentiellen Energie kann die Kraft mit dem Gradienten
F (r) = − grad Epot (r)
(2.5.7)
berechnet werden. Für die potentielle Energie der Coulomb-Kraft bekommen wir
F (r) = − grad
=
1
qQ
1
qQ 1
qQ
grad = −
· − 2
=−
4πε0 r
4πε0
r
4πε0
r
grad r
qQ r
4πε0 r3
(2.5.8)
In Komponenten ist r =
Also
1
r
√
grad
=
x2 + y 2 + z 2 und grad = ∇ =
 ∂ 
∂x
 ∂ 
 ∂y 
∂
∂z
= −
√
x2
∂
, ∂, ∂
∂x ∂y ∂z
1
+ y2 + z2
1
1
2 (x2 + y 2 + z 2 ) 32
 ∂ 
∂x
 ∂  2
 ∂y  x
+ y2 + z2
∂
∂z


2x
1
1


= −
3  2y 
2 (x2 + y 2 + z 2 ) 2
2z
1
= − 3 ·r
r
(2.5.9)
Ergänzend zu Coulomb-Kraft hatten wir das elektrische Feld als auf eine Einheitsladung normierte Grösse eingeführt.
E (r) =
Q r
4πε0 r3
(2.5.10)
Die potentielle Energie der Ladung q im Feld der Ladung Q, normiert auf q = 1
ist das elektrische Potential ϕ, auch Spannung U genannt. Ich verwende in diesem
Skript die Begriffe elektrisches Potential und Spannung austauschbar.
ϕ(r) = U (r) =
Q 1
Epot (r)
=
4πε0 r
q
(2.5.11)
Wichtig ist die Beziehung
Epot (r) = qϕ (r) = qU (r)
(2.5.12)
Wie die Kraft aus der potentiellen Energie über die Gradientenbildung hervorgeht,
wird das elektrische Feld mit
30
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31
2.5 Elektrostatisches Potential
E = − grad ϕ = − grad U
(2.5.13)
berechnet.
Folgende Relationen gelten
lim /q
q→0
−→
←−
·q
F (r)
− F dr
↑
↓
− grad Epot
E (r)
− Edr
↑
↓
− grad ϕ
R
R
lim /q
q→0
−→
←−
·q
Epot (r)
ϕ (r) = U (r)
(2.5.14)
Wir merken uns
U (r 2 ) = U (r 1 ) −
Zr2
E (r) · dr
(2.5.15)
r1
analog zur potentiellen Energie.
Die Einheit des elektrostatischen Potentials oder der Spannung ist
J
W
Joule
=1
=1
Coulomb
As
A
Bem.: Beim elektrischen Feld ist der Feldvektor E, bei der Gravitation g
Das Gravitationspotential ist Ugrav (r) = −G mr .
Da die Coulomb-Kräfte additiv sind, ist auch das elektrostatische Potential oder
die elektrostatische potentielle Energie additiv. Das Potential von Ladungen qi an
den Orten r i ist also
1 Volt = 1
N
X
N
1 X
qi
U (r) =
U (r i ) =
4πε0 i=0 |r − r i |
i=0
Für kontinuierliche Ladungsverteilungen ρel (r) ist das Potential
$
$
1
ρel (r i )
1
dq(r i )
U (r) =
dV =
4πε0
|r − r i |
4πε0
|r − r i |
(2.5.16)
(2.5.17)
Versuch zur Vorlesung:
Flächenladungsdichte (Versuchskarte ES-8)
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31
Elektrostatik
32
Eine homogen mit der Flächenladungsdichte σ geladene Ebene erzeugt ein konstantes elektrisches Feld E = σ/(2ε0 ). Das elektrostatische Potential eines Punktes
P im Abstand x > 0 von der Platte kann gefunden werden, indem wir entlang des
Lots vom Punkt P auf die Ebene integrieren.
U (x) = U (0) −
Zx
0
x
σ Z
σ
x
Edξ = U (0) −
dξ = U (0) −
2ε0
2ε0
für x > 0 (2.5.18)
0
Für x < 0 berechnet man
σ
σ
U (x) = U (0) − −
x = U (0) +
x
2ε0
2ε0
für x < 0
(2.5.19)
Homogen geladene Ebene: Potential
2.0
U(x)
1.0
U
0.0
−1.0
−2.0
−3.0
−4.0
−2.0
0.0
x
2.0
4.0
Abbildung 2.18.: Potential senkrecht zu einer homogen geladenen Ebene mit U0 =
2 und σ = 2ε0 .
Das elektrostatische Potential eines Kreisringes mit der Ladung Q und dem Radius
R im Abstand x auf der Symmetrieachse soll berechnet werden. Wir verwenden,
dass
dU (x) =
ist, mit
Z2π
1 1
dq
4πε0 r
dq = Q
0
Wir erhalten
2π
2π
1 Z dq
1 Z
dq
1
Q
√
√
=
U (x) =
=
2
2
2
4πε0
r
4πε0
4πε0 x + R2
x +R
0
0
32
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(2.5.20)
33
2.5 Elektrostatisches Potential
Kreisring: Potential entlang der Symmetrieachse
0.6
U(x)
0.5
U
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
x
Abbildung 2.19.: Potential eines Kreisringes entlang der Symmetrieachse für eine
positive Ladung Q = 4πε0 und dem Radius R = 2.
Analog kann das Potential einer homogen geladenen Scheibe mit dem Radius R
entlang ihrer Symmetrieachse x berechnet werden. Die Ladungsdichte der Scheibe
sei σ = Q/(πR2 ). Ein Kreisring mit dem Radius a trägt die Ladung dq = 2πaσda
und erzeugt dann das Potential
dU (a, x) =
1
dq
√
4πε0 x2 + a2
(2.5.21)
Durch Integration über die gesamte Scheibe erhalten wir
R
R
1 Z 2πaσda
σ Z
a da
√
√
U (x) =
=
2
2
4πε0
2ε0
x +a
x2 + a2
0
0
(2.5.22)
Dieses Integral ergibt nach Bronstein[BSMM08, Seite 309, Nr. 193]
U (x) =
R
σ √ 2
σ √ 2
x + a2 =
x + R2 − x
0
2ε0
2ε0
(2.5.23)
Asymptotisch verläuft auch dieses Potential für x → ∞ wie das Potential einer
Punktladung, da
 s

σ 
R2
σ
R2
σ R2
U (x) =
x 1 + 2 − x ≈
x+
−x =
2ε0
x
2ε0
2x
4ε0 x
!
Für den anderen Grenzfall berechnen wir die Taylorreihe um 0 bis zum ersten
Glied.
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33
Elektrostatik
34
σ √ 2
0 + R2 − 0
2ε0
!
σ 1
2x
√
=
−
1
2
2
2ε0 2 x + R
x=0
U (0) =
d
U (x)
dx
x=0
d
σ
x
U (0) +
U (x)
U (x) ≈
2ε0
dx
x=0
=−
!
=
σ
2ε0
σ
(R − x)
2ε0
Die beiden Grenzfälle zeigen, dass sich die geladene Kreisplatte für x R wie
eine Punktladung und für x R wie eine unendlich ausgedehnte Platte verhält.
Kreis: Potential entlang der Symmetrieachse
U(x)
2.0
U
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
x
Abbildung 2.20.: Elektrostatisches Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang ihrer Symmetrieachse mit R = 2 und σ = 2ε0 .
Das Potential einer homogen geladenen Kugelschale wird mit dem elektrischen Feld
1 Q
berechnet. Das radiale elektrische Feld ist Er (r) = 4πε
2 . Damit ist das Potential
0 r
U (r) = U (∞) −
Zr
∞
1 Q
dr
4πε0 r2
r
Q Z dr
= U (∞) −
4πε0 ∞ r2
Q
1 r
− 4πε0
r ∞
Q 1
= U (∞) +
4πε0 r
= U (∞) −
Oder mit U (∞) = 0
34
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(2.5.24)
35
2.5 Elektrostatisches Potential
U (r) =
Q 1
4πε0 r
für r > R
(2.5.25)
Innerhalb der Kugelschale ist das elektrische Feld null, das Potential also konstant.
U (r) =
Q 1
4πε0 R
für r < R
(2.5.26)
Homogen geladene Kugelschale: Potential
U(r)
2.0
U
1.5
1.0
0.5
0.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
r
Abbildung 2.21.: Potential einer homogen geladenen Kugelschale mit R = 1 und
Q = 8πε0 .
Schliesslich berechnen wir das elektrostatische Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten Linienladung mit der Ladungsdichte λ. Das radiale elektrische
Feld ist E = λ/(2πε0 x). Das Potential ist dann
U (r) = U (r0 ) −
Zr
r0
λ dx
λ
r
= U (r0 ) −
ln
2πε0 x
2πε0
r0
(2.5.27)
Wir setzen U (r0 ) = 0 und erhalten
U (r) = −
λ
r
ln
2πε0
r0
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(2.5.28)
35
Elektrostatik
36
Homogene Linienladung: Potential
2.0
U(r)
1.0
U
0.0
−1.0
−2.0
−3.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
r
Abbildung 2.22.: Potential in der Nähe einer unendlich ausgedehnten homogenen
Linienladung mit r0 = 1 und λ = 2πε0 .
2.6. Poisson-Gleichung
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 197]) (Siehe Tipler, Physik
[TM04, pp. 703])
Wir hatten in Gleichung (2.3.8) gesehen, dass
div D (r) = ρel (r)
(2.6.1)
E (r) = − grad ϕ (r)
(2.6.2)
ist.
Gleichung (2.5.13) besagt, dass
ist. Mit der im Vakuum geltenden Beziehung D = ε0 E erhalten wir die PoissonGleichung.
− ε0 div grad ϕ (r) = ρel (r) = −ε0 ∆ϕ (r)
(2.6.3)
oder
∆ϕ (r) = −
ρel (r)
ε0
(2.6.4)
Dabei haben wir den Laplace-Operator ∆ = div grad = ∇ · ∇ verwendet. In
Komponentenschreibweise in einem kartesischen Koordinatensystem ist dies
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
·
∂ ∂ ∂
∂x ∂y ∂z
=
∂2
∂2
∂2
+
+
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
(2.6.5)
Die Poissongleichung ermöglicht eine Berechnung der Potentiale ausgehend von
Ladungsverteilungen.
Bemerkung:
36
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37
2.7 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft
Im allgemeinen Falle bei beliebigen Materialien lautet die Beziehung zwischen der
dielektrischen Verschiebung D und dem elektrischen Feld E
(2.6.6)
D(r) = εε0 E(r)
Dabei ist die relative Dielektrizitätszahl ε im einfachsten Falle eine Zahl und im
allgemeinen Falle ein Tensor zweiter Stufe. Die allgemeine Poissongleichung (Gleichung (2.6.4)) wird dann wie folgt geschrieben
div (εε0 grad ϕ(r)) = −ρel = ∇ · (εε0 ∇ϕ(r))
(2.6.7)
Beispiel: Ebene
Bei einer geladenen Ebene ist ρel (x, y, z) = δ (z) σ (x, y) = δ (z) σ0 mit σ (x, y) =
σ0 . Die Poissongleichung wird, wegen der Translationssymmetrie in x und y zu
∂2
σ0 δ (z)
∆U = 2 U = −
∂z
ε0
Daraus folgt, dass ∂U
= const , 0 für z , 0.
∂z
Bei z = 0 haben wir einen Sprung der Grösse
σ0
− 2ε
reichen muss. Nochmals integrieren ergibt
0
(
U (z) =
U0 +
U0 −
σ0
z
2ε0
σ0
z
2ε0
σ0
ε0
für
für
(2.6.8)
σ0
der symmetrisch von + 2ε
bis
0
z<0
z>0
(2.6.9)
U0 ist eine frei wählbare Integrationskonstante.
Das Innere eines Leiters ist ein Äquipotentialraum, da in einem Leiter Ladungen
sich frei bewegen können. Da Feldlinien dE senkrecht zu einer Metalloberfläche, die
immer eine Äquipotentialfläche ist, stehen kann man schliessen (und mathematisch
beweisen), dass Feldlinien senkrecht auf Äquipotentialflächen stehen.
An Luft kann man nicht beliebige Potentialunterschied aufrechterhalten. Die möglichen Potentialdifferenzen werden durch Funkenüberschläge begrenzt. Für Luft
unter Normalbedingungen muss
E < 3 · 106 V/m
(2.6.10)
sein.
2.7. Kapazität: eine geometrische Eigenschaft
(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 722]) (Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik
[Kne78, pp. 202])
Versuch zur Vorlesung:
Kapazität von Kugeln (Versuchskarte ES-27)
Wir wollen das folgende Problem lösen:
• Wieviel Ladung kann auf einer Leiteranordnung gespeichert werden?
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37
Elektrostatik
38
Wir wissen:
Im Inneren der Leiter ist U = const und ρel = 0
• An der Oberfläche sind die E-Felder senkrecht zur Oberfläche
• Zwischen den Leitern ist ρel = 0, also ∆U = 0
• Die Ladungen auf den Leitern sind Oberflächenladungsdichten.
En
A
s
Leiter
Abbildung 2.23.: Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum.
Wir betrachten eine kleine zylinderförmige Oberfläche und verwenden
"
qeingeschlossen
E · da =
ε0
(2.7.1)
a
Da das Feld im Inneren des Leiters verschwindet und die Seitenflächen keinen
Beitrag geben, ist
ε 0 E⊥ = σ
(2.7.2)
Bei einer genügend grossen ebenen Fläche A ist die Ladung dann
Q=
Z
σda =
A
Z
ε0 E ⊥ da ≈ ε0 E ⊥ A
(2.7.3)
A
A repräsentiert hier die Geometrie, so dass man schliessen kann, dass die gesamte
Ladung von der Geometrie der Leiter abhängt[Jac75, 48]. Wenn wir die Leiter
1, 2, . . . n betrachten, ist
Uj − Ui =
Qj − Qi
= Uji = ϕji
Cji
(2.7.4)
mit Uj dem Potential auf dem Leiter j und Ui dem Potential auf dem Leiter i. Cji
ist die Kapazität zwischen den Leitern i und j.
Da die Nummerierung in der Gleichung (2.7.4) willkürlich ist, muss Cij = Cji
gelten.
Die Einheit der Kapazität ist
1 Farad = 1 F = 1 C/V = 1 A s/V
Als erstes Beispiel betrachten wir den Plattenkondensator
38
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(2.7.5)
39
2.7 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft
Abbildung 2.24.: Geometrie eines Plattenkondensators. Wir betrachten auf beiden Seiten eine Fläche A die jeweils in eine unendlich ausgedehnte Fläche eingebettet ist.
Wir benutzen, dass das elektrische Feld einer unendlich ausgedehnten homogenen
Flächenladung konstant EEbene = 2εσ0 ist (Gleichung (2.4.8)).
Auf den Kondensatorplatten ist die Ladung Q = Aσ = 2ε0 EEbene A.
Das elektrische Feld zwischen den beiden Platten stammt von beiden Platten, also
ist
E = 2E Ebene
(2.7.6)
Also ist Q = Aσ = ε0 EA. Deshalb ist das Potential am Ort der zweiten Platte
gemessen von der ersten Platte
U2,1 = −E · d =⇒ |U2,1 | = 2EEbene · d = 2
σ
σd
d=
2ε0
ε0
(2.7.7)
Damit ist die Potentialdifferenz zwischen den beiden Platten oder die angelegte
Spannung
U=
σd
Qd
=
ε0
Aε0
(2.7.8)
oder
Q
A
= ε0 = C
(2.7.9)
U
d
Damit haben wir die Kapazität eines Plattenkondensators berechnet. Wir haben
dabei benutzt, dass σ die Flächenladungsdichte einer dünnen Platte ist. Hätten
wir einen dicken Leiter genommen, mit den Oberflächenladungsdichten σ+ und
σ− = −σ+ auf jeweils leitenden Halbräumen, wäre das Resultat mit EHalbraum = εσ0
U2,1,Halbräume = (EHalbraum,+ − EHalbraum,− ) · d =
σ+ σ−
2σ+
−
=
ε0
ε0
ε0
(2.7.10)
Dies ist kompatibel mit Gleichung (2.7.4). Bei realen, nicht unendlichen Platten
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39
Elektrostatik
40
gibt es auch eine Wechselwirkung der Rückseiten. Weiter ist wegen der Influenz
die Ladung nicht gleichverteilt.
Beachte, dass wir einen endlichen Plattenkondensator, der in einen unendlichen
Plattenkondensator eingebettet ist, betrachtet haben, um Randeffekte auszuschliessen.
Abbildung 2.25.: Durch die Dreiteilung des Kondensators können bei einem realen Kondensator die Randeffekte minimiert werden. Die kleine
Lücke stört das homogene Feld nur unwesentlich.
Beispiel: Ein Kondensator mit d = 0.1µm, A = 1 m2 und U = 10 V.
Dann ist C = 88.5 µF, Q = 0.885 mC, σ = Q
= 0.885 mC/m2 und E = 108 V/m
A
Aus der Additivität der Ladung folgt, dass bei der Parallelschaltung von Kondensatoren sich die Kapazitäten addieren.
Versuch zur Vorlesung:
Reihen- und Parallelschaltung von Kapazitäten (Versuchskarte EM-48)
Abbildung 2.26.: Parallelschaltung von Kondensatoren.
40
Q 1 = C1 U
Q2 = C2 U
Q3 = C3 U
(2.7.11)
Qges = Q1 + Q2 + Q3 = (C1 + C2 + C3 )U
(2.7.12)
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41
2.7 Kapazität: eine geometrische Eigenschaft
oder
Qges
Q1 + Q2 + Q3
= Cges =
= C1 + C2 + C3
U
U
bei Parallelschaltung
C=
n
X
(2.7.13)
(2.7.14)
Ci
i=1
Bei der Reihenschaltung wird die angelegte Spannung U auf die in Reihe geschalteten Kondensatoren aufgeteilt.
Abbildung 2.27.: Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren.
Auf den Kondensatoren sind die Ladungen
Q = Q1 = (U − U1 ) C1 = Q2 = (U1 − U2 ) C2 = Q3 = U2 C3 gespeichert, da
in diesem System nur Ladungen verschoben, aber nicht erzeugt oder vernichtet
werden können.
Also ist
Q
= U − U1
C1
Q
= U1 − U2
C2
Q
= U2
C3
oder
Q
Q
Q
1
1
1
+
+
=Q
+
+
C1 C2 C3
C1 C2 C3
U=
(2.7.15)
=
Q
Cges.
(2.7.16)
Für die Reihenschaltung gilt
n 1
X
1
=
Cges i=1 Ci
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(2.7.17)
41
Elektrostatik
42
2.8. Energie des elektrischen Feldes
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 204]) (Siehe Tipler, Physik
[TM04, pp. 729])
Versuch zur Vorlesung: Energie im Kondensator
Ein Plattenkondensator der Kapazität C sei auf die Spannung U = Q
aufgeladen.
C
Wir transportieren die Ladung ∆Q von einer Seite zur anderen. Die Arbeit ist
Q∆Q
(2.8.1)
C
Dabei haben wir die Ladung ∆Q über die Potentialdifferenz U transportiert.
W (Q, Q + ∆Q) = U · ∆Q =
W (0, Q) =
ZQ
0
QdQ
Q2
=
C
2C
(2.8.2)
also
Q2
2C
(2.8.3)
Q2 d
2ε0 A
(2.8.4)
Epot (C) =
oder mit C =
ε0 A
d
Epot (d) =
oder mit Q = U · C
U2 · C
(2.8.5)
2
Das Integral über die Oberfläche eines Leiters verknüpft die Ladung Q = EAε0
mit dem elektrischen Feld. Das Volumen ist V = A · d. Zusammen ergibt sich
Epot (U ) =
Epot =
E 2 · A · d · ε0
E 2 · V · ε0
E ·D·V
=
=
2
2
2
Epot
V →0 V
oder mit wel = lim
der Energiedichte des elektrischen Feldes
ε0 E 2
E ·D
=
2
2
auf ein Volumenelement ∆V wird durch
wel =
Die Kraft ∆F V
(2.8.6)
∆F V (r)
= ρel (r) E (r)
∆V →0
∆V
F V (r) = lim
(2.8.7)
(2.8.8)
beschrieben, da
∆F V (r) = E (r) · ∆Q = E (r) · ρel · ∆V
(2.8.9)
Das elektrische Feld übt eine mechanische Spannung aus
∆F (r) · n
∆A→0
∆A
σM axwell = lim
42
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(2.8.10)
43
2.8 Energie des elektrischen Feldes
Diese Spannung wird Maxwellspannung genannt. Sie hat die Einheit des Druckes.
n ist der Normalenvektor der Oberfläche.
Die Oberflächenladungsdichte eines Metalls sei die Ursache des elektrischen Feldes.
Wir hatten die potentielle Energie im Feld des Plattenkondensators ausgerechnet:
Q2
. Die Arbeit, den Kondensator von d auf d + ∆d zu bringen ist.
Epot = 2C
W (d, d + ∆d) = F ∆d
Q2
Q2 d
=
(d + ∆d) −
2ε0 A
2ε0 A
Q2 ∆d A
= 2·
A
2ε0
A∆d
= ε20 E 2 ·
2ε0
und damit
σM axwell =
=Epot (d + ∆d) − Epot (d)
Q2 ∆d
=
2ε0 A
∆d A
=σ 2
2ε0
ε0 2
= E A∆d
(2.8.11)
2
ε0
D·E
F
= E2 =
A
2
2
(2.8.12)
Beispiel: In einem Laser können Felder von 1012 V/m auftreten. Dies entspricht
einer Maxwell-Spannung von 4.43 · 1012 Pa ' 4.43 · 107 bar.
Wichtig: Energiedichten haben die Einheit des Druckes. In jedem
Raumgebiet, in dem Energie gespeichert wird, herrscht Druck.
Versuch zur Vorlesung:
Spannungswaage (Kirchhoffsche Waage) (Versuchskarte ES-16)
2.8.1. Diskussion Versuch Flächenladungsdichte
Im Versuch Flächenladungsdichte wird die Flächenladungsdichte gemessen, indem
eine kleine Kugel in Kontakt mit verschieden grossen Kugeln auf einem konstanten
Potential ϕ = U gebracht werden.
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43
Elektrostatik
44
2r
2R
I(t)
U
Q = ò I (t )dt
A
Abbildung 2.28.: Schematische Darstellung des Flächenladungsversuches.
In der Abbildung 2.28 wird der Messprozess schematisch gezeigt. Eine Kugel mit
dem Radius R wird auf die Spannung U aufgeladen. Die kleine Kugel mit dem
Radius r wird mit der grossen Kugel in Kontakt gebracht. Nach kurzer Zeit haben
beide Kugeln gegen Erde (unendlich) das Potential ϕ0 = U . Wenn wir annehmen,
dass die kleine Kugel eine unwesentliche Störung der grossen Kugel ist, ist die
Kapazität der beiden Kugeln
Cgemeinsam ≈ CR = 4πε0 R
(2.8.13)
Die Flächenladungsdichte der beiden Kugeln im Kontakt ist durch
QR = 4π R2 + r2 σgemeinsam = Cgemeinsam U ≈ CR U = 4πε0 RU
(2.8.14)
gegeben. Durch die Trennung der beiden Kugeln wird die Flächenladungsdichte
σgemeinsam auf beiden Kugeln eingefroren. Für die kleine Kugel haben wir dann
qr = 4πr2 σgemeinsam
(2.8.15)
Die Kugel hat nach der Trennung ein anderes Potential gegen unendlich, nämlich
qr = 4πr2 σgemeinsam = Cr Ur = 4πε0 rUr ⇒ Ur =
Aus dem Potential an der grossen Kugel U =
σgemeinsam =
und
Ur = U
Rσgemeinsam
ε0
rσgemeinsam
ε0
bekommt man
ε0 U
R
r
R
(2.8.16)
(2.8.17)
Aus Gleichung (2.8.15) und Gleichung (2.8.16) erhalten wir
qr = 4πr2
ε0 U
4πε0 r2
=
U = 4πr2 σgemeinsam
R
R
(2.8.18)
Die Kugel wird schliesslich auf das Ladungsmessgerät (eigentlich ein Strom-Integrierer) aufgebracht. Die gemessene Ladung ist proportional zu 1/R und damit
44
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45
2.9 Elektrische Eigenschaften der Materie
proportional zu σgemeinsam .
2.9. Elektrische Eigenschaften der Materie
Wir betrachten ein Modellatom bestehend aus einem Kern der Ladung Ze und
einer Elektronenwolke der Ladung −Ze. Ohne äusseres Feld liegen die Ladungsschwerpunkte übereinander. Dabei ist hier Z die Anzahl der Protonen im Kern,
die Kernladungszahl.
Ze
k
-Ze
Ze
-Ze
Abbildung 2.29.: Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle.
Auf den positiven Kern wirkt die Kraft
F+ = Z eE
(2.9.1)
Auf die negative Elektronenwolke wirkt
F − = −Z e E
(2.9.2)
Die Federkraft wirkt auf die positive Ladung wie
F +,Feder = −kx
(2.9.3)
Auf die negative Ladung wirkt die Federkraft
F −,Feder = −k (−x)
(2.9.4)
Das Kräftegleichgewicht für die positive Ladung lautet:
F + + F +,Feder = 0 = ZeE − kx ⇒ ZeE = kx
(2.9.5)
Alternativ kann das Kräftegleichgewicht für die negative Ladung angegeben werden:
F − + F −,Feder = 0 = −ZeE − k (−x) ⇒ ZeE = kx
(2.9.6)
Das induzierte Dipolmoment ist
pind = Zex
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(2.9.7)
45
Elektrostatik
46
und damit
pind =
(Ze)2
· E = αE
k
(2.9.8)
Dabei ist α die atomare Polarisierbarkeit (Einheit [α] = F m2 = C m2 /V =
A s m2 /V).
2
2
Atom oder Molekül α/ 10−40 A sVm
He
0.2
+
Li
0.03
Ne
0.4
K+
0.9
Xe
3.5
−−
O
3.5
CCl4
10
−
Cl
4
I−
7
Tabelle 2.2.: Gefüllte Elektronenschale
Atom oder Molekül α/ 10−40 A sVm
H
0.7
Li
13
K
38
Cs
46
Tabelle 2.3.: Nicht gefüllte Elektronenschale
Die potentielle Energie des induzierten Dipols im homogenen Feld E ist
Epot =
α 2 p2ind
1
E =
= E pind
2
2α
2
(2.9.9)
da
∆Epot = W (p, p + ∆p) = QE · ∆x = E · ∆p =
p
· ∆p
α
(2.9.10)
und damit
Epot =
Zp
0
46
p
p2
dp =
α
2α
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(2.9.11)
47
2.9 Elektrische Eigenschaften der Materie
2.9.1. Dielektrika
Versuch zur Vorlesung:
Plattenkondensator mit Dielektrikum (Versuchskarte ES-3)
Bis jetzt haben wir angenommen, dass das elektrische Feld im Vakuum gemessen
wurde. Dann gilt
D = ε0 E
(2.9.12)
Abbildung 2.30.: Isolatoren in einem Kondensatoren
Die Beziehung zwischen angelegter Spannung und dem elektrischen Feld ist
E=
U
d
(2.9.13)
unabhängig von den Eigenschaften des Isolationsmaterials.
Andererseits ist
D = ε0 E =
ε0 U
ε0 Q
ε0 Q
Q
=
= A =
d
Cd
A
ε0 d d
(2.9.14)
abhängig von der gespeicherten Ladung. Am Kondensator können D und E unabhängig bestimmt werden.
In vielen Fällen sind D und E linear voneinander abhängig.
D = εε0 E = (1 + χe ) ε0 E
(2.9.15)
mit ε ≥ 1 und χe ≥ 0
ε heisst die Permittivität, χe die dielektrische Suszeptibilität.
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47
Elektrostatik
48
Im Allgemeinen sind ε und χe Tensoren.
2
Material
ε
α/(10−40 A sVm )
Vakuum
1
0
Luft
1.0006
2.00332
Paraffin
2.1
38.7601
Diamant
5.6
0.912181
Glas
5-9
5.71864 - 7.27827
Silizium
11.9
4.16924
Wasser (291K, 0Hz)
81
7.65901
Wasser (291K, 1P Hz)
1.77
1.62297
Rutil (⊥)
90
7.9997
Rutil (k)
170
8.12512
Tabelle 2.4.: Einige relative Permittivitäten
Alle Formeln der Elektrostatik können auf isotrope und homogene Dielektrika
angewandt werden, indem ε0 durch εε0 ersetzt wird.
2.9.1.1. Woher rührt ε > 1?
Wenn ein Material ortsfeste permanente elektrische Dipole besitzt, dann werden
diese im extremen Feld ausgerichtet. Die Ladungen im Inneren des Materials kompensieren sich. An der Oberfläche treten Ladungen auf, die das äussere Feld schwächen.
Abbildung 2.31.: Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem
Feld.
Dabei werden die positiven Ladungen an der Oberfläche angereichert, in die das
elektrische Feld zeigt. Die negativen Ladungen werden auf der Gegenseite angereichert. Diese Polarisation heisst Orientierungspolarisation.
48
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49
2.9 Elektrische Eigenschaften der Materie
Abbildung 2.32.: Links: unpolares Medium ohne äusseres elektrisches Feld.
Rechts: mit einem nach links gerichteten elektrischen Feld.
Ein unpolares Medium wird durch das äussere Feld nach Gleichung (2.9.8) polarisiert. Die Ladungsschwerpunkte der Elektronen verschieben sich und wieder
entsteht ein inneres elektrisches Feld, das dem äusseres Feld entgegen wirkt. Diese
Polarisation ist die Verschiebungspolarisation.
2.9.1.2. Stetigkeitsbedingungen an der Grenze zweier Dielektrika
Wir verwenden das Gausssche Gesetz. Im ladungsfreien Raum gilt div D = 0
(siehe Gleichung (2.3.8)). Da das elektrostatische Feld ein konservatives Feld ist,
gilt auch rot E = 0. Wir betrachten eine Oberfläche A, die ein Stück ∆A der
Grenzfläche umschliesst. Dann ist
Z
D · da = −D1⊥ ∆A + D2⊥ ∆A = 0
A
und damit gilt für die dielektrische Verschiebung die folgende Stetigkeitsbedingung
D1⊥ = D2⊥
(2.9.16)
Wir verwenden weiter eine Schlaufe s, die die Grenzfläche zweimal durchdringt
und erhalten
Z
A(s)
rot E · da =
I
s
s
s
E · ds = E1|| − E2|| = 0
2
2
und damit gilt für das elektrisches Feld die folgende Stetigkeitsbedingung
E1|| = E2||
(2.9.17)
An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
• die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur
Grenzfläche und
• die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche
sind stetig.
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49
Elektrostatik
50
Mit grad ϕ = −E = können diese Stetigkeitsbedingungen auch für das Potential
ϕ umgeschrieben werden
ϕ1 = ϕ2
∂ϕ1
∂ϕ2
ε1
= ε2
∂n
∂n
(2.9.18)
2.9.1.3. Das Gesetz von Clausius und Mosotti
In diesem Abschnitt wollen wir aus einer mikroskopische Betrachtung einen Zusammenhang zwischen der relativen Permittivität und der Polarisierbarkeit ableiten.
Die Polarisation eines Atoms oder Moleküls hängt von der Polarisierbarkeit α sowie vom lokalen elektrischen Feld E lokal ab. Dieses lokale Feld ist die Summe aus
dem externen Feld E sowie dem Feld aller anderen Dipole am Beobachtungsort,
E i.
E lokal = E + E i
(2.9.19)
Die Polarisation hängt vom lokalen Feld E lokal wie folgt ab:
P = npind = nαE lokal
(2.9.20)
wobei n die Dichte der induzierten Dipole ist. Die Polarisation P hat dann die
Einheit [P ] = C/m2 .
y
Radius: R
da
x
z
Hier wird das elektrische Feld berechnet
Abbildung 2.33.: Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti
Zur Berechnung von E i und damit E lokal betrachten wir ein homogenes Dielektrikum mit ε, bei dem ein kugelförmiges kleines Volumen mit dem Radius R entfernt
wurde. In diesem Volumen berechnen wir das lokale Feld[Som78, 68],[LL85], das
von einem externen Feld E in der x-Richtung hervorgerufen wird.
Das externe elektrische Feld erzeugt im Inneren des Dielektrikums eine Polarisation, die das externe elektrische Feld schwächt. Deshalb gibt es an der Oberfläche
50
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51
2.9 Elektrische Eigenschaften der Materie
eine Oberflächenladungsdichte, die durch die Polarisation im Inneren des Dielektrikums hervorgerufen wird.
Die Polarisation steht senkrecht auf der Kugeloberfläche (analoge Argumentation
wie bei E). Das Die Polarisation des Dielektrikums erzeugt deshalb an der Oberfläche des Hohlraums eine Ladungsdichte σ(Θ) = Pn = Px cos θ, analog wie eine
Ladungsdichte und ein elektrisches Feld mit E = σ/ε0 zusammenhängt. Nach dem
Coulombgesetz (Gleichung (2.1.5)) ist der Beitrag von σda gegeben durch
dEi,r =
Px cos θ
σda
=
da
2
4πε0 R
4πε0 R2
(2.9.21)
gegeben. Die x-Komponente ist dann
dEi,x =
Px cos2 θ
da,
4πε0 R2
(2.9.22)
da dEi,r auf die x-Achse projiziert werden muss. Wir integrieren über die ganze
Kugel und beachten, dass da = r2 sin θdθdϕ ist. Die Integration über ϕ (Faktor
2π) und diejenige über r (Faktor 1, da die Ladung
an der Oberfläche konzentriert
R
2
ist) sind sofort ausführbar, so dass wir mit cos (θ) sin(θ)dθ = − 31 cos3 (θ)
π
Ei,x
Z
Px
1
=
2π cos2 θ sin Θdθ =
Px
4πε0
3ε0
(2.9.23)
0
erhalten. Da die x-zufällig gewählt wurde, gilt die Lorentz-Beziehung auch allgemein
Ei =
1
P
3ε0
(2.9.24)
Mit
P = (ε − 1) ε0 E = χe ε0 E
(2.9.25)
wird aus der Kombination von Gleichung (2.9.20) und Gleichung (2.9.24) die
Clausius-Mosotti-Beziehung
ε−1
nα
χe
=
=
χe + 3
ε+2
3ε0
(2.9.26)
die die Polarisierbarkeit α mit der relativen Permittivität ε verknüpft. n ist die
Dichte der induzierten Dipole.
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51
Elektrostatik
52
Die Rechnung verläuft folgendermassen
P = (ε − 1)ε0 E
E=
P = nαElokal
P
Elokal =
nα
P
P
P
=
+
nα
(ε − 1)ε0 3ε0
1
1
1
=
+
nα
(ε − 1)ε0 3ε0
!
1 3+ε−1
=
ε0 3(ε − 1)
nα
ε−1
=
3ε0
ε+2
P
(ε − 1)ε0
Elokal = E + Ei
1
1
1
=
+
ε0 (ε − 1) 3
!
1
2+ε
=
ε0 3(ε − 1)
3ε0 + 2nα
ε=
3ε0 − nα
!
2.9.1.4. Kondensator gefüllt mit Dielektrikum
Abbildung 2.34.: Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum
Wir betrachten einen Kondensator, dessen Platten die konstante Ladung Q tragen.
Das Feld im Inneren des Kondensators sei um den Faktor ε geringer als das Feld
E0 ohne Dielektrikum
E0
ε
Bei einem Plattenkondensator mit dem Abstand d ist
E=
U = Ed =
E0 d
U0
=
ε
ε
(2.9.27)
(2.9.28)
Die Kapazität ist
C=
Q
Q
Q
= U0 = ε
= εC0
U
U0
ε
Also ist beim Plattenkondensator
52
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(2.9.29)
53
2.9 Elektrische Eigenschaften der Materie
C = εε0
A
d
(2.9.30)
Die dielektrische Verschiebung ist im obigen Falle konstant
D=
Q
A
(2.9.31)
Hält man die Spannung fest, wenn ein Dielektrikum in den Kondensator eingebracht wird ist,
Q = εQ0
(2.9.32)
2.9.2. Elektrische Phänomene
Versuch zur Vorlesung:
Steighöhe im Kondensator (Versuchskarte ES-12)
Die Energiedichte im Kondensator ist
1
wel = D · E
2
(2.9.33)
Abbildung 2.35.: Links eine dielektrische Flüssigkeit im Kondensator ohne angelegtes Feld. Rechts mit angelegtem Feld.
Wenn wir das obige Experiment durchführen, steigt die dielektrische Flüssigkeit.
Dabei erhöht sich die im elektrischen Feld gespeicherte Energie und auch die potentielle Energie.
Wie geht das?
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53
Elektrostatik
54
Abbildung 2.36.: Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung
Zur Berechnung müssen wir auch die Batterie oder Spannungsquelle mit betrachten
[Kän78].
1. Mechanische Arbeit:
dWmech = F dx
2. Elektrostatische Energie im Volumen a b dx: Die Spannung U wird konstant gehalten, und damit auch
E=
U
a
Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an
1
1
εε0 E 2 − ε0 E 2 abdx
=
2
2
1
U2
=
(ε − 1) ε0 2 abdx
2
a
1
b
=
(ε − 1) ε0 U 2 dx
2
a
dWel
(2.9.34)
3. Die Batterie liefert elektrische Energie, da die Ladungsmenge sich ändert.
Die Kapazität ändert sich um
bdx
bdx
− ε0
a
a
bdx
= (ε − 1) ε0
a
dC = εε0
(2.9.35)
Die Spannung U0 wird aufrecht erhalten und die Ladung dQ transportiert
(Epot = qU )
Also
dWBatt = U dQ
= U · U dC
= (ε − 1) ε0 U 2
(2.9.36)
bdx
a
4. Die Energiebilanz ist
dWmech + dWel = dWBatt
54
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(2.9.37)
55
2.10 Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik
F dx +
1
b
b
(ε − 1) ε0 U 2 dx = (ε − 1) ε0 U 2 dx
2
a
a
und somit
F =
1
b
(ε − 1) ε0 U 2
2
a
(2.9.38)
(2.9.39)
2.9.2.1. Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator bei konstanter Ladung
Wenn der Kondensator von allen Spannungsquellen getrennt ist, bleibt die Ladung
auf seinen Platten, Q, konstant. Die dielektrische Verschiebung D und nicht das
elektrische Feld E bleiben konstant.
1. Mechanische Arbeit:
dWmech = F dx
2. Elektrostatische Energie im Volumen a b dx: Die Ladung Q wird konstant
gehalten, und damit auch
Q
D=
A
Dabei nehmen wir ein homogenes Feld an
1
1 2
D2 −
D abdx
2εε0
2ε0
1 − ε Q2
abdx
=
2εε0 A2
1 − ε Q2
=
abdx
2εε0 a2 b2
1 − ε Q2
=
dx
2εε0 ab
dWel =
(2.9.40)
dWel ist negativ, da 1 − ε < 0 ist.
3. Die Energiebilanz ist
dWmech + dWel = 0
F dx +
und somit
F =
(2.9.41)
1 − ε Q2
dx = 0
2εε0 ab
(2.9.42)
1 (ε − 1) Q2
2 εε0 ab
(2.9.43)
2.10. Zusammenfassung: die Grundgleichungen der
Elektrostatik
Permittivität Gleichung (2.1.4)
ε0 = 8.8544 × 10−12
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C2
N m2
55
Elektrostatik
56
Coulomb-Gesetz Gleichung (2.1.5)
F (r) =
1 q1 · q2 r 12
2
4πε0 r12
r12
Elektrisches Feld Gleichung (2.2.2)
E(r) =
1 Q r 12
2
4πε0 r12
r12
Elektrische Feldlinien • Elektrische Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.
• Die Anzahl der von einer Ladung ausgehenden oder auf einer Ladung
endenden Feldlinien ist proportional zur Ladungsmenge.
• Ihre Dichte ist proportional zum elektrischen Feld.
Elektrisches Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung Gleichung (2.2.5)
1
E(r 0 ) =
4πε0
$
ρel (r) r 0 − r
dV
|r 0 − r|2 |r 0 − r|
Ladung in einem Raumgebiet Gleichung (2.3.1)
Q=
Z
ρel (r)dV
V (S)
dielektrische Verschiebung Gleichung (2.3.4)
D(r) = ε0 E(r)
elektrischer Fluss Φ =
Z
Oberfläche
E · da
Gausssches Gesetz Gleichung (2.3.3)
Z
E · nda =
Kugeloberfläche
Z
Kugel
Q
=
4πε0
Q r
r 2
r sin ΘdΘdϕ
3 ·
4πε0 |r|
|r|
Z
sin ΘdΘdϕ
Kugeloberfläche
Q
=
ε0
Differentialform des Gaussschen Gesetzes Gleichung (2.3.8)
div D(r) = ρel (r)
Leiter Leiter haben in ihrem Inneren keine statischen elektrischen Felder.
56
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57
2.10 Zusammenfassung: die Grundgleichungen der Elektrostatik
Potentielle Energie einer Probeladung Gleichung (2.5.4)
Zr2
Epot (r 2 ) = Epot (r 1 ) −
r1
1 qQ r
· dr
4πε0 r2 r
Elektrostatisches Potential und Spannung Gleichung (2.5.11)
Q 1
Epot (r)
=
4πε0 r
q
ϕ(r) = U (r) =
Potentielle Energie und Potential Gleichung (2.5.14)
lim /q
q→0
−→
←−
lim · q
F (r)
E (r)
q→0
− F dr
↑
↓
− grad Epot
− Edr
↑
↓
− grad U
R
R
lim /q
q→0
−→
←−
lim · q
Epot (r)
U (r) = U (r)
q→0
Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung Gleichung (2.5.17)
1 Z dq(r)
1 Z ρel (r)
dV =
U (r) =
4πε0 |r − r i |
4πε0 |r − r i |
Poisson-Gleichung Gleichung (2.6.4)
∆U (r) = −
ρel (r)
ε0
Kapazität Gleichung (2.7.4)
Uj − Ui =
Q
= Uji = ϕij
Cji
Parallelschaltung von Kondensatoren Gleichung (2.7.14)
C=
n
X
Ci
i=1
Reihenschaltung von Kondensatoren Gleichung (2.7.17)
n
X
1
1
=
Cges i=1 Ci
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57
Elektrostatik
58
Energiedichte des elektrostatischen Feldes Gleichung (2.8.7)
ε0 E 2
E ·D
wel =
=
2
2
Maxwell-Spannung Gleichung (2.8.10) und Gleichung (2.8.12)
σM axwell = lim
∆A→0
σM axwell =
∆F (r) · n
∆A
F
ε0
D·E
= E2 =
A
2
2
induziertes Dipolmoment Gleichung (2.9.8)
pind =
(Ze)2
· E = αE
k
Lorentz-Beziehung Gleichung (2.9.24)
Ei =
1
P
3ε0
dielektrische Suszeptibilität Gleichung (2.9.15)
D = εε0 E = (1 + χe ) ε0 E
Stetigkeit der Feldkomponenten An der Grenzfläche zweier Dielektrika gilt
• die Komponente der dielektrischen Verschiebung senkrecht zur Grenzfläche und
• die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche
sind stetig.
Stetigkeitsbedingung für das Potential
ϕ1 = ϕ2
∂ϕ2
∂ϕ1
= ε2
ε1
∂n
∂n
58
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3. Elektrische Ströme
Ströme und Magnetfelder beschreiben
• die Funktionsweise von Motoren,
• die Funktionsweise von Fernsehröhren,
• die Funktionsweise von Beschleunigern,
• die Arbeitsweise von Magnetbändern und Festplatten und
• die Funktionsweise von Lautsprechern
.
q
Leiter
Abbildung 3.1.: Kräfte auf Ladungen in einem Leiter
Bei Anlegen eines elektrischen Feldes werden Ladungen beschleunigt. Die Wechselwirkung der Ladungen mit dem Medium ergibt eine Begrenzung der Driftgeschwindigkeit. Medien für den Ladungstransport können sein:
• Metalle
• Ionische Materialien
• Plasmen
Die Ladungsträger sind
• Elektronen
• Ionen
• Positronen
• Protonen
Elektrische Ströme
60
also alle geladenen Teilchen oder Moleküle.
Der Strom wird als
∆Q I=
∆t Fläche
(3.0.1)
die in einer bestimmten Zeit durch eine Fläche A fliessende Ladungsmenge definiert.1
Der elektrische Strom I beschreibt den Fluss von Ladung. Deshalb
fliesst der Strom von „+“ nach „- “. Der elektrische Strom I darf
nicht mit dem Massenstrom ṁ verwechselt werden. Bei positiver
Ladung ist die Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens parallel zur Stromrichtung. Bei negativer Ladung ist die
Geschwindigkeit des die Ladung tragenden Masseteilchens antiparallel zur Stromrichtung.
Man beobachtet, dass I proportional zu U = E`, der angelegten Spannung über
der Strecke ` ist.
3.1. Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des
Stromes
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 64])
1
60
Der an Gymnasien propagierte physikalische Strom von „- “ nach „+ “ ist ein Massenstrom,
aber nicht ein Strom von Ladung. Wir beschäftigen uns hier mit Ladungsströmen und nicht
mit Massenströmen. Die gymnasiale Unterscheidung von von physikalischer und technischer
Stromrichtung ist unsinnig. Die physikalische Stromrichtung ist das gleiche wie die technische
Stromrichtung, also so wie hier definiert.
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61
3.1 Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes
von vorne
seitlich
Abbildung 3.2.: Berechnung des Stromes in einem Medium
Wir betrachten Ladungsträger mit der einheitlichen Ladung q. Die Ladungsträgerdichte nj habe die Geschwindigkeit v j .
Der Strom δIj durch das Flächenelement da ist
δIj =
δQj
dt
(3.1.1)
Die Ladungsmenge ist
δQj = qnj | v j | · dt · cos α · | da |
(3.1.2)
δIj = qnj | v j | cos α | da |= qnj v j · da
(3.1.3)
und damit
Der gesamte Strom der Ladungsträger q ist dann


1 X
dI (da) = nq  nj v j  · da
n j
(3.1.4)
wobei n = Σnj ist.
Die mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger ist
hvi =
1X
nj · v j
n j
(3.1.5)
Wir definieren das Vektorfeld der Stromdichte
i = nq hvi
(3.1.6)
i ist abhängig vom Ort, da auch n und hvi ortsabhängig sind.
Der Strom bezüglich da ist dann
dI (da) = i · da
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(3.1.7)
61
Elektrische Ströme
62
und, integriert,
I (A) =
Z
i · da
(3.1.8)
A
Diese Gleichung besagt, dass der Strom gleich dem Fluss des Stromdichtefeldes
durch eine Fläche A ist.
Wird der Strom durch mehrere Arten von Ladungsträgern gebildet, schreibt man
i=
X
nk qk hv k i
(3.1.9)
k
Beispiel:
Driftgeschwindigkeit in einem Kupferdraht mit 10 mm Durchmesser und I = 100 A
Annahme: 1 Elektron pro Cu - Atom
Anzahl Cu - Atome pro Volumen
ρNA
8930 kg/m3 · 6.02 · 1023 /mol
=
MM ol
0.0635 kg/mol
28
3
= 8.47 · 10 /m = ne
na =
(3.1.10)
Und mit qk = e
hvi =
I
=
ne eA
(3.1.11)
100 A
8.47 · 1028 /m3 · (0.01)2 m2 · 1.6 · 10−19 C
≈ 1 µm/s
π
4
R
Mit v(t) = v0 cos(2πνt) und x(t) = v(t)dt hat man
v0
sin(2πνt) + const
2πν
Die maximale Strecke erhält man wenn der Sinus von −1 nach +1 geht.
x(t) =
Folgerung: bei ν = 50 Hz Wechselstrom zittern die Elektronen einige
6.4 nm weit.
62
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1 µm/s
2π · 50 Hz
·2 ≈
63
3.1 Die Kontinuitätsgleichung und der Begriff des Stromes
Abbildung 3.3.: Berechnung des Flusses eines Stromdichtefeldes durch ein geschlossenes Gebiet
Wir betrachten eine geschlossene Fläche A, die wir in zwei Teilflächen A0 und A00
aufteilen, so dass auf der Fläche A0 die Feldlinie aus der Fläche austreten und auf
der Fläche A00 sie eindringen.
Die Ladungserhaltung fordert:
d
Qinnen
dt
Wir schreiben die Gleichung mit der Stromdichte um
"
"
$
d
0
00
i · da −
i (−da ) = −
ρel dV
dt
Iaus − Iein = −
A0
d
i · da = −
dt
$
A
ρel dV
(3.1.14)
V
Dies ist die Integralform der Kontinuitätsgleichung.
Mit dem Gaussschen Satz bekommen wir
"
$
$
d
i · da =
div i dV = −
ρel dV
dt
A
(3.1.13)
V (A)
A00
"
oder
(3.1.12)
V
(3.1.15)
V
Die Differentialform der Kontinuitätsgleichung lautet demnach:
d
ρel (x, t)
(3.1.16)
dt
Bei stationären Strömen hängen i und ρel nicht von der Zeit ab, so dass
div i (x, t) = −
div i = 0
(3.1.17)
ist.
"
i · da = 0
(3.1.18)
A
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63
Elektrische Ströme
64
Beispiel:
Abbildung 3.4.: Stromfluss in einem Kondensator
Wir betrachten eine quasistationäre Änderung am Kondensator
"
"
"
i · da =
i · da +
i · da = 0
a1
A1
"
Mit
I1 = −
(3.1.19)
a2
"
i · da und I2 =
a1
ida folgt
a2
I1 = I2
(3.1.20)
d.h. es scheint, als ob der Strom durch den Kondensator hindurch fliessen würde.
Wenn wir die Kontinuitätsgleichung auf A2 anwenden, bekommen wir
"
dQ (t)
ida = −I1 (t) = −
dt
(3.1.21)
a3
oder
dQ (t)
dt
Die Einheit der Stromstärke ist Ampère [I] = A
I (t) =
1A=1
64
C
s
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(3.1.22)
(3.1.23)
65
3.2 Das Ohmsche Gesetz
3.2. Das Ohmsche Gesetz
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 71]) (Siehe Tipler, Physik [TM04,
pp. 751])
Versuch zur Vorlesung:
Strom-Spannungs-Kennlinie (Versuchskarte EM-83)
Allgemein gilt für einen Leiter, dass
i (E) = f (E)
(3.2.1)
eine beliebige Funktion des angelegten Feldes E ist. Im linearen Fall
i (E) = σE
(3.2.2)
spricht man von einem Ohmschen Leiter.
Versuch zur Vorlesung:
Ohmscher Leiter (Versuchskarte EM-117)
σ ist die Leitfähigkeit. Ihre Einheit ist
[σ] =
m
A
1
A
·
=
=
2
m
V
Vm
Ωm
Das Gesetz nach Gleichung (3.2.2) heisst das lokale Ohmsche Gesetz. Für homogene Medien ist σ eine Zahl. Für inhomogene Medien wie Graphit ist σ ein Tensor.
Indem wir die differentielle Form des Ohmschen Gesetzes integrieren, erhalten wir
Z
ida = I =
A
Z
σEda =
A
Z
A
σ
A
U
da = σ U
d
d
(3.2.3)
Dabei haben wir angenommen, dass i und σ konstant über A sind. Das integrale
Ohmsche Gesetz kann auch als
I = G·U
(3.2.4)
geschrieben werden. G ist der Leitwert. Die Einheit ist
[G] = Siemens = S =
m2
A
A
·
=
Vm
m
V
Bekannter ist die Form
1
·I = R·I
G
ist der Widerstand. Seine Einheit ist das Ohm
U=
R=
1
G
[R] = Ω =
(3.2.5)
1
V
W
= = 2
S
A
A
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65
Elektrische Ströme
66
Die zu R gehörende mikroskopische Grösse ist der spezifische Widerstand
ρ=
Die Einheiten sind
1
σ
(3.2.6)
Vm
m
= Ωm =
A
S
[ρ] =
sowie
[σ] =
A
S
1
=
=
Vm
m
Ωm
Wir betrachten die Bewegung von Ionen (hvi ≈ 100 m/s) in einer Umgebung von
nicht ionisierten Molekülen
Bahnkurve ohne
Bahnkurve mit
Abbildung 3.5.: Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld.
Die Masse eines Ions sei M , ihre Ladung q und die Gesamtzahl im betrachteten
Volumenelement N
Die Newtonsche Bewegungsgleichung lautet
F = qE =
dp
dt
(3.2.7)
oder
∆p = qE∆t
(3.2.8)
wobei ∆t die freie Flugzeit ist.
Der mittlere Impuls eines Ions ist
M hvi =
N h
i
1 X
(k)
M v j + qE∆tj
N j=1
(3.2.9)
(k)
hvi ist die mittlere Driftgeschwindigkeit, v j die Geschwindigkeit nach dem letzten
Stoss.
(k)
Sind die Geschwindigkeiten v j isotrop verteilt, mittelt sich der erste Summand
zu null. Unter dieser Annahme ist
1 X
M · hvit = qE
∆tj = qE · h∆tit
N
(3.2.10)
wobei h∆tit = τ die mittlere Zeit zwischen den Zusammenstössen ist. Mit i =
nq hvit bekommen wir
66
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67
3.2 Das Ohmsche Gesetz
hvit =
q · hti
qτ
E=
E = µ E.
M
M
(3.2.11)
hti
qτ
Hier ist µ = q ·
= M
die Beweglichkeit der Ladungsträger mit der Ladung q
M
und der Masse M . Die Einheit der Beweglichkeit ist
[µ] =
Cs
m2
=
Vs
kg
Weiter ist
q 2 · hti
q2τ
E=n
E = nqµE
M
M
Dabei ist n die Dichte der Ladungsträger.
Somit ist bei einer Mischung verschiedener Ladungsträger
i=n
σ=
X
nk
k
qk2 τk X
=
nk q k µk
Mk
k
(3.2.12)
(3.2.13)
Von Gleichung (3.2.11) an wurde τ = hti gesetzt.
Das Ohmsche Gesetz gilt, wenn τk , nk und µk unabhängig vom elektrischen Feld
E sind.
Beispiel: Metall
Wir nehmen an, dass me mKern ist. Dann sind die Geschwindigkeiten nach dem
Stossen isotrop verteilt. Die mittlere Geschwindigkeit der Elektronen ist hve i =
105 m/s (kinetische Gastheorie). Mit
1
ρexp
= σ = ne
e2 τ
me
(3.2.14)
bekommen wir
τ=
me
= 3.3 · 10−14 s
2
ρexp ne e
(3.2.15)
(mit ρexp = 4.3 × 10−8 Ω m und ne = 2.5 · 1028 /m3 für Na-Metall)
Die mittlere freie Weglänge ist dann
λ = hve i τ = 3.3 nm
(3.2.16)
im Widerspruch zum Ionenabstand von 0.1 nm =⇒ Lösung: Quantenmechanik
Versuch zur Vorlesung:
Leitfähigkeit (Versuchskarte EM-172)
Versuch zur Vorlesung:
Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit (Versuchskarte TH-122)
Bei einem homogenen Ohmschen Leiter mit einer stationären Stromverteilung ist
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67
Elektrische Ströme
68
ρel = 0 im Inneren. Dies folgt aus
1. Ohmsches Gesetz i (x, y, z) = σE (x, y, z)
2. Kontinuitätsgleichung div i = 0, also div (σE) = 0
und damit div E = 0
3. das Gausssche Gesetz sagt div E =
ρel
0
4. damit folgt die Behauptung, dass ρel = 0.
Aus der Eigenschaft
E = − grad ϕ = − grad U
(3.2.17)
erhalten wir im Inneren eines Leiters
div E = − div grad ϕ = −∆ϕ = 0
(3.2.18)
Dies bedeutet, dass ϕ im Inneren eines homogenen Ohmschen Leiters das Potential
eines Potentialfeldes ist. Die Lösung von
∆ϕ = 0
(3.2.19)
ist durch die Randbedingungen
1. U = ϕ = const an den Elektrodenflächen (bei den Anschlüssen nach aussen)
2. i⊥ = 0 sonst (entlang des Leiters, Drahtoberfläche!)
gegeben2 .
Mit diesen Gleichungen kann man zum Beispiel den Widerstand eines homogenen
Leiters berechnen. Bei inhomogenen Leitern müssen wir das Ohmsche Gesetz in
seiner Differentialform verwenden. Aus der Kontinuitätsgleichung für stationäre
Stromverteilungen Gleichung (3.1.17) und dem lokalen Ohmschen Gesetz Gleichung (3.2.2) bekommen wir
div i (x, y, z) = div [σ (x, y, z) E (x, y, z)] = 0
(3.2.20)
Wir ersetzen nun E und erhalten
div [σ (x, y, z) grad U (x, y, z)] = 0
(3.2.21)
Bei einem homogenen Leiter könnte σ (x, y, z) vor die Divergenz gezogen werden.
2
Im Gegensatz zum Kondensator ist hier E , 0 in einem endlichen Gebiet.
68
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69
3.2 Das Ohmsche Gesetz
Abbildung 3.6.: Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter
Wir verwenden die Definition des Stromes in Gleichung (3.1.8) und wenden Sie
auf die Fläche A, beziehungsweise auf den Teil, der den Leiter durchschneidet a,
an.
"
"
σE · da =
σE · da = I
(3.2.22)
a
A
wobei a die durch A aus dem Leiter herausgeschnittene Fläche ist. Die Spannungsdifferenz ist
Z
(3.2.23)
U2 − U1 = E · ds
s
Wenn nun ϕ1 (x, y, z) eine Lösung von Gleichung (3.2.21) ist, dann ist aufgrund
der Linearität dieser Gleichung auch
U2 (x, y, z) = kU1 (x, y, z)
(3.2.24)
eine Lösung. Dabei kann k eine beliebige, auch komplexzahlige Zahl sein. Da E =
− grad U auch eine lineare Gleichung ist, muss also auch
E 2 = − grad U2 = −k grad U1 = kE 1
eine Lösung sein. Nach Gleichung (3.2.22) ist dann auch
"
"
"
I2 =
σE 2 · da =
σkE 1 · da = k
σE · da = kI1
a
a
(3.2.25)
(3.2.26)
a
Damit haben wir, dass bei einem beliebigen inhomogenen Leiter
U1
U2
=
= const = R
I2
I1
(3.2.27)
ist. Die Proportionalitätskonstante ist der Widerstand R. Um den Widerstand
eines beliebigen Leiters zu berechnen, muss man E (x, y, z) im Inneren kennen.
Dies kann man erreichen, indem man die Laplacegleichung löst.
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69
Elektrische Ströme
70
Im statischen Falle ist E (x, y, z) = 0 im Inneren eines Leiters. Bei
einem stromdurchflossenen Leiter liefert die Batterie die notwendige
Energie, um das elektrische Feld im Inneren des Leiters aufrecht zu
erhalten.
3.3. Elektromotorische Kraft und Joulsche Wärme
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 85]) (Siehe Tipler, Physik [TM04,
pp. 756])
Ein elektrisches Feld im Inneren eines Leiters bewirkt einen Strom. Wird dieses
elektrische Feld durch Ladungen erzeugt, bewirkt der resultierende Strom einen
Ausgleich dieser Ladung. Durch Influenz werden die Oberflächenladungen so umgeschichtet, dass der Strom abnimmt und schliesslich verschwindet.
Abbildung 3.7.: Ladungstransport in einem mit einem Widerstand R kurzgeschlossenen van de Graaff-Generator.
Nehmen wir an, dass im stationären Betrieb eine Spannung U zwischen der Kugel
und dem Fuss des van-de-Graaff-Generators liegen. Das elektrische Feld entlang
des Bandes ist dann, in erster Näherung,
E = U/`
(3.3.1)
Die Arbeit, eine Ladungseinheit dQ gegen dieses elektrische Feld zur Halbkugel zu
bringen, ist3
dWM = dQ · U
(3.3.2)
Die Leistung des Motors, der hier als Spannungsquelle wirkt, ist
PM =
3
dWM
dQ
=
U = I ·U
dt
dt
(3.3.3)
Wir vernachlässigen dabei die Gravitationsarbeit. Frage: Ist dies für das Problem wichtig
(prinzipiell und praktisch)?
70
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71
3.3 Elektromotorische Kraft und Joulsche Wärme
Das elektrische Feld leistet im Widerstand auf der anderen Seite in der Zeit dt die
Arbeit
dWE = E · dQ · `
(3.3.4)
oder, mit Gleichung (3.3.1),
dWE = dQ · U
(3.3.5)
Damit ist die Leistung des E-Feldes
PE =
dQ
dWE
=
U = I · U = PM
dt
dt
(3.3.6)
Die Energie des elektrischen Stromes wird im Widerstand in Joulsche Wärme
umgesetzt, also ist die Leistung der Wärmequelle auch
PJ = P M = PE = I · U
(3.3.7)
Bei einem Ohmschen Leiter erhalten wir
P = R · I2 =
U2
R
(3.3.8)
Wenn wir eine Probeladung q0 langsam um den Stromkreis herumführen, ist die
geleistete Arbeit grösser als null. Diese Arbeit nennen wir elektromotorische Kraft
der Stromquelle. Wir definieren also
UEM K
1Z
F · ds
=
q0
(3.3.9)
Diese elektromotorische Kraft4 ist die Arbeit, die beim Herumführen einer kleinen Ladung q0 von der Stromquelle geleistet wird. Beim van-de-Graaff-Generator
besteht diese Arbeit aus zwei Teilen:
• Auf dem Band wird an jedem Punkt die Kraft des elektrostatischen Feldes
durch die Kraft des Motors kompensiert. Auf diesem Zweig ist die Arbeit
null.
• Die Arbeit, die im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt wird.
Die elektromotorische Kraft einer Stromquelle ist die Quelle der
Energie (Arbeit), die einen konstanten Stromfluss in einem Stromkreis aufrecht erhält. Neben der elektromotorischen Kraft können
auch magnetische Kräfte und andere Quellen einen Stromfluss in einem Leiter aufrecht erhalten.
Versuch zur Vorlesung:
EMK des Daniell-Elementes (Versuchskarte TH-44)
4
Die elektromotorische Kraft ist keine Kraft im Sinne der Mechanik!
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71
Elektrische Ströme
72
3.4. RC-Stromkreise
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 88]) (Siehe Tipler, Physik [TM04,
pp. 761]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 790])
Versuch zur Vorlesung:
Entladen eines Kondensators (Versuchskarte EM-145)
Ohne ein Verständnis von Stromkreisen sind moderne elektronische Schaltungen
nicht verständlich. Wir betrachten deshalb Schaltungen aus Kondensatoren und
Widerständen. Zur Erinnerung: die relevanten Gleichungen sind
für Widerstände
• U = R · I = R · dQ
dt
R
• Q = Idt = U · C für Kondensatoren
Wir betrachten die folgende Schaltung
Abbildung 3.8.: Aufladen und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand.
Für die Zeit t < 0 soll der Schalter S in der gezeigten Stellung sein. Die Spannung
am Kondensator ist UC = 0. Damit ist auch Q = 0 und I(t) = 0. Für t ≥ 0
wird der Kondensator C mit der Spannungsquelle U verbunden. Da Spannungen
im quasistationären Falle sich wie potentielle Energien verhalten, kann man für
UR (t) = U − UC (t) = I(t) · R
(3.4.1)
schreiben. Ebenso gilt
Rt
I(τ )dτ
Q(t)
0
UC (t) =
=
C
C
Zusammen erhalten wir die Differentialgleichung
Q̇(t) · R +
oder
Q̇(t) +
72
Q(t)
=U
C
Q(t)
U
=
C ·R
R
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(3.4.2)
(3.4.3)
(3.4.4)
73
3.4 RC-Stromkreise
mit der Anfangsbedingung UC (0) = 0 = Q(0).
Zur Lösung dieser Differentialgleichung machen wir den Ansatz
Partikuläre Lösung Q = C · U
Allgemeine Lösung Q(t) = C · U · e−t/(RC)
Die Lösung der Differentialgleichung ist
Q(t) = U · C 1 − e−t/(RC)
(3.4.5)
für UC (t) ist also
UC (t) =
Q(t)
= U 1 − e−t/(RC)
C
(3.4.6)
und
UR (t) = I(t) · R = Q̇(t) · R = U e−t/(RC)
(3.4.7)
Laden eines Kondensators
10
UC(x)
UR(x)
8
U
6
Einschalten
4
2
0
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
t
Abbildung 3.9.: Ladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind U =
10 V und R · C = 0.001 s.
Die Differentialgleichung für das Entladen lautet
Q̇(t) · R +
Q(t)
=0
C
(3.4.8)
wobei die Anfangsbedingung nun UC (0) = U oder Q(0) = C · U ist. Die Lösung
dieser Differentialgleichung ist
Partikuläre Lösung Q = 0
Allgemeine Lösung Q(t) = C · U · e−t/(RC)
Damit erhalten wir
UC (t) =
Q(t)
= U · e−t/(RC)
C
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(3.4.9)
73
Elektrische Ströme
74
und
UR (t) = I(t) · R = Q̇(t) · R = −U · e−t/(RC)
(3.4.10)
Entladen eines Kondensators
10
UC(x)
UR(x)
U
5
Ausschalten
0
-5
-10
-0.002
0
0.002
0.004
0.006
0.008
t
Abbildung 3.10.: Entladekurven am Kondensator. Die verwendeten Werte sind
U = 10 V und R · C = 0.001 s.
Die Grösse τ = R · C ist die Zeitkonstante der Schaltung. In der Zeit τ steigt UC
beim Einschalten von 0 auf 63%. Ebenso fällt beim Ausschalten die Spannung in
der Zeit τ von 100% auf 37% ab.
Eine alternative Ableitung dieser Gleichung verwendet eine Leistungsbetrachtung.
Die Leistung der Joulschen Wärme im Widerstand und die zeitliche Änderung der
Energie im Kondensator müssen gleich der von der Batterie gelieferten Leistung
sein.
!
d Q2
2
(3.4.11)
U ·I · = R·I +
dt 2C
oder
dQ
U·
= R·
dt
und damit
U = R·
dQ
dt
!2
+
1
dQ
·Q·
C
dt
dQ
1
+ ·Q
dt
C
(3.4.12)
(3.4.13)
3.5. Schaltungen und Bauelemente
Wir kennen bis jetzt zwei Typen von Bauelementen, den Widerstand und den
Kondensator. Beim Widerstand haben wir die Beziehung
I(U ) =
74
1
U
R
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75
3.5 Schaltungen und Bauelemente
10 mA
8 mA
6 mA
4 mA
I
2 mA
0 A
−2 mA
−4 mA
−6 mA
−8 mA
−10 mA
−10 V
−5 V
0 V
5 V
10 V
U
Abbildung 3.11.: Kennlinie eines 1000Ω-Widerstands.
Abbildung 3.11 zeigt die Kennlinie eines Widerstandes. Neben Widerständen und
Kondensatoren gibt es andere passive und aktive Bauelemente. Die Kennlinien
sind meistens nicht linear. Abbildung 3.12 zeigt verschiedene Bauelemente.
R
C
D
T
L
Abbildung 3.12.: Symbole für einen Widerstand (Zeichen: R), einen Kondensator (Zeichen: C), eine Diode (Zeichen: D), einen NPN-Transistor
(Zeichen: T) und eine Lampe (Zeichen: L). Bei der Diode zeigt
der Pfeil von der Anode zur Kathode (mit Querstrich). Beim
Transistor heisst der Anschluss mit Pfeil Emitter, derjenige links
Basis und der Anschluss oben Kollektor. Die Lampe, der Widerstand und der Kondensator sind symmetrische Objekte.
Diese Bauelemente sind sowohl linear wie nichtlinear. Wenn man die genaue physikalische Funktionsweise eines Bauelementes nicht kennt, dann helfen Kennlinien,
trotzdem mit dem Bauelement Schaltungen zu berechnen.
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Elektrische Ströme
76
Ampèremeter
Rv
R
Voltmeter
U
Abbildung 3.13.: Messung der Kennlinie eines Widerstandes.
Abbildung 3.13 zeigt wie die Messung geht. Die Spannung U wird über das Potentiometer RV , ein gebräuchlicher Name für einen veränderbaren Widerstand, an
den zu testenden Widerstand R angeschlossen. Mit einem (idealen) Voltmeter wird
die Spannung UR am Widerstand R gemessen. Das ideale Ampèremeter misst den
Strom durch IR durch den Widerstand R. Diese beiden Grössen werden denn wie
in Abbildung 3.11 aufgezeichnet.
Ampèremeter
Rv
D
Voltmeter
U
Abbildung 3.14.: Messschaltung zur Bestimmung der Kennlinie einer Diode vom
Typ 1N4148.
100 mA
100 uA
linke Skala
rechte Skala
60 mA
60 uA
40 mA
40 uA
20 mA
20 uA
I
80 uA
I
80 mA
0 A
0 A
−3.0 V−2.5 V−2.0 V−1.5 V−1.0 V−0.5 V 0.0 V 0.5 V 1.0 V
U
Abbildung 3.15.: Kennlinie einer Diode vom Typ 1N4148 gemessen mit der Schaltung nach Abbildung 3.14.
Als Beispiel eines nichtlinearen Bauelementes zeigt Abbildung 3.14 die Messschal-
76
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
77
3.5 Schaltungen und Bauelemente
tung und Abbildung 3.15 die Kennlinie der Diode 1N4148. Für positive Spannungen U ist die Diode in Durchlassrichtung gepolt. Deshalb sind die Ströme bei
kleinen Spannungen sehr gross. In der Sperrrichtung Sind die Ströme viel kleiner.
Diese können an der rechten Skala abgelesen werden.
3.5.1. Grafische Methode zur Bestimmung von Arbeitspunkten
R1
R2
Voltmeter
U
Abbildung 3.16.: Spannungsteiler.
Abbildung 3.16 zeigt einen Spannungsteiler bestehend aus den Widerständen R1
und R2 . Die Spannung an R1 und die Spannung an R2 sind in Serie. Es muss gelten
U = UR1 + UR2
(3.5.1)
Andererseits fliesst der gleiche Strom durch R1 und R2 und durch den Ersatzwiderstand R = R1 + R2 . Also hat man
I=
U
UR2
UR1
U
=
=
=
R
R1 + R2
R2
R1
(3.5.2)
und daraus
R2
U
R1 + R2
R1
=
U
R1 + R2
UR2 =
(3.5.3)
UR1
(3.5.4)
Die Spannung an der Batterie U ist vorgegeben. Wenn die Spannung UR2 an R2
steigt, muss die Spannung UR1 an R1 um den gleichen Betrag sinken. Wenn UR1 = 0
ist, ist UR2 = U , und umgekehrt. Dies bedeutet, dass
UR2 = U − UR1
(3.5.5)
ist. Wir können also beide Kennlinien in einem Diagramm aufzeichnen.
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77
Elektrische Ströme
78
UR
10 V
10 mA
R1
9 mA R2
8 V
6 V
2 V
4 V
2
4 V
2 V
0 V
6 V
8 V
10 V
8 mA
7 mA
I
6 mA
5 mA
4 mA
3 mA
2 mA
1 mA
0 A
0 V
UR
1
Abbildung 3.17.: Gemeinsame Auftragung der Kennlinien zweier in Reihe geschalteter Widerstände R1 = 1 kΩ und R2 = 4 kΩ mit einer
Batteriespannung U = 10 V.
Die beiden Kennlinien in Abbildung 3.17 schneiden sich bei UR1 = 2 V und
UR2 = 8 V. Nur an diesem Punkt stimmt an beiden Widerständen die Beziehung
zwischen Strom und Spannung (Ohmsches Gesetz) und gleichzeitig ist die Summer
der Spannungsabfälle gleich der Batteriespannung. Setzt man in Gleichung (3.5.3)
und Gleichung (3.5.4) die Werte für U , R1 und R2 ein, erhält man das gleiche
Ergebnis. Das Verfahren zur Bestimmung des Arbeitspunktes ist unabhängig von
der Tatsache, dass Widerstände lineare Bauelemente sind. Es funktioniert auch
mit Dioden und jeglichen anderen nichtlinearen Bauelementen.
Um grafisch die Spannungsabfälle an zwei in Serie geschalteten Bauelementen zu bestimmen, trägt man die Kennlinien einmal mit zunehmender und für das andere Bauelement mit abnehmender Spannung übereinander auf. Der Schnittpunkt ist der gesuchte Arbeitspunkt. Die Spannungen an den zwei Bauelementen können an der
entsprechenden Skala direkt abgelesen werden.
R1
D
U
Voltmeter
Abbildung 3.18.: Serieschaltung einer Diode D mit einem Widerstand R.
78
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79
3.5 Schaltungen und Bauelemente
UR
10 V
10 mA
8 V
1
6 V
4 V
2 V
0 V
R1
R2
9 mA
8 mA
7 mA
I
6 mA
5 mA
4 mA
3 mA
2 mA
1 mA
0 A
0 V
2 V
4 V
6 V
8 V
10 V
UD
Abbildung 3.19.: Arbeitspunkt einer Diode vom Typ 1N4148 in Serie mit einem
Widerstand R1 = 1 kΩ (Schaltung nach Abbildung 3.18).
Aus der Abbildung 3.19 liest man ab, dass am Arbeitspunkt der Schaltung nach
Abbildung 3.18 die Spannung UD = 0.376 V und an dem Widerstand die Spannung
UR1 = 9.624 V abfällt. Durch beide Bauteile fliesst der Strom I = 9.57 mA. Das
Verfahren nach Abbildung 3.19 ist universell anwendbar.
3.5.2. Transistoren
Ein Transistor hat drei Anschlüsse, den Emitter (E), den Kollektor (C) und die
Basis (B). Im Schaltschema ist der Anschluss mit dem Pfeil der Emitter, derjenige
auf der gleichen Seite ohne Pfeile der Kollektor und derjenige auf der anderen Seite
die Basis.
1 mA
1 mA
1 mA
900 uA
800 uA
800 uA
800 uA
700 uA
700 uA
600 uA
600 uA
IC
600 uA
IB
IB = 0.5 µA
IB = 1.0 µA
IB = 1.5 µA
IB = 2.0 µA
IB = 2.5 µA
IB = 3.0 µA
IB = 3.5 µA
IB = 4.0 µA
900 uA
500 uA
400 uA
400 uA
500 uA
400 uA
300 uA
300 uA
200 uA
200 uA
200 uA
100 uA
100 uA
0 A
0 A
400 mV
600 mV
800 mV
0 A
0 V
1 V
UBE
2 V
3 V
4 V
5 V
6 V
7 V
UCE
Abbildung 3.20.: Links: Basis-Emitter-Kennlinie des Transistors BC107, rechts:
Kollektor-Kennlinie des Transistors BC107 mit dem Basisstrom
IB .
Die Basis-Emitter-Kennlinie in Abbildung 3.20 ist die gewöhnliche Diodenkennlinie. Die rechte Seite von Abbildung 3.20 zeigt das Kollektor-Kennlinienfeld des
Transistors. Dieses Kennlinienfeld wird manchmal auch das Ausgangskennlinien-
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79
Elektrische Ströme
80
feld genannt. Beim Ausgangaskennlinienfeld wird der Basisstrom IB als Parameter
verwendet. Die Abbildung 3.20 zeigt die Kennlinien bei festgehaltenem Basuisstrom, wobei die Basisströme von IB = 0.5 µA bis IB = 4 µA in Schritten von
0.5 µA variieren.
Bei vorgegebener Kollektor-Emitter-Spannung UCE kann man so den Ausgangsstrom am Kollektor bestimmen. Analog kann bei vorgegebenem Kollektorstrom
die Spannung zwischen Emitter und Kollektor als Funktion des Basisstroms abgelesen werden. Dies ist wichtig, wenn der Transistor als Schalter verwendet werden
soll.
R
Voltmeter
U
T
Ig
Abbildung 3.21.: Schaltung zur Messung des Ausgangskennlinie des Transistors
BC107 mit einem Kollektorwiderstand von 5kΩ.
UR
5 V
1 mA
4 V
3 V
2 V
1 V
−1 V
−2 V
IB = 0.5 µA
IB = 1.0 µA
IB = 1.5 µA
IB = 2.0 µA
IB = 2.5 µA
IB = 3.0 µA
IB = 3.5 µA
IB = 4.0 µA
R=5 k Ω
900 uA
800 uA
700 uA
600 uA
IC
0 V
500 uA
400 uA
300 uA
200 uA
100 uA
0 A
0 V
1 V
2 V
3 V
4 V
5 V
6 V
7 V
UCE
Abbildung 3.22.: Arbeitskennlinie des Transistors BC107 mit einem Kollektorwiderstand von 5 kΩ gemessen mit der Schaltung nach Abbildung
3.21.
Die Abbildung 3.21 zeigt die Schaltung eines Transistorverstärkers. Der Strom in
die Basis IB steuert den Strom im Kollektor IC .Der Kollektorstrom fliesst durch
den Widerstand R. Die Summe der Spannungsabfälle an beiden Bauelementen
muss der Batteriespannung U entsprechen. Wir können also analog wie bei der
Diode vorgehen (siehe Abbildung 3.19): Wir zeichnen die Kennlinie des Widerstandes wie bei der Diode rückläufig ein. Die Schnittpunkte der Kennlinie des
80
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81
3.5 Schaltungen und Bauelemente
Widerstandes mit den verschiedenen, basisstromabhängigen Ausgangskennlinien
des Transistors sind die Kurve, die die Storm- oder Spannungsverstärkung angibt.
0 V
5 V
1 mA
UCE
IC
800 uA
3 V
600 uA
2 V
400 uA
1 V
200 uA
IC
UCE
4 V
0 V
0 A
1 uA
2 uA
0 A
4 uA
3 uA
IB
Abbildung 3.23.: Verstärkung eines Transistors in der Emitterschaltung (Der
Emitter wird sowohl vom Eingang wie vom Ausgang verwendet.)
Abbildung 3.23 zeigt sowohl die Kolektor-Emitterspannung UCE (IB ) wie auch den
Kollektorstrom IC (IB ). Die Verstärkung ist für den Basisstrombereich 0.5 µA <
IB < 3 µA linear. Die Verstärkungswerte sind in Tabelle 3.1 angegeben.
IC
Stromverstärkung
= 0.252 mA
= 252 µA
= 252
IB
µA
µA
UCE
V
= 1.28 µA
Spannungsverstärkung
IB
Tabelle 3.1.: Verstärkungen der Schaltung 3.21.
A
A
Wenn das Eingangssignal nicht ein Strom, sondern eine Spannung sein soll, muss
die Spannung mit einem Widerstand in einen Strom umgewandelt werden.
R1
R2
C2
U
C1
Ue
T
Ua
R3
Abbildung 3.24.: Verstärkerschaltung mit BC107.
Zum Schluss dieses Abschnittes wollen wir die Schaltung nach Abbildung 3.24
besprechen. Wir verwenden die Daten aus Abbildungen 3.22 und 3.23. Der Widerstand R2 ist der Arbeitswiderstand R aus Abbildung 3.21. Wir hatten immer
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Elektrische Ströme
82
eine Spannung von 5 V über dem Arbeitswiderstand R (oder R2 hier) und dem
Transistor. Wir wollen dies beibehalten und gleichzeitig einen Spannungsabfall von
0.2 V über R3 haben. Bei unseren vorherigen Berechnungen war R2 = 5 kΩ. Den
Arbeitspunkt setzen wir in etwa in die Mitte des linearen Bereiches, bei IB = 2 µA
und bei IC = 500 µA. Damit ist
R3 =
0.2 V
UR3
=
= 398 Ω ≈ 400 Ω
IB + IC
500 µA + 2 µA
Die Grösse des Widerstandes R1 finden wir, wenn wir aus Abbildung 3.20 ablesen
UBE (2 µA) ≈ 0.5 V. Die Spannung über R1 ist dann 4.5 V und wir haben
R1 =
4.5 V
= 2.25 MΩ
2 µA
Was ist die Funktion von R3 ? R3 stabilisiert die Schaltung gegen Temperaturänderungen und setzt gleichzeitig die Verstärkung fest. Wenn nämlich die Eingangsspannung Ue und damit die Basis-Spannung UB steigt, steigt der Basisstrom IB
und der Kollektorstrom IC und damit die Spannung über R3 . Dieser Spannungsanstieg verringert aber den Anstieg der Basis-Emitter-Spannung, da UBE = Ue − UR3
ist. Die Spannungsverstärkung der Schaltung ist
A=
R2
= 12
R3
Die Kondensatoren werden so gewählt, dass die tiefsten Frequenzen der zu verstärkenden Signale noch kaum geschwächt werden. Für Signale zwischen 100 Hz und
4 kHz (Telefonbandbreite klassischer Telefone) würde man erhalten C1 > 0.7 pF
und C2 > 320 nF. Der so berechnete Wert für C1 ist falsch: wir habe vergessen,
dass auch der Widerstand Basis-Emitter-Diode (grob abgeschätzt aus der Steigung
rBE = 1 mV/2 µA ≈ 500 Ω wechselspannungsmässig parallel zu R1 ist. Zu rBE
ist noch R3 in Serie geschaltet. Die modifizierte Berechnung für C1 ergibt dann
C1 > 2nF . C1 kann ohne Probleme 10 bis 100 mal grösser gewählt werden.
U
R1
R2
R3
C1
C2
A
5.2 V 2.25 MΩ 5 kΩ 400 Ω 1 µF 330 nF 12
Tabelle 3.2.: Dimensionierung der Schaltung nach Abbildung 3.24
Weiterführende Informationen finden Sie im Skript Physikalische Elektronik
und Messtechnik [Mar09].
82
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3.6 Magnetfeld und Lorentzkraft
3.6. Magnetfeld und Lorentzkraft
Versuch zur Vorlesung:
Kraft zweier stromdurchflossener Leiter (Versuchskarte EM-63)
Abbildung 3.25.: Strom in zwei parallelen Leitern. Die Leiter haben die Länge
` und sind im Abstand r. Sie sind von den Strömen I1 und I2
durchflossen.
Wenn in zwei parallelen Stromkreisen Ströme fliessen, so gibt es eine Kraft zwischen
den beiden Leitern.
` · I1 · I2
(3.6.1)
FM = const ·
r
Die beobachtete Kraft hat die in der Gleichung (3.6.1) angegebene Form. Sie wird
grösser, wenn längere Leiterstücke parallel sind. Sie nimmt ab, wenn der Abstand
zunimmt. Sie hängt vom Produkt der beiden Ströme ab und ist anziehend, wenn
die beiden Ströme in die gleiche Richtung fliessen.
Die Kraft FM ist nicht eine elektrostatische Kraft, da eine geerdete Metallplatte die Kraft, anders als bei der Coulomb-Kraft, nicht
abschirmt.
Die Kraft FM wirkt auf bewegte Ladungen!
Die Kraft FM wirkt auch auf Elektronenstrahlen.
Versuch zur Vorlesung:
Lorentzkraft auf stromdurchflossenen Leiter (Versuchskarte Applet)
3.7. Die magnetische Kraft
(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 812]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98,
pp. 91])
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Elektrische Ströme
84
Um die Magnetische Kraft zu berechnen gehen wir in zwei Schritten vor:
1. Wir zeigen, dass elektrostatische Gesetze auch in bewegten Bezugssystemen
gelten.
2. Wir berechnen mit den Gesetzen der Relativitätstheorie die magnetische
Kraft.
3.7.1. Ladungsinvarianz bewegter Bezugssysteme
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 91])
Abbildung 3.26.: Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung.
Mit zwei Gedankenexperimenten soll geklärt werden, ob die Ladung von der Geschwindigkeit abhängt. Zuerst schliessen wir eine grosse Menge H2 -Gas in den
metallischen Tank ein, entladen ihn, und lassen das Gas ausströmen. Die Ladung
des leeren Tanks ist unmessbar klein. Daraus schliesst man:
qElektron = −qP roton
(3.7.1)
mit einer Genauigkeit von |qElektron | /N = 10−20 qElektron .
Dies folgt aus dem Gaussschen Gesetz Gleichung (2.3.3)
"
1
E · da = 0 ± a |qElektron | = [N Q(H2 ) + q]
ε0
(3.7.2)
A
wobei q eine eventuell vor dem Ausströmen vorhandene Ladung, Q(H2 ) die Ladung
eines Wasserstoffmoleküls und N die Anzahl der eingeschlossenen Wasserstoffmoleküle ist. a ist die Ungenauigkeit der Ladungsmessung. Aus der Tatsache, dass der
Metallbehälter nach dem Ausströmen im Rahmen der Messgenauigkeit ungeladen
ist, folgt, dass das H2 -Molekül ungeladen ist.
Der Versuch wird mit He-Gas wiederholt. Das Resultat ist das gleiche. Nun bewegen sich aber die zwei Protonen im He-Atom mit sehr grosser Geschwindigkeit. Das
bedeutet, dass die Ladung des Protons unabhängig von der Geschwindigkeit ist.
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3.7 Die magnetische Kraft
Die Ladung muss insbesondere in jedem Inertialsystem gleich sein. Wir betrachten
zwei Inertialsysteme S und S 05
"
"
E · da =
E 0 · da0
(3.7.3)
A0 (t)
A(t)
Diese Gleichung drückt die relativistische Ladungsinvarianz aus. Die Ladungsinvarianz ist nicht gleich der Ladungserhaltung. So ist zum Beispiel die Energie
erhalten, zwischen zwei Inertialsystemen aber nicht invariant (m0 c2 , m(v)c2 ).
3.7.2. Relativistische Berechnung
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 94])
Abbildung 3.27.: Berechnung der magnetischen Kraft. Links: im Bezugssystem
S und rechts:im Bezugssystem S 0 , in dem q in Ruhe ist. Beachte: wir wissen zwar nicht, wie gross der Strom I gemessen im
Bezugssystem S im Bezugssystem S 0 ist. Die Ladung ist jedoch
invariant.
Den Strom I modellieren wir mit zwei Ketten aus Ladungsträgern, je eine positiv
und negativ geladen. Ihre Linienladungsdichten λ sollen so sein, dass die beiden
Ketten neutral sind. Im Ruhesystem S + der positiven Ladungen ist
λ0 =
Q
L0
(3.7.4)
Im Inertialsystem S ist wegen der Ladungsinvarianz
λ=
Q
L
(3.7.5)
Wegen der Längenkontraktion gilt
L0
L=
= L0
γ0
s
1−
v02
c2
(3.7.6)
Zusammengenommen erhalten wir
5
Die Inertialsysteme bewegen sich gegeneinander mit konstanter Geschwindigkeit!
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Elektrische Ströme
86
λ0 =
λ
γ0
(3.7.7)
Die gleiche Beziehung kann für die negativen Ladungen abgeleitet werden. Das
heisst, wenn in S die Linienladungsdichten der positiven und negativen Ladungen
gleich sind, dann auch in den jeweiligen Ruhesystemen. In den Ruhesystemen ist
die Linienladungsdichte geringer als in bewegten Bezugssystemen. Da die beiden
bewegten Ladungsketten die gleiche Linienladungsdichte im System S haben, ist
E = 0.
Im Ruhesystem S 0 , in dem das Teilchen mit der Ladung q in Ruhe ist, sieht die Situation anders aus. Die Geschwindigkeit der positiven und der negativen Ladungsketten ist unterschiedlich. deshalb sind sie zusammen nicht mehr elektrisch neutral.
Auf die Ladung q wirkt eine elektrostatische Kraft. Da die Relativgeschwindigkeit
der positiven Ladungen zu q kleiner ist als die der negativen Ladungen, liegen in S 0
die positiven Ladungen weniger dicht als die negativen6 . Die beiden Ladungsketten
sind insgesamt negativ geladen. Deshalb wird q angezogen, wenn q > 0 ist. Das
E 0 -Feld in die z 0 -Richtung erzeugt in S 0 die Kraft
Fz0 = q · E 0
(3.7.8)
Das E-Feld hängt vom Bezugssystem ab, ist also nicht relativistisch
invariant!
Das elektrische Feld einer Linienladung im Abstand r ist
E(r) =
λ
2πε0 · r
(3.7.9)
0
0
in S 0 .
und v−
Um das elektrische Feld E 0 berechnen wir die Geschwindigkeiten v+
v − v0
v0
1 − v·
c2
v + v0
=
v0
1 + v·
c2
0
v+
=
0
v−
(3.7.10)
Mit den üblichen Abkürzungen
β ≡
v
c
γ ≡
1
√
1 − β2
(3.7.11)
bekommen wir
β − β0
1 − β0 β
β + β0
=
1 + β0 β
β+0 =
β−0
6
In S sind die Ladungsdichten der positiven und negativen Ladungen gleich.
86
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(3.7.12)
87
3.7 Die magnetische Kraft
0
0
Mit γ+0 ≡ γ(v+
) und γ−0 ≡ γ(v−
) und mit λ0 = λ0+ /γ+0 erhalten wir aus λ0 =
(i ∈ {+, −}
λ
γ0
λ
= γ−0
γ0
λ0+ = γ+0
λ0−
λ
γ0
=
λ0i
γi0
(3.7.13)
Die Netto-Linienladung in S 0 ist dann
λ 0
γ+ − γ−0
γ0
λ0 = λ0+ − λ0− =
(3.7.14)
Weiter erhalten wir
1
γ+0 − γ−0 =
q
=
r
1 − β+2
1
1−
− q
β−β0
1−β0 β
1
(3.7.15)
1 − β−2
2
1
− r
1−
β+β0 2
1+β0 β
1 − β0 β
=
q
=
q
1 + β0 β
− q
(1 − β02 ) (1 − β 2 )
(1 − β02 ) (1 − β 2 )
−2β0 β
(1 − β02 ) (1 − β 2 )
= −2β0 βγ0 γ
Also ist
−2λvv0
γ
(3.7.16)
c2
Betrachten wir am Ort der Ladung q das von der Linienladung λ0 hervorgerufene
Feld Er0 . Für positives λ0 zeigt dieses in die −z 0 -Richtung. Also ist das elektrische
Feld
λ0 = −2λββ0 γ =
Er0
λ0
= −
2πε0 r
2λv0 vγ(v) 1
=
·
2πε0 c2
r
(3.7.17)
Die Kraft im Ruhesystem S 0 des Teilchens ist also
Fz0 = q · Er0 =
2qλv0 vγ(v) 1
·
2πε0 c2
r
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(3.7.18)
87
Elektrische Ströme
88
Wir verwenden die Lorentztransformation der Impulse pi und der Energie E
p0x = px
(3.7.19)
p0y = γ(v) py − v
E
c2
!
p0z = pz
E0 = γ(v) (E − v · py )
Der Vierervektor px , py , pz , cE2 transformiert sich wie der Vierervektor (x, y, z, ct).
Die Kraft transformiert sich also wie
Fz0 =
dp0z
dpz
= γ(v)Fz
= √
0
dt
1 − β 2 · dt
(3.7.20)
Der Strom in S ist
I = 2λv0
(3.7.21)
Damit bekommen wir
Fz (r) =
q·v·I 1
·
2πε0 · c2 r
(3.7.22)
Multipliziert man Gleichung (3.7.22) mit der Dichte der Ladungsträger n (Einheit
[n] = 1/m), so erhält man die zu I2 proportionale Kraft pro Länge F(r).
F(r) = n · Fz (r) =
I2 · I
1
n·q·v·I 1
· =
·
2
2
2πε0 · c
r
2πε0 · c
r
(3.7.23)
Aus F(r) bekommt man die Kraft auf ein Leiterstück der Länge `
F (r, I, I2 , `) = ` · F(r) = n · ` · Fz (r) =
n·`·q·v·I 1
I2 · I · ` 1
· =
·
2
2πε0 · c
r
2πε0 · c2 r
(3.7.24)
Die magnetische Kraft Fm im Laborsystem S ist die relativistisch
transformierte elektrostatische Kraft auf die Ladung q in deren Ruhesystem S 0 . Die magnetische Kraft kann als relativistische Effekt der
elektrostatischen Kraft in einem bewegten Bezugssystem verstanden
werden.
3.7.3. Magnetisches Feld
In der Gleichung (3.7.24) können wir die Terme so sortieren, dass ein Leiter als Ursache eines Feldes und der Rest als Wirkung dasteht, analog wie beim elektrischen
Feld.
88
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89
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
1
I2 · I · ` 1
2` I I2
F (r, I, I2 , `) =
· =
·
2
2
2πε0 · c
r
4πε0 · c
r
I
µ0 2` I I2
·
= µ0
(` I2 ) = µ0 H(r) (` I2 )
=
4π
r
2πr
(3.7.25)
Wir haben den Vorfaktor zur Permeabilität des Vakuums zusammengefasst mit
µ0 =
1
ε 0 c2
[µ0 ] = N A−2
(3.7.26)
Der Zahlenwert der Permeabilität des Vakuums ist im SI-System zur Definition
des Ampères vorgegeben
µ0 = 4π · 10−7 N A−2
(3.7.27)
Die Funktion
I
[H(r)] = A m−1
(3.7.28)
2πr
ist das magnetische Feld. Es hat für den Magnetismus die gleiche Funktion wie
das elektrische Feld.
H(r) =
3.8. Eigenschaften des magnetischen Feldes
3.8.1. Eigenschaften der magnetischen Induktion B
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 98])
Versuch zur Vorlesung:
Fadenstrahlrohr (Versuchskarte EM-11)
Um nicht immer die Lorentz-Transformation ausrechnen zu müssen , führen wir die
magnetische Feldstärke oder die magnetische Induktion B ein. Ein magnetisches
Feld lenkt Elektronen ab. Wie wir schon früher gesehen haben, ist eine Bewegung
der Ladungsträger für die magnetische Kraft notwendig. Wird das Magnetfeld der
Helmholtzspulen so gedreht, dass es parallel zur Bewegungsrichtung der Elektronen
liegt, verschwindet die Magnetkraft. Das folgende Kraftgesetz
FL = q·v × B
(3.8.1)
beschreibt die magnetischen Kräfte auf Elektronen. Die Kraft F L heisst LorentzKraft.
Durch den Vergleich von Gleichung (3.8.1) und Gleichung (3.7.22) kann man für
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Elektrische Ströme
90
die magnetische Feldstärke einer linienförmigen Stromverteilung schreiben
B(r) =
I
1
·
2
2πε0 c
r
Die Induktionskonstante
µ0 =
1
ε 0 c2
(3.8.2)
(3.8.3)
ermöglicht es Gleichung (3.8.2) kompakter zu schreiben
B(r) =
µ0 I
·
2π r
(3.8.4)
Abbildung 3.28.: Lage der magnetischen Induktion zum Strom und zur Geschwindigkeit der Ladung.
Die magnetische Induktion B bildet eine Rechtsschraube um den
Strom I (Daumen in Stromrichtung, Finger zeigen in die Richtung
der magnetischen Induktion).
Versuch zur Vorlesung:
Magnetische Feldlinien (Versuchskarte EM-50)
Die magnetische Induktion eines geraden, unendlich ausgedehnten
Stromes bildet Feldlinien, die kreisförmig in einer Ebene senkrecht
zum Strom liegen. Der Mittelpunkt der kreisförmigen Feldlinien ist
der Strom.
Die Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern kann neu berechnet werden.
Mit
F L = q2 · v 2 × B 1 (r)
(3.8.5)
90
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3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
wobei q2 eine Ladung im Leiter 2 ist, und mit n2 der Ladungsträgerdichte im
Leiter 2, ` die betrachtete Länge, A2 der Querschnitt des Leiters und hv2 i = |v 2 |,
bekommt man
FM = q2 · hv2 i · B1 (r) · n2 · ` · A2
(3.8.6)
Der Strom im Leiter 2 ist nun aber
I2 = hv2 i · q2 · n2 · A2
(3.8.7)
FM = I2 · B1 (r) · `
(3.8.8)
Damit ist
Wenn wir Gleichung (3.8.4) einsetzen, bekommen wir
FM =
µ0 2` · I1 · I2
4π
r
(3.8.9)
Diese Gleichung wird zur Definition der Einheit der magnetischen Induktion im
SI-System verwendet.
µ0
N
= 10−7 2
4π
A
(3.8.10)
Die Einheit der magnetischen Induktion ist
[B] = Tesla = T =
Ns
N
Vs
=
= 2
Cm
Am
m
(3.8.11)
Manchmal wird die magnetische Induktion auch als magnetische Flussdichte bezeichnet.
Die magnetische Induktion wurde so definiert, dass in Gleichung (3.8.9) alle Faktoren bis auf den Strom I2 und die Länge ` durch B(r) symbolisiert werden. Diese
Wahl ist willkürlich. Wir hätten genau so gut ein Feld durch
H(r) =
I
2π r
(3.8.12)
definieren können. H heisst magnetisches Feld oder magnetische Feldstärke. Das
magnetische Feld hat die Einheit
[H] =
A
m
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Elektrische Ströme
92
Das magnetische Feld H ist unabhängig von der Materie die den
betrachteten Raum erfüllt. Die magnetische Induktion B hängt vom
den Raum füllenden Material ab.
elektrisches Feld E ⇔ dielektrische Verschiebung D = εε0 E
magnetisches Feld H ⇔ magnetische Induktion B = µµ0 H
• Die gesamte Kraft einer bewegten Ladung q in einer beliebigen Ladungs- und
Stromverteilung ist
F = q·E + q·v × B
(3.8.13)
Dies ist das Kraftgesetz der Elektrodynamik
• Das magnetische Feld ist kein fundamentales Feld, sondern eine relativistische Korrektur zu dem elektrostatischen Feld.
3.8.2. Das Biot-Savart-Gesetz
Die Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter in einem beliebigen Magnetfeld
kann mit dem Gesetz von Biot-Savart berechnet werden.
Abbildung 3.29.: Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement.
Der Betrag des Vektors dF , der senkrecht auf d` und senkrecht auf dB steht, ist
dF = q · hvi · sin φ · B · n · d` · A
92
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(3.8.14)
93
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
wobei n die Dichte der Ladungsträger und φ der Winkel zwischen B und d` ist.
Mit der Stromdichte i = n · hvi · q erhalten wir
dF = i · A · d` · sin φ · B = I · d` · sin φ · B
(3.8.15)
Die vektorielle Schreibweise der Biot-Savart-Kraft ist demnach
dF = I · d` × B
(3.8.16)
3.8.2.1. Kraft auf eine beliebig geformte geschlossene Leiterschlaufe in
einem homogenen Magnetfeld
1. Die Kraft für eine beliebig geformte geschlossene Leiterschleife s in einem
homogenen Magnetfeld ist
F =
I
s
dF =
I
I · d` × B = I ·

I


d` × B 
(3.8.17)
s
s
Das Linienintegral im homogenen B-Feld kann wie folgt berechnet werden:
Ansicht von der Seite
Ansicht von oben
s
P
P
Abbildung 3.30.: Kräfte auf eine Leiterschlaufe im homogenen B-Feld
Vom Linienelement d` aus Gleichung (3.8.17) trägt nur die Komponente d`⊥
senkrecht zu B zum Integral bei (wegen dem Kreuzprodukt in der Gleichung). Abbildung 3.30 zeigt auf der rechten Seite die Leiterschlaufe projiziert auf die Ebene senkrecht zu B.
Also kann Gleichung (3.8.17) umgeschrieben werden:
F =
I
dF = I
s
I
d`⊥ × B
(3.8.18)
s
d`⊥ über s summiert oder integriert ergibt null, da damit eine geschlossene
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Elektrische Ströme
94
Kurve beschrieben wird, bei der anfangs- und Endpunkt übereinstimmen,
also durch einen Vektor der Länge Null verbunden sind.
dF steht immer senkrecht auf d`⊥ (wieder wegen dem Kreuzprodukt). Die
Länge von dF ist um den konstanten Faktor I · |B| gegenüber d`⊥ geändert.
Damit beschreibt dF einen geometrisch ähnlichen geschlossenen Weg, um
π/2 gedreht und gedehnt. Damit ist für eine geschlossene Leiterschlaufe im
homogenen magnetischen Feld
F =
I
dF = 0.
(3.8.19)
s
2. Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe in einem homogenen Magnetfeld
kann durch summieren der Kraftanteile auf die vier Segmente berechnet werden.
Link zur Vorlesung:(Elektromotor)
Versuch zur Vorlesung:
Lorentz-Kraft (Versuchskarte EM046)
Abbildung 3.31.: Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld
Wir betrachten dazu die rechteckige Leiterschlaufe aus Abbildung 3.31. Bezüglich 0 ist die Situation symmetrisch. Die in der Zeichnung vertikalen
Leiterelemente liefern kollineare sich aufhebende Kräfte. Die horizontalen
Segmente ergeben das infinitesimale Drehmoment
dT = (r 1 + r 3 ) × dF 1 + (r 1 + r 4 ) × dF 1
+ (r 2 + r 3 ) × dF 2 + (r 2 + r 4 ) × dF 2
= 2 · r 1 × dF 1 + 2 · r 2 × dF 2
(3.8.20)
In Gleichung (3.8.20) enthält das Differential die Beiträge der oberen linken
Seite plus die Beiträge der oberen rechten Seite plus die Beiträge der un-
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3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
teren linken Seite plus die Beiträge der unteren rechten Seite. Das gesamte
Drehmoment bekommt man, indem man über die halbe Seite a integriert.
T =
Za/2
dT =
0
Za/2
(2 · r 1 × dF 1 + 2 · r 2 × dF 2 )
(3.8.21)
0
=
Za/2
0
Za/2
dF 1
dF 2
2 · r1 ×
ds + 2 · r 2 ×
ds
ds
ds
0
Wenn F 1 die Kraft auf die ganze obere Seite ist (und F 2 entsprechend für
die untere Seite), ist
Za/2
a/2
0
0
Z
dF 1
F1
dF 1
ds = 2 · r 1 ×
ds = 2 · r 1 ×
= r 1 × F 1 (3.8.22)
2 · r1 ×
ds
ds
2
Damit ist
T = r1 × F 1 + r2 × F 2 = 2 · r1 × F 1
(3.8.23)
Das Drehmoment M liegt in der Ebene der Leiterschlaufe. Wenn φ der
Winkel zwischen der Normalen auf die Ebene der Leiterschlaufe und B ist,
gilt mit F1 = a · I · B:
b
M = 2 sin φ · F1 = a · b · I · sin φ · B
2
(3.8.24)
Wir definieren das magnetische Moment m so, dass es senkrecht auf die
Ebene der Leiterschlaufe steht und dass |m| = Fläche · Strom = a · b · I
ist. Damit ist
M =m×B
(3.8.25)
Die Einheit des magnetischen Momentes ist
[m] = A m2
Das Drehmoment auf eine Leiterschlaufe im homogenen Magnetfeld wird in
Drehspulinstrumenten, in Motoren oder bei der Sichtbarmachung von Magnetfeldern mit Eisenfeilspänen verwendet.
Bei einer beliebigen Leiterschlaufe kann das magnetische Moment berechnet
werden, indem diese aus Einzelteilen zusammengesetzt wird.
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Elektrische Ströme
I
96
I
I
I
I
I
I
I
I I
I
I
I I
I
I
II
I I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
Abbildung 3.32.: Links ist ein infinitesimales magnetisches Moment aufgezeichnet. Rechts daneben ein quadratisches infinitesimales Moment.
Da alle vom gleichen Strom I umrundet werden, und im gleichen
Drehsinn, kann eine endliche Fläche aus den infinitesimalen Flächen zusammengesetzt werden. Daraus folgt die Vorschrift zur
Berechnung von m.
Die Ströme im Inneren heben sich dabei jeweils auf (Siehe auch Abbildung
3.32). Aus der differentiellen Gleichung
dm = I da
(3.8.26)
erhält man deshalb
"
m=
"
I da = I
A(s)
da
(3.8.27)
A(s)
3. Die potentielle Energie Epot einer um den Winkel φ gegenüber dem Magnetfeld verdrehten stromdurchflossenen Leiterschlaufe wird berechnet, indem
man von φ = 0 ausgeht und die Schlaufe langsam zum Winkel φ dreht. Die
Arbeit, um von φ0 nach φ0 + dφ0 zu drehen ist
dEpot = 2 · F1 sin φ0 ·
b
· dφ0 = a · b · I · B · sin φ0 · dφ0
2
(3.8.28)
Damit erhalten wir
Epot (φ) = a · b · I · B ·
Zφ
sin φ0 · dφ0 = −a · b · I · B · (cos φ − 1)
0
(3.8.29)
Wenn wir Epot (φ = π/2) = 0 wählen haben wir
Epot = −m · B
(3.8.30)
Ein weiteres Beispiel einer Kraftwirkung auf Ladungen ist das Barlowsche Rad.
Versuch zur Vorlesung:
Barlowsches Rad (Versuchskarte EM004)
96
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97
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
3.8.3. Das Ampèresche Durchflutungsgesetz
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 104])
Beim unendlich ausgedehnten geraden Leiter war das durch einen Strom I erzeugte
µ0
I charakMagnetfeld durch kreisförmige Magnetfeldlinien mit der Stärke B = 2πr
terisiert, wobei das B-Feld tangential zu den Kreisen liegt. Das Linienintegral
entlang der Feldlinien, also entlang des Kreises S, ergibt
µ0 I I r
dφ = µ0 I
B · ds =
2π s r
I
s
(3.8.31)
Dieses Linienintegral ist unabhängig von r. Die Behauptung ist, das die obige Gleichung, ein einfacher Fall des Ampèreschen Durchflutungsgesetzes, allgemeingültig
ist.
Ampèresches Durchflutungsgesetz
I
"
i · da
B · ds = µ0
s
(3.8.32)
A(s)
Der Beweis geht in mehreren Schritten:
Eine beliebige Kurve s0 um einen geraden Leiter
ds0 ist die Projektion des Weglängenelementes ds auf der Kurve s auf die in
der xy-Ebene liegende Projektion der Kurve s0 . Es ist
B · ds = B · ds0 = B(r) · cos αds0 = B(r) · r · dφ
da B(r) keine Komponente in die z-Richtung hat. Es ist
B · ds =
und damit
I
s0
µ0
I · dφ
2π
2π
µ0 I Z
B · ds =
dφ = µ0 I
2π
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0
97
Elektrische Ströme
98
Eine beliebige Kurve s00 , die den Leiter nicht umschliesst Es ist
I
B · ds =
s00
ZB
B · ds +
A
ZA
B
B
A
µ0 I Z
µ0 I Z
B · ds =
dφ +
dφ
2π
2π
A
B
µ0 I
µ0 I
(φB − φA ) +
(φA − φB ) = 0
2π
2π
Das bedeutet, dass Ströme durch Leiter, die nicht vom Integrationsweg s00
umschlossen werden, keinen Beitrag zum Integral geben.
=
Eine beliebige Kurve s um eine beliebige Stromverteilung Wir betrachten
viele Ströme Ik , die von der Integrationskurve s umschlossen werden. Wegen
der Linearität des Problems gilt
I
B · ds = µ0
X
Ik
k
S
wobei diejenigen Ströme, die mit dem Umlaufsinn von s eine Rechtsschraube
bilden, positiv zu zählen sind.
Eine kontinuierliche Stromverteilung Hier wird die Summe durch ein Integral
ersetzt:
"
I
B · ds = µ0
i · da
s
A(s)
3.8.3.1. Zylindrischer Leiter mit homogenem Strom
Ein zylindrischer Leiter mit dem Radius R soll homogen vom Strom I durchflossen
werden. Die Stromdichte i und der Strom I stehen dann betragsmässig wie
I = i πR2
beziehungsweise I(r) = i πr2
für r ≤ R
in Beziehung. Aus Symmetriegründen sind die Magnetfeldlinien konzentrische Kreise um den Leiter. Wir betrachten einen zum Strom konzentrischen Integrationsweg
s. Ausserhalb des Leiters (r > R) haben wir
"
"
I
B(r) · ds = 2πr · B(r) = µ0
i · da = µ0
i · da = µ0 · I
s
πR2 (Querschnitt)
A(s)
und daraus
B(r) =
µ0 I
2πr
Innerhalb des Leiters (r ≤ R) gilt
"
I
r2
I
2
2
B(r) · ds = 2πr · B(r) = µ0
i · da = µ0 · i · πr = µ0 ·
· πr = µ0 I 2
πR2
R
s
A(s)
98
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99
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
und damit
B(r) =
µ0 I r
2π R2
B−Feld senkrecht zu einem Linienstrom
2.5
2
innen
B(r)
1.5
1
0.5
aussen
0
0
R
5
10
r
15
20
Abbildung 3.33.: Tangentiales Magnetfeld eines ausgedehnten, unendlich langen
Linienstromes.
Mit dem Stokeschen Satz (Gleichung (C.11.1)) kann man die Integralform des
Ampèreschen Gesetzes umschreiben
"
"
I
B · ds =
rot B · da = µ0
i · da
(3.8.33)
S
A(S)
A(S)
Da diese Gleichungen für alle Integrationsflächen A(S) gelten müssen, muss auch
die differentielle Form des Ampèreschen Gesetzes gelten
rot B = µ0 i
(3.8.34)
Beispiel: homogene Stromverteilung in einem unendlich ausgedehnten Leiter
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99
Elektrische Ströme
100
Abbildung 3.34.: Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung in einer dünnen
Platte. Links: die Geometrie zur Berechnung, Mitte: das Magnetfeld eines homogenen Stromflusses und Rechts: das Magnetfeld zweier antiparallel von Strom durchflossener Platten.
Wir definieren eine lineare Stromdichte
I(∆y)
∆y→0 ∆y
j = lim
([j] = A/m). In unserem Falle hängt j und i über
i(x, y, z) = j(y, z)δ(x)
zusammen. Das Stromfeld können wir uns als Parallelschaltung vieler linearer Leiter vorstellen. Aus dem Superpositionsprinzip folgt, dass in der z-Richtung
Bz ≡ 0
(3.8.35)
Das resultierende Feld dieser Superposition muss in der xy-Ebene liegen. Auf den
beiden Seiten senkrecht zur Platte finden sich immer zwei Stromfäden, die die
x-Komponente kompensieren. Wenn wir später das Ampèresche Gesetz auf diese
beiden Seiten anwenden, gibt es keine Komponente von B parallel zur Seite: dieser
Teil des Linienintegrals ist null.
Wir betrachten weiter die Komponenten Bx (x) und By (x) des Feldes B im Abstand
x von der Platte. Wir werden zwei Symmetrieoperationen an:
• Wir drehen die Platte um π um die z-Achse. Die neue Situation (Ströme) ist
identisch mit der Ursprungssituation. Deshalb muss
B(x) = −B(−x)
und damit
Bx (x) = −Bx (−x) und By (x) = −By (−x)
sein.
• Wir drehen die Platte um π um die y-Achse und drehen gleichzeitig die
Flussrichtung des Stromes um j → −j. Die Situation am Ende ist ununterscheidbar von der am Anfang. Also gilt auch
Bx (−x) = Bx (x) und By (−x) = −By (x)
100
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101
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
.
Mit den beiden Symmetrieüberlegungen folgt:
Bx (x) ≡ 0
(3.8.36)
Um B y zu bestimmen, nehmen wir an, dass unser Integrationspfad S symmetrisch
bezüglich der Platte ist. Das Ampèresche Gesetz sagt
"
I
Z
B · ds = 2By (x) · b + 2 · 0 = µ0
i · da = µ0 jdy = µ0 · j · b
s
A(s)
Das Resultat ist unabhängig von x und homogen im Raum. Die Magnetfeldlinien
sind parallel zur Platte und links und rechts antiparallel (siehe Abbildung 3.34,
Mitte).
µ0
By =
j
(3.8.37)
2
Bei zwei antiparallel von Strom durchflossenen Platten ist das Magnetfeld auf den
Raum zwischen den Platten beschränkt.
B = µ0 j
Die beiden Gleichungen sind einheitenmässig korrekt, da [j] =
(3.8.38)
h i
I
r
= A/m ist.
Anwendungsbeispiele: Streifenleiter, Koaxialkabel, Modell für eine Spule
3.8.4. Quellenfreiheit
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 111])
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass das Magnetfeld quellenfrei ist.
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101
Elektrische Ströme
Abbildung 3.35.:
102
Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des
Magnetfeldes
Da überall auf der Integrationsfläche A gilt: B · da = 0, ist
"
B · da = 0
(3.8.39)
A
Wir verallgemeinern das Resultat, indem wir einen Zylinder mit beliebiger Grundund Deckfläche nehmen. Auf der Grund und Deckfläche gilt das vorherige Argument, so dass
"
"
B · da =
B · da
A
M antel
ist.
102
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103
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
Abbildung 3.36.: Integration über die Mantelfläche.
An der Mantelfläche gilt mit da = h · ds
π
h · ds = −B(r) sin (α) h · ds
B · da = B(r) cos α +
2
= −B(r) · dr · h = −B(r) ·
dr
dφ · h = −B(r) · r0 (φ) · dφ · h
dφ
und damit
"
M antel
2π
2π
µ0 Ih Z r0 (φ)
µ0 Ih
B · da = −
dφ = −
ln (r(φ)) = 0
2π
r(φ)
2π
0
0
Damit gilt auch für allgemeine Zylinderflächen
"
B · da = 0
(3.8.40)
A
Mit diesem Resultat zeigt man, dass dieses Integral für beliebige Flächen um einen
Leiter null ist. Schliesslich zeigt man, dass das Resultat auch für beliebige Stromverteilungen gilt. Mit dem Gaussschen Satz (Gleichung (C.9.1)) zeigt man
Quellenfreiheit des Magnetfeldes
"
$
0=
B · da =
div B dV
A
(3.8.41)
V (A)
oder in differentieller Form
div B = 0
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(3.8.42)
103
Elektrische Ströme
104
Die Quellenfreiheit des magnetischen Feldes bedeutet, dass es keine magnetischen
Ladungen gibt und dass die Feldlinien im Endlichen geschlossen sind.
3.8.5. Das B-Feld einer beliebigen Stromverteilung: das
Vektorpotential A
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 114])
Versuch zur Vorlesung:
Magnetfeld von Leitern (Versuchskarte Em021)
In diesem Abschnitt wollen wir die Frage lösen: wie konstruiere ich eine magnetische Induktion B möglichst bequem? Das Rezept stammt aus der Elektrizitätslehre (Siehe Abschnitt 2.5). Dort wurde gezeigt, dass aus einem beliebigen Potential
U (r) durch
E(r) = − grad U (r)
eindeutig ein elektrisches Feld E(r) konstruiert werden kann, das dem Gesetz der
Elektrostatik
rot E(r) = 0
genügt. Grundlage war die Vektoridentität
rot ( grad U(r)) ≡ 0
die für beliebige Funktionen U(r) gilt (siehe Gleichung (C.8.29)). Es gibt unter den
Rechenregeln für Vektorableitungen (siehe Abschnitt C.8.4) eine weiter Identität
mit dem Nullvektor, nämlich Gleichung (C.8.30).
div ( rot F) = 0
∀F
Jedes Magnetfeld muss das Ampèresche Gesetz rot B = µ0 i und die Quellenfreiheit div B = 0 erfüllen. Analog zur Poissongleichung Gleichung (2.6.4) soll
auch für das Magnetfeld eine Potentialgleichung gelten. Wir müssen also nach
Gleichung (C.8.30) ein beliebiges Vektorfeld A wählen und die magnetische Induktion B gleich der Rotation von A setzten: dann ist die Divergenzfreiheit von
B gewährleistet. Mit dem Vektorpotential A
B (x, y, z) = rot A (x, y, z)
(3.8.43)
werden beide Gleichungen erfüllt. Wegen der Vektoridentität
div ( rot A) = 0
(3.8.44)
ist die Quellenfreiheit bei beliebiger Wahl von A garantiert. Mit der zweiten Vektoridentität rot ( rot A) = grad ( div A) − ∆A bekommen wir aus dem Ampèreschen Gesetz
∆A − grad ( div A) = −µ0 i
(3.8.45)
104
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105
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
Die Einheit des Vektorpotentials ist
[A] =
N
Vs
=
m
A
Das Vektorpotential A kann immer so gewählt werden, dass div A = 0 gilt.
Das Vektorpotential ist nicht eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, dass ein Vektorpotential mit div A = f , 0 existiert. Dann existiert auch ein Vektorfeld
V = grad φ mit
div V
rot V
= f
= 0
(3.8.46)
mit einer eindeutigen Lösung, denn die obigen Gleichungen sind formal äquivalent
zur Elektrostatik. Wir definieren ein Vektorpotential
A0 = A − V
Wegen Gleichung (3.8.47) gilt dann
rot A0 = rot A − rot V = rot A
Dies bedeutet, dass das neue Vektorpotential das gleiche B-Feld erzeugt wie das
ursprüngliche. Wegen Gleichung (3.8.47) gilt auch
div A0 = div A − div V = f − f = 0
Zu jedem Vektorpotential A kann ein Vektorpotential A0 gefunden
werden, so dass div A0 = 0 ist.
Diese Eichung heisst Coulombeichung.
Das zu einer realen physikalischen Situation gehörende Vektorpotential A ist nicht eindeutig bestimmt. Die Wahl eines der zur gleichen
Lösung von B gehörenden Potentiale nennt man Eichung.
In der Relativitätstheorie und in der Quantenmechanik rechnet man
bevorzugt mit dem Vektorpotential.
Da div A = f eine beliebige zahlenwertige Funktion sein kann, kann diese zum
Beispiel auch die zeitliche Ableitung des elektrischen Potentials sein, also auch
1 ∂ϕ
(3.8.47)
c2 ∂t
sein. Diese Lorentzeichung ist relativistisch invariant und wird deshalb gerne in
der Relativitätstheorie und der Quantenfeldtheorie verwendet.
div A = −
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105
Elektrische Ströme
106
Aus der Gleichung für das Vektorpotential einer Stromverteilung
∆A (x, y, z) = −µ0 i (x, y, z)
(3.8.48)
kann man die Umkehrfunktion berechnen und erhält, analog zur Elektrostatik,
$
µ0
i (r 0 )
A (r) =
dV 0
(3.8.49)
0
4π
|r − r |
Aus der Beziehung rot A = B (Siehe Landau und Lifschitz, Klassische Feldtheorie
[LL89, pp. 121]) bekommen wir
$
$
µ0
µ0
i (r 0 )
i (r 0 )
0
B(r) = rot
dV
=
rot
dV 0
(3.8.50)
4π
|r − r 0 |
4π
|r − r 0 |
Nun bezieht sich die Rotation nur auf r, nicht aber auf r 0 . Deshalb kann sie unter
das Integral gezogen werden.
µ0
B(r) =
4π
$
i (r 0 )
dV 0
rot
|r − r 0 |
!
(3.8.51)
Nun gilt für die Rotation eines Produktes (Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 468])
rot U B = U rot B + grad U × B
Hier ist der Vektor i(r 0 ) bezüglich der Rotation eine Konstante, da er nur von
r 0 und nicht von r abhängt. Weiter darf die Ableitung irgend eines Punktes nicht
davon abhängen dass das Koordinatensystem um einen konstanten Vektor verschoben wurde. Wir rechnen deshalb die Ableitungen in der Rotation, beziehungsweise
im Gradienten, nicht bezüglich r sondern bezüglich des verschobenen Koordinatensystems ρ = r − r 0 aus. Es bleibt also
B(r) =
=
=
=
!
$
1
µ0
0
grad
× i (r ) dV 0
0
4π
|r − r |
!
$
µ0
1
0
grad
× i (r ) dV 0
4π
|ρ|
!
!
$
µ0
ρ
0
−
× i (r ) dV 0
4π
|ρ|
$
µ0
i (ρ) × ρ
dVρ
4π
|ρ|3
µ0
=
4π
$
i (r 0 ) × ρ 0
dV
|ρ|3
(3.8.52)
Die letzte Zeile ergibt sich, da für die Zwecke der Integration r eine Konstante ist.
Auch hier muss das Resultat der Integration unabhängig davon sein, dass wir das
Koordinatensystem verschoben oder das Vorzeichen geändert haben. Deshalb darf
man i(r 0 ) = i(r − r 0 ) = i(ρ) setzen.
Wir betrachten nun einen infinitesimal dünnen Strom dI eDraht (r 0 ) = i = I d`.
eDraht ist ein Einheitsvektor entlang des Drahtes. Da i überall null ist ausser auf
dem eindimensionalen Draht, wird aus dem Volumenintegral ein eindimensionales
106
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107
3.8 Eigenschaften des magnetischen Feldes
Integral. Wieder ist es für die Integration egal, ob wir i von r 0 oder von ρ abhängen
lassen.
µ0 I I
B(r) =
4π
Leiter
d` × ρ
ρ3
(3.8.53)
Diese Gleichung ist bekannt als das Gesetz von Biot-Savart. Mit ihm kann man
das Feld einer beliebigen Leiteranordnung berechnen.
Auch wenn sie physikalisch keine Bedeutung hat, kann es sinnvoll sein in Zwischenschritten die differentielle Formulierung zu verwenden, nämlich die Formel
von Laplace.
µ0 I d` × ρ
·
(3.8.54)
dB =
4π
ρ3
Achtung: nur die integrale Form hat eine physikalische Bedeutung!
Beispiel:
Wir hatten in Abbildung 3.34 gesehen, dass ein homogener Strom in die +zRichtung homogene magnetische Induktionen links und rechts erzeugt. Die Magnetfelder haben die Form
(
By (x, y, z) =
−B0 , wenn x < 0;
B0 ,
wenn x > 0.
(3.8.55)
Für x = 0 ist By nicht definiert.
10
y
5
0
−5
−10
−10
−5
0
x
5
10
Abbildung 3.37.: Darstellung von B in einer (x = const)-Ebene. Die StromEbene liegt bei x = 0.
Das zu Gleichung (3.8.55) gehörige Vektorpotential ist
Ax (x, y, z) = 0
Ay (x, y, z) = 0
(
Az (x, y, z) =
B0 x, für x < 0;
−B0 x, für x > 0.
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(3.8.56)
107
Elektrische Ströme
108
Wieder ist A für x = 0 nicht definiert. Aus B = rot A bekommt man
∂Az ∂Ay
−
∂y
∂z
∂Ax ∂Az
−
By =
∂z
∂x
∂Ay ∂Ax
Bz =
−
∂x
∂y
Bx =
=0
(
=
−B0 , für x < 0;
B0 ,
für x > 0.
=0
(3.8.57)
0
−2
Az
−4
−6
−8
Vektorpotential
−10
−10
−5
0
5
10
x
Abbildung 3.38.: z-Komponente des Vektorpotentials einer unendlichen Stromdichte in z-Richtung in der (x = 0)-Ebene.
Beispiel:
Das Vektorpotential


A(r) =
µ0 I
2π
xz
2 +y 2 )

 (x yz
 2 2 
 (x +y ) 
0
ergibt das magnetische Feld für einen in der z-Richtung laufenden Strom I
y
− x2 +y
2

H(r) =
I 

2π
x
x2 +y 2



0
In Zylinderkoordinaten (r, θ, z) gehört zum Magnetfeld
 
0
I 1
H(r, θ, z) =
 
2π r
0
das Vektorpotential
108
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109
3.9 Hall-Effekt
z
A(r, θ, z) =
µ0 I  r 
0
2π
0
3.9. Hall-Effekt
(Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 831]) (Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98,
pp. 126])
Versuch zur Vorlesung:
Halleffekt (Versuchskarte EM023)
Abbildung 3.39.: Hall-Effekt
Wenn Elektronen mit der Geschwindigkeit v durch ein Metall in einem Magnetfeld
mit der magnetischen Induktion B fliessen (in einer Geometrie wie im obigen Bild),
werden sie von der Lorentzkraft
F L = −e · v × B
nach unten abgelenkt. Man kann sich dies klar machen, indem man annimmt, der
gesamte Metallstreifen werde mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da
der Leiter eine begrenzte Ausdehnung hat, laden sich die Grenzflächen auf. Das
elektrische Feld bewirkt eine Kraft F E = eE nach oben auf die Elektronen. Im
Gleichgewicht gilt F L + F E = 0, oder
− e · v · B = −eE
(3.9.1)
Eine Einheitsladung, die langsam von A nach B herumgeführt wird, erfährt vom
elektrischen Feld eine Arbeit h · E, so dass diese elektromotorische Kraft als Spannung am Voltmeter abgelesen werden kann. Durch Kombination mit der Gleichung
(3.9.1) bekommt man für die Hallspannung
UHall = h · v · B
(3.9.2)
Die Hallspannung für ein einzelnes Teilchen ist unabhängig vom Material. Bei vielen Ladungsträgern muss die Geschwindigkeit v durch die Driftgeschwindigkeit hvi
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109
Elektrische Ströme
110
der Ladungsträger ersetzt werden. hvi ist materialabhängig. Strom I und Driftgeschwindigkeit hvi hängen über
I = q · n · h · b · hvi
zusammen. b ist hier die Dicke des Leiters und n die Ladungsträgerdichte.
Die Hallspannung hängt dann wie
UHall =
I ·B
q·b·n
(3.9.3)
von Strom und Spannung ab. Für Elektronen (q = −e) erhalten wir dann
UHall = −
I ·B
e·b·n
Bemerkung: Die Hallspannung kann zur Bestimmung der Ladungsträgerkonzentration verwendet werden.
3.10. Die Lorentztransformation der Felder E und B
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 128])
Wir betrachten die Situation im Bild zum Halleffekt (Siehe Abschnitt 3.39), nun
aber vom Ruhesystem der Platte aus. Hier haben die Elektronen keine Geschwindigkeit: es gibt keine Lorentzkraft.
Abbildung 3.40.: Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder.
Die obige Abbildung zeigt homogene Magnetfelder und elektrische Felder. Sie werden erzeugt, indem zwei parallele Platten positiv beziehungsweise negativ geladen
sind. Wenn die Platten mit der Geschwindigkeit v 0 bewegt werden ergibt sich auch
ein Magnetfeld.
Das elektrische Feld beider Platten im Bezugssystem S ist
Ez =
110
σ
ε0
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(3.10.1)
111
3.10 Die Lorentz-Transformation der Felder E und B
wenn σ die Ladungsdichte in diesem Bezugssystem ist. Das Magnetfeld ist
Bx = µ0 · j = µ0 · σ · v0 =
v0 · σ
ε 0 · c2
(3.10.2)
Die entsprechenden Felder im Bezugssystem S 0 müssen nun berechnet werden.
Auch in S 0 sind die Platten homogen geladen. Also haben wir
σ0
ε0
(3.10.3)
v00 · σ 0
ε 0 · c2
(3.10.4)
Ez0 =
und
Bx0 =
Wir brauchen die Transformationsgesetze für σ 0 und v0
v0 − v
v0
1 − v·
c2
σ
σ0 =
γ0
σ0
σ0 = 0
γ0
v00 =
(3.10.5)
wenn σ0 das Ruhesystem der Ladungen und γ0 = 1 −
σ0 = σ ·
γ00
γ0
=
v02 −1/2
c2
ist. Wir bekommen
v
u
u 1 − v02 /c2
σt
(3.10.6)
1 − v002 /c2
und damit
σ0 =
v
u
u
σu
u
u
t1 −
1 − v02 /c2
(3.10.7)
!2
/c2
v0 −v
v · v0
1−
2
c
v0
1 − v02 /c2 1 − v ·
c2
q
= σ r
v0
1 − v·
c2
2
− (v0 − v)2 /c2
v0
1 − v02 /c2 1 − v ·
c2
q
= σ
v 2 · v02
v0
1 − 2v ·
+
− v02 /c2 − v 2 /c2 + 2vv0 /c2
2
c
c4
q
v0
1 − v02 /c2 1 − v ·
2
c
q
= σq
2
1 − v0 /v 2 · 1 − v 2 /c2
v · v0
= σ · γ0 · 1 −
c2
q
Mit
v00 =
v0 − v
v0
1 − v·
c2
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111
Elektrische Ströme
112
berechnet man
v · v0 0
v0
2
c
v0 − v
v · v0
= σ · γ0 · 1 −
v0
2
c
1 − v·
c2
= σγ0 (v0 − v)
v00 · σ 0 = σ · γ0 · 1 −
Damit ist
Ez0 =
und
Bx0 =
σ
σv · v0
σ0
= γ0
−
ε0
ε0
ε 0 c2
v00 · σ 0
σ · v0 σ · v
= γ0
−
2
ε0 · c
ε 0 c2
ε 0 c2
(3.10.8)
= γ0 (Ez − v · Bx )
= γ0 Bx −
v
Ez
c2
(3.10.9)
(3.10.10)
Damit sind die transversalen Felder Bx0 und Ez0 in S 0 Linearkombinationen der
Felder Bx und Ez in S.
Die Transformationseigenschaften von Bz und Ex erhält man, indem man die obige
Anordnung um π/2 um die y-Achse dreht. Dann gehen
Ez → Ex
Bx → −Bz
(3.10.11)
(3.10.12)
über. Die Transformationsgleichungen sind dann
Ex0 = γ0 (Ex + v · Bz )
v
Bz0 = γ0 Bz + 2 Ex
c
(3.10.13)
(3.10.14)
Abbildung 3.41.: Skizze zur Transformation eines longitudinale E-Feldes (links)
und des B-Feldes (rechts).
Die Transformation des longitudinalen E-Feldes ergibt sich aus der Erkenntnis,
dass transversal zur Geschwindigkeit keine Längenkontraktion auftritt und dass
das Elektrische Feld eines Plattenkondensators7 nicht vom Plattenabstand ab7
oder jeder anderen Anordnung von zwei parallelen, homogenen Flächenladungen
112
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113
3.10 Die Lorentz-Transformation der Felder E und B
hängt. Also ist
σ
ε0
σ0
Ey0 =
ε0
σ = σ0
Ey =
(3.10.15)
Also ist auch
Ey0 = Ey
(3.10.16)
Die Transformationseigenschaften des Magnetfeldes können mit der in der obigen
Abbildung rechts angedeuteten Spule berechnet werden. Das Magnetfeld in der
Spule ist
I ·N
By = µ0
(3.10.17)
L
wobei N die Anzahl Windungen und L die Länge der Spule ist. Wir machen dabei
die Annahme, dass die Spule sehr lang im Vergleich zum Durchmesser sei. Mit
I = Q̇ ist
N dQ
(3.10.18)
By = µ0
L dt
Die Anzahl Windungen N und die Ladung sind relativistisch invariant. Das transformierte Feld ist dann
N dQ
(3.10.19)
By0 = µ0 0 0
L dt
Mit der Längenkontraktion L0 = γL und der Zeitdilatation dt0 = dt/γ folgt, dass
sich die relativistischen Effekte kompensieren und damit
By0 = By
(3.10.20)
ist.
Bei
einer Bewegung in die y-Richtung mit v = (0, vy , 0) (γ =
q
1/ 1 − vy2 /c2 ) werden die elektrischen und magnetische Induktion
wie
Ex0 = γ(vy ) (Ex + vy · Bz )
Ey0 = Ey
Ez0 = γ(vy ) (Ez − vy · Bx )
!
vy
0
Bx = γ(vy ) Bx − 2 Ez
c
0
By = By
!
vy
0
Bz = γ(vy ) Bz + 2 Ex
c
(3.10.21)
transformiert.
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113
Elektrische Ströme
114
H
.
ε0 c2
Im Vakuum gilt B = µ0 H =
magnetische Felder ist dann
Ex0
=
Ey0 =
Ez0 =
Hx0 =
Hy0 =
Hz0 =
Die Lorentztransformation für elektrische und
vy 1
γ(vy ) Ex + 2 · Hz
c ε0
Ey
!
vy 1
γ(vy ) Ez − 2 Hx
c ε0
γ(vy ) (Hx − vy ε0 Ez )
Hy
γ(vy ) (Hz + vy ε0 Ex )
!
(3.10.22)
Setzen wir noch D = ε0 E erhalten wir
Dx0
=
Dy0 =
Dz0 =
Hx0 =
Hy0 =
Hz0 =
vy
γ(vy ) Dx + 2 · Hz
c
Dy
!
vy
γ(vy ) Dz − 2 Hx
c
γ(vy ) (Hx − vy Dz )
Hy
γ(vy ) (Hz + vy Dx )
!
3.11. Zusammenfassung: Ströme
Makroskopischer Strom Gleichung (3.0.1)
∆Q I=
∆t Fläche
Mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger Gleichung (3.1.5)
hvi =
114
1X
nj · v j
n j
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(3.10.23)
115
3.11 Zusammenfassung: Ströme
Stromdichte Vektorfeld Gleichung (3.1.6)
i = nq hvi
Gesamtstrom Gleichung (3.1.8)
I (F ) =
Z
i · da
F
Strom bei mehreren Ladungsträgern Gleichung (3.1.9)
i=
X
nk qk hv k i
k
Kontinuitätsgleichung Integralform Gleichung (3.1.15)
Z
i · da =
A
Z
div idV =
V
Z
V
∂
ρel dV
∂t
Differentialform Gleichung (3.1.16)
div i (x, t) = −
∂
ρel (x, t)
∂t
Ohmsches Gesetz lokal Gleichung (3.2.2)
i (E) = σE
integral Gleichung (3.2.4)
I = G·U
Stromdichte und Relaxationszeit Gleichung (3.2.12)
i=n
q 2 hti
q2τ
E=n
E
M
M
Leitfähigkeit und Relaxationszeit Gleichung (3.2.13)
σ=
X
k
nk
qk2 τk
Mk
Potential und Leitfähigkeit Gleichung (3.2.21)
div [σ (x, y, z) grad U (x, y, z)] = 0
Leistung und Strom Gleichung (3.3.8)
P = R · I2 =
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U2
R
115
Elektrische Ströme
116
Magnetische Kraft zweier paralleler Leiter Gleichung (3.6.1)
FM = const ·
` · I1 · I2
r
Magnetische Kraft auf eine sich parallel zu einem Strom bewegende Ladung
Gleichung (3.7.22)
q·v·I 1
·
Fz (r) =
2πε0 · c2 r
Lorentz-Kraft Gleichung (3.8.1)
FL = q v × B
Induktionskonstante Gleichung (3.8.3)
µ0 =
1
ε 0 c2
Magnetfeld eines geraden Leiters mit dem Strom I Gleichung (3.8.4)
B(r) =
µ0 I
·
2π r
Kraftgesetz der Elektrodynamik Gleichung (3.8.13)
F = q·E + q·v × B
Biot-Savart-Kraft Gleichung (3.8.16)
dF = I · d` × B
Ampèresches Durchflutungsgesetz, Integralform Gleichung (3.8.32)
"
I
B · ds = µ0
i · da
S
A(S)
Ampèresches Durchflutungsgesetz, differentielle Form Gleichung (3.8.34)
rot B = µ0 i
Quellenfreiheit von B, Integralform Gleichung (3.8.41)
"
$
0=
B · da =
div B dV
A
V (A)
Quellenfreiheit von B, differentielle Form Gleichung (3.8.42)
div B = 0
116
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117
3.11 Zusammenfassung: Ströme
Ampèresches Durchflutungsgesetz und Quellenfreiheit(Vektorpotential )
Gleichung (3.8.48)
∆A (x, y, z) = −µ0 i (x, y, z)
Berechnung des Vektorpotentials Gleichung (3.8.49)
$
i (r)
µ0
dV 0
A (r) =
4π
|r − r 0 |
Integralform der Formel von Laplace Gleichung (3.8.53)
µ0 I I
B(r) =
4π
Leiter
d` × ρ
ρ3
Hall-Spannung Gleichung (3.9.3)
UHall =
I ·B
q·b·n
Lorentztransformation der Felder Gleichung (3.10.21)
Ex0 = γ(vy ) (Ex + vy · Bz )
Ey0 = Ey
Ez0 = γ(vy ) (Ez − vy · Bx )
vy
0
Bx = γ(vy ) Bx − 2 Ez
c
By0 = By
vy
Bz0 = γ Bz + 2 Ex
c
Lorentztransformation der Felder Gleichung (3.10.22)
Ex0
Ey0
Ez0
Hx0
Hy0
vy 1
= γ(vy ) Ex + 2 · Hz
c ε0
= Ey
vy 1
= γ(vy ) Ez − 2 Hx
c ε0
= γ(vy ) (Hx − vy ε0 Ez )
= Hy
Hz0 = γ(vy ) (Hz + vy ε0 Ex )
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117
4. Elektrodynamik: zeitlich
veränderliche Magnetfelder und
magnetische Induktionen
Das allgemeine Kraftgesetz für statische Felder lautet
F = q·v × B + q·E
(4.0.1)
Bei zeitlich sich ändernden Feldern kommen neue Effekte hinzu, der Verschiebungsstrom und die Induktion.
4.1. Das Faradaysche Induktionsgesetz
4.1.1. Eine bewegte Leiterschleife in einem stationären B-Feld
Abbildung 4.1.: Induktion eines Stromes in einer in einer inhomogenen magnetischen Induktion bewegten Leiterschlaufe.
Wir bewegen eine Leiterschlaufe mit der Geschwindigkeit v aus dem begrenzten
Gebiet mit einer homogenen magnetischen Induktion heraus. Auf die beweglichen
Ladungsträger, hier positiv angenommen, wirkt die Lorentzkraft F L . Auf den horizontalen Teilen der Leiterschlaufe kennen wir den Effekt: eine Hallspannung (Siehe
Abschnitt 3.39) auf. Im vertikalen Teil im Magnetfeld bewirkt die Hallspannung eine Beschleunigung der Ladungsträger. Nach der Definition der elektromotorischen
Kraft (Siehe Gleichung (3.3.9)) haben wir
P2
UEM K
1I
1I
1Z
1
=
F · ds =
FL · ds =
FL · ds = (q0 · v · B) · b = v · B · b
q0
q0
q0
q0
P1
(4.1.1)
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
120
Hat die Drahtschlaufe den Widerstand R, so fliesst der Strom
I=
UEM K
R
(4.1.2)
Versuch zur Vorlesung:
Induktion (Versuchskarte EM025)
Versuch zur Vorlesung:
Induktion im Erdfeld (Versuchskarte EM027)
4.1.2. Der magnetische Fluss
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 138]) (Siehe Tipler, Physik [TM04,
pp. 876])
Im Zusammenhang mit den elektrischen Feldern E hatten wir den elektrischen
Fluss φE (Siehe Abschnitt 2.3) eingeführt. Hier bewegen wir die Leiterschlaufe mit
der Geschwindigkeit v, wir ändern damit die vom Magnetfeld durchflossene Fläche
A um die Grösse da = −d` · b. Da die Geschwindigkeit v = d`/dt ist, können wir
auch schreiben
UEM K = v · B · b =
da
B · da
d`
b·B = − B = −
dt
dt
dt
(4.1.3)
schreiben. Wir definieren den
magnetischen Fluss
"
φB =
B · da
(4.1.4)
A(S)
durch die von der geschlossenen Kurve S berandete Fläche A
Damit ist die induzierte EMK
UEM K
dφB
d
=−
=−
dt
dt
"
B · da
(4.1.5)
A(S)
Sie wird durch den zeitlich sich ändernden Fluss erzeugt.
Die Einheit des magnetischen Flusses ist Weber.
1 Weber = 1 Wb = 1 T m2
(4.1.6)
Das Minuszeichen in den Gleichungen für den magnetischen Fluss rührt daher, dass
eine Geschwindigkeit in die positive x-Richtung eine Verkleinerung der Fläche A
bewirkt.
120
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121
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Das durch den Strom erzeugte Magnetfeld ist so gerichtet, dass die Bewegung der
Spule gebremst wird. Dieses Verhalten wird in der Lenzschen Regel zusammengefasst:
Die Induktionsspannung und der Strom, den sie bewirkt, sind stets
so gerichtet, dass sie der Ursache entgegenwirken.
Abbildung 4.2.: Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. Der magnetische
Nordpol ist üblicherweise rot, der Südpol grün markiert.
Eine Spule erzeugt ein axiales Magnetfeld. Die Richtung des Magnetfeldes wird
mit der Rechten Hand-Regel aus der Stromrichtung abgeleitet. Ein Stabmagnet
erzeugt ein gleiches Magnetfeld wie eine Spule.
Die Nord- und Südpole der Magnete sind so definiert: Die BFeldlinien laufen vom Nordpol zum Südpol. Der Nordpol ist rot markiert, der Südpol grün.
Abbildung 4.3.: Induzierte Spannung
Bewegt man einen Magneten mit der Geschwindigkeit v von einem Stabmagneten
weg, so bewirkt die Lorentzkraft einen Strom I, der ein Magnetfeld B ind induziert.
Dieses Magnetfeld ist so gerichtet, dass es gleichsinnig wie das Magnetfeld des
Stabes ist. Der Metallring wird also vom Stabmagneten angezogen und in seiner
Bewegung nach rechts gebremst (Lenzsche Regel).
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121
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
122
Abbildung 4.4.: Vorzeichen des Magnetfeldes und der induzierten Spannung beim
Ein- und Ausschalten.
Hier wird ein Magnetfeld eingeschaltet. Die Richtung der Feldlinien wird durch die
Rechte-Hand-Regel bestimmt. Ein zeitlich zunehmendes Magnetfeld in der rechten
Spule ist äquivalent zu einer Bewegung der rechten Spule im inhomogenen Feld
(links intensiver als rechts) nach links. Dabei zeigt die relevante Feldkomponente
nach aussen. Aus der Rechten Hand-Regel ergibt sich die angegebene Stromrichtung. Nach dem Ausschalten des erregenden Stromes nimmt die Intensität des
Magnetfeldes ab. Dies ist äquivalent zu einer Bewegung der rechten Spule nach
rechts, bei gleichbleibender Richtung des Magnetfeldes. Entsprechend dreht sich
die Richtung des Stromes um.
Abbildung 4.5.: Selbstinduktion
Wenn eine Spule von einem Strom durchflossen ist, wird dadurch ein Magnetfeld
erzeugt. Wenn nun der Strom durch die Spule geändert wird, wird eine Spannung induziert, die wie im vorigen Falle so gerichtet ist, dass sie der Änderung
des Magnetfeldes entgegenwirkt, so also auch der Änderung des durch die Spule
fliessenden Stromes. Im besonderen Falle, dass der Strom abgeschaltet wird, dass
also der Widerstand im Stromkreis um viele Grössenordnungen steigt, bildet sich
eine sehr hohe Spannung.
Anwendungen
• Zündspule bei Benzinmotoren
• Erzeugung der Beschleunigungsspannung in Fernsehröhren
122
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123
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
• Teslatransformator, siehe auch Versuch zur Vorlesung:
Tesla-Transformator (Versuchskarte EM064)
4.1.3. Induktionsgesetz von Faraday, Integral- und
Differentialform
Wir betrachten die Situation in der Abbildung 4.1 im Ruhesystem S 0 der Schleife.
Im Laborsystem S ist das Magnetfeld
B = (0, 0, Bz )
in die z-Richtung gerichtet. Die Geschwindigkeit zeigt in die y-Richtung. Mit der
Lorentztransformation (3.10.21) berechnen wir die Felder im System S 0 . Wir erhalten
B 0 = (0, 0, Bz0 ) = (0, 0, γ(vy ) · Bz )
E 0 = (Ex0 , 0, 0) = (v · γ(vy ) · Bz , 0, 0)
= (vy · Bz0 , 0, 0)
(4.1.7)
Die Leiterschleife ist im System S 0 in Ruhe. Also muss die EMK durch das elektrische Feld erzeugt werden.
0
0
0
UEM
K = Ex · b = vy · Bz · b
(4.1.8)
dφ0B = −Bz0 · vy · b · dt0
(4.1.9)
Die Flussänderung ist
Somit lauten das Induktionsgesetz und das Ohmsche Gesetz
dφ0B
dt0
= R · I0
0
UEM
K = −
0
UEM
K
(4.1.10)
Somit gilt für die EMK die Transformation
0
UEM
K = γ(v)UEM K
(4.1.11)
Die Gleichungen (4.1.11) gelten in jedem Falle. Wenn v c ist, kann man die Unterschiede im Strom I, in der EMK UEM K und im Magnetfeld B vernachlässigen.
Die Transformationseigenschaften zeigen, dass das Induktionsgesetz auch bei stationären Leiterschleifen und zeitlich ändernden Magnetfeldern gelten muss (wir
begeben uns in das System S 0 ). Die Wirkungen der Felder B und E sind unabhängig von ihrer Entstehung.
Versuch zur Vorlesung:
Magnetische Induktion (Versuchskarte EM051)
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123
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
124
Für einen beliebig geformten ruhenden Leiter (gegeben durch die Kurve S) in
einem zeitlich ändernden Magnetfeld gilt für die EMK
UEM K
"
d
=−
dt
B · da
(4.1.12)
A(S)
Da der Leiter in Ruhe ist, muss die EMK durch ein elektrisches Feld erzeugt sein.
UEM K =
I
E · ds
(4.1.13)
S
und damit
I
S
"
d
E · ds = −
dt
B · da
(4.1.14)
A(S)
Bei einer bewegten Leiterschlaufe kann der magnetische Fluss sich ändern,
a) weil sich der Fluss mit der Zeit ändert und/oder
b) weil sich die Berandung bewegt, sich ihr Ort also ändert.
Für eine bewegte Leiterschlaufe muss das elektrische Feld E 0 im bewegten Bezugssystem und die magnetische Induktion B im Laborsystem berechnet werden[Jac75,
p. 210]. ds0 ist das Linienelement im Ruhesystem, in dem E 0 gemessen wird. Wir
erhalten
I
S
d
E · ds = −
dt
0
"
0
B · da
(4.1.15)
A(S)
Mit der Gleichung(C.8.40) für die Beziehung zwischen zeitlichen Ableitungen in
Ruhesystemen und mitgeführten Systemen und dem Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.11.1)) erhalten wir
0
UEM
K
=
I
S
" "
=−
d
E · ds = −
dt
0
"
0
B · da
A(S)
#
∂
B + rot (B × v) · da
∂t
A(S)
"
=−
I
∂
B · da − (B × v) · ds0
∂t
(4.1.16)
S
A(S)
Dies kann auch so geschrieben werden:
I
S
"
0
0
[E + (B × v)] · ds = −
∂
B · da
∂t
(4.1.17)
A(S)
Wenn man sich nach Jackson [Jac75, p. 212] alternativ vorstellt, dass der Weg S
zu einem Zeitpunkt fix im Raum ist, gilt auch
124
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
125
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
"
I
E · ds = −
S
∂
B · da
∂t
(4.1.18)
A(S)
Deshalb erhalten wir für das elektrische Feld E im Laborsystem
I
[E 0 + (B × v)] · ds0 =
S
I
E · ds
(4.1.19)
S
0
Bei kleinen Geschwindigkeiten ist ds = ds .
Damit ist
E 0 + (B × v) = E =⇒ E 0 = (v × B) + E
(4.1.20)
Weiter kann man daraus die Lorentzkraft ablesen:
F L ≈ F 0L = qE 0 = q (E + v × B)
(4.1.21)
Zurück zum Faradayschen Induktionsgesetz: Mit Gleichung (4.1.20) kann in Gleichung (4.1.17) E 0 eliminiert werden. Das universelle Induktionsgesetz von Faraday
lautet
I
"
∂
B · da
∂t
E · ds = −
S
(4.1.22)
A(S)
Mit dem Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.11.1)) erhält man
I
S(t)
"
"
rot E · da = −
E · ds =
A(S(t))
∂B
· da
∂t
(4.1.23)
A(S(t))
Für zeitunabhängige Berandungen A(S) darf man Ableitung und Integral nicht
vertauschen. Das Induktionsgesetz lautet dann
I
S
d
E · ds = −
dt
"
B · da
A(S)
Da diese Integralgleichung für beliebige Kurven S gelten muss, also auch für infinitesimal kleine, erhalten wir die differentielle Form des Faradayschen Induktionsgesetzes
rot E = −
∂B
∂t
(4.1.24)
Bei der Ableitung des Faradayschen Induktionsgesetzes haben wir von der Kleinheit der Geschwindigkeiten Gebrauch gemacht, explizit und implizit. Eine relati-
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125
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
126
vistisch korrekte Rechnung führt auf die gleichen Ergebnisse.
4.1.4. Wirbelströme
Versuch zur Vorlesung:
Fallrohre (Versuchskarte EM057)
Abbildung 4.6.: Wirbelströme in Metallen
Wenn sich ein Metallstück in einem inhomogenen Magnetfeld befindet, dann muss
für jede Bahnkurve S das Faradaysche Induktionsgesetz gelten. Da der Leiter einen
spezifischen Widerstand ρel hat, fliesst bei einer Änderung des Flusses durch S,
zum Beispiel, indem man den Leiter bewegt, ein durch die induzierte Spannung
getriebener Strom. Die Richtung des Stromes ist so, dass er sich einer Änderung
des magnetischen Flusses widersetzt. Bei einem perfekten Leiter, müssten enorm
grosse Kräfte aufgebracht werden, um das Metallstück mit einer minimalen Geschwindigkeit bewegen zu können. Durch die Dissipation im Ohmschen Leiter wird
der induzierte Strom geschwächt, so dass die der Bewegung entgegengesetzte Kraft
umso kleiner ist, je schlechter die Leitfähigkeit des Metalls ist.
Um die Grössenordnung des Wirbelstromes abzuschätzen betrachten wir lokal ein
Stück Metall das mit der Geschwindigkeit vy durch eine magnetische Induktion in
die x- Richtung, Bx , gezogen wird. Wir betrachten die Felder im Ruhesystem der
Platte. Aus den Lorentz-Transformationen erhalten wir
Ez0 = q
Bx0 = q
−vy Bx
≈ − vy Bx
1 − vy2 /c2
Bx
≈Bx
1 − vy2 /c2
(4.1.25)
da v 2 /c2 1 ist. Lokal gilt der Zusammenhang
i = σE
(4.1.26)
Weiter können wir aus P = I U mit i = I/A und Ez0 = U/d und der Bezeichnung
126
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127
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
für das Volumen V = A d schreiben
P
i A · Ez0 d
= PV = lim
= i Ez0 = σEz02
V →0 V
V →0
V
lim
(4.1.27)
Andererseits hängt die dissipierte Leistung pro Volumen von der Volumenkraft FV
und der Geschwindigkeit vy ab.
2
PV = FV · vy = σEz02 = σ (vy Bx0 ) = σ (vy Bx )2
Die Volumenkraft ist also
FV = σvy Bx2
(4.1.28)
(4.1.29)
Die Berechnung wurde anhand eines unendlich ausgedehnten Leiters in einem Magnetfeld gemacht. Endliche Leiter und endliche Magnetfelder bewirken, dass der
Effekt nur an den Grenzen vorhanden ist.
Abbildung 4.7.: Bewegung eines Leiters aus einem Magnetfeld.
Im Ruhesystem des Leiters bewirkt das elektrische Feld eine Bewegung der Ladungsträger an die Seiten des Leiters (analog wie beim Halleffekt). Dadurch wird
ein Gegenfeld aufgebaut, bis die Bewegung der Ladungsträger zum Erliegen kommt
(Siehe Abbildung 4.7, linke Seite). Wenn der Leiter den Bereich des Magnetfeldes
verlässt (wir nehmen eine scharfe Grenze an, dann gleichen sich die Ladungen aus.
Die Ströme erzeugen wegen der endlichen Leitfähigkeit σ eine Wärmeleistung, das
heisst es gibt eine Gegenkraft. Kondensatoren werden exponentiell entladen, so
dass die Wirkung des ändernden Feldes lokal begrenzt ist. Auf der anderen Seite
des Magnetfeldes tauchen die gleichen Effekte auf, aber beim Laden des Kondensators. Auch dort nimmt der Strom exponentiell ab beim Entfernen von der Grenze.
Warum heisst es dann doch Wirbelströme? Wir haben einen Stromkreis, bei dem
die magnetische Induktion die elektromotorische Kraft bewirkt (wie beim van de
Graaff-Generator). Während im Ruhesystem des Leiters die Effekte durch das elektrische Feld erklärt werden, müssen sie im Laborsystem mit Flussänderung und
magnetischer Induktion beschrieben werden.
In Transformatoren ist die magnetische Induktion parallel zum Eisen, die Wirbel-
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127
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
128
ströme transversal dazu. Die Wirbelströme können vermindert werden, indem das
Metall geschlitzt wird oder in Lagen mit Isolatoren dazwischen gebündelt wird.
Anwendungen
• Wirbelstrombremse beim ICE
• Retarder in LKWs
• Dämpfung von Schwingungen in Rastertunnelmikroskopen
• In Transformatoren und Motoren verwendet man geschlitzte Bleche
Beispielswerte
B/T →
v/(m/s)
0.01
0.1
1
10
Cu
0.1
−5
5.8 · 10
5.8 · 10−4
5.8 · 10−3
5.8 · 10−2
1
Al
0.1
−3
5.8 · 10
5.8 · 10−2
5.8 · 10−1
5.8
−5
3.7 · 10
3.7 · 10−4
3.7 · 10−3
3.7 · 10−2
1
0.1
−3
3.7 · 10
3.7 · 10−2
0.37
3.7
Fe
0.00001
0.0001
0.001
0.01
1
0.001
0.01
0.1
1.
Ti
0.1
−6
2.56 · 10
0.0000256
0.000256
0.00256
1
0.000256
0.00256
0.0256
0.256
Gd
0.1
−7
7.40 · 10
7.40 · 10−6
0.000074
0.00074
Tabelle 4.1.: Wirbelstromkräfte in N/m3 von Magneten mit 0.1 T und 1 T auf
Platten mit der Geschwindigkeit v aus verschiedenen Materialien.
4.1.5. Unendlich lange Spule
Eine unendlich lange Spule kann man sich aus kreisförmigen Leitern zusammengesetzt denken.
Abbildung 4.8.: Die magnetische Induktion am Punkt 0 auf der z-Achse kann
berechnet werden, indem mit Gleichung (3.8.54) die magnetische
Induktion eines Rings mit der Stromdichte I · n · dz berechnet
wird und dann über alle Ringströme addiert wird.
Wir berechnen zuerst die magnetische Induktion eines Kreisringes mit dem Radius
r im Abstand z vom Nullpunkt (r 0 = (x, y, z)) am Nullpunkt (r = (0, 0, 0)). Ausgehend von Gleichung (3.8.54) schreiben wir für einen Kreisring auf der Position
z mit dem Radius r für ρ.
128
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
1
0.000074
0.00074
0.0074
0.074
129
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
ρ = r − r 0 = (−x, − y, − z)
Da r konstant ist, schreiben wir x und y als Funktion des Winkels φ
ρ = (−r cos(φ), − r sin(φ), − z)
Der Strom I soll im Gegenuhrzeigersinn umlaufen, also in positiver Richtung. Ein
Längenelement entlang des Kreisringes ist
d` = (−y, x, 0) ·
d`
= (− sin(φ), cos(φ), 0) rdφ
r
Das Vektorprodukt d` × ρ ergibt
d` × ρ = −r z cos(φ), − r z sin(φ), r2 dφ
Mit dem Strom pro Windung I wird die magnetische Induktion am Punkte (0, 0, 0)
2π
µ0 I I d` × ρ
B=
4π
ρ3
0
Die x- und die y-Komponenten von d`×ρ enthalten eine Winkelfunktion zur ersten
Potenz und ergeben bei einer Integration von 0 nach 2π null. Die z-Komponente
der magnetischen Induktion ist
2π
r2 dφ
µ0 Ir2
µ0 I Z
=
Bz =
4π
(r2 + z 2 )3/2
2 (r2 + z 2 )3/2
0
(4.1.30)
Die magnetische Induktion einer unendlich langen Spule bekommt man, indem
wir den Strom I durch das Produkt aus Strom I, der Windungszahl pro Länge
(Windungsdichte) n und dem Längenelement dz ersetzen und integrieren.
Bz (0) =
Z∞
−∞
µ0 Inr2 dz
2 (r2 + z 2 )3/2
= µ0 In
(4.1.31)
Wird die unendlich lange Spule bei z = 0 geteilt, tragen beide Spulenhälften
gleichviel zur magnetischen Induktion bei z = 0 bei. Wird nun eine Hälfte entfernt,
so ist die magnetische Induktion auf der Spulenachse
Bz (0)
µ0 n I
µ0 N I
=
=
(4.1.32)
2
2
2`
Endlich lange Spulen der Länge ` r verhalten sich wie unendlich lange Spulen.
Wenn sich auf der Länge ` N Windungen befinden, haben wir
Bz (Endfläche) =
Bz (innen) =
µ0 N
I = µ0 n I
`
(4.1.33)
4.1.6. Transformator
Der magnetische Fluss in einer Spule entsteht durch Ströme in dieser Spule selber,
oder in anderen Spulen. Nach dem Gesetz von Laplace oder Biot-Savart (Siehe
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129
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
130
Gleichung (3.8.54)) ist die magnetische Induktion proportional zum Strom. Somit
ist auch der Fluss φB proportional zum Strom. Diese Proportionalität wird mit
φB = L · I
(4.1.34)
ausgedrückt, wobei L die Selbstinduktivität der Spule ist.
Die Einheit der Induktivität ist
1 H = 1 Henry = 1 Wb/A = 1 T m2 /A
In den meisten Fällen ist es schwierig, die Selbstinduktivität einer Schaltung zu
berechnen. Für eine lange, dicht gewickelte Spule ergibt Gleichung (4.1.33) die
magnetische Induktion
N
B = µ0 I
(4.1.35)
`
Dabei ist N = n · ` die Anzahl Windungen auf der Länge `. Die magnetische
Induktion B hängt von der Dichte der Windungen ab, nicht aber von der Länge
der Spule. Hat die Spule den Querschnitt A, so ist der Fluss
φB = N · B · A = µ0
N2
I · A = µ0 n2 A`I
`
(4.1.36)
Damit ist die Induktivität der Spule
L=
φB
N2
= µ0
A = µ0 n2 A`
I
`
(4.1.37)
Die magnetische Permeabilität µ0 kann also auch als
µ0 = 4π · 10−7
Henry
m
(4.1.38)
Die Änderung der Stromstärke bedingt eine Änderung des magnetischen Flusses.
d(LI)
dI
dφB
=
=L
dt
dt
dt
(4.1.39)
Somit wird mit Gleichung (4.1.5)
U =−
dφB
dI
= −L
dt
dt
Mit dieser Gleichung wird die Funktionsweise des Funkeninduktors klar.
Versuch zur Vorlesung:
Funkeninduktor (Versuchskarte EM017)
130
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(4.1.40)
131
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Abbildung 4.9.: Zwei gekoppelte Stromkreise
Der magnetische Fluss am Punkt P2 hängt sowohl vom Strom I2 wie auch vom
Strom I1 ab:
φB (P2 ) = L2 · I2 + M12 · I1
(4.1.41)
Ebenso hängt der magnetische Fluss am Punkt P1 von beiden Strömen ab
φB (P1 ) = L1 · I1 + M21 · I2
(4.1.42)
Neben der Selbstinduktivität Li müssen bei realen Systemen auch die Gegeninduktivitäten Mij berücksichtigt werden. Wie bei den Induktivitäten hängt auch bei
den Gegeninduktivitäten die Grösse allein von der Geometrie ab.
Abbildung 4.10.: Symbolische Darstellung eines Transformators
Im allgemeinen ist es schwierig, die Gegeninduktivitäten zu berechnen. Bei zwei
ineinander gewickelten Spulen, einem Beispiel für einen Transformator, gelingt
dies. Wir wollen das Beispiel verwenden, um zu zeigen, dass M12 = M21 ist. Durch
die Spule 1 (Länge `, Radius r1 , Windungsdichte n1 = N1 /`) fliesst der Strom I1 ,
durch die zweite Spule 2 (Länge `, Radius r2 , Windungsdichte n2 = N2 /`) soll der
Strom I2 fliessen. Da wir lange Spulen betrachten, ist das Magnetfeld im Inneren
der Spulen homogen. Also ist
B1 = µ0 n1 I1
(4.1.43)
Ausserhalb der Spule 1 ist das Magnetfeld B1 = 0 (Annahme einer langen Spule).
Deshalb ist der Fluss durch den Strom I1 für die Spule 2 gegeben durch
φB2 = N2 · B1 (πr12 ) = n2 `B1 (πr12 ) = µ0 n1 n2 `(πr12 )I1
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(4.1.44)
131
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
132
Die Gegeninduktivität M12 ist also
φB2
= µ0 n1 n2 `(πr12 )
I1
M12 =
(4.1.45)
Im entgegengesetzten Falle beginnen wir mit
B2 = µ0 n2 I2
(4.1.46)
Der für die Spule 1 relevante Fluss ist durch die von der Spule 1 umschlossene
Fläche, also N1 (πr12 ) gegeben.
φB1 = N1 · B2 (πr12 ) = n1 `µ0 n2 I2 (πr12 ) = µ0 n1 n2 `(πr12 )I2
(4.1.47)
Damit wird die Gegeninduktivität
M21 =
φB1
= µ0 n1 n2 `(πr12 ) = M12
I2
(4.1.48)
Diese Beziehung, die an einem Spezialfall gezeigt wurde, gilt auch allgemein (ohne
Beweis).
Abbildung 4.11.: Schematischer Aufbau eines Transformators
Die in einem Transformator induzierte Spannung kann wie folgt berechnet werden.
In der Spule 1 fällt die Spannung
UL,1 = N1
dφB
dt
(4.1.49)
ab. Diese Spannung muss durch die Wechselspannungsquelle U erzeugt werden, so
das
dφB
(4.1.50)
U = UL,1 = N1
dt
ist. Durch die Anordnung des Eisens wird erreicht, dass der gesamte durch die
erste Spule erzeugte magnetische Fluss durch die zweite Spule fliesst. Dort haben
wir die induzierte Spannung
dφB
U2 = −N2
(4.1.51)
dt
132
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133
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
und somit
U2 = −
N2
U1
N1
(4.1.52)
N2 /N1 heisst der Übersetzungsfaktor des Transformators.
Wird der Ausgang des Transformators mit dem Ohmschen Widerstand R belastet,
fliesst der Strom I2 , der zu U2 in Phase ist. Dieser Strom erzeugt einen magnetischen Fluss φ0B ∝ N2 I2 , der den ursprünglichen Fluss φB durch die Spule 2
schwächt. Da durch beide Spulen der gleiche magnetische Fluss fliesst, muss auch
der Fluss durch die erste Spule geschwächt werden. Da die Spannung durch die
Spannungsquelle U vorgegeben ist, muss der Strom I1 auf der Primärseite zusätzlich fliessen, so dass φ0B ∝ N1 I1 gilt. Da die Proportionalitätsfaktoren bis auf das
Vorzeichen gleich sind, gilt dann auch
I2 = −
N1
I1
N2
(4.1.53)
Wenn wir die Effektivwerte betrachten haben wir damit
N2
U2 I2 = − U1
N1
N1
− I1 = U1 I1
N2
(4.1.54)
sofern man Verluste vernachlässigt. Ideale Transformatoren übertragen also
verlustfrei Leistung.
Versuch zur Vorlesung:
Hochspannungsleitung (Versuchskarte EM161)
Versuch zur Vorlesung:
Transformatorenversuche (Versuchskarte EM066)
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133
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
134
4.1.7. Kirchhoffsche Gesetze
Abbildung 4.12.: Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel.
In einer komplizierten elektrischen Schaltung betrachtet man eine einzelne Masche.
Nach der Definition der EMK muss eine Probeladung langsam um die Masche
herumgeführt werden. Dies führt auf die Maschenregel
X
X
Uk =
∀k Quellen
Uj
(4.1.55)
∀j Verbraucher
wobei die Vorzeichen entsprechend dem Umlaufsinn einzusetzen sind. In unserem
Beispiel bedeutet dies:
U1 − U2 = UR + UL
Die Knotenregel ist ein Ausdruck für die Ladungserhaltung. Wenn wir zum Beispiel
alle zufliessenden Ströme positiv und alle wegfliessenden Ströme negativ zählen
(oder umgekehrt), gilt an jedem Knoten
X
Ik = 0
(4.1.56)
∀k eines Knotens
Mit diesen beiden Regeln sowie der Kenntnis der Charakteristika der Bauelemente
kann jede statische oder quasistatische elektronische Schaltung berechnet werden.
4.1.8. Wechselstromkreise, Impedanzen
In diesem Abschnitt betrachten wir die Wirkung von cosinusförmigen Wechselspannungen
U ≡ U (t) = U0 cos (ωt − ϕ)
(4.1.57)
Die Zeitskala für die Wechselspannung wird so gewählt, dass ϕ = 0 ist. Weiter
setzen wir voraus, dass die zeitliche Änderung aller Grössen so gering sind, dass
134
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
135
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
wir wie im stationären Falle rechnen können. Wir dies den quasistationären Fall.
Abbildung 4.13.:
Definition
von
Wechselspannungen
Strömen
und
Spannungen
bei
Da bei Wechselspannungen a priori keine Stromrichtung vorgegeben ist, definiert
man, zum Beispiel wie in der Abbildung oben, die Stromrichtung zu einem bestimmten Zeitpunkt, hier für t = 0. Zu jedem Zeitpunkt muss die Spannung im
Stromkreis insgesamt null sein. Also ist
U − UR = 0
(4.1.58)
U0 cos(ωt) − I · R = 0
(4.1.59)
und mit dem Ohmschen Gesetz
oder
U0
cos(ωt) = I0 cos(ωt)
(4.1.60)
R
Der Strom und die Spannung erreichen immer dann einen Extremwert, wenn ωt
ein ganzzahliges Vielfaches von π ist. Der durch einen Widerstand fliessende Strom
ist in Phase mit der Spannung.
Die momentane Leistung am Widerstand ist
I(t) =
U0
U2
cos(ωt) = 0 cos2 (ωt) = I02 R cos2 (ωt)
R
R
(4.1.61)
Der Mittelwert der Leistung ist (hcos2 ωtit = 1/2)
P (t) = U (t) · I(t) = U0 cos(ωt) ·
hP (t)i =
1
1 U02
= I 2R
2 R
2
(4.1.62)
Unter dem Effektivwert der Spannung (des Stromes) versteht man diejenige Gleichspannung, die an einem Ohmschen Widerstand die gleiche Verlustleistung erzeugt.
Also ist für sinusförmige Spannungen
1
Uef f = √ U0
2
(4.1.63)
1
Ief f = √ I0
2
(4.1.64)
beziehungsweise
Für beliebige Spannungsverläufe (Stromverläufe) ist der Effektivwert (auch rms-
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135
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
136
Wert von ”Root Mean Square”)
Uef f = Urms =
v
u
t+T
Z
u
u1
t
U 2 (τ )dτ
T
(4.1.65)
t
wobei T eine Zeit ist, die bei periodischen Signalen der Periodendauer entspricht
und bei zufälligen Signalen lang gegenüber der charakteristischen Zeitdauer der
Schwankungen sein muss. Für Ströme gilt die analoge Formel
Ief f = Irms =
v
u
t+T
Z
u
u1
t
I 2 (τ )dτ
T
(4.1.66)
t
Versuch zur Vorlesung:
Wechselstromwiderstand (Versuchskarte EM053)
Abbildung 4.14.: Spule mit Wechselspannung
Wir verwenden Gleichung (4.1.40) um die Spannung über der Spule zu berechnen.
Die induzierte Spannung ist der Flussänderung entgegengesetzt. Sie wirkt so, dass
die Zunahme des Stromes bei zunehmender Anregungsspannung gebremst wird.
Deshalb ist
dI
U − UL = 0 = U − L
(4.1.67)
dt
Setzen wir U = U0 cos(ωt) ein, erhalten wir
dI
U0
=
cos(ωt)
dt
L
(4.1.68)
und damit
t
U0 Z
U0
U0
π
cos(ωτ )dτ =
sin(ωt) =
cos(ωt − )
I(t) =
L
Lω
Lω
2
(4.1.69)
0
Der Strom hat also den Scheitelwert
I=
136
U0
U0
=
ωL
XL
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(4.1.70)
137
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
wobei XL = ωL die Impedanz oder der induktive Widerstand der Spule ist. Die
Einheit der Impedanz ist gleich wie die Einheit des Widerstandes, das Ohm. Der
Strom folgt der Spannung mit einer Phasenverschiebung von −π/2. Für die Effektivwerte gilt Ief f = Uef f /XL , da für sinusförmige Spannungen und Ströme der
gleiche Faktor zur Umrechnung von Scheitelwerten zu Effektivwerten verwendet
werden muss.
Die momentan dissipierte Leistung an einer Spule ist
P (t) = U (t) · I(t) = U0 cos(ωt) ·
π
U2
U0
cos(ωt − ) = 0 cos(ωt) sin(ωt) (4.1.71)
ωL
2
ωL
Die dissipierte Leistung kann sowohl positiv wie auch negativ sein. Die mittlere
dissipierte Leistung ist
hP it =
U02
hcos(ωt) sin(ωt)it = 0
ωL
(4.1.72)
Im Mittel wird also keine Leistung an einer Spule dissipiert.
Abbildung 4.15.: Kondensator mit Wechselspannung
Beim Kondensator ist UC = q/C. Diese Spannung muss gleich der treibenden
Spannung sein.
q
(4.1.73)
U − UC = 0 = U −
C
Wir setzen U ein und erhalten
q = C · U0 cos(ωt)
(4.1.74)
Der Strom ist dann
I=
dq
d
π
= C · U0 cos(ωt) = −Cω · U0 sin(ωt) = Cω · U0 cos(ωt + ) (4.1.75)
dt
dt
2
Wir nennen
1
ωC
die Impedanz des Kondensators. Der Scheitelwert des Stromes ist
XC =
(4.1.76)
I0 = ωCU0
(4.1.77)
Analog wie bei der Spule gilt die Gleichung Ief f = Uef f /XC mit der gleichen
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
137
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
138
Begründung auch für Kondensatoren. Die momentan dissipierte Leistung ist
P (t) = ωCU02 cos(ωt) sin(ωt)
(4.1.78)
Sie ist, analog wie bei der Spule, positiv oder negativ. Deshalb ist die mittlere
dissipierte Leistung
hP (t)it = ωCU02 hcos(ωt) sin(ωt)it = 0
(4.1.79)
Versuch zur Vorlesung:
Elektrischer Schwingkreis (Versuchskarte Em056)
Abbildung 4.16.: Schwingkreis
Der Kondensator soll zur Zeit t = 0 auf die Spannung UC,0 aufgeladen sein. Zur
Zeit t = 0 wird der Schalter geschlossen. Die Differentialgleichung dieser Schaltung
lautet:
dI Q
L + =0
(4.1.80)
dt C
Wir differenzieren einmal und bekommen
d2 I
1
+
I=0
2
dt
LC
(4.1.81)
Dies ist die aus der Mechanik bekannte Schwingungsdifferentialgleichung. Durch
Analogieschluss sieht man, dass die Resonanzfrequenz
s
ω0 =
1
LC
ist.
138
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(4.1.82)
139
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Abbildung 4.17.: Schwingkreis mit Widerstand
Der gedämpfte Schwingkreis enthält neben dem Kondensator und der Spule auch
einen Widerstand. Die Differentialgleichung des gedämpften Schwingkreises ist
L
Q
dI
+ R·I + = 0
dt
C
(4.1.83)
Wir differenzieren einmal und bekommen
d2 I R dI
1
+
+
I=0
2
dt
L dt LC
(4.1.84)
Analog zur Mechanik ist die R
der Dämpfungsterm. Das in der Mechanik berechL
nete Verhalten eines schwingungsfähigen Systems gilt auch für den elektrischen
Schwingkreis.
Wenn der elektrische Schwingkreis von einer Wechselspannungsquelle getrieben
wird, ergeben sich die gleichen Phänomene wie bei einem getriebenen Pendel, also
auch eine Resonanz.
Anwendungen
• Schwingkreise zur Signalfilterung in Radioempfängern
• Verhalten von langen Leitungen
• Verhalten elektrischer Maschinen
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
139
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
140
4.1.9. Elektromotoren
Abbildung 4.18.: Bestandteile eines Elektromotors. Links der Stator, rechts der
Rotor mit dem Kommutator.
Ein Elektromotor besteht aus zwei teilen, dem Stator, der das Magnetfeld H erzeugt und dem Rotor, der in diesem Magnetfeld rotiert. Die Richtung des Stromflusses im Rotor wird durch den Kommutator gesteuert.
Versuch zur Vorlesung:
Elektromotor und -generator (Versuchskarte EM101)
Abbildung 4.19.: Dieses Bild zeigt einen aufgebauten Elektromotor.
4.1.9.1. Rotierende Leiterschlaufe als Generator
Wir betrachten zuerst den Elektromotor als Generator. Der Fluss durch die Leiterschlaufe mit N Windungen, einer Fläche A und einem Widerstand R ist
φB (t) = N B (A cos (Θ(t)))
(4.1.85)
wobei Θ der Winkel zwischen der Normalen der Fläche der Leiterschlaufe und der
Richtung des Magnetfeldes ist. Mit Θ = ωt + δ wird der zeitabhängige Fluss durch
eine sich mit ω drehende Leiterschlaufe
φB (t) = N BA cos(ω t + δ)
140
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(4.1.86)
141
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Durch Ableiten erhält man die Induktionsspannung
Ui (t) = −
d
dφB (t)
= −N BA cos(ω t + δ) = N BA ω sin(ω t + δ)
dt
dt
(4.1.87)
Die induzierte effektive Spannung ist
Uef f,i =
v
u
u 1 ZT
u
t
T
(N BA ω sin(ω t + δ))2 =
t−T
N BA ω
√
2
(4.1.88)
4.1.9.2. Rotierende Leiterschlaufe als Nebenschlussmotor
Wenn die Leiterschlaufe mit N Windungen mit Spannung versorgt wird, arbeitet
sie als Motor. Die Leiterschlaufe habe, wie oben erwähnt, den Widerstand R. Die
angelegte Spannung sei U0 und konstant. Für die folgende Rechnung setzen wir
δ = 0.
Durch den Strom I(t) wird nach Gleichung (3.8.24) mit dem magnetischen Moment
m = N A I ein Drehmoment
M (t) = N A B · I(t) · sin(ωt)
(4.1.89)
erzeugt.1 . Während in Gleichung (4.1.85) der Winkel Θ(t) der Winkel zwischen der
Flächennormale und der Richtung der magnetischen Induktion B ist, ist hier der
gleiche Winkel der Winkel zwischen dem magnetischen Moment der Leiterschleife
m(t) und der magnetischen Induktion B. Das Drehmoment ist nach Gleichung
(3.8.25) durch M = m × B gegeben. Das momentane magnetische Moment hängt
vom momentanen Strom ab, und damit auch das momentane Drehmoment. Beide
hängen damit von der wirkenden Spannung Ur (t) = U0 − Ui (t) ab
U0 − Ui (t)
U0 N BA
Ur (t)
=
=
−
ω sin(ω t)
(4.1.90)
R
R
R
R
Unser Motor hat einen Kommutator, der nach einer halben Umdrehung das Vorzeichen der angelegten Spannung invertiert. Wir müssen also mit den Strömen
I(t) =
Ur (t)
U0 − Ui (t)
U0 N BA
=
=
−
ω sin(ω t)
R
R
R
R
Ur (t)
−U0 − Ui (t)
U0 N BA
I− (t) =
=
=− −
ω sin(ω t)
R
R
R
R
(4.1.91a)
I+ (t) =
(4.1.91b)
rechnen. Das Drehmoment wird dann
U0 N BA
M (t) = N A B · I(t) · sin(ωt + δ) = N A B ·
−
ω sin(ω t) · sin(ωt)
R
R
(4.1.92)
Dabei muss für I(t) die beiden Teilströme eingeteilt werden. Das Drehmoment als
Funktion der Zeit ist dann
1
Beachte die Phasenverschiebung zwischen magnetischem Fluss und Drehmoment!
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
141
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
142
N 2 A2 B 2 ω
M (t) = −
sin2 (ωt)
R (
N AB
U0 ,
wenn 2jπ ≤ ωt < (2j + 1)π;
sin(ωt)
(j ∈ Z) (4.1.93)
+
−U0 , wenn 2(j + 1)π ≤ ωt < 2(j + 1)π.
R
Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei
dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist bei
ω = 2π/T
Mef f
T
1Z
4N A B U0 N 2 A2 B 2 ω
−
=
M (t)dt =
T
πR
R
(4.1.94)
0
Im Mittel ist das Drehmoment des ruhenden Motors
Mef f (0) = Mmax =
4N A B U0
.
πR
(4.1.95)
Die maximale Drehzahl ist (wenn Mef f (ωmax ) = 0)
ωmax =
4U0
πN AB
(4.1.96)
Diese Charakteristik (Nebenschlussmotor) hat man immer dann, wenn das erregende Feld B unabhängig von der Drehzahl ist, bei Permanentmagneten oder wenn
die Spule für die Erregerwicklung parallel zum Anker angeschlossen ist. Will man
die Drehzahl erhöhen, muss man das Feld B schwächen.
4.1.9.2.1. Gemittelte Betrachtung Die vorherige Betrachtung kann auch gemittelt durchgeführt werden.
M = N A B · I · sin(ωt + δ).
(4.1.97)
Das mittlere Drehmoment bei einem Motor, bei dem der Kommutator immer bei
dem Winkel, bei dem das Drehmoment null wird, das Vorzeichen ändert, ist
Mef f =
N AB
√ I = N A B Ief f
2
(4.1.98)
Mit dem Widerstand des Ankers R kann man den mittleren Strom aus der wirkenden Spannung U0 − Uef f,i berechnet werden
Ief f =
U0 − Uef f,i
U0 N A B
=
− √ ω
R
R
R 2
(4.1.99)
Die angelegte Spannung U0 ist eine Gleichspannung, deshalb darf kein Effektivwert
berechnet werden. Damit hängt das Drehmoment von der Drehzahl ab
U0 N A B
N A B U0 N 2 A2 B 2
ω
Mef f (ω) = N A B
− √ ω =
− √
R
R
R 2
2R
!
142
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
(4.1.100)
143
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Das Drehmoment des ruhenden Motors ist also
Mef f (0) = Mmax =
N A B U0
R
und die maximale Drehzahl (mit Mef f (ωmax ) = 0) ist
√
2U0
ωmax =
N AB
(4.1.101)
(4.1.102)
Verglichen√mit Gleichung (4.1.96) hat sich nur der Vorfaktor geändert, von 4/π ≈
1.273 zu 2 ≈ 1.414. Mit der gemittelten Betrachtung überschätzen wir die maximale Drehzahl!
4.1.9.3. Rotierende Leiterschlaufe als Hauptschlussmotor
Abbildung 4.20.: Links ist die Schaltung des Nebenschlussmotors, rechts die des
Hauptschlussmotors gezeigt.
Ist wie beim Hauptschlussmotor die Erregerwicklung in Serie zur Ankerwicklung
geschaltet, gibt es keine maximale Drehzahl. Eine lange Zylinderspule (Länge `,
Windungszahl N ) hat das Magnetfeld
B(t) = µ0
N
I(t),
`
(4.1.103)
sofern der Einfluss der Induktivität vernachlässigt werden kann. Diese würde für
eine Änderung der Amplitude und der Phase sorgen. Für andere Geometrien gilt
das gleiche Gesetz, aber mit einem geometrieabhängigen Vorfaktor K 0 .
Im statischen Falle ist der Strom nur vom Gleichstromwiderstand RE der Erregerspule abhängig. Sonst müsste R̃ = RE + ZLE verwendet werden.
NE
IE (t) = K IE (t)
(4.1.104)
`E
wobei alle Vorfaktoren in den Faktor K zusammengezogen wurden. Spannung und
Strom an der Feldspule oder Erregerspule hängen über
B(IE (t)) = K 0 µ0
UE (t) = I(t) RE + LE
dI(t)
dt
(4.1.105)
zusammen.
Der durch den Anker fliessende Strom ist mit Ui (t) = − dtd (N B(UE (t)) A sin(ωt))
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
143
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
144
und I(t) = IE (t) sowie dem Resultat von Gleichung (4.1.105) gegeben.
I(t) =
U0 − UE (t) − Ui (t)
R
"
#
RE
LE dI(t)
1
d
U0
− I(t)
−
−
− (N B(I(t)) A sin(ωt)) (4.1.106)
=
R
R
RE dt
R
dt
Eingesetzt
R I(t) = U0 − I(t) RE − LE
dI(t)
d
+ N A K (I(t) sin(ωt))
dt
dt
(4.1.107)
und umgestellt
d
LE
I(t) sin(ωt) −
dt
N AK
U0
(R + RE )
I(t) = −
N AK
N AK
−
(4.1.108)
Wenn der Kommutator den Stromfluss im Anker umstellt, bekommt man
d
LE
I(t) − sin(ωt) −
dt
N AK
−
(R + RE )
U0
I(t) = −
N AK
N AK
(4.1.109)
Die Lösungen dieser beiden Differentialgleichungen müssen beim Umschalten des
Kommutators jeweils gleich sein. I(t) kommt nur linear vor, das heisst, man kann
die Gleichungen als komplexe Gleichungen schreiben, indem sin(ωt) → i exp(iωt)
gesetzt wird. Weiter kann
I(t) =
∞
X
ak exp(ikωt)
(4.1.110)
k=0
gesetzt werden. Dies führt zu einer Rekursion für die Koeffizienten ak . Noch unbekannt ist der Phasenwinkel zwischen den beiden
Die weitere Rechnung ist kompliziert. Man müsste auch die Induktivität der Spulen
berücksichtigen.
4.1.9.3.1. Gemittelte Betrachtung
Der durch den Anker fliessende Strom ist
√
mit Uef f,i = N B(UE ) Aω/ 2 durch
Ief f =
U0 − UE − Uef f,i
U0 UE
N B(UE ) A
√
=
−
−
ω
R
R
R
R 2
(4.1.111)
gegeben.
Da Ief f = IE,ef f und UE = RE · IE,ef f sind, gilt
Ief f =
U0 RE
KNA
√ Ief f ω
−
Ief f −
R
R
R 2
(4.1.112)
oder
Ief f
144
U0
=
R + RE +
√
K√
NA
2
ω
= √
2R +
√
2U
2 RE + K N A ω
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(4.1.113)
145
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Damit wird das Drehmoment
2
Mef f (ω) = N A B(Ief f )Ief f = N A K Ief
f
(4.1.114)
Eingesetzt bekommt man
Mef f (ω) = h √
2 N A K U02
i2
√
2 R + 2 RE + K N A ω
(4.1.115)
Mef f (ω) ist für alle ω grösser als null. Dieser Motor hätte, ohne Lagerreibung, eine
unendlich grosse maximale Drehzahl. Das Startdrehmoment für ω = 0 ist
Mef f (0) = Mmax =
N A K U2
[R + RE ]2
(4.1.116)
Nebenschlussmotor und Hauptschlussmotor
6
MN(ω)
MH(ω)
5
M/Nm
4
3
2
1
0
0
100
200
ω/s−1
300
400
500
Abbildung 4.21.: Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren aus
der gemittelten Betrachtung. Die Kurven wurden mit N = 1000,
A = 0.001 m2 , U = 5 V, R = 0.1 Ω und B = 0.1 T. Die beiden
Motoren sind so berechnet, dass sie das gleiche Startdrehmoment und dass RE = R/2 ist (eine vernünftige Annahme).
Versuch zur Vorlesung:
Linearmotor (Versuchskarte EM113)
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145
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
146
4.1.10. Betatron
Versuch zur Vorlesung:
Betatron (Versuchskarte EM167)
Die Idee hinter der Konstruktion des Betatrons ist, dass bei einem zeitabhängigen
B-Feld nach rot E = −∂B/∂t auch ein zeitabhängiges E-Feld existiert.
Abbildung 4.22.: Skizze eines Betatrons
Nach dem Induktionsgesetz rot E = −∂B/∂t hat das durch ein in die z-Richtung
zeigende Magnetfeld induzierte elektrische Feld keine z-Komponente. Nehmen wir
an, dass das E-Feld eine Radialkomponente hätte. Sie könnte zum Beispiel in
die y-Richtung zeigen. Rotieren wir die ganze Anordnung um π um die y-Achse
und kehren die Richtung des B-Feldes um, haben wir wieder die Ausgangsanordnung. Mit der Richtungsumkehr von B hat aber auch E die Richtung geändert
(Induktionsgesetz). Dies ist aber im Widerspruch zur Ausgangssituation. Deshalb
kann es kein radiales E-Feld geben: das E-Feld ist tangential und beschleunigt die
geladenen Teilchen. Damit die Teilchen auf der Kreisbahn bleiben, muss
m
v2
= e · v · B(t)
R
(4.1.117)
oder
mv(t) = p(t) = e · B · R
(4.1.118)
Das zweite Newtonsche Axiom in tangentialer Richtung angewandt bedeutet
dp(t)
= eE(t)
dt
(4.1.119)
Mit der Integralform des Induktionsgesetzes erhält man mit einer stationären
146
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147
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
Kreisbahn S(R) mit dem Radius R
I
S(R)
d
E(t) · ds = E(t) · 2πR = −
dt
"
B(t) · da =
dB̄(t)
· πR2
dt
(4.1.120)
A(R)
wobei B̄ das über die Fläche des Kreises gemittelte B-Feld ist. Durch Kombination
der obigen Gleichungen und unter Berücksichtigung der Vorzeichen erhalten wir
dp(t)
e · R dB̄
=
·
dt
2
dt
(4.1.121)
Die Integration mit den Anfangsbedingungen p(0) = 0 und B(0) = 0 liefert
p(t) =
e·R
· B̄(t)
2
(4.1.122)
Der Vergleich mit der Bedingung für die Zentripetalkraft liefert die WideroeBedingung
B̄(t) = 2 · B(t)
(4.1.123)
Diese Bedingung kann durch eine geeignete Wahl der Form der Polschuhe erreicht
werden.
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147
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
148
4.1.11. Skineffekt
Abbildung 4.23.: Berechnung des Skin-Effektes
Bei Gleichstrom in einem zylindrischen Leiter ist das elektrische Feld konstant über
dem Querschnitt. Nach dem Ampèreschen Durchflutungsgesetz (Siehe Gleichung
(3.8.32)) ist das Magnetfeld proportional zum Abstand.
Für den Fall eines Wechselstroms mit niedriger Frequenz müssen wir das Induktionsgesetz berücksichtigen. Nach dem Induktionsgesetz gilt für die zeitunabhängige
Kurve S, die auf einer Ebene, in der auch die Zylinderachse liegt, liegt
I
S
d
E · ds = −
dt
"
B · da
(4.1.124)
A(S)
Für die eingezeichnete Schlaufe gilt (da ist antiparallel zu B)
h [E(r) − E(r − ∆r)] =
d(−B̄)
· (−h · ∆r)
dt
(4.1.125)
wobei wieder B̄ das über die Fläche ∆r · h gemittelte Magnetfeld ist. Als Zwischenresultat bekommen wir:
[E(r) − E(r − ∆r)]
d(B̄)
=
∆r
dt
Da der Strom zeitabhängig ist, muss auch das E-Feld ortsabhängig sein. Eine homogene Stromverteilung bei Wechselstrom ist bei einem Ohmschen Leiter
148
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149
4.1 Das Faradaysche Induktionsgesetz
nicht vereinbar mit dem Induktionsgesetz. Die Taylorentwicklung von Gleichung
(4.1.124) liefert die betragsmässige Bedingung
∂B (r, t)
∂E (r, t)
=
∂r
∂t
(4.1.126)
Das elektrische Feld muss also bei Wechselstrom mit zunehmendem Abstand vom
Radius zunehmen. Da der Gesamtstrom gegeben ist, ist die Stromdichte an der
Oberfläche konzentriert. Dies ist der Skineffekt.
Anwendung
• Bei Überlandleitungen wird um ein Stahlseil Kupfer (Luxusausführung) oder
Aluminium (das Übliche) gewickelt. Dies erhöht den Widerstand kaum, da
der Skin-Effekt die Stromleitung bei 50 Hz auf etwa 1 cm Tiefe beschränkt.
Die Berechnung der Skintiefe kann nach Jackson [Jac75, pp. 334-338]2 aus dem
Ampèreschen Gesetz Gleichung (3.8.32), dem Faraday’schen Gesetz Gleichung
(4.1.24) und dem mikroskopischen Ohm’schen Gesetz (3.2.2) abgeleitet werden.
Wir beginnen mit den drei Gleichungen
rot B = ∇ × B = µµ0 i
∂B
rot E = ∇ × E = −
∂t
i = σE
(4.1.127)
(4.1.128)
(4.1.129)
und damit
∇ × B = µµ0 σE
(4.1.130)
Wir nehmen mit Jackson eine harmonische Welle an, also B = B 0 exp (iωt) und
E = E 0 exp (iωt). Damit können die obigen Gleichungen umgeschrieben werden
∇ × B 0 = µµ0 σE 0
∇ × E = −iωB 0
(4.1.131)
(4.1.132)
Wenn n der nach aussen zeigende Normalenvektor auf die Grenzfläche VakuumMetall ist und ξ die nach innen zeigende Koordinate ist, kann in der Nähe der
Oberfläche der Nabla-Operator als
∇ ' −n
∂
∂ξ
(4.1.133)
geschrieben werden. Gleichungen (4.1.131) und (4.1.132) lauten dann
2
Jackson rechnet im cgs-System!
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149
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
∂
(n × B 0 ) = µµ0 σE 0
∂ξ
∂
− (n × E 0 ) = −iωB 0
∂ξ
−
150
(4.1.134)
(4.1.135)
Um die beiden Gleichungen zu kombinieren, multiplizieren wir mit dem Kreuzpro∂
dukt oder Vektorprodukt von links mit −n ∂ξ
und verwenden weiter, dass nach
(C.8.1) a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c ist.
∂2
∂2
(n
×
(n
×
B
))
=
((n · B 0 ) n − (n · n) B 0 )
0
∂ξ 2
∂ξ 2
∂
= −µµ0 σ (n × E 0 ) = iµµ0 σωB 0
∂ξ
(4.1.136)
Diese Gleichung hat zwei Komponenten. Es gibt Summanden, die in die Richtung
von B 0 zeigen und Summanden, die in die Richtung von n zeigen. Die Summanden für die beiden Richgtungen ergeben die folgenden zwei Gleichungen, da das
Resultat ja unabhängig von den einzelnen Vektoren sein muss.
∂2
B 0 + iµµ0 σωB 0 = 0
∂ξ 2
n · B0 = 0
(4.1.137)
(4.1.138)
Gleichung (4.1.137) ist eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. Deshalb machen wir den Lösungsansatz B 0 (ξ) = B 0,0 exp (aξ) und setzen
2i
= iµµ0 σω =⇒ δ =
δ2
s
2
µµ0 σω
(4.1.139)
und erhalten über
∂2
2i
B0 + 2 B0 = 0
2
∂ξ
δ
(4.1.140)
die charakteristische Gleichung
a2 +
2i
=0
δ2
(4.1.141)
die Lösungen
√
2i
i−1
a=±
=±
(4.1.142)
δ
δ
Das Vorzeichen + ist physikalisch sinnvoll (es gibt keine zunehmende Amplitude).
Damit ist besteht die Lösung aus einem exponentiellen Abfall mit der Abfalllänge
δ und einem örtlich oszillierenden Teil, also
!
ξ
ξ
B(ξ, t) = B 0,0 exp −
exp i ωt −
δ
δ
150
!!
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(4.1.143)
151
4.2 Energie des Magnetfeldes
Damit ist
s
δ=
2
1
= √
µµ0 σω
πµµ0 σν
(4.1.144)
die Skintiefe bei der Frequenz ω eines Metalls mit der relativen Permeabilität µ
und der Leitfähigkeit σ. Aus Gleichung (4.1.144) kann abgelesen werden, dass
• die Skintiefe mit zunehmender Leitfähigkeit abnimmt,
• mit zunehmender relativer Permeabilität abnimmt und
• mit zunehmender Frequenz abnimmt.
Kupfer
Aluminium
Eisen (µ = 104 )
Edelstahl (µ = 300)
Meerwasser
Leitungswasser
1 Hz
66 mm
83 mm
1.6 mm
25 mm
230 m
7.1 km
16.67 Hz
16 mm
20 mm
390 µm
6.0 mm
55 m
1.7 km
50 Hz
9.3 mm
12 mm
230 µm
3.5 mm
32 m
1.0 km
100 Hz
6.6 mm
8.3 mm
160 µm
2.5 mm
23 m
712 m
1 kHz
2.1 mm
2.6 mm
50 µm
780 µm
7.1 m
230 m
10 kHz
660 µm
830 µm
16 µm
250 µm
2.3 m
71 m
100 kHz
21 µm
26 µm
5.0 µm
78 µm
710 mm
23 m
1 MHz
66 µm
83 µm
1.6 µm
25 µm
23 mm
7.1 m
Tabelle 4.2.: Skintiefen verschiedener Materialien (nach [Wik16a, Wik16b])
4.2. Energie des Magnetfeldes
Abbildung 4.24.: Berechnung der Energie im Magnetfeld
Wir betrachten eine mit einer Wechselstromquelle U (t) = U0 sin(ωt) verbundene
reale Spule. Diese Spule wird modelliert durch einen Widerstand R und eine ideale
Spule L. Die Differentialgleichung dieses Kreises lautet
˙ + R · I(t)
U (t) = L · I(t)
(4.2.1)
Die stationäre Lösung dieser Gleichung hat die Form
IS (t) = I0 cos(ωt − δ)
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(4.2.2)
151
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
152
Für den Fall, dass R ωL ist, bekommt man
IS (t) = −
U0
· cos ωt
ωL
(4.2.3)
Die momentane Leistung der Spannungsquelle ist
PU (t) = U (t) · I(t) = −
U2 1
U02
· sin ωt · cos ωt = − 0 · sin(2ωt)
ωL
ωL 2
(4.2.4)
Die Leistung der Spannungsquelle kann nur die Energie des B-Feldes ändern, da
wir keine dissipativen Elemente haben (R = 0). Wenn man die Differentialgleichung für den Fall mit I(t) multipliziert, bekommt man
PU = U (t) · I(t) = L · I · I˙ =
d L 2
I
dt 2
(4.2.5)
Nun ist aber P = dE/dt. Damit ist die Energie des Magnetfeldes
EL =
L 2
I
2
(4.2.6)
Um die Energiedichte eines Magnetfeldes zu berechnen betrachten wir eine Spule
mit der Selbstinduktivität
B = µ0 nI
(4.2.7)
L = µ0 n2 A`
(4.2.8)
wobei A der Querschnitt der Spule und ` ihre Länge ist. Eingesetzt in die Gleichung
für die Energie EL bekommt man
1
EL = · µ0 n2 A` ·
2
B
µ0 n
!2
=
B2
A`
2µ0
(4.2.9)
Deshalb ist die Energiedichte des B-Feldes
wB =
152
B2
2µ0
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(4.2.10)
153
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
4.3. Magnetische Eigenschaften der Materie
4.3.1. Kugeln im inhomogenen Magnetfeld
Abbildung 4.25.: Diamagnetische (Bi), paramagnetische (Al) und ferromagnetische (Fe) Materialien im inhomogenen Magnetfeld.
Versuch zur Vorlesung:
Dia- und Paramagnetismus (Versuchskarte EM177)
Materie im inhomogenen Magnetfeld zeigt drei verschiedene Verhalten:
diamagnetisches Verhalten Die Materie wird aus dem starken magnetischen Feld
herausgedrückt.
paramagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen.
ferromagnetisches Verhalten Die Materie wird in das starke Feld hineingezogen,
aber sehr viel stärker als bei paramagnetischen Substanzen. Zudem zeigen
diese Substanzen ein remanentes Magnetfeld, auch wenn das äussere Magnetfeld wieder verschwunden ist.
Abbildung 4.26.: Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus
Die Materie im inhomogenen Magnetfeld verhält sich wie wenn die Materie aus
einem Kreisstrom bestände. Auf diesen Kreisstrom wirkt, je nach Umlaufsinn eine
Kraft zum hohen oder zum niedrigen Feld. Das magnetische Moment der Kreisströme ist beim Diamagnetismus antiparallel zu B. Beim Paramagnetismus und
beim Ferromagnetismus zeigt das magnetische Moment in die Richtung von B.
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153
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
154
Der Kreisstrom ist induziert, das heisst, dass seine Richtung von der von B abhängt. Die resultierende Kraft ist die Biot-Savart-Kraft (Siehe Gleichung (3.8.16)).
Sie ist proportional zum Produkt B × d`. Wenn man die Richtung des Magnetfeldes umkehrt, wird auch d` umgekehrt. Die Richtung der Kraft ist als unabhängig
von der Richtung von B.
Wenn der Kreisstrom (die Materie) sich auf der Symmetrieachse eines rotationssymmetrischen inhomogenen Magnetfeldes befindet, ist
Fz = mz ·
∂Bz (z, 0)
∂z
(4.3.1)
wobei mz das induzierte magnetische Moment des Kreisstromes ist.
4.3.2. Der Satz von Larmor
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 162])
Abbildung 4.27.: Illustration zum Satz von Larmor
Wir hatten postuliert, dass das Verhalten der Materie in einem Gradienten eines
Magnetfeldes durch atomare Kreisströme gegeben ist. Wenn wir ein Modell (nach
der Quantenphysik nicht realistisch) eines Atoms betrachten, bei dem ein einzelnes
Elektron auf einer Bahn mit dem Radius r sich um den positiv geladenen Kern
bewegt, ist der resultierende Strom
I = −e
v
2πr
(4.3.2)
Der Betrag des magnetischen Momentes ist dann
1
|m| = πr2 I = e · v · r
2
(4.3.3)
Die Wirkung eines äusseren Magnetfeldes wird berechnet, indem man betrachtet,
wie ein einzelnes Atom auf ein von null anwachsendes äusseres Feld reagiert.
154
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155
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
Abbildung 4.28.: Langsames Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in
einem Atom. Im linken Schaubild sind die positiven Richtungen
definiert.
Im Ausgangszustand ist die Zentripetalkraft F 0 = −me v 2 /r die Coulombanziehung zwischen dem Elektron und dem Kern sowie durch die gemittelte Coulombabstossung durch die anderen Elektronen gegeben. Das anwachsende Magnetfeld
hat die gleiche Wirkung wie beim Betatron: es entsteht ein tangentiales E-Feld,
das das Elektron beschleunigt. Wir setzen die z-Achse nach oben an. In einem
rechtshändigen System ist dann
• das Magnetfeld: −B, Betrag: B
• die Geschwindigkeit: −v, Betrag: v
• die Zentripetalkraft: −F0 , Betrag: F0
• das induzierte elektrische Feld: E, Betrag: E
Wir setzen diese Grössen ein, um vorzeichenrichtig zu rechnen. Aus dem Induktionsgesetz (Siehe Gleichung (4.1.22)) folgt
I
E · dr = 2π · r · E(t) = −
S(r)
d (−B(t))
dB(t)
∂φB
= −πr2 ·
= πr2 ·
∂t
dt
dt
(4.3.4)
Dabei ist φB = (−B) · A. Wir erhalten also
E(t) =
r dB(t)
·
2
dt
(4.3.5)
Die Beschleunigung des Elektrons (nicht-relativistisch) ist durch das zweite Newtonsche Gesetz gegeben
me
dv
e · r dB(t)
= −e · E = −
·
dt
2
dt
(4.3.6)
Hier ist me die Ruhemasse des Elektrons. Die Geschwindigkeitsänderung hängt
also mit der Magnetfeldänderung wie folgt zusammen
dv = −
e·r
· dB
2me
(4.3.7)
Der gesamte Geschwindigkeitszuwachs des Elektrons ist also
∆v = −
e·r
·B
2me
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(4.3.8)
155
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
156
wenn B das Feld im Endzustand ist. Der Betrag der Geschwindigkeit hat also
zugenommen. Nun bewirkt das äussere B-Feld die Lorentzkraft
F L = −e · (−v) · (−B)er
(4.3.9)
die, nach der rechten Hand-Regel, zum Kreiszentrum zeigt. Die Zentripetalkraft
ist im Endzustand durch
(−v + ∆v)2
F = −me
(4.3.10)
r
Da v ∆v ist, können wir nach Taylor entwickeln
me 2
v − 2v · ∆v
r e·r
me 2
v + 2v ·
·B
= −
r
2me
me
= − v2 − e · v · B
r
= F0 + FL
F ≈ −
(4.3.11)
Die Lorentz-Kraft bewirkt also, dass die Elektronenbahnen für kleine Geschwindigkeitsänderungen sich nicht ändern. Die Larmorwinkelgeschwindigkeit in Abhängigkeit der Zunahme der Bahngeschwindigkeit und der magnetischen Induktion ist
Ω≡
∆v
e·B
=
r
2me
(4.3.12)
und vektoriell geschrieben
Larmorwinkelgeschwindigkeit
Ω=
e
B
2me
(4.3.13)
In einem mit der Winkelgeschwindigkeit Ω rotierenden System sind
die Elektronenbahnen im Atom unverändert.
Der Satz von Larmor gilt allgemein, auch bei beliebiger Orientierung von Magnetfeld und Bahnebene des Elektrons. Der Satz von Larmor bildet die Grundlage des
Verständnisses des Diamagnetismus.
156
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157
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
Abbildung 4.29.: Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel
Man kann den Satz von Larmor aus der Kreiseltheorie ableiten. Das Elektron ist,
bei einer Bahn mit konstantem Radius, ein starrer Körper. Dieser Kreisel hat den
Drehimpuls
L = me · (r × v)
(4.3.14)
Das magnetische Moment des Kreisstromes ist nach Gleichung (4.3.3)
m=−
e
L
2me
(4.3.15)
Der Kreisel erfährt ein mechanisches Drehmoment (Siehe Gleichung (3.8.25))
M =m×B
(4.3.16)
Der Drehimpulssatz bedeutet, dass
dL
e
e
=M =−
L×B =
B×L
dt
2me
2me
(4.3.17)
Wir erhalten also eine Präzessionsbewegung des Drehimpuslvektors L um B mit
der Winkelgeschwindigkeit Ω (siehe auch [Mar14, Seite 190, Gleichung (6.3.30)])
dL
=Ω×L
dt
(4.3.18)
Wir erhalten die
vektorielle Schreibweise der Larmorfrequenz
Ω=
e
B
2me
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(4.3.19)
157
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
158
4.3.3. Diamagnetismus
Abbildung 4.30.: Berechnung des Diamagnetismus
Im diamagnetischen Atom ist die Summe aller magnetischer Momente der Elektronen exakt null.
X
mA =
mj = 0
(4.3.20)
j
Man kann sich dies vereinfacht so vorstellen, dass jede Elektronenbahn von zwei
gegenläufigen Elektronen besetzt ist. Ein diamagnetisches Atom hat deshalb, ohne
äusseres B-Feld eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung. Diese entsteht, weil
sich die einzelnen Elektronenbewegungen über die Zeit ausmitteln.
Wenn ein B-Feld eingeschaltet wird, beginnt diese kugelsymmetrische Ladungsverteilung mit der Larmorfrequenz zu präzedieren. Durch diese Präzession im Magnetfeld entsteht ein von null verschiedenes magnetisches Moment mA , das zum
Diamagnetismus führt. Zur vereinfachten Berechnung nimmt man an, dass das
Atom eine homogen geladene Kugel ist mit der Ladungsdichte
ρel = −
Ze
(4/3)πR3
wobei Z die Kernladungszahl und R der Radius der Elektronenwolke ist.
158
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(4.3.21)
159
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
Abbildung 4.31.: Ein einzelner Kreisstrom
Diese homogen geladene Kugel rotiert im äusseren Magnetfeld mit
Ω=
e
B
2me
(4.3.22)
Durch ein raumfestes Flächenelement fliesst der Strom
δI = ρel · r · dr · dϕ · v (r, ϕ)
(4.3.23)
v (r, ϕ) = Ω · r · sin ϕ
(4.3.24)
mit
Da die Ladungen negativ sind, ist das magnetische Moment mA entgegengesetzt zu
Ω und entgegengesetzt zu B, hier also nach unten, gerichtet. Dieses magnetische
Moment ist
δmA (r, ϕ) = Fläche · Strom = πr2 sin2 ϕ · δI
(4.3.25)
oder
δmA (r, ϕ) = πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · v (r, ϕ)
= πr2 sin2 ϕ · ρel · r · dr · dϕ · Ω · r · sin ϕ
= πr4 sin3 ϕ · ρel · Ω · dr · dϕ
(4.3.26)
Der Betrag des gesamten magnetischen Momentes erhält man durch Integration
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159
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
160
über r und ϕ Er ist
|mA | =
ZR Zπ
δmA (r, ϕ) drdϕ
(4.3.27)
0 0
= π · ρel · Ω ·
ZR
4
r · dr ·
0
= π · ρel · Ω ·
ZR
=
=
=
sin3 ϕ · dϕ
0
r4 · dr ·
0
=
Zπ
4
3
R5 4
π · ρel · Ω ·
·
5
3
5
4
Z ·e
R
·
π · 4π 3 · Ω ·
5
3
R
3
5
Z ·e
eB
R
4
π · 4π 3 ·
·
·
2me
5
3
R
3
2
2
Z ·e ·B ·R
10me
Vektoriell geschrieben erhalten wir für das diamagnetische Moment
Z · e2 · R2
B
mA = −
10me
(4.3.28)
Diese diamagnetische Moment ist in allen Atomen vorhanden. Bei paramagnetischen und ferromagnetischen Substanzen wird es unterdrückt.
4.3.4. Magnetisierung
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 170])
Abbildung 4.32.: Atomare Kreisströme
Die gesamte makroskopische Magnetisierung ist das mittlere magnetische Moment
pro Volumeneinheit
P
mAi
M (R) = ∆V
(4.3.29)
∆V
160
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
161
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
Dabei ist mA1 das magnetische Moment eines Atoms oder einer Atomgruppe,
wobei ∆V ein geeignetes Volumenelement ist. Eine Probe heisst homogen magnetisiert, wenn M (r) unabhängig vom Probenort ist.
Das externe Magnetfeld soll senkrecht zur Bildebene des obigen Bildes sein. Die
atomaren Kreisströme müssen dann in der Bildebene liegen. Betrachten wir ein
Flächenelement da, das senkrecht zur Bildebene liegt, dann stellen wir fest, dass
alle Kreisströme zweimal durch dieses Ebenenelement gehen, einmal in positiver
und einmal in negativer Richtung. Bis auf die Ströme an den Rändern heben sich
alle Ströme auf. Das heisst, dass das mittlere Stromdichtefeld
i=0
(4.3.30)
ist, da dI(a) = i · da. Nur die Ströme am Rand, die Oberflächenströme mit
der Stromdichte j, können deshalb die Quelle der beobachteten makroskopischen
Magnetisierung sein. Für eine Probe der Höhe ∆z ist der gesamte Strom an der
Oberfläche
∆I = ∆z · j
(4.3.31)
Diese makroskopischen Oberflächenströme erklären die experimentellen Beobachtungen. Da für ein diamagnetisches Atom m entgegengesetzt zum Magnetfeld
gerichtet ist, und da damit auch die makroskopische Magnetisierung M entgegengesetzt zum Magnetfeld gerichtet ist, wird diese Probe wie beobachtet vom
Magnetfeldgradienten abgestossen.
Das magnetische Feld aller Kreisströme muss identisch mit dem externen Feld B
sein. Nun ist aber das magnetische Moment eines Kreisstromes in genügender Entfernung nicht von der Fläche dieses Stromes abhängig. Deshalb muss die Summe
aller einzelner atomarer magnetischer Momente dem magnetischen Moment des
Oberflächenstromes gleich sein.
ma · n · A · ∆z = A · I = A · j · ∆z
(4.3.32)
wobei n die Volumendichte der Atome ist. Die Oberflächenstromdichte
j = ma · n = M
(4.3.33)
ist gleich der Magnetisierung.
4.3.5. Das magnetische Moment des Elektrons: Spin
Neben den von der Bahnbewegung herrührenden magnetischen Momenten hat
zum Beispiel das Elektron ein magnetisches Moment, das von seinem Drehimpuls
s (Spin) herrührt.
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
161
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
162
Abbildung 4.33.: Elektronenspin
Zu diesem Drehimpuls oder Spin gehört ein entsprechendes magnetisches Moment
ms . Aus der Quantenmechanik weiss man, dass die Projektion des Spins auf eine
raumfeste Achse einen festen Betragswert
sz =
1 h
1
= ~
2 2π
2
(4.3.34)
hat, wobei das Plancksche Wirkungsquantum durch
h = 6.63 × 10−34 J s
(4.3.35)
oder mit 2π~ = h
~ ≈ 10−34 J s
ist. Nach der Quantenmechanik gilt
ms = −
e
s
me
(4.3.36)
Nach der klassischen Mechanik (rotierende homogen geladene Kugel) wäre ms,klass =
−(1/2) mee s. Die Grösse des magnetischen Momentes eines Elektrons ist
|ms,z,klass | =
e
~ ≡ 1µB = 0.927 × 10−23 A m2
2me
(4.3.37)
auch bekannt unter dem Namen Bohrsches Magneton. Das magnetische Moment
des Elektrons ist dann
ms = gµB es
(4.3.38)
Hier ist g der Landé-Faktor, der für die klassische Quantenmechanik und das Elektron g = −2 und gemessen g = −2.002 319 304 361 82(52) ist[Cod17a]. (52) ist die
Unsicherheit der letzten zwei Stellen. Dieser Wert ist in Übereinstimmung mit der
Quantenelektrodynamik. g-Faktoren können auch für Atome und andre Objekte
definiert werde. Für das Proton erhält man gp = 5.585694702(17) [Cod17b].
4.3.6. Paramagnetismus
(Siehe Kneubühl, Repetitorium der Physik [Kne78, pp. 262])
Bei paramagnetischen Atomen hebt sich das magnetische Bahnmoment der einzel-
162
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
163
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
nen Elektronen eines Atoms sowie deren von den Spins herrührendes magnetisches
Moment nicht vollständig auf.
mA , 0
(4.3.39)
Das magnetische Moment eines paramagnetischen Atoms hat die Grössenordnung
eines Bohrsche Magneton 1µB . Ohne äusseres Magnetfeld verschwindet die makroskopische Magnetisierung, da die einzelnen atomaren magnetischen Momente
ungeordnet sind. Im äusseren Magnetfeld ordnen sich die magnetischen Momente
teilweise, da die thermische Brownsche Bewegung, temperaturabhängig, für Unordnung sorgt.
Die Magnetisierung kann mit der folgenden Überlegung berechnet werden. Wir
setzen an
H = (0, 0, H)
m = (m sin Θ cos φ, m sin Θ sin φ, m cos Θ)
dΩ = sinΘdΘdφ = −d(cos Θ)dφ
(4.3.40)
Die Energie des magnetischen Dipols m im Magnetfeld H hängt nur von Θ ab.
Wir machen eine Koordinatentransformation auf u = cos Θ. Die Energie ist dann
Epot = −mA · B = −mA · (µ0 H) = −µ0 mA H cos Θ = −µ0 mA Hu
(4.3.41)
Die Magnetisierung Mz in der z-Richtung, der Richtung des Magnetfeldes H, ist
Mz =
1 X
mA = N mA hcos Θi = N mA hui
z
V
(4.3.42)
Bei endlichen Temperaturen müssen die potentiellen Energien Epot nach der Boltzmannstatistik verteilt sein, also
R
hcos Θi =
Ω
cos Θe−Epot /kB T dΩ
R
=
−Epot /kB T dΩ
Ωe
R 2π R π
0
0
cos Θex cos Θ sin ΘdΘdφ
x cos Θ sin ΘdΘdφ
0 e
R 2π R π
0
(4.3.43)
mit x = µ0 mH/kB T . In der Koordinate u und nach Ausführen der trivialen Integration über φ lautet die Gleichung
R1
uexu du
xu
−1 e du
hui = R−11
(4.3.44)
Wir wechseln auf û = −u und erhalten
R1
hui = −
−xû
dû
−1 ûe
R1
−xû dû
−1 e
= coth x −
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
1
= L(x)
x
(4.3.45)
163
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
164
wobei L(x) die Langevin-Funktion ist. Also ist
µ0 mA H
kT
mA B
= nmA L
kB T
#
"
kB T
mA B
−
= nmA coth
kB T
mA B
Mz = nmA L
(4.3.46)
wobei n die Zahlendichte der Spins ist.
Diese klassisch berechnete Magnetisierung ist für kleine Magnetfelder, also kT mA B verifizierbar. Da für x 1 die Reihenentwicklung L(x) = x/3 + O(x2 ) gilt,
bekommen wir das Curie-Gesetz
M=
C
1 nm2A
B = χH = H
3 kb T
T
(4.3.47)
Hier ist C die volumenbezogene Curie-Konstante
C = µ0 n
m2A
3kb
(4.3.48)
Alternativ kann die Curie-Konstante auch mit molaren Grössen ausgedrückt werden, indem wir mmol = NA mA setzen.
Cmol = µ0
m2mol
3R
(4.3.49)
M
MS
H
Abbildung 4.34.: Schematischer Verlauf der Magnetisierung (Curie-Gesetz für
kleine B). MS ist die Sättigungsmagnetisierung.
4.3.7. Ferromagnetismus
Versuch zur Vorlesung:
Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM175)
164
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165
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
Ferromagnetische Atome haben genau so wie paramagnetische Atome ein permanentes magnetisches Moment mA . Im Gegensatz zu den Paramagneten bleibt
jedoch auch ohne äusseres Magnetfeld ein magnetisches Moment übrig. Die Magnetisierung als Funktion des Magnetfeldes kann mit der unten stehenden Apparatur
gemessen werden.
Abbildung 4.35.: Messung der Hysterese eines Ferromagneten. Rot ist der Primärkreis, grün der Sekundärkreis.
Versuch zur Vorlesung:
Ferromagnetismus - Modellversuch (Versuchskarte EM205)
Unter Vernachlässigung der Selbstinduktion ist die Differentialgleichung für den
Sekundärkreis
dB(t) Q(t)
− A·
−
= R2 · I2 (t)
(4.3.50)
dt
C
Dabei ist Q(t) die Ladung am Kondensator. Wir schreiben den Strom als zeitliche
Ableitung der Ladung.
−
A dB(t)
Q(t) dQ(t)
·
=
+
R2
dt
R2 C
dt
(4.3.51)
Die Anregung in dieser Schaltung ist ein Strom I1 (t), der die Frequenz ω hat. Also
ist auch Q(t) eine periodische Funktion mit der gleichen Frequenz. Bei harmonischen Funktionen gilt, dass dQ(t)/dt ≈ ωQ(t) ist. Wenn 1/RC ω ist, kann der
erste Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden. Dann gilt
Q(t) = const · B(t)
(4.3.52)
und damit für die Spannung am Kondensator
UC (t) = Q(t)/C ∝ B(t)
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
(4.3.53)
165
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
166
Der Ausgangsstrom I(t) selber erzeugt das anregende Feld.
B
H
Abbildung 4.36.: Hysteresekurve eines Ferromagneten
Diese Abbildung zeigt das skizzierte Resultat des obigen Versuches. Interessant ist,
dass bei I = 0, also ohne anregendes Magnetfeld, trotzdem ein Feld B , 0 gemessen
wird. Diese Feld kann nur von einer nichtverschwindenden Magnetisierung ohne
äusseres Feld herrühren. Diese nichtverschwindende Magnetisierung M , 0 ist das
Kennzeichen eines Ferromagneten.
Andererseits gibt es zwei Punkte, bei denen das resultierende Magnetfeld null ist,
obwohl ein äusseres Magnetfeld angelegt wurde. Dies kann nur sein, wenn die
Magnetisierung im Material das äussere Feld gerade kompensiert.
Weiter nimmt für sehr grosse anregende Felder das resultierende Magnetfeld kaum
mehr zu. Man spricht von einer Sättigung der Magnetisierung.
Versuch zur Vorlesung:
Magnetische Bezirke (Versuchskarte EM178)
166
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
167
4.3 Magnetische Eigenschaften der Materie
Abbildung 4.37.: Ferromagnetische Domänen
Das beobachtete Verhalten kann mit ferromagnetischen Domänen, auch Weisssche Bezirke genannt, erklärt werden. Das Material besteht, wie oben skizziert,
aus einer grossen Zahl kleiner Bereiche, die jeder seine eigene Orientierung der
Magnetisierung haben. Die gemittelte Magnetisierung hängt davon ab, wie zufällig die Domänen verteilt sind.
r
Bext = 0
r
Bext
r
Bext
r
M
Abbildung 4.38.: Änderung der Domänenstruktur bei stärker werdendem äusserem Magnetfeld
Wird ein äusseres Magnetfeld angelegt, beginnen die Domänen, die bezüglich des
externen Feldes richtig orientiert sind, zu wachsen, die anderen schrumpfen. Die
makroskopische Magnetisierung wächst, hinkt aber hinter der Anregung zurück.
Domänen ändern die Richtung ihrer Magnetisierung nicht, sie ändern nur ihre Grösse.
Bei der Änderung der Grösse der Domänen müssen Domänenwände verschoben
werden. Dies kostet Energie und zeigt sich als Hysterese. Dieser Energieverlust bei
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
167
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
168
der Grössenänderung stabilisiert aber auch die Domänen.
B
H
Abbildung 4.39.: Löschen des remanenten Magnetismus
Um die makroskopische Orientierung der Domänen zum Verschwinden zu bringen,
muss man die ferromagnetische Substanz langsam aus einem Wechselfeld entfernen. Das Bild oben zeigt die resultierenden Hysteresekurven. Die Hystereseschlaufe
wird so quasikontinuierlich auf einen Punkt, den Ursprung des Koordinatensystems
zusammengezogen.
Anwendung: Entmagnetisieren von Schraubenziehern, Löschen von Tonbändern.
4.4. Zusammenfassung: Elektrodynamik: zeitlich
veränderliche Magnetfelder
Magnetischer Fluss Gleichung (4.1.4)
"
φB =
B · da
A
Lorentztransformation der EMK Gleichung (4.1.11)
0
UEM
K = γ(v)UEM K
Induktionsgesetz von Faraday Gleichung (4.1.22)
I
S
"
E · ds = −
∂
B · da
∂t
A(S)
Differentielle Form des Induktionsgesetzes von Faraday Gleichung (4.1.24)
rot E = −
168
∂B
∂t
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169
4.4 Zusammenfassung: zeitlich veränderliche Magnetfelder
Magnetfeld einer langen Spule Gleichung (4.1.35)
B = µ0
N
I
`
Fluss einer langen Spule Gleichung (4.1.36)
φB = N · B · A = µ0
N2
I · A = µ0 n2 A`I
`
Selbstinduktivität einer langen Spule Gleichung (4.1.37)
φB
N2
= µ0
A = µ0 n2 A`
I
`
L=
Selbstinduktionsspannung Gleichung (4.1.40)
U =−
dφm
dI
= −L
dt
dt
Übersetzungsverhältnis eines Transformators Gleichung (4.1.52)
U2 = −
N2
U1
N1
Übersetzungsverhältnis eines Transformators Gleichung (4.1.53)
I2 = −
N1
I1
N2
Übersetzungsverhältnis eines Transformators für Leistungen Gleichung (4.1.54)
U2 I2 = U1 I1
Maschenregel Gleichung (4.1.55)
X
∀k
X
Uk =
Quellen
∀j
Uj
Verbraucher
Knotenregel Gleichung (4.1.56)
X
∀k
Ik = 0
eines Knotens
Effektivspannung Gleichung (4.1.65)
Uef f = Urms =
v
u
t+T
Z
u
u1
t
U 2 (τ )dτ
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T
t
169
Elektrodynamik: zeitlich veränderliche Magnetfelder und magnetische
Induktionen
Impedanz einer Spule Gleichung (4.1.69)
XL = ωL
Impedanz eines Kondensators Gleichung (4.1.76)
XC =
1
ωC
Schwingkreis Gleichung (4.1.84)
d2 I R dI
1
+
I=0
+
2
dt
L dt LC
Induzierte Spannung in Generator Gleichung (4.1.88)
N BAω
√
2
Uef f,i =
Drehmomentkurve eines Nebenschlussmotors Gleichung (4.1.94)
N AB
Mef f (ω) = √
2
N BA
U
N ABU
N 2 A2 B 2
√ −
− √ ω =
ω
R
2R
R 2
R 2
!
Drehmomentkurve eines Hauptschlussmotors Gleichung (??)

Mef f = N A
µ0 NE 
`E
R + RE +
U
µ0 · K · N√· NE · A
ω
`E 2
Wideroe-Beziehung für das Betatron Gleichung (4.1.123)
B̄(t) = 2 · B(t)
Energiedichte des Magnetfeldes Gleichung (4.2.10)
wB =
B2
2µ0
Larmorfrequenz Gleichung (4.3.19)
Ω=
e
B
2m
Diamagnetisches Moment Gleichung (4.3.28)
mA = −
170
Z · e2 · R 2
B
10me
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2

170
171
4.4 Zusammenfassung: zeitlich veränderliche Magnetfelder
Magnetisches Moment des Elektrons Gleichung (4.3.36)
ms = −
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e
s
me
171
5. Die Maxwellschen Gleichungen
5.1. Was wissen wir?
(Siehe Leisi, Klassische Physik II [Lei98, pp. 251])
Maxwellgleichungen werden gebraucht, um die Funktionsweise von
• Radiowellen
• Mikrowellen
• Mobiltelefonen
zu erklären.
Bis jetzt kennen wir die folgenden Gleichungen um die elektrischen Phänomene zu
beschreiben:
Gausssches Gesetz (2.3.8)
div D = ρel
I
∂B
Induktionsgesetz (4.1.24)
rot E = − ∂t
II
Quellenfreiheit (3.8.42)
div B = 0
III
Durchflutungsgesetz (3.8.34)
rot H = i
IV
5.2. Auflösung des Widerspruchs zur
Kontinuitätsgleichung, Maxwellgleichungen
Zusätzlich zu den obigen Gleichungen muss die Kontinuitätsgleichung für Ladungen
gelten
∂ρel
div i = −
(5.2.1)
∂t
Diese Kontinuitätsgleichung ist im Widerspruch zum Durchflutungsgesetz. Dies
sieht man, indem man die Divergenz auf das Durchflutungsgesetz anwendet.
div (i) = −
∂ρel
= div rot H ≡ 0
∂t
(5.2.2)
im Widerspruch zur Kontinuitätsgleichung. Dieser Widerspruch wurde von Maxwell aufgelöst, indem er das Durchflutungsgesetz ergänzt hat.
rot H = i +
∂D
∂t
(5.2.3)
Die Grösse ∂D
hat die Dimension einer Stromdichte. Diese Maxwellsche Verschie∂t
bungsstromdichte macht das Durchflutungsgesetz mit der Kontinuitätsgleichung
Die Maxwellschen Gleichungen
174
kompatibel. Der Strom ist bei dem modifizierten Durchflutungsgesetz durch
i = rot H −
∂D
∂t
(5.2.4)
Die Divergenz davon ist (mit div rot X ≡ 0)
div i = − div
∂D
∂t
!
=−
∂
∂ρel
( div D) = −
∂t
∂t
(5.2.5)
Damit ist gezeigt, dass die Gleichungen I-III zusammen mit dem modifizierten
Durchflutungsgesetz auch die Kontinuitätsgleichung beinhalten.
5.3. Maxwellgleichungen
Dieser Satz Gleichungen wird die
Maxwell-Gleichungen
div D = ρel
∂B
rot E = −
∂t
div B = 0
∂D
rot H = i +
∂t
I
(5.3.1)
II
III
IV
genannt. (Ursprüngliche Ableitung der Gleichungen: (2.3.8), (4.1.24), (3.8.42) und
(5.2.3))
Zusammen mit dem Kraftgesetz (siehe (4.1.21))
F = q · (E + v × B)
(5.3.2)
hat man eine vollständige Charakterisierung der Elektrodynamik für isotrope Materialien.
Die Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, die eingeführt wurde
um die Maxwellgleichungen mit der Kontinuitätsgleichung kompatibel zu machen, führt dazu, dass man aus den Maxwellgleichungen
elektromagnetische Wellen vorhersagen kann.
Die Maxwellgleichungen sind nicht invariant unter der GalileiTransformation. Diese Beobachtung war ein wichtiger Meilenstein
auf dem Weg zur speziellen Relativitätstheorie.
174
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
175
5.3 Maxwellgleichungen
Die Integralform des modifizierten Durchflutungsgesetzes ist
"
"
∂D
i+
∂t
rot H · da =
A(S)
!
I
· da =
H · ds
(5.3.3)
S
A(S)
wenn man den Satz von Stokes (Siehe Gleichung (C.11.1)) anwendet. S ist eine
beliebige Kurve und A(S) die durch sie berandete Fläche.
Das Gausssche Gesetz liefert
∂ρel
∂
=
( div D) = div
∂t
∂t
∂D
∂t
!
(5.3.4)
Damit wird die Kontinuitätsgleichung
∂ρel
div i +
= 0 = div i + div
∂t
∂D
∂t
!
= div
∂D
i+
∂t
!
(5.3.5)
Damit ist das Integral über die Fläche in Gleichung (5.3.4) unabhängig von S.
Die Integralformeln der Maxwellgleichungen lauten (ursprüngliche Ableitungen:
(2.3.6), (4.1.22), (3.8.41) und (5.3.3))
"
$
D · da =
ρel (r)dV
A(V )
V
I
∂
− ∂t
E · ds =
B · da
II
A(S)
"
B · da =
A(V )
S
(5.3.6)
"
S
I
I
III
0
"
H · ds =
∂D
i+
· da IV
∂t
!
A(S)
Der Unterschied zwischen der zweiten und der dritten Maxwellgleichung ist, dass
in der zweiten Gleichung über eine einfache, von der Kurve S aufgespannte Fläche
A(S) integriert wird, während in der dritten Gleichung über die das Volumen V
einschliessende Fläche A(V ) integriert wird.
Die angegebenen Maxwellgleichungen gelten für alle Medien, auch mit tensoriellen
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175
Die Maxwellschen Gleichungen
176
Eigenschaften. Dort benötigt man die beiden Materialgleichungen
D = εε0 E
B = µµ0 H
1
E = ε−1 D
ε0
1
H = µ−1 B
µ0
(5.3.7)
um das elektrische Feld und die dielektrische Verschiebung, bzw. das magnetische
Feld und die magnetische Induktion miteinander zu verknüpfen, wobei ε und µ
Tensoren sind.
Die Maxwellgesetze mit explizit eingesetzen Materialgesetzen lauten für beliebige
Materialien
I
II
III
ε0 div (εE)
= ρel
rot E
= − ∂B
∂t
div B
=
0
!
−1 B
= i + ε0 ∂(εE)
rot µ
∂t
µ0
(5.3.8)
IV
in der differentiellen Schreibweise und
"
$
εε0 E · da =
A(V )
V
I
E · ds =
S
A(V )
S
II
B · da
A(S)
B · da =
µ
(5.3.9)
"
∂
− ∂t
"
I
I
ρel (r)dV
−1 B
µ0
"
!
III
0
· ds =
∂ (εE)
i + ε0
∂t
!
· da IV
A(S)
in der Integralschreibweise. Beachten Sie, dass sowohl ε wie auch µ sowohl von der
Zeit wie auch vom Ort abhängen können!
5.4. Maxwellgleichungen in isotropen
zeitunabhängigen Medien
Die Maxwellgesetze beliebige isotrope und zeitunabhängige Materialien
176
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
177
5.5 Anwendung der Maxwellgleichungen
1
ρel
εε0
∂B
rot E = −
∂t
div B = 0
I
div (E) =
(5.4.1)
II
III
rot B = µµ0 i + εε0
∂ (E)
∂t
!
IV
in der differentiellen Schreibweise und
"
$
1
ρel (r)dV
εε0
E · da =
A(V )
I
S
V
∂
E · ds = −
∂t
I
"
II
B · da
A(S)
"
III
B · da =0
A(V )
I
(5.4.2)
"
B · ds =
S
µµ0
∂ (E)
i + εε0
∂t
!
· da
IV
A(S)
in der Integralschreibweise.
5.5. Anwendung der Maxwellgleichungen
Beispiel: Anwendung
Wir betrachten einen langen kreiszylindrischen Leiter mit dem Durchmesser R,
aus dem eine Scheibe mit der Dicke d R herausgeschnitten wurde. Dieser Leiter
werde an eine Gleichstromquelle mit I(t) = I0 angeschlossen. Die Endflächen beim
herausgeschnittenen Stück wirken wie ein Kondensator. Also ist
Q(t) = I0 · t
(5.5.1)
Da wir eine zeitlich konstante Situation haben, sind alle zeitlichen Ableitungen
null. Mit der Integralform des Gaussschen Gesetzes bekommt man mit einer geschlossenen Fläche A, die eine Kondensatorplatte beinhaltet
"
$
E · da =
ε0
(5.5.2)
V (A)
A
ε0 E(t)πR
ρel dV
2
= Q(t)
wobei wir berücksichtigt haben, dass innerhalb des Leiters sowie ausserhalb des
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177
Die Maxwellschen Gleichungen
178
herausgeschnittenen Stückes E = 0 gilt. Damit erhalten wir
E(t) =
Q(t)
I0 (t)
i0
=
t= t
2
2
ε0 πR
ε0 πR
ε0
(5.5.3)
Dabei ist i0 die Stromdichte im Draht, nicht in der Lücke. Das Vektorfeld
∂E
i + ε0
∂t
!
ist homogen im ganzen Zylinder, einschliesslich des herausgeschnittenen Stückes.
Im Leiter ist E = 0, also
I0
i0 =
(5.5.4)
πR2
Im herausgeschnittenen Stück ist i = 0 und damit
i 0 = ε0
I0
∂ I0 (t)
t=
= i0
2
∂t ε0 πR
πR2
(5.5.5)
Deshalb muss B über den ganzen Leiter, inklusive des herausgeschnittenen Stückes,
tangential und translationsinvariant entlang des Leiters sein.
B(r) =
r
µ0
I0 · 2
2π
R
für
r<R
sowie
(5.5.6)
µ0
1
I0 ·
für
r≥R
(5.5.7)
2π
r
Der Maxwellsche Verschiebungsstrom bewirkt also, dass die Stromverteilung im
Leiter in den Zwischenraum verschoben wird. Das modifizierte Ampèresche Durchflutungsgesetz ist die physikalische Rechtfertigung für den umgangssprachlichen
Ausdruck der Strom fliesst durch den Kondensator.
B(r) =
178
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6. Elektromagnetische Wellen
6.1. Die Wellengleichung im Vakuum
Im Vakuum gibt es keine Teilchen, also auch keine geladenen Teilchen. Wir können
also setzen:
ρel (r) = 0
i(r) = 0
Damit lauten die Maxwellgleichungen [Max73] in der Integralform
"
D · da =
A(V )
I
(6.1.1)
"
E · ds =
∂
− ∂t
S
B · da
II
A(S)
"
B · da =
"
H · ds = εε0
S
III
0
A(V )
I
I
0
∂
E · da IV
∂t
A(S)
oder in der differentiellen Form
div D
rot E
div B
rot H
=
0
= − ∂B
∂t
=
0
= ∂D
∂t
I
II
III
IV
(6.1.2)
Im Vakuum ist B = µ0 H sowie D = ε0 E sowie µ = 1 und ε = 1. Zur Ableitung der Wellengleichung sind die differentiellen Maxwellgleichungen besser als die
integralen geeignet. Wir verwenden µ0 ε0 = 1/c2 und erhalten also
div E
rot E
div B
rot B
=
0
=
− ∂B
∂t
=
0
= µ0 ε0 ∂E
=
∂t
1 ∂E
c2 ∂t
I
II
III
IV
(6.1.3)
Elektromagnetische Wellen
180
Die Maxwellgleichungen im Vakuum sind symmetrisch bezüglich E und B. Wir
nehmen die Rotation der zweiten Maxwellgleichung.
rot rot E = − rot
∂
∂B
= − rot B
∂t
∂t
(6.1.4)
Indem wir die Austauschbarkeit von Ableitungen verwenden. Nun setzt man die
vierte Maxwellgleichung in die zweite Gleichung ein. Wir erhalten eine Differentialgleichung für E allein.
1 ∂ 2E
∂ 1 ∂E
=− 2 2
rot rot E = −
∂t c2 ∂t
c ∂t
(6.1.5)
Nun gilt die Vektoridentität
rot rot E = grad div E − div grad E = grad div E − ∆E
(6.1.6)
Wegen der ersten Maxwellgleichung verschwindet der erste Term auf der rechten
Seite. Also lauten die Wellengleichungen
∂ 2E
= c2 ∆E
2
∂t
(6.1.7)
sowie nach einer analogen Ableitung für B
∂ 2B
= c2 ∆B
2
∂t
(6.1.8)
Die nicht-trivialen Lösungen der Wellengleichungen heissen elektromagnetische
Wellen. Dieses Phänomen ist implizit in den Maxwellgleichungen enthalten, die aus
makroskopischen Experimenten abgeleitet wurden. Die Wellengleichung beschreibt
alle Wellenphänomene aus der Kommunikationstechnik, der Optik und der Wechselwirkung von Atomen und Molekülen untereinander, für Abstände von 1nm oder
mehr. Die Maxwellgleichungen sind invariant unter der Lorentz-Transformation,
nicht aber unter der Galilei-Transformation. In jedem Inertialsystem im Vakuum
ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
c= √
1
≈ 3 · 108 m/s
µ 0 ε0
(6.1.9)
Damit haben die Maxwellgleichungen implizit schon 1864 die spezielle Relativitätstheorie vorweggenommen.
In Medien ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit entsprechend
1
1
cm = √
= √ ·c
µµ0 εε0
µε
180
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(6.1.10)
181
6.2 Allgemeine Lösung der Wellengleichung
wobei µ die relative Permeabilität und ε die relative Permittivität ist.
6.2. Allgemeine Lösung der Wellengleichung
Es gibt eine grosse Klasse von Funktionen (skalar oder vektoriell), die die Wellenleitergleichung lösen. Im Folgenden besprechen wir skalare Funktionen, die aber
auch als eine Vektorkomponente aufgefasst werden können. Alle Funktionen, die
nur von einer skalaren Variablen
u = k · r − ωt
(6.2.1)
abhängen lösen die Wellengleichung, wenn sie genügend oft stetig differenzierbar
sind. Wir betrachten die Funktion f (u) = f (u(r, t)). und setzen sie in c2 ∆f (u(r, t)) =
(∂ 2 /∂t2 )f (u(r, t)) ein. Die Kettenregel der Differentiation ergibt für u = k · r −
ωt = kx x + ky y + kz z − ωt
∂f (u) ∂u
∂
f (u(x, y, z, t)) =
·
∂t
∂u " ∂t
#
∂2
∂
∂f (u(x, y, z, t)) ∂u
f (u(x, y, z, t)) =
·
·
∂t2
∂t
∂u
∂t
2
∂ f (u) ∂u ∂u ∂f (u(x, y, z, t)) ∂ 2 u
=
·
·
+
· 2
∂u2
∂t ∂t
∂u
∂t
!2
2
∂ f (u)
∂u
=
·
2
∂u
∂t
(6.2.2)
(6.2.3)
Die letzte Umformung in Gleichung (6.2.3) beruht auf
∂2
∂2
u(r,
t)
=
(kx x + ky y + kz z − ωt) = 0
∂t2
∂t2
Da (∂/∂t)u = −ω ist, ist auch
∂2
∂ 2 f (u)
f
(u(x,
y,
z,
t))
=
· ω2
∂t2
∂u2
Analog erhalten wir für die Raumkomponente x
(6.2.4)
∂
∂f (u) ∂u
f (u(x, y, z, t)) =
·
(6.2.5)
∂x
∂u " ∂x
#
∂2
∂
∂f (u(x, y, z, t)) ∂u
f
(u(x,
y,
z,
t))
=
·
·
∂x2
∂x
∂u
∂x
2
∂ f (u) ∂u ∂u ∂f (u(x, y, z, t)) ∂ 2 u
·
·
+
· 2
=
∂u2
∂x ∂x
∂u
∂x
!2
2
∂ f (u)
∂u
=
·
(6.2.6)
2
∂u
∂x
Also ist wieder mit
d2 u
dx2
= 0 und zyklisch für x, y, z
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181
Elektromagnetische Wellen
182
∆f (r, t) = ∆f (u(r, t))
∂2
∂2
∂2
f
(u(x,
y,
z,
t))
+
f
(u(x,
y,
z,
t))
+
f (u(x, y, z, t))
∂x2
∂y 2
∂z 2
!
=
=
!2

2
∂ f (u)  ∂
u
·
∂u2
∂x
∂ 2 f (u)
·
∂u2
∂ 2 f (u)
·
=
∂u2
=
!
∂
u
∂y
+
kx2 + ky2 + kz2
k2
!2
!
!2 
+
∂
u
∂z

(6.2.7)
Damit lautet die Wellengleichung mit Gleichung (6.2.3), Gleichung (6.2.6), Gleichung (6.2.4) und Gleichung (6.2.7)
∂2
∂2
f
(k
·
r
−
ωt)
=
f (r, t)
∂t2
∂t2
∂ 2 f (u) 2 ∂ 2 f (u)
c2
· k =
· ω2
∂u2
∂u2
c2 k2 = c2 |k|2 = ω 2
(6.2.8)
c2 ∆f (r, t) = c2 ∆f (k · r − ωt) =
Damit können wir sagen:
Jede Funktion E(u) mit u = k · r − ωt ist eine Lösung der Wellengleichung
∂2
2
c ∆E(u(r, t)) = 2 E(u(r, t)),
(6.2.9)
∂t
sofern
ω
c=
(6.2.10)
|k|
gilt.
Aus den Gleichungen (6.1.3) kann die Orientierung von k, E und B berechnet
werden. Wir verwenden die Gleichungen (6.2.9) und (6.2.10) und schreiben alle
Ableitungen nach x, y, z und t als Kettenableitungen zuerst nach u. Wenn E(u)
aus der Wellengleichung bekannt ist, verwenden wir die II. Maxwellgleichung aus
(6.1.3) und erhalten
rot E(u) =
∂ 
∂x
∂ 
 ∂y  × E(u)
∂
∂z
=−
182
=
 ∂u d 
∂x du
 ∂u d 
 ∂y du  × E(u)
=k×
∂u d
∂z ∂u
d
E(u)
du
∂
∂u d
d
B(u) =
B(u) = ω B(u)
∂t
∂t du
du
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183
6.3 Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem
k×
d
d
E(u) = ω B(u)
du
du
(6.2.11)
Wir haben dabei verwendet, dass du/dx = kx , du/dy = ky , du/dz = kz und
du/dt = −ω. Damit ist auch (du/dx, du/dz, du/dz)T = (kx , ky , kz )T = k. Integrieren wir die Gleichung (6.2.11) nach u erhalten wir
k × E = ωB
(6.2.12)
k, E und B bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Dreibein.
Die drei Vektoren stehen paarweise rechtwinklig aufeinander.
Hätten wir die Wellengleichung für B gelöst, hätten wir die Beziehung
k×B =−
ω
E
c2
(6.2.13)
bekommen. Diese Beziehung (6.2.13) ist aber unter Verwendung von (6.2.10) identisch mit (6.2.12).
Betragsmässig haben wir im Vakuum weiter die Beziehung
|E| = c |B| .
(6.2.14)
6.3. Elektromagnetische Wellen im
Doppelleitersystem
Wir untersuchen die Wellenphänomene an 3 Testsystemen,
A. Doppelleitung oder Lecher-Leitung, die besonders einfach auszumessen ist
B. Der Doppelleitung aus parallelen Ebenen, die wichtig für die Printplattentechnologie ist und besonders einfach zu berechnen ist
C. dem Koaxialkabel, der technisch wichtigen Anwendung für Verbindungen.
Versuch zur Vorlesung:
Lecherleitung (Versuchskarte SW025)
Versuch zur Vorlesung:
Koaxialleitung (Versuchskarte SW085)
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183
Elektromagnetische Wellen
184
Abbildung 6.1.: 3 mögliche Doppelleitersysteme. Links die Lecherleitung, in der
Mitte eine Doppelleiterleitung, wie sie bei Printplatten üblich ist
und rechts ein Koaxialkabel
Wenn man das Doppelleitersystem mit elektromagnetischen Wellen mit einer Wellenlänge von etwa λ = 1m speist, beobachtet man folgendes
1. Das am Ende offene Doppelleitersystem zeigt Knoten und Bäuche des E- und
des B-Feldes in Richtung `. Der Abstand der Intensitätsmaxima beträgt λ/2
für beide Felder. Die Maxima der E-Feldes sind gegen denen des B-Feldes
verschoben. Wir haben stehende Wellen.
2. Das am Ende mit einem Kurzschlussbügel versehene System zeigt das gleiche
Verhalten wie vorher. Die Maxima sind jedoch verschoben. Wieder haben wir
stehende Wellen.
3. Wenn das Doppelleitersystem mit einem Widerstand von etwa 400Ω abgeschlossen ist, verschwinden die Maxima. Es gibt keine stehenden Wellen.
4. Die Richtungen von E und B sind analog wie beim Kondensator.
Ansicht von oben
Bestückungsseite
Ansicht von unten
Seite mit Wellenleitern
Abbildung 6.2.: 800 MHz-Breitbandverstärker für Fernsehsignale. Auf der Unterseite sind die Wellenleiterstrukturen sichtbar (Mittlere Struktur
in Abbildung 6.1)
Abbildung 6.2 zeigt beispielshaft eine Hochfrequenzschaltung. Die Wellenlänge der
verstärkten Signale ist zwar einiges grösser als die Schaltung. Die auf der Unterseite sichtbaren Wellenleiterstrukturen verhindern eine unkontrollierte Abstrahlung
elektromagnetischer Energie.
184
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185
6.3 Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem
Abbildung 6.3.: Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung.
Abbildung 6.4.: Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Doppelleitung aus
parallelen Platten
Wir setzen für die E-Welle in der Geometrie der obigen Zeichnung an
Ex (z, t) = −E0 cos (kz − ωt)
Ey (z, t) = 0
Ez (z, t) = 0
(6.3.1)
Dieses Feld erfüllt die Wellengleichung. Wir behaupten, dass das B-Feld durch
Bx (z, t) = 0
(6.3.2)
E0
By (z, t) = − cos (kz − ωt)
c
Bz (z, t) = 0
gegeben ist. Auch diese Gleichung erfüllt sie Wellengleichung. Wir verwenden die
zweite Maxwellgleichung, um zu zeigen, dass die Kopplung richtig ist. Wir schreiben rot E = −(∂/∂t)B in Komponenten
∂Ez ∂Ey ∂Ex ∂Ez ∂Ey ∂Ex
−
,
−
,
−
∂y
∂z ∂z
∂x ∂x
∂y
!
∂Bx ∂By ∂Bz
=−
,
,
∂t ∂t ∂t
!
(6.3.3)
Die x- und die z-Komponenten sind null, nach der Voraussetzung. Die y-Komponen-
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185
Elektromagnetische Wellen
186
te lautet
∂Ex
∂By
=−
(6.3.4)
∂z
∂t
Mit c = ω/k ist diese Kopplungsgleichung, die zweite Maxwellgleichung erfüllt.
Die vierte Maxwellgleichung ist ebenfalls erfüllt. Aus ihr erhält man
∂Ex
∂By
= −c2
∂t
∂z
(6.3.5)
Abbildung 6.5.: Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen
Diese elektromagnetischen Wellen im Innenraum zwischen den beiden Leitern müssen auch in den angrenzenden Leitern Ladungswellen und Stromwellen erzeugen,
die mit den Maxwellgleichungen kompatibel sind. Für die Ladungen gilt mit der
ersten Maxwellschen Gleichung für die Oberflächenladungsdichte
σ (z, t) = −ε0 Ex (z, t) = ε0 E0 · cos(kz − ωt)
(6.3.6)
Die Oberflächenladungsdichte ist eine fortlaufende Welle. Die Erhaltung der elektrischen Ladung bedingt für die Oberflächenladungsdichte in einem Abschnitt der
Breite b
∂σ (z, t)
· b · dz
(6.3.7)
b · [j (z + dz, t) − j (z, t)] = −
∂t
und damit
∂j (z, t)
∂σ (z, t)
=−
= ε0 E0 · ω · sin(kz − ωt)
(6.3.8)
∂z
∂t
Die Integration über z und die Verwendung von c = ω/k ergibt
j (z, t) = ε0 E0 · c · cos(kz − ωt)
186
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(6.3.9)
187
6.3 Elektromagnetische Wellen im Doppelleitersystem
Abbildung 6.6.: Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen
Gesetzes
Mit dem vierten Maxwellschen Gesetz
I
"
B · ds =
S
µ0
∂E
i + ε0
∂t
!
· da er-
A(S)
halten wir mit dem eingezeichneten Integrationsweg, da der Term mit E keinen
Beitrag gibt (er liegt in der Integrationsebene)
− By (z, t) · h = µ0 · h · j (z, t) = µ0 · h · ε0 · E0 · c · cos(kz − ωt) (6.3.10)
Mit ε0 · µ0 = 1/c2 folgt
By (z, t) = −
E0
· cos(kz − ωt)
c
(6.3.11)
eine identische Gleichung zu der im Zwischenraum abgeleiteten. Die Lösung für die
auf dem Zweileitersystem transportierten Wellen ist also kompatibel mit den Maxwellgleichungen. Ladungen und Ströme bewegen sich als Wellen auf der Innenseite
der Leiter.
6.3.1. Wellenwiderstand
Durch die in Abschnitt 6.3 abgeleiteten Gleichungen sind an jedem Ort z entlang
des Doppelleitersystems und zu jeder Zeit t die lokal fliessenden Ströme I(z, t)
und die elektromotorische Kraft (Spannung) UEM K (z, t) gegeben. Wenn wir nun an
einer festen Stelle z in Gedanken einen ohmschen Widerstand zwischen den beiden
Leitern einfügen, so muss dieser Widerstand einen vom Wellenleitersystem gegeben
Wert haben, dass die elektromotorische Kraft UEM K (z, t) genau den Strom I(z, t)
durch den Widerstand treibt. UEM K und I sind dabei von der Wellengleichung
gegeben. Nur wenn der Widerstand angepasst ist, also wenn
Uemk (z, t) =
oben
Z
E · ds = −d · Ex (z, t) = d · E0 · cos(kz − ωt)
(6.3.12)
unten
gilt, wird aller Strom verbraucht. In allen anderen Fällen bleibt Strom übrig, der
an der Stelle reflektiert werden kann, oder die elektromotorische Kraft treibt zusätzlichen Strom durch den Widerstand: dieser wird mit umgekehrtem Vorzeichen
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187
Elektromagnetische Wellen
188
reflektiert.
Der gesamte Oberflächenstrom auf der oberen Platte an der Stelle z ist
I (z, t) = b · j (z, t) = b · ε0 · E0 · c · cos(kz − ωt)
(6.3.13)
Wenn man an einer beliebigen Stelle das Doppelleitersystem entzweischneidet und
dort den Widerstand
s
Uemk (z, t)
d µ0
∗
R =
=
(6.3.14)
I (z, t)
b ε0
den Wellenwiderstand, anschliesst, gibt es einen reflexionsfreien Abschluss, wir
haben eine reine fortlaufende Welle. Das gleiche gilt für jede beliebige fortlaufende
Welle, auch wenn sie nicht harmonisch ist.
Das Zweidraht-Doppelleitersystem hat den Wellenwiderstand
1
4a
R = ln
π
d
Die Grösse
s
R0∗
=
s
µ0
ε0
(6.3.15)
µ0
= 377 Ω
ε0
(6.3.16)
∗
ist der Wellenwiderstand des Vakuums.
Der Wellenwiderstand ist wichtig für das korrekte Arbeiten von Hoch- und Höchstfrequenzschaltungen.
Abbildung 6.7.: Pulse in einem Koaxialkabel. Oben links: korrekter Abschlusswiderstand, Oben Mitte zu kleiner und rechts zu grosser Abschlusswiderstand. Unten links ein Kurzschluss und rechts ein offenes
Ende.
Wellenleiter (Koaxialkabel, Lecherleitungen, Hohlleiter) erzeugen nur dann keine
Reflexionen, wenn sie mit einem Abschlusswiderstand mit dem Wert ihres Wellenwiderstandes abgeschlossen werden (Siehe Abbildung 6.7).
188
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189
6.4 Poynting-Vektor und Energiefluss
6.3.2. Stehende Wellen
Stehende Wellen werden aus zwei fortlaufenden Wellen mit entgegengesetztem
Wellenvektor k zusammengesetzt. Dabei müssen E, B und k in dieser Reihenfolge
ein Rechtssystem bilden1 . Die nach rechts laufende Welle wurde schon berechnet
(hier sind nur die von null verschiedenen Komponenten angegeben)
Ex (z, t) = −E0 cos(kz − ωt)
E0
By (z, t) = − cos(kz − ωt)
c
(6.3.17)
Die nach links laufende Welle ist dann gegeben durch (Rechtssystem!)
Ex0 (z, t) = −E0 cos(kz + ωt)
E0
By0 (z, t) =
cos(kz + ωt)
c
(6.3.18)
Die Superposition der beiden Wellen ergibt die folgenden nicht verschwindenden
Komponenten
Êx (z, t) = −2E0 cos(kz) cos(ωt)
E0
B̂y (z, t) = −2 sin(kz) sin(ωt)
c
(6.3.19)
Im Gegensatz zu laufenden Wellen sind bei stehenden Wellen
die Maxima der E- Felder und der B-Felder gegeneinander um λ/4
verschoben.
6.4. Poynting-Vektor und Energiefluss
Abbildung 6.8.: Berechnung des Poynting-Vektors
Wir hatten gesehen, dass das elektrische wie das magnetische Feld eine Energiedichte haben. Da sich bei Wellen diese Felder mit der Geschwindigkeit c ausbreiten,
1
Wegen der Rotation in den Maxwellgleichungen!
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189
Elektromagnetische Wellen
190
muss es einen Energiefluss geben. Wir betrachten einen Rechteckpuls auf einem
Zweileitersystem. Der Energiefluss durch eine raumfeste Fläche A = b · d bezeichnen wir mit Sz , dem Energiefluss pro Flächen- und Zeiteinheit. Die in der Zeit dt
transportierte Energie ist
1 2
ε0 2
Ex +
B
2
2µ0 y
Sz · A · dt =
!
· A · dt · c
(6.4.1)
Für beliebige fortlaufende Wellen im Vakuum gilt
1
By (z, t) = Ex (z, t)
c
(6.4.2)
Wir können damit die Gleichung (6.4.1) symmetrisch schreiben
ε0 · c
1
Sz =
Ex · By +
Ex · By
2
2µ0 · c
1
1
=
Ex · By +
Ex · By
2µ0
2µ0
1
= Ex · By
µ0
Mit H =
1
B
µµ0
=
1
E
cµµ0
=
q
εε0
E
µµ0
!
·c
(6.4.3)
bekommen wir
s
S=
εε0 2
E
µµ0
(6.4.4)
Damit ist auch klar, dass das E-Feld und das B-Feld je zur Hälfte zum Energiefluss
beitragen.
Die allgemeine Form des Energieflusses im Vakuum ist
S (r, t) =
1
E (r, t) × B (r, t)
µ0
(6.4.5)
In Medien muss der Energiefluss wie
S (r, t) = E (r, t) × H (r, t)
(6.4.6)
geschrieben werden. |S| gibt die in Richtung S fliessende Energie pro Flächeneinheit und Zeit wieder. Die Einheit von S ist J/(m2 · s). Da H und B über
einen Tensor verbunden sein können, muss der Energiefluss nicht unbedingt in die
Richtung des Wellenvektors zeigen. Dieses Verhalten ist die Grundlage von optisch
doppelbrechenden Materialien.
ein ähnliches Verhalten zeigen Wasserwellen am Strand. Die Energie der Wellen
fliesst zum Strand, aber die Wellen können sich durchaus schräg dazu bewegen.
190
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191
6.5 Elektromagnetische Wellen im Raum
6.5. Elektromagnetische Wellen im Raum
Hier soll mit einer beschleunigten Ladung erklärt werden, wie Wellen im Raum
entstehen.
Versuch zur Vorlesung:
Hertzscher Dipol (Versuchskarte SW099)
Versuch zur Vorlesung:
Stehende Wellen (Versuchskarte SW032)
Abbildung 6.9.: Wellenausbreitung
Wir betrachten eine Ladung q, die die folgende Geschwindigkeit hat



0
für −∞ < t < 0
für 0 ≤ t < ∆t
v = a·t


a · ∆t für t ≥ ∆t
Die Beschleunigungszeit ∆t sowie die Beschleunigung a sollen so gewählt sein, dass
a · ∆t = v c
gilt. Die Behauptung ist, dass das elektrische Feld E für t ∆t wie in der Zeichnung oben aussieht. In der Beschleunigungsphase soll eine elektromagnetische Welle erzeugt worden sein. Ausserhalb der Kugel mit dem Radius
r = c·t
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191
Elektromagnetische Wellen
192
muss das elektrische Feld das Feld einer im Ursprung ruhenden Ladung sein, da
nach der Relativitätstheorie die Information über die Beschleunigung diesen Raum
noch nicht erreicht haben kann.
Innerhalb der Kugel mit
r ≤ c(t − ∆t)
haben wir das Feld der Ladung q, die sich mit der konstanten Geschwindigkeit v
bewegt, denn in diesem Bereich ist die noch unbekannte Welle erzeugt durch die
Beschleunigung einer Ladung schon wieder vorbei. Die Feldlinien im Laborsystem
können wir erhalten, indem wir das elektrische Feld im Ruhesystem der Ladung
(radiale Feldlinien) in das Laborsystem transformieren. Wenn v c ist, haben
wir auch im Laborsystem radiale Feldlinien, die von der momentanen Position der
Ladung weggehen. Die Maxwellgleichung im Vakuum div E = 0 bedingt, dass die
Feldlinien geschlossen und stetig sind. Die Vermutung ist, dass die Feldlinien in
der Wellenzone linear die beiden Feldlinienmuster miteinander verbinden.
Abbildung 6.10.: Berechnung der Wellenausbreitung
Da t ∆t ist, kann die Beschleunigungsphase für die Bestimmung der Position
der Ladung zur Zeit t vernachlässigt werden. Wir haben also
x(t) = v · t
192
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(6.5.1)
193
6.5 Elektromagnetische Wellen im Raum
Wegen v c ist dann auch
r = c·t x
(6.5.2)
r c · ∆t
(6.5.3)
sowie wegen t ∆t auch
Wir bezeichnen mit ⊥ die Richtung senkrecht zum Radiusvektor r. Wir erhalten
dann, unter der Annahme, dass das E-Feld in der Wellenzone linear sei,
E⊥
v⊥ · t
=
Ek
c · ∆t
(6.5.4)
v⊥ = a⊥ · ∆t
(6.5.5)
E⊥
r
= a⊥ 2
Ek
c
(6.5.6)
Mit
sowie mit t = r/c bekommen wir
Andererseits, wenn wir die Integralform der ersten Maxwellgleichung auf den kleinen Zylinder an der Stelle r anwenden, erhalten
"
E · da = 0
(6.5.7)
und damit mit dem Coulombgesetz
Ek = Er =
1
q
· 2
4πε0 r
(6.5.8)
Dies bedeutet, dass das radiale E r -Feld sich stetig durch die Kugelschale hindurch
fortsetzt. Die Komponente E ⊥ existiert nur in der Wellenzone. Das E ⊥ -Feld ist
das gesuchte Feld der elektromagnetischen Feldes, das Strahlungsfeld. Seine Grösse
ist
q
a⊥
(6.5.9)
E⊥ =
· 2
4πε0 c · r
Vektoriell geschrieben lautet diese Gleichung
E (r, t) = −
a⊥ (t0 )
q
·
4πε0 c2
r
t0 = t −
r
c
(6.5.10)
Das elektrische Feld E an der Stelle r ist proportional zur senkrechten Komponente der Beschleunigung, aber zur retardierten Zeit t0 = t − r/c. Zum Strahlungsfeld
gehört auch ein B-Feld, das so gerichtet ist, dass E, B und k ein Rechtssystem
bilden. k ist die Ausbreitungsrichtung. Das Magnetfeld ist, in vektorieller Schreibweise,
!
1 k
B (r, t) =
× E (r, t)
(6.5.11)
c k
Wenn wir ∆t halbieren, bleibt der äussere Teil der des Strahlungsfeldes konstant,
der innere Teil liegt dann in der Mitte der Verbindungslinie durch die Wellenzone.
Durch fortgesetzte Anwendung dieses Verfahrens wird die Linearität des elektri-
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193
Elektromagnetische Wellen
194
schen Feldes in der Wellenzone gezeigt.
Wenn a ⊥ b ist, gilt die Vektoridentität a × b × a = (a · a) b = |a|2 b. Also ist
im Vakuum
1
1
1
S =E×H = E×B = E×
µ0
µ0
c
k
k
!
×E =
Also ist S kollinear zur Ausbreitungsrichtung k. Mit
auch im Vakuum
s
S=
1
k
|E|2
µ0 c
k
(6.5.12)
√
ε0 µ0 = 1/c erhalten wir
k
ε0
|E|2
µ0
k
(6.5.13)
Diese Gleichung kann auf lokal isotrope Medien erweitert werden (ε und µ sind
Zahlen!)
s
S=
k
εε0
|E|2
µµ0
k
(6.5.14)
Beispiel: Ein Elektron in einem Atom führe in die z-Richtung die harmonische
Bewegung
z(t0 ) = z0 · sin ωt0
(6.5.15)
aus. Dabei ist t0 die retardierte Zeit. Die Beschleunigung ist
a(t0 ) = z̈(t0 ) = −z0 · ω 2 · sin ωt0
(6.5.16)
Das elektrische Feld ist
e
1
ez0 ω 2
1
r
0
E (r, Θ, t) =
·
·
|a(t
)|
sin
Θ
=
· · sin ω t −
2
2
4πε0 c
r
4πε0 c
r
c
sin Θ
(6.5.17)
Das Magnetfeld ist
1
B (r, Θ, t) = E (r, Θ, t)
c
Der Poynting-Vektor oder Energiefluss ist
s
S (r, Θ, t) =
ε0 2
E (r, Θ, t)
µ0
(6.5.18)
(6.5.19)
Mit hsin2 (ωt − kr)it = 1/2 wird die Intensität
s
I (r, Θ) = hS (r, Θ, t)it =
ε0 e2 z02 ω 4 sin2 Θ
µ0 (4πε0 c2 )2 2r2
(6.5.20)
Damit haben wir gezeigt, dass die Annahme eines harmonischen Oszillators das
Strahlungsfeld eines Atoms erklären kann. Die abgeführte Energie dämpft dabei
den Oszillator. Je stärker die Dämpfung ist, das heisst, je kürzer die Lebensdauer
ist, desto breiter wird das Frequenzspektrum sein.
194
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195
6.5 Elektromagnetische Wellen im Raum
6.5.1. Ebene Wellen
Abbildung 6.11.: Bild einer ebenen Welle
Eine ebene Welle entsteht aus der allgemeinen Wellengleichung dadurch, dass die
Amplitude und der Wellenvektor nicht vom Ort abhängen. Eine ebene Transversalwelle des elektromagnetischen Feldes ist durch
E(x) = E 0 cos(k · x − ωt)
mit
E0 · k = 0
(6.5.21)
gegeben. Der Vektor k, der , gibt die Ausbreitungsrichtung an, der Betrag |k| =
k = 2π
heisst die Wellenzahl. Bei elektromagnetischen Wellen im Sichtbaren kann
λ
man alternativ auch von Lichtstrahlen sprechen. Zum Vergleich, eine Longitudinalwelle ist eine örtliche Schwankung einer skalaren Funktion, zum Beispiel, des
Druckes, gegeben durch
Ψ(x) = Ψ0 cos(k · x − ωt)
(6.5.22)
6.5.2. Kugelwellen
(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 48, 710]) (Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 287])
Versuch zur Vorlesung:
Wellenwanne (Versuchskarte O-021)
Eine weitere häufig vorkommende Form von Wellen sind die Kugelwellen. Wir
können die Amplitudenabhängigkeit durch folgende Überlegung erhalten.
• Wir denken uns eine Kugeloberfläche um die Quelle, wobei die Quelle im
Mittelpunkt der Kugel sein soll.
• Der Energiefluss pro Zeit, die Leistung, die durch die gesamte Kugeloberfläche fliesst ist konstant, unabhängig vom Radius der Kugel.
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195
Elektromagnetische Wellen
196
• Damit diese Gleichung für alle r gilt muss E(r) = E0 rr0 sein.
100
100
A(r)
I(r)
90
80
A(r)
I(r)
10
60
A,I/a.u.
A,I/a.u.
70
50
40
30
1
0.1
20
10
0
1
2
3
4
5
6
r/a.u.
7
8
9
0.01
0.1
10
1
r/a.u.
10
Abbildung 6.12.: Amplitude und Intensität einer Kugelwelle in Abhängigkeit der
Distanz r von der Quelle. Links eine lineare, rechts eine logarithmische Darstellung.
Bei elektromagnetischen Wellen gilt
E(r) = E(r, φ, θ) =
Ê0 (φ, θ)
cos(kr − ωt)
r
mit
r · E 0 (φ, θ)
(6.5.23)
Bei einer Kugelwelle ist
• die Amplitude: E(r) = E0 rr0
2
• die Intensität I(r) = I0 rr02
6.6. Lichtgeschwindigkeit im Medium und Intensität
In einem Medium bewegen sich elektromagnetische Wellen langsamer. Die einfallende Welle regt die polarisierbaren Atome zum Schwingen an. Diese schwingen
mit der gleichen Frequenz, aber mit einer frequenzabhängigen Phasenverschiebung.
Die Resonanzfrequenz des Elektron-Atomrumpfsystems liegt im Ultravioletten. In
der Summe wird die elektromagnetische Welle durch diese mit der zunehmenden
Frequenz zunehmenden Phasenverschiebung verlangsamt. Mit dem (frequenzab√
hängigen) Brechungsindex n = εµ bekommt man
cm = √
1
c
=
µµ0 εε0
n
(6.6.1)
wobei c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Die Brechzahl oder der Brechungsindex n gibt an, um wieviel langsamer elektromagnetische Wellen in einem
Medium sind als im Vakuum. Die Intensität ist gegeben durch den Mittelwert des
196
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197
6.7 Polarisation
Poynting-Vektors S(r) = S 0 (r) sin2 (k · r − ωt). Für harmonische Schwingungen
erhält man für die auf die Fläche mit der Flächennormale a einfallende Intensität
a
1
Ia (r) = h|S(r)|it = S 0 (r) ·
2
|a|
s
1 εε0
=
|E|2 cos(∠S 0 , a)
2 µµ0
nε0 c 2
E cos(∠S 0 , a)
=
2µ
(6.6.2)
wenn E das elektrische Feld, d.h. eine der beiden möglichen Amplituden der elektromagnetischen Welle ist. ε0 = 8.8542 · 10−12 VASm ist die Vakuumpermittivität
und c = 2.9979 · 108 ms die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Der Vorfaktor 12 entsteht durch die Mittelung über viele Perioden. Bei nichtmagnetischen Materialien
(µ = 1) kann man auch schreiben:
nε0 c 2
E cos(∠S 0 , a)
2
Ia (r) =
(6.6.3)
Gleichung (6.6.2) kann auch so geschrieben werden:
I=
n 2
A
E · 1.3272 · 10−3
µ
V
(6.6.4)
6.7. Polarisation
(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 475]) (Siehe Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])
Versuch zur Vorlesung:
Polarisiertes Licht: Polarisator und Analysator (Versuchskarte SW048)
Elektromagnetische Wellen (auch Licht) sind transversale Wellen. Das heisst,
dass das elektrische und das magnetische Feld senkrecht zur Ausbreitungsrichtung
schwingen. Die Wellengleichung für das elektrische Feld und damit auch für die
elektromagnetischen Wellen sind durch E(x, t) = E 0 (x) cos(k(x) · x − ωt) und
B(x, t) = B 0 (x) cos(k(x) · x − ωt)gegeben. Die Tatsache, dass wir eine Transversalwelle haben erfordert, dass E 0 der Bedingung
E0 · k = 0
(6.7.1)
gilt.
Wenn wir nun, ohne Einschränkung der Allgemeinheit, die Ausbreitungsrichtung
der Welle in die x-Richtung legen, dann sind
• der Wellenvektor k = (k; 0; 0)
• und die Amplitude E 0 = (0; Ey ; Ez )
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197
Elektromagnetische Wellen
198
Diese Wahl erfüllt die Bedingung der Transversalität.
Es gibt zwei mögliche orthogonale Orientierungen von E 0 sowie die
daraus folgenden Linearkombinationen. Die Richtung, in die E 0 zeigt
ist die Polarisationsrichtung.
6.7.1. Polarisation durch Absorption (Dichroismus)
(Siehe Pérez, Optik [Pér96, pp. 323]) (Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 487]) (Siehe
Tipler, Physik [TM04, pp. 1044])
Abbildung 6.13.: Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator
Wenn das elektrische Feld einer Mikrowellen entlang eines Drahtes zeigt, kann
dieses Feld im Draht Ladungen bewegen und so Energie abgeben. Die Intensität
der Welle und damit die die Absorption hängen von der Polarisation ab.
Ebenso gibt es Moleküle mit Doppelbindungen zwischen den Kohlenstoffatomen,
bei denen π-Elektronen beweglich sind, die wie Drähte wirken. Werden diese Moleküle orientiert zu einer Folie gemacht, so erhält man eine polarisierende Folie.
passiert
blockiert
E
Polarisator
passiert
Analysator
passiert
teilweise
Länge Ö2
E
Polarisator
Analysator
Abbildung 6.14.: Elektromagnetische Wellen durchstrahlen durch einen Polarisator und einen Analysator mit gekreuzten Polarisationsrichtungen. Darunter die gleiche Anordnung, aber der Analysator ist
nun um π/4 gedreht.
Bei einer Anordnung von Analysator und Polarisator polarisiert der Polarisator
198
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199
6.8 Die Fresnelschen Formeln
die elektromagnetische Welle. Der Analysator lässt nur die Projektion des E-Feldes
auf seine Durchlassachse durch. Für die Amplitude gilt
E = E0 cos θ
(6.7.2)
wobei θ der Winkel zwischen den Polarisationsrichtungen von Polarisator und
Analysator ist. Da die Intensität der elektromagnetischen Welle durch I = nε20 c E 2
ist und somit proportional zum Quadrat der Amplitude I ∝ E 2 , gilt
I = I0 cos2 θ
(6.7.3)
(Gesetz von Malus). Wenn zwischen gekreuzten Polarisatoren und Analysatoren
eine Substanz eingebracht wird, die die Polarisationsebene der elektromagnetischen
Welle dreht (eine „optisch aktive Substanz“) eingebracht wird, kann mit dieser
Anordnung die Grösse der optischen Aktivität gemessen werden2 .
Abbildung 6.15.: Dichroismus in einem Kristall von N aV O4 M n (gezüchtet von A.
Lentz, fotographiert von M. Pietralla, verwendet mit Erlaubnis
des Fotografen).
6.8. Die Fresnelschen Formeln
(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 190]) (Siehe Gerthsen, Physik [Mes06, pp. 539])
2
Die Analyse von Spannungen in Bauteilen nachgebildet mit Plexiglas war eine wichtige Anwendung (heute gibt es Programme zur Finite-Elemente-Analyse)
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199
Elektromagnetische Wellen
200
Abbildung 6.16.: Das gleiche Gebäude mit Polarisationsfilter aufgenommen. Die
Achse des Polarisationsfilters wurde dabei um 90◦ gedreht. Links
sind die Reflexionen im Glas kaum zu erkennen, rechts ist dafür
der Kontrast des Himmels schwächer.
Die beiden Aufnahmen in Abbildung 6.16 wurden mit dem Polarisationsfilter in
zwei um 90◦ gedrehten Stellungen aufgenommen. Aus den Abschnitten 2.9, 6.5 und
6.7.1 wissen wir, dass Licht vom Himmel polarisiert ist. Links wird durch den Polarisator das diffus gestreute Licht mit der falschen Polarisation unterdrückt. Links
ist die Spiegelung des linken Gebäudes im rechten nicht sichtbar, Die Fensterfront
ist hell. Rechts ist das linke Gebäude dunkel. Das bedeutet, dass das gespiegelte
Licht polarisiert ist. Die im folgenden abgeleiteten Fresnelschen Formeln erklären dieses Phänomen, aber auch die Spiegelung an Metallen. Sie beschreiben die
Wechselwirkung von elektromagnetischen Wellen mit Grenzflächen jeder Art.
Versuch zur Vorlesung:
Fresnelsche Formeln (Versuchskarte O-039)
Abbildung 6.17.: Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation
Die Reflexion und die Brechung von elektromagnetischen Wellen werden durch
die Maxwellschen Gleichungen und die daraus abgeleiteten Randbedingungen bestimmt. Die resultierenden Beziehungen für die Amplituden und die Intensitäten
werden die Fresnelschen Formeln genannt. Zur Berechnung verwenden die Definitionen
• Der einfallende und der reflektierte Strahl elektromagnetischer Wellen defi-
200
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201
6.8 Die Fresnelschen Formeln
niert die Einfallsebene. Diese ist senkrecht zur Grenzfläche der beiden Medien.
• Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene senkrecht zur Einfallsebene liegt, heissen s-polarisiert. Die Polarisationsebene gibt die Richtung
des elektrischen Feldes an.
• Elektromagnetische Wellen, deren Polarisationsebene parallel zur Einfallsebene liegt, heissen p-polarisiert.
• Für die Intensität
√ der elektromagnetischen Wellen in nichtmagnetischen Medien gilt I ∝ εE 2 , wobei ε = n2 ist.
• Genauer gilt für die Intensität: I =
Wellen mit der Amplitude E.
1
2
q
εε0
E2
µµ0
=
nε0 c 2
E
2µ
für sinusförmige
Wir betrachten eine Welle E e , die aus dem Medium mit µ1 und ε1 auf eine ebene Grenzfläche zum Medium mit µ2 und ε2 fällt. Neben der einfallenden Welle
existierten eine reflektierte und eine transmittierte elektromagnetische Welle
E e = Ee cos (ke · r − ωe t)
E r = Er cos (kr · r − ωr t + ϕr )
E t = Et cos (kt · r − ωt t + ϕt )
(6.8.1a)
E e = Ee ei(ke · r−ωe t)
E = E ei(kr · r−ωr t+ϕr )
r
r
E t = Et ei(kt · r−ωt t+ϕt )
(6.8.1b)
Gegeben sind Ee , µ1 , ε1 , µ2 , ε2 , ke und ωe (|ke |). An den Grenzflächen gilt
• Die tangentiale Komponente von E ist stetig.
• Die tangentiale Komponente von H ist stetig.
Sei en der Normaleneinheitsvektor auf die Grenzfläche. Der resultierende Vektor
des Kreuzproduktes von E e mit en liegt senkrecht zu en und damit in der Grenzfläche der beiden Medien. Um den Tangentialvektor in die ursprüngliche Richtung
zurück zu drehebn, wenden wir nochmals ein Kreuzprodukt mit en an. Unabhängig von der Richtung von E e bekommt man mit dieser Operation immer die
Komponente von E e tangential zur Grenzfläche
E e,tangential = en × E e × en
(6.8.2)
Mit der gleichen Methode kann man auch die Komponenten der Vektoren E r und
E t in der Grenzfläche berechnen. Die Bedingung der Stetigkeit der Tangentialkomponente des elektrischen Feldes kann dann mit den Kreuzprodukten so geschrieben
werden
en × E e × en + en × E r × en = en × E t × en
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(6.8.3)
201
Elektromagnetische Wellen
202
Die Gleichung besagt, dass die Summe der Tangentialkomponenten des elektrischen Feldes im Medium 1 (einfallende und reflektierte Welle) gleich der Tangentialkomponente der transmittierten Welle ist. Ausgeschrieben erhalten wir
en × Ee cos (ke · r − ωe t) × en + en × Er cos (kr · r − ωr t + ϕr ) × en
= en × Et cos (kt · r − ωt t + ϕt ) × en (6.8.4a)
en × Ee ei(ke · r−ωe t) × en + en × Er ei(kr · r−ωr t+ϕr ) × en
= e × E ei(kt · r−ωt t+ϕt ) × e
n
e
i(ke · r−ωe t)
t
i(kr · r−ωr t+ϕr )
en × Ee × en + e
n
en × Er × en
= ei(kt · r−ωt t+ϕt ) en × Et × en
(6.8.4b)
Die Gleichung (6.8.4) muss für alle Zeiten und alle Orte auf der Grenzfläche gelten.
Deshalb gilt
cos (ke · r − ωe t)|in der Grenzfläche = cos (kr · r − ωr t + ϕr )|in der Grenzfläche
= cos (kt · r − ωt t + ϕt )|in der Grenzfläche (6.8.5a)
ei(ke · r−ωe t) in der Grenzfläche
= ei(kr · r−ωr t+ϕr ) in der Grenzfläche
i(kt · r−ωt t+ϕt ) =e
in der Grenzfläche
(6.8.5b)
wobei r nach Definition ein Vektor in der Grenzfläche ist, also mit en · r = 0.
Damit Gleichung (6.8.5) zu allen Zeiten an einem beliebigen Punkt gilt, müssen
die Kreisfrequenzen gleich sein
ωe = ωr = ωt
(6.8.6)
Weiter muss dann gelten: Die Gleichung (6.8.4) muss für alle Zeiten und alle Orte
auf der Grenzfläche gelten. Deshalb gilt
ke · r|in der Grenzfläche = kr · r + ϕr |in der Grenzfläche
= kt · r + ϕt |in der Grenzfläche
(6.8.7)
r zeigt auf einen Punkt in der Grenzfläche. Da der Ursprung des Koordinatensystems nicht in der Grenzfläche liegen muss, ist r im Allgemeinen nicht parallel zur
Grenzfläche. Aus der ersten Gleichung in (6.8.7) folgt
((ke − kr ) · r)in der Grenzfläche = ϕr
(6.8.8)
Eine Gleichung vom Typ a · r = $ beschreibt eine Ebene. Die Endpunkte von
r liegen in der Ebene mit dem Normalenvektor a. $ gibt die Verschiebung zum
Nullpunkt an. Gleichung (6.8.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht
zu ke − kr liegt. Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in
202
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203
6.8 Die Fresnelschen Formeln
der Grenzfläche mit dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke − kr .
Weiter sind beide Wellen im gleichen Medium 1, das heisst |ke | = ke = |kr | = kr .
Wir können also schreiben
en × (ke − kr ) = 0
(6.8.9)
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
ke sin α = kr sin β ⇒ sin α = sin β ⇒ α = β
(6.8.10)
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor
der einfallenden Welle ke und β der Winkel zwischen der Oberflächennormale en
und dem Wellenvektor der reflektierten Welle kr .
Das Reflexionsgesetz besagt, dass
α=β
(Einfallswinkel=Ausfallswinkel)
Aus Gleichung (6.8.7) folgt weiter
((ke − kt ) · r)Grenzfläche = ϕt
(6.8.11)
Gleichung (6.8.8) ist also die Gleichung einer Ebene, die senkrecht zu ke − kt liegt.
Andererseits wissen wir, nach unserer Konstruktion, dass r in der Grenzfläche mit
dem Normalenvektor en liegt. en ist also parallel zu ke − kt . Wir können also
schreiben
en × (ke − kt ) = 0
(6.8.12)
Mit Beträgen geschrieben heisst dies
ke sin α = kt sin γ
(6.8.13)
Dabei ist α der Winkel zwischen der Oberflächennormale en und dem Wellenvektor
der einfallenden Welle ke und γ der Winkel zwischen der Oberflächennormale en
und dem Wellenvektor der transmittierten Welle kt . Aus der Wellengleichung folgt
1
ω
= ci = √
ki
µ i µ 0 εi ε0
(6.8.14)
Da ωe = ωr = ωt ist, kann Gleichung (6.8.13) auch als
ωe
ωt
sin α =
sin γ
ce
ct
(6.8.15)
oder
√
µ1 µ0 ε1 ε0 sin α =
√
√
√
µ2 µ0 ε2 ε0 sin γ ⇒ µ1 ε1 sin α = µ2 ε2 sin γ
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(6.8.16)
203
Elektromagnetische Wellen
204
Mit der Definition (6.6.1) (n =
√
µε) bekommt man auch
n1 sin(α) = n2 sin(γ)
(6.8.17)
Dies ist das Brechungsgesetz nach Snellius.
Schliesslich können wir noch eine Beziehung der Tangentialkomponenten aller Felder erhalten. Analog zur Gleichung (6.8.3) können wir die Tangentialkomponenten
der Wellenvektoren angeben:
ke,tangential = en × ke × en
kr,tangential = en × kr × en
kt,tangential = en × kt × en
(6.8.18a)
(6.8.18b)
(6.8.18c)
Wir subtrahieren Gleichung (6.8.18a) von Gleichung (6.8.18b), beziehungsweise
von Gleichung (6.8.18c) erhalten wir die Beziehungen
kr,tangential − ke,tangential = en × (kr − ke ) × en
kt,tangential − ke,tangential = en × (kt − ke ) × en
(6.8.19a)
(6.8.19b)
Setzen wir mit Gleichung (6.8.9) für kr − ke = Γre en und k− ke = Γte en erhalten
wir für die Gleichungen (6.8.19a) beziehungsweise (6.8.19b)
kr,tangential − ke,tangential = en × (kr − ke ) × en = en × Γre en × en = 0 (6.8.20a)
kt,tangential − ke,tangential = en × (kt − ke ) × en = en × Γte en × en = 0 (6.8.20b)
Damit gilt für die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren
Die Tangentialkomponenten der Wellenvektoren der einfallenden,
reflektierten und gebrochenen Wellen sind gleich.
ke,tangential = kr,tangential = kt,tangential
(6.8.21)
Die Änderung der Ausbreitungsrichtung bei Reflexion und Brechung stammt alleine von den Komponenten der Wellenvektoren, die parallel zum Normalenvektor
der Grenzfläche liegen.
204
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205
6.8 Die Fresnelschen Formeln
6.8.1. s-Polarisation
Zur Berechnung der Amplitude der reflektierten und transmittierten Wellen mit
einer allgemeinen Polarisation verwenden wir zwei orthogonale Polarisationsrichtungen, die s-Polarisation und die p-Polarisation. Jeder Polarisationszustand kann
als Linearkombination der s-Polarisation und der p-Polarisation geschrieben werden.
Wir beginnen die Rechnungen für elektromagnetische Wellen mit einer Polarisation
senkrecht zur Einfallsebene (s-Polarisation).
Wenn in den beiden angrenzenden Medien die Dielektrizitätskonstanten ε1 und ε2
sind, dann muss der Pointingvektor (Energiestrom) senkrecht zur Grenzfläche an
der Grenzfläche kontinuierlich sein, also
1
2
s
s
1 ε2 ε0 2
ε1 ε0 2
2
E − Er cos α =
E cos γ
µ1 µ0 e
2 µ2 µ0 t
(6.8.22)
wobei α und γ die Winkel zur Oberflächennormalen en sind, Ee ist die Amplitude der E-Feldkomponente der einfallenden elektromagnetischen Welle parallel
zur Oberfläche (s-Polarisation), Er die Amplitude der reflektierten und Et die der
gebrochenen elektromagnetischen Welle.
Vereinfacht kann man die Energieerhaltung schreiben als
s
s
ε1 2
ε2 2
2
Ee − Er cos α =
E cos γ
µ1
µ2 t
(6.8.23)
Die Komponente von E parallel zur Oberfläche muss stetig sein, also ist nach
Gleichung (6.8.3)
Ee + Er = Et
(6.8.24)
Wir beachten, dass a2 −b2 = (a−b)(a+b) ist und dividieren die beiden Gleichungen
durcheinander. Wir erhalten
s
ε1
(Ee − Er ) cos α =
µ1
s
ε2
Et cos γ ⇒
µ2
s
ε1 µ 2
(Ee − Er ) cos α = Et cos γ
µ 1 ε2
(6.8.25)
Aus der Kombination der Gleichungen (6.8.24) und (6.8.25) erhalten wir die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation.
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205
Elektromagnetische Wellen
206
Die Fresnelschen Gleichungen für die s-Polarisation lauten
qε
Er =
Et =
µ1 cos α −
1
Ee q ε1
µ1
cos α +
2
qε
1
µ1
qε
2
µ
q ε2
2
µ2
cos γ
cos γ
cos α
q
(6.8.26)
cos α + µε22 cos γ
√
√
Mit den Brechungsindizes n1 = µ1 ε1 und n2 = µ2 ε2 erhält man
Ee q ε1
µ1
Er =
n1
µ1
Ee n1
µ1
Et = Ee n1
cos α −
n2
µ2
n2
µ2
cos γ
n2
µ2
cos γ
cos α + cos γ
2 µn11 cos α
µ1 cos α +
(6.8.27)
Nach dem Brechungsgesetz ist
sin γ
=
sin α
s
µ 1 ε1
µ1
=
µ 2 ε2
µ2
s
s
ε1 µ 2
µ 1 ε2
ε1 µ 2
µ2 sin γ
=
µ 1 ε2
µ1 sin α
Wir setzen dies ein und erhalten
µ2 sin γ
(Ee − Er ) cos α = Et cos γ
µ1 sin α
(Ee − Er ) cos α sin γ
Et cos γ sin α
=
µ1
µ2
(6.8.28)
Wir setzen Ee + Er = Et ein und bekommen
Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation
Er =
1
µ1
Ee 1
µ1
Et = Ee
Dabei ist
206
sin γ(α) cos α −
sin γ(α) cos α +
2
µ1
1
µ1
√
1
µ2
1
µ2
sin α cos γ(α)
sin α cos γ(α)
sin γ(α) cos α
sin γ(α) cos α +
µ1 ε1 sin α =
√
1
µ2
sin α cos γ(α)
µ2 ε2 sin γ
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(6.8.29)
207
6.8 Die Fresnelschen Formeln
Für nichtmagnetische Materialien können die Fresnelgleichungen umgeschrieben
werden
Fresnelsche Formeln für die s-Polarisation bei nichtmagnetischen
Materialien
sin γ(α) cos α − sin α cos γ(α)
sin γ(α) cos α + sin α cos γ(α)
sin(α − γ(α))
= −Ee
sin(α + γ(α))
2 sin γ(α) cos α
Et = Ee
sin γ(α) cos α + sin α cos γ(α)
2 sin γ(α) cos α
= Ee
sin(α + γ(α))
Er = Ee
Dabei ist
√
ε1 sin α =
√
(6.8.30)
ε2 sin γ
• Wenn α > γ, wenn also die elektromagnetische Welle aus dem schnelleren
Medium auf das langsamere Medium trifft, haben Ee und Er unterschiedliche
Vorzeichen: es tritt ein Phasensprung um π bei der Reflexion auf.
• Bei der Reflexion am schnelleren Medium α < γ ist sin(α − γ) negativ und
Er positiv. Es gibt keinen Phasensprung bei der Reflexion. Dies erklärt zum
Beispiel, warum Seifenlamellen in Reflexion schwarz werden, wenn die Dicke
gegen null geht.
• Die Gesetze für die Intensität bekommt man durch quadrieren und unter
Berücksichtigung der relativen Dielektrizitätszahl ε1 und der relativen magnetischen Permeabilität µ1 .
α−sin γ
1
• Bei fast senkrechtem Einfall bekommt man Er ≈ −Ee sin
= −Ee nn22 −n
sin α+sin γ
+n1
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207
Elektromagnetische Wellen
208
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei der s-Polarisation für
nichtmagnetische Materialien
[sin γ(α) cos α − sin α cos γ(α)]2
Ir = Ie
[sin γ(α) cos α + sin α cos γ(α)]2
sin2 (α − γ(α))
= Ie 2
sin (α + γ(α))
n2 4 sin2 γ(α) cos2 α
It = Ie
n1 sin2 (α + γ(α))
(6.8.31)
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1 ε20 c E2e als Referenz verwendet. Deshalb
erscheint der Vorfaktor nn21 für It . Im Medium mit dem Brechungsindex n2 wird die
Energie mit einer anderen Geschwindigkeit transportiert als im Medium mit dem
Brechungsindex n1 . Ist n2 grösser als n1 . so ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit
kleiner und I2 muss grösser werden.
6.8.2. p-Polarisation
Abbildung 6.18.: Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen mit pPolarisation. Die dicken Vektoren stellen die k-Vektoren dar (rot
für die einfallende elektromagnetische Welle, grün für die reflektierte und blau für die gebrochene elektromagnetische Welle.).
Die E-Vektoren sind gestrichelt gezeichnet, ihre Projektion auf
die Grenzfläche dünn.
Bei p-polarisierten elektromagnetischen Wellen ist die Bedingung für die Stetigkeit
der Parallelkomponente von E durch
(Ee − Er ) cos α = Et cos γ
208
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(6.8.32)
209
6.8 Die Fresnelschen Formeln
gegeben. Weiter gilt immer noch die Beziehung für den Poynting-Vektor (Energieerhaltung)
s
s
ε1 2
ε2 2
2
Ee − Er cos α =
E cos γ
µ1
µ2 t
(6.8.33)
Wir teilen die beiden Gleichungen und erhalten
s
ε1
(Ee + Er ) =
µ1
s
ε2
Et
µ2
(6.8.34)
Damit müssen wir das Gleichungssystem
s
Ee
ε1
=−
µ1
s
ε1
Er + Et
µ1
s
ε2
µ2
Ee cos α = Er cos α + Et cos γ
(6.8.35)
lösen. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit cos α und die zweite mit
s
ε1
cos α = −
µ1
s
s
ε1
cos α = Er
µ1
s
Ee
Ee
ε1
Er cos α + Et
µ1
ε1
cos α + Et
µ1
s
s
q
ε1
µ1
ε2
cos α
µ2
ε1
cos γ
µ1
und addieren
s
2Ee
s
ε1
cos α = Et
µ1
ε2
cos α +
µ2
s
ε1
cos γ
µ1
!
(6.8.36)
Um Er zu bekommen
q multiplizieren wir die obere Gleichung in (6.8.35) mit cos γ
und die untere mit µε22
s
ε1
cos γ = −
µ1
s
s
ε2
cos α = Er
µ2
s
Ee
Ee
ε1
Er cos γ + Et
µ1
ε2
cos α + Et
µ2
s
s
ε2
cos γ
µ2
ε2
cos γ,
µ2
subtrahieren und erhalten
s
Ee
ε1
cos γ −
µ1
s
!
ε2
cos α = −Er
µ2
s
ε1
cos γ +
µ1
s
ε2
cos α
µ2
!
(6.8.37)
Damit erhält man
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209
Elektromagnetische Wellen
210
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
qε
µ2 cos α −
2
Er = Ee q ε1
µ1
Et = Ee q ε2
cos γ +
2
qε
1
µ1
√
1
µ
qε1
2
µ2
cos γ
cos α
cos α
µ2 cos α +
Mit den Brechungsindizes n1 =
qε
µ1 ε1 und n2 =
qε
µ1 cos γ
1
√
(6.8.38)
µ2 ε2 erhält man
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation):
Er =
n2
µ2
Ee n1
µ1
Et = Ee n2
cos α −
n1
µ1
n2
µ2
cos γ
n1
µ1
cos γ
cos γ + cos α
2 µn11 cos α
µ2 cos α +
(6.8.39)
Für nichtmagnetische Materialien vereinfachen sie sich zu
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:
n2 cos α − n1 cos γ
Er = Ee
n1 cos γ + n2 cos α
2n1 cos α
Et = Ee
(6.8.40)
n2 cos α + n1 cos γ
Die Brechungsindizes n1 und n2 können mit dem Snelliusschen Gesetz n1 sin α =
n2 sin γ eliminiert werden
210
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211
6.8 Die Fresnelschen Formeln
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:
sin α cos α − sin γ cos γ
sin γ cos γ + sin α cos α
2sin γ cos α
Et = Ee
sin α cos α + sin γ cos γ
Er = Ee
(6.8.41)
Mit sin(α ± γ) cos(α ∓ γ) = sin α cos α ± sin γ cos γ werden die obigen Gleichungen
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) für nichtmagnetische Materialien:
sin(α − γ) cos(α + γ)
sin(α + γ) cos(α − γ)
2sin γ cos α
Et = Ee
sin(α + γ) cos(α − γ)
Er = Ee
(6.8.42)
Die Quotienten aus sin und cos können zu tan zusammengefasst werden
Fresnelsche Formeln (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
tan[α − γ(α)]
tan[α + γ(α)]
2 sin γ(α) cos α
Et = Ee
sin[α + γ(α)] cos[α − γ(α)]
Er = Ee
(6.8.43)
Die Fresnelschen Formeln für die Intensität lauten
Fresnelsche Formeln für die Intensität bei (p-Polarisation) bei nichtmagnetischen Materialien:
tan2 [α − γ(α)]
Ir = Ie
tan2 [α + γ(α)]
n2
4 sin2 γ(α) cos2 α
It = Ie 2
n1 sin [α + γ(α)] cos[α − γ(α)]
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(6.8.44)
211
Elektromagnetische Wellen
212
Wir haben die einfallende Intensität Ie = n1 ε20 c E2e als Referenz verwendet. Deshalb
erscheint der Vorfaktor nn21 für It .
6.8.3. Grenzfall des senkrechten Einfalles
Abbildung 6.19.: Darstellung der Richtungen der elektrischen Felder für die sund p-Polarisation.
Im Grenzfall α → 0 müssen die Resultate für die s- und p-Polarisation übereinstimmen. Wir betrachten den Fall kleiner Winkel. Dann lautet das Snelliussche
Brechungsgesetz
α1 & γ1
n1 sin α = n2 sin γ ========⇒ n1 α = n2 γ =⇒ γ =
n1
α
n2
(6.8.45)
Weiter gilt
α1
cos α ==== 1
α1
sin α ==== α.
(6.8.46)
Lässt man in Gleichung (6.8.42) α gegen null gehen, ergibt sich für das reflektierte
und das transmittierte elektrische Feld
212
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213
6.8 Die Fresnelschen Formeln
sin(α − γ) cos(α + γ)
sin(α + γ) cos(α − γ)
sin(α −
Snellius, α1 & γ1
============== lim Ee
α→0
sin(α +
Er = lim Ee
α→0
α1
α−
==== lim Ee α→0
n1
α
n2
n1
α
n2
·1
= Ee
α+
·1
2sin γ cos α
Et = lim Ee
α→0
sin(α + γ) cos(α − γ)
α→0
α1
==== lim Ee α→0
2
α
sin α +
n1
α ·1
n2
+ nn12 α · 1
= Ee
+
−
n1
α)
n2
n1
α)
n2
n2 − n1
n2 + n1
2sin
Snellius, α1 & γ1
============== lim Ee
n1
α) cos(α
n2
n1
α) cos(α
n2
n1
α
n2
n1
α
n2
(6.8.47)
cos α
cos α −
2n1
n2 + n1
n1
α
n2
(6.8.48)
und damit Er,p > 0. Andererseits hat der Grenzwert des elektrischen Feldes Er,s
für α gegen Null bei der s-Polarisation in Gleichung (6.8.30)
sin(α − γ(α))
Er = lim −Ee
α→0
sin(α + γ(α))
!
sin(α −
============== − lim Ee
α→0
sin(α +
Snellius, α1 & γ1
α1
α−
==== − lim Ee α→0
α+
Et = lim Ee
α→0
n1
α
n2
n1
α
n2
= −Ee
n1
α)
n2
n1
α)
n2
n2 − n1
n2 + n1
(6.8.49)
2 sin (γ(α)) cos(α)
sin(α + γ(α))
Snellius, α1 & γ1
============== lim Ee
α→0
n1
α
n2
sin α +
n1
α ·1
α1
n
==== lim Ee 2 n α→0
α + n21 α
2
2 sin
= Ee
cos(α)
n1
α
n2
2n1
n2 + n1
(6.8.50)
einen negativen Wert. Dies ist korrekt, da nach der Abbildung 6.19 die Vektoren
für beide Polarisationen in unterschiedliche Richtungen zeigen. Die beiden Werte
Er,p und Es,p sind die Vorfaktoren. Also zeigen die beiden elektrischen Felder der
reflektierten Wellen in identische Richtungen.
6.8.4. Brewster-Winkel
Wenn bei der p-Polarisation in der Gleichung (6.8.42) für Er der Nenner α+γ(α) =
π/2 ist, divergiert der Nenner. Wir erhalten also Er (α = π/2 − γ(α)) = 0. Dies ist
der Brewster-Winkel.
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213
Elektromagnetische Wellen
214
Beim Brewsterwinkel gegeben durch α + γ(α) = π/2 ist Er,p für
die p-Polarisation gleich null. Die elektromagnetische Welle ist spolarisiert!
Abbildung 6.20.: Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Links ist der Analysator so gestellt, dass dass das an der Wasseroberfläche reflektierte Licht durchgelassen wird. Rechts die gleiche Szene, aber
der Analysator blockt das an der Wasserfläche reflektierte Licht.
214
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215
6.8 Die Fresnelschen Formeln
Abbildung 6.21.: Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Die beiden Bilder
aus Abbildung 6.20 sind hier übereinandergelegt.Die Trennlinie
läuft entlang des Baumstammes.
Abbildung 6.22.: Polarisation bei der Spiegelung an Wasser. Linkes und rechtes Bild wurden mit zwei Stellungen des Polarisationsfilters
aufgenommen.
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215
Elektromagnetische Wellen
216
6.8.5. Beispielkurven für die Fresnelformeln
Fresnel−Formeln: E−Feld, n2>n1
1
E
0.5
0
−0.5
−1
Er,p
Et,p
Er,s
Et,s
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
1.2
1.4
Abbildung 6.23.: Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und sPolarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.
Fresnel−Formeln: I, n2>n1
1
0.8
0.6
I
Ir,p
It,p
Ir,s
It,s
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
1.2
1.4
Abbildung 6.24.: Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren Medium (n1 = 1) in das
langsamere (n2 = 1.5) eintreten. Die Intensität ist mit I = ni E 2
berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige
Brechzahl ist.
216
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217
6.8 Die Fresnelschen Formeln
Fresnel−Formeln: E−Feld, n2<n1
2.5
Er,p
Et,p
Er,s
Et,s
2
1.5
E
1
0.5
0
−0.5
−1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
1.2
1.4
Abbildung 6.25.: Verlauf der Amplitude des elektrischen Feldes für p- und sPolarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1)eintreten.
Fresnel−Formeln: I n2<n1
6
Ir,p
It,p
Ir,s
It,s
5
I
4
3
2
1
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
1.2
1.4
Abbildung 6.26.: Verlauf der Intensität für p- und s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in
das schnellere (n2 = 1) eintreten. Die Intensität ist mit I = ni E 2
berechnet worden, wobei ni die für das jeweilige Medium gültige
Brechzahl ist.
6.8.6. Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche
Wir können kontrollieren, ob im Energiefluss senkrecht zur Grenzfläche die Energie erhalten bleibt. Dazu müssen wir den Energiefluss durch eine Fläche parallel
zur Oberfläche berechnen. Wir betrachten hier die p-Polarisation. Der einfallende
Energiefluss ist
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217
Elektromagnetische Wellen
218
ε0 c 2
E cos α
(6.8.51)
2 e
Der Fluss der reflektierten Energie (Betrag des Poynting-Vektors) durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche ist
Ie,⊥ = n1
ε0 c 2
(6.8.52)
E cos α
2 r
Ebenso ist der Fluss der gebrochenen Energie durch eine Fläche parallel zur Grenzfläche
Ir,⊥ = n1
ε0 c 2
E cos γ(α)
2 t
Die Energieerhaltung sagt nun, dass für die p-Polarisation
It,⊥ = n2
(6.8.53)
ε0 c 2
E cos α
2 e
= Ir,p,⊥ + It,p,⊥
ε0 c 2 tan2 [α − γ(α)]
=n1
E
cos α
2 e tan2 [α + γ(α)]
ε0 c 2
4 sin2 γ(α) cos2 α
+ n2
E
cos(γ(α))
2 e sin2 [α + γ(α)] cos2 [α − γ(α)]
ε0 c
= E2e
"2
sin2 [α − γ(α)] cos2 [α − γ(α)] cos α
n1
sin2 [α + γ(α)] cos2 [α − γ(α)]
#
4 sin2 γ(α) cos2 α cos(γ(α))
+ n2 2
sin [α + γ(α)] cos2 [α − γ(α)]
n1 ε0 c 2
=
Ee
h 2
sin2 [α − γ (α)] cos2 [α + γ (α)] cos α
Ie,p,⊥ =n1
#
sin α
+
· 4 sin2 γ (α) cos2 α cos (γ (α))
sin γ (α)
i−1
· sin2 [α + γ (α)] cos2 [α − γ (α)]
n1 ε0 c 2
=
Ee cos α
h 2
sin2 [α − γ(α)] cos2 [α + γ(α)]
h
+ 4 sin α sin γ(α) cos α cos(γ(α))]
i−1
· sin2 [α + γ(α)] cos2 [α − γ(α)]
h
(6.8.54)
gilt.
Wir müssen also den Wert des Bruches
X = sin2 [α − γ(α)] cos2 [α + γ(α)] + 4 sin α sin γ(α) cos α cos(γ(α))
n
o
o−1
· sin2 [α + γ(α)] cos2 [α − γ(α)]
n
218
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219
6.8 Die Fresnelschen Formeln
berechnen.
X = sin2 [α − γ] cos2 [α + γ] + 4 sin α sin γ cos α cos(γ)
n
· sin2 [α + γ] cos2 [α − γ]
n
o
o−1
= sin2 [α − γ] cos2 [α + γ] + sin(2α) sin(2γ)
n
o
o−1
· sin2 [α + γ] cos2 [α − γ]
1
1
=
(1 − cos[2α − 2γ]) (1 + cos[2α + 2γ])
2
2
+ sin(2α) sin(2γ)}
−1
1
1
·
(1 − cos[2α + 2γ]) (1 + cos[2α − 2γ])
2
2
= {(1 − cos[2α − 2γ]) (1 + cos[2α + 2γ])
+ 4 sin(2α) sin(2γ)}
n
· {(1 − cos[2α + 2γ]) (1 + cos[2α − 2γ])}−1
= {(1 − cos[2α − 2γ]) (1 + cos[2α + 2γ])
+ 2 (cos[2α − 2γ] − cos[2α + 2γ])}
· {(1 − cos[2α + 2γ]) (1 + cos[2α − 2γ])}−1
(6.8.55)
Wir setzen A = cos[2α − 2γ] und B = cos[2α + 2γ] und schreiben die Gleichung
um
(1 − A)(1 + B) + 2A − 2B
(1 − B)(1 + A)
1 − A + B − AB + 2A − 2B
=
1 + A − B − AB
1 + A − B − AB
=
1 + A − B − AB
=1
X=
(6.8.56)
Da X = 1 ist, ist gezeigt, dass für den Energiefluss durch die Grenzfläche für
p-Polarisation Energieerhaltung gilt.
Eine ähnliche Gleichung kann man für die s-Polarisation berechnen. In der Elektrizitätslehre würde man sagen, dass der Fluss anhand des Pointing-Vektors berechnet wurde.
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219
Elektromagnetische Wellen
220
Fresnel−Formeln: Energiefluss senkrecht, n2>n1
1
0.8
Ir,p,n
It,p,n
Ir,s,n
It,s,n
I
0.6
Itot,p,n
Itot,s,n
Itot,ein
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
1.2
1.4
Abbildung 6.27.: Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und sPolarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem schnelleren (n1 = 1) Medium in das langsamere (n2 = 1.5) eintreten.
Fresnel−Formeln: Energiefluss senkrecht, n2<n1
Ir,p,n
It,p,n
Ir,s,n
It,s,n
1.4
1.2
Itot,p,n
Itot,s,n
Itot,ein
I
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
α
1
1.2
1.4
Abbildung 6.28.: Verlauf der mit der Fläche gewichteten Intensität für p- und
s-Polarisation, wenn elektromagnetische Wellen aus dem langsameren (n1 = 1.5) Medium in das schnellere (n2 = 1) eintreten.
Für beide Bilder wurde die Intensität mit I = ni E 2 cos(αi ) berechnet, wobei ni
die für das jeweilige Medium gültige Brechzahl und αi der entsprechende Winkel
ist. Die drei Kurven für die gesamte Intensität bei der p-Polarisation und der sPolarisation liegen über der Kurve der mit dem Winkel gewichteten Intensität der
einfallenden elektromagnetischen Welle.
Parallel zur Oberfläche ist es wegen der Translationssymmetrie schwieriger Energieerhaltungsgrössen zu definieren.
Die dritte Stetigkeitsbedingung an der Grenzfläche, die der Normalkomponente
von εE = D liefert das Snelliussche Gesetz.
220
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221
6.8 Die Fresnelschen Formeln
6.8.7. Felder und Intensitäten bei senkrechtem Einfall
Da bei senkrechtem Einfall s- und p-Polarisation ununterscheidbar sind, können
die Gleichungen am einfachsten aus Gleichung (6.8.40) abgeleitet werden. Aus dem
Brechungsgesetz folgt, dass mit α = 0 auch γ = 0 ist. Setzen wir diese beiden Werte
in Gleichung (6.8.40) ein, erhalten wir
n2 cos(0) − n1 cos(0)
n2 − n1
Er
=
=
Ee
n1 cos(0) + n2 cos(0)
n1 + n2
Et
2n1 cos(0)
2n1
=
=
Ee
n2 cos(0) + n1 cos(0)
n2 + n1
(6.8.57)
Die Intensitäten bei senkrechtem Einfall ist über
Ie = n1
ε0 c 2
E
2 e
Ir = n1
ε0 c 2
E
2 r
It = n2
ε0 c 2
E
2 t
(6.8.58)
gegeben. Also haben wir (wir lassen die gleichen Faktoren in allen Intensitätsgleichungen weg)
Ir
n1 E2r
n2 − n1 2
=
=
Ie
n1 E2e
n1 + n2
2
2
4n1 n2
It
n2 E t
n2
2n1
=
=
=
2
Ie
n1 E e
n1 n2 + n1
(n1 + n2 )2
(6.8.59)
In beiden Fällen ist nur das Verhältnis der Brechungsindizes wichtig. Mit an =
n2 /n1 erhalten wir
Er
Ee
Et
Ee
Ir
Ie
It
Ie
an − 1
an + 1
2
=
an + 1
an − 1 2
=
an + 1
4an
=
(an + 1)2
=
(6.8.60a)
(6.8.60b)
(6.8.60c)
(6.8.60d)
Aus den beiden Gleichungen (6.8.60c) und (6.8.60d) ersieht man leicht, das die
Summe aus transmittierter und reflektierter Intensität
Ir It
an − 1
+ =
Ie Ie
an + 1
2
+
4an
a2n − 2an + 1 + 4an
a2n + 2an
=
=
= 1 (6.8.61)
(an + 1)2
(an + 1)2
(an + 1)2
ist. Wesentlich war dabei der Faktor n2 /n1 bei der Berechnung der transmittierten
Intensität. Die folgende Abbildung 6.29 zeigt das Verhalten der refelktierten und
transmittierten feldamplituden und Intensitäten als Funktion von an = n2 /n1 .
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221
Elektromagnetische Wellen
222
Fresnel−Formeln: senkrechter Einfall, an=n2/n1
2
Fresnel−Formeln: senkrechter Einfall,an=n2/n1
1
Er(an=n2/n1)
Et(an = n2/n1)
1.5
Ir(an=n2/n1)
It(an=n2/n1)
0.8
1
I
E
0.6
0.5
0.4
0
0.2
−0.5
−1
0
0.5
1
1.5
2
an
2.5
3
3.5
0
4
0
0.5
1
1.5
2
an
2.5
3
3.5
4
Abbildung 6.29.: Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n2 /n1 .
Abbildung 6.30 zeigt die gleichen Kurven in logarithmischer Darstellung.
Fresnel−Formeln: senkrechter Einfall, an=n2/n1
2
Fresnel−Formeln: senkrechter Einfall, an=n2/n1
1
Er(an=n2/n1)
Et(an=n2/n1)
1.5
Ir(an=n2/n1)
It(an=n2/n1)
0.8
1
I
E
0.6
0.5
0.4
0
0.2
−0.5
−1
0.01
0.1
1
an
10
100
0
0.01
0.1
1
an
10
100
Abbildung 6.30.: Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von an = n2 /n1 , mit logarithmischer Abszisse.
6.8.8. Evaneszente Wellen
(Siehe Hecht, Optik [Hec05, pp. 193,196])
Versuch zur Vorlesung:
Evaneszente Wellen - tunneln mit Licht (Versuchskarte O-080)
Aus den letzten Abbildungen ist ersichtlich, dass, wenn elektromagnetische Wellen
aus dem langsameren Medium (n1 ) in das schnellere n2 < n1 eintreten, es Winkel
γ gibt ((n1 /n2 ) sin α = sin γ > 1), für die es keine reelle Lösung der Fresnelschen
Formeln gibt. Die Lösung ist dann in die z-Richtung rein imaginär. Was bedeutet
dies? Dies heisst, dass auch die z-Komponente des k-Vektor der elektromagnetischen Welle im schnelleren Medium imaginär wird. Darum wird aus eikz z mit
kz = iκz der exponentielle Dämpfungsfaktor e−κz z , wobei κz vom Einfallswinkel
abhängt. Die elektromagnetischen Wellen aus dem langsameren Medium können
sich im schnelleren Medium also nicht weiter in die z-Richtung bewegen: Wegen
der Energieerhaltung ist die Reflexion perfekt.
222
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
223
6.8 Die Fresnelschen Formeln
2
1
0
-1
-2
10
0
3
-10
2
1
0
1
2
3
4
-30
4
-20
Abbildung 6.31.: Momentaufnahme der Interferenz einer total reflektierten Welle
mit sich selber sowie der evaneszenten Wellen.
0
Abbildung 6.32.: Intensitätsverteilung einer total reflektierten Welle und der dazugehörigen evaneszenten Welle.
Wir suchen nun eine Beziehung zwischen dem Wellenvektor kt der transmittierten Welle und dem Welllenvektor ke der einfallenden Welle für den Fall, dass
n1 sin(α) ≥ n2 ist, also dass dass Snelliussche Brechungsgesetz (6.8.17) keine reelle
Lösung hat.
Aus der Definition der Brechzahl n in Gleichung (6.6.1) und der Gleichung (6.8.14)
√
folgt mit λvac der Vakuumwellenlänge und c = 1/ ε0 µ0 der Vakuumlichtgeschwindigkeit
k = kek =
2π
2π
2π n
ek = λvac ek =
ek = nkvac
λ
λvac
n
(6.8.62)
Der Betrag der Tangentialkomponente ke,tangential des Wellenvektors der einfallenden Welle kann mit dem Einfallswinkel berechnet werden:
|ke,tangential | = |ke | sin(α) = n1 kvac sin(α)
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
(6.8.63)
223
Elektromagnetische Wellen
224
Der Betrag des Wellenvektors der transmittierten Welle ist andererseits
|kt | =
q
k2t,tangential + k2t,senkrecht = n2 kvac
(6.8.64)
Wir stellen Gleichung (6.8.64) um und isolieren k2t,senkrecht , und setzen dann Gleichungen (6.8.21) und (6.8.63) ein
2
2
2
− n21 kvac
sin2 (α)
− k2t,tangential = n22 kvac
k2t,senkrecht = n22 kvac
2
= kvac
n22 − n21 sin2 (α)
(6.8.65)
Im Falle der Totalreflexion ist n1 sin(α) ≥ n2 und damit n22 −n21 sin2 (α) ≤ 0. Damit
erhalten wir für den Betrag von kt,senkrecht
kt,senkrecht = ±i kvac
q
n21 sin2 (α) − n22 = iκt
(6.8.66)
Die physikalisch sinnvolle Lösung für einen unendlich ausgedehnten Halbraum mit
dem Brechungsindex n2 ist die exponentiell abfallende Lösung
E(r, t) = Et ei(kt,tangential · r−ωt) e−κt z
(6.8.67)
Die resultierende Welle im Medium 2 hat dann die zeitgemittelte Intensität
I(x, z) = I0 e−2κt z
(6.8.68)
Wir erhalten also für die Intensität einen exponentiellen Abfall mit einer Abfalllänge
`0 =
λvac
1
1
q
=
2κt
4π
n21 sin2 (α) − n22
(6.8.69)
Wenn eine Welle mit der Vakuumwellenlänge λvac = 500 nm und dem Einfallswinkel α = 5π/12 = 75◦ von einem Medium mit dem Brechungsindex n1 = 1.55 in
Luft n2 = 1 übertritt, ist λ0 = 35.71 nm.
6.9. Zusammenfassung
Maxwellgleichungen im Vakuum Gleichung (6.1.3)
div E
=0
rot E
= − ∂B
∂t
div B
=0
rot B = µ0 0 ∂E
=
∂t
1 ∂E
c2 ∂t
I
II
III
IIII
Wellengleichung für E Gleichung (6.1.7)
∂ 2E
= −c2 4E
2
∂t
224
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225
6.9 Zusammenfassung
Wellengleichung für B Gleichung (6.1.8)
∂ 2B
= −c2 4B
2
∂t
Wellenwiderstand eines Zweidrahtsystems Gleichung (6.3.15)
R∗ =
4a
1
ln
π
d
√
µ0 0
Wellenwiderstand des Vakuums Gleichung (6.3.16)
R0∗ =
√
µ0 0 = 377Ω
Energiefluss im Vakuum, Poynting-Vektor Gleichung (6.4.5)
S (r, t) =
1
E (r, t) × B (r, t)
µ0
Energiefluss in Materie, Poynting-Vektor Gleichung (6.4.6)
S (r, t) = E (r, t) × H (r, t)
Elektrisches Strahlungsfeld eines Atoms Gleichung (6.5.17)
e
1
ez0 ω 2
1
r
0
E (r, Θ, t) =
·
·
|a(t
)|
sin
Θ
=
· · sin ω t −
2
2
4π0 c
r
4π0 c
r
c
sin Θ
Magnetisches Strahlungsfeld eines Atoms Gleichung (6.5.18)
1
B (r, Θ, t) = e (r, Θ, t)
c
Energiefluss des Strahlungsfeldes eines Atoms Gleichung (6.5.19)
s
S (r, Θ, t) =
0 2
E (r, Θ, t)
µ0
Intensität des Strahlungsfeldes eines Atoms Gleichung (6.5.20)
s
I (r, Θ) = hS (r, Θ, t)it =
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0 e2 z02 ω 4 sin2 Θ
µ0 (4π0 c2 )2 2r2
225
A. Literaturhinweise
Den Stoff der Vorlesung finden Sie in ähnlicher Form in den Werken von Giancoli „Physik“[Gia06], Gerthsen/Meschede „Physik“[Mes06], Tipler „Physik“[TM04],
Leisi „Klassische Physik“[Lei98], Alonso-Finn „Physik“[AF00] und, als leichtere
Einführung im Buch von Halliday „Physik“[HRW03].
Eine gut strukturierte (und leicht tragbare Übersicht bieten Lindström/Langkau
„Physik kompakt: Elektrodynamik“[LL96] und Langkau/Lindström/Scobel „Physik kompakt: Elektromagnetische Wellen“[LLS96]
Zusätzliche Übungsaufgaben finden Sie in „Tutorien zur Physik“[MS09] oder im
„Prüfungstrainer Physik“[Tur07]. Zum Aufarbeiten des gelernten Stoffes (nicht
als Einsteigerliteratur) kann auch Kneubühls[Kne78] „Repetitorium der Physik“
empfohlen werden. Mathematische Probleme und Formeln sind sehr schön im
Bronstein[BSMM08] zusammengefasst. Arfken/Weber „Mathematical methods for
Physicists“[AW95] und sowie Weltner „Mathematik für Physiker“[Wel94] können
beim Bewältigen von mathematischen Problemen helfen.
Dieses Skript gibt es auch als PDF-Datei und als Web-Site.
Eine wunderbare Website zum Aufarbeiten Ihres Wissens ist Hyperphysics von R.
Nave. Ergänzend gibt es vom gleichen Autor auch Hypermath.
Historische wissenschaftliche Arbeiten bieten oftmals einen guten Einblick in die
Gedanken hinter den physikalischen Gesetzen. Dazu gehören die Arbeiten von Michael Faraday [Far32b, Far32a, Far33b, Far33a, Far33c, Far34a, Far34b, Far34c,
Far35a, Far35b, Far38b, Far38a, Far38a, Far38a, Far38a, Far38a, Far39, Far40,
Far40, Far43, Far46, Far46, Far46, Far49b, Far49a, Far50, Far51c, Far51a, Far51b,
Far51b, Far52a, Far52b, Far56], James Clerk Maxwell [Max65, Max73] und anderen.
B. Begriffe
Symbol Name
hf i Mittelung über f
Einheit
−
Bemerkungen
C2m
N
2
= Cm
=
V
Asm2
2
Fm = V
1
a
atomare Polarisierbarkeit
Winkel (z.B. zwischen
Geschwindigkeit und der
Oberflächennormalen
der Referenzfläche
Abstand einer Ladung
zur Oberfläche, Radius
Dicke eines Dielektrikums
Länge einer Leiterschlaufe in einem Motor
Oberflächenelement in
Integralen
Beschleunigung
A
Fläche
m2
α
α
a
a
a
da
m
m
m
m2
m
s2
=
Fläche des Plattenkon- m2
densators
A Vektorpotential
Tm
N
kg
A
mkg
As2
reduzierte Geschwindigkeit
b Breite eines Dielektrikums
b Breite einer Leiterschlaufe in einem Motor
h Breite des Leiters in einer Hall-Anordnung
B magnetische Induktion
β
=
= Vms
N
A
=
1
β=
m
m
m
T
kg
As2
m
s
N
= Am
Vs
=m
2
c Lichtgeschwindigkeit im
Vakuum
C Kapazität
F =
J
=
V2
C
= As
V
V
2
C
J
=
=
v
c
Begriffe
230
Symbol
C
Name
Curie-Konstante
Einheit
Bemerkungen
A2 K
AK
= N =
Tm
Am
K
Vs
F
δx
Kapazität zwischen den
Körpern i und j
Delta-Funktion für die
Zeit
Delta-Funktion für den
Ort
Längenelement
m
andere Schreibweise zu
dx
∆
Laplace-Operator
1
m2
∆f =
Flächenelement
m2
cij
δ(t)
δ(x)
dA
d Abstand
1
s
1
m
∂2f
∂x2
+
∂2f
∂y 2
+
∂2f
∂z 2
m
d Abstand der Platten im
Plattenkondensator
div Divergenz-Operator
m
1
m
div f =
 ∂ 
∂x
 ∂ 
 ∂y 


fx


·  fy 
∂
fz
∂z
∂fy
∂fx
∂fz
+ ∂y + ∂z
∂x
D
e
Dielektrische Verschiebung
Elementarladung
Basis des natürlichen
Logarithmus
relative Dielektrizitätszahl
e
=
C
Nm
N
Vm
e = 1.6022 × 10−19 C
1
e = 2.7182818284590
1
Im
Allgemeinen
ist ein Tensor.
(heisst auch relative
Dielektrizitätskonstante)
E(r)
C2
=
N m2
J
V 2m
N
V
=m
C
E lokal
lokales elektrisches Feld
N
C
=
V
m
E0
elektrisches Feld ohne
Dielektrikum
N
C
=
V
m
potentielle Energie
J = Nm
Epot
=
C
Dielektrizitätskonstante
des Vakuums
elektrisches Feld
0
230
C
m2
=
C
Vm
2
= 0 = 8.8544 × 10−12 NCm2
Verwendet bei Berechnungen mit dielektrischen Materialien
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231
Symbol
Et
Name
spezifische Haftenergie
φ eine der Koordinaten bei
Kugelkoordinaten
ϕ
ϕ
Einheit
Bemerkungen
J
m2
1
Winkel gemessen von
der x-Achse in der xyEbene (Längengrad)
elektrostatisches Poten- CJ = V
tial
Phase
1
Fluss eines Vektorfeldes
F
N m2
magnetischer Fluss
Funktion
1W b = T m2 =
2
Nm
= kgm
=
A
As2
Vs
−
x ist ein Platzhalter
Kraft
N
FL
Lorentzkraft
N
FM
magnetische Kraft
N
FV
Kraftdichte
N
m3
F V = lim
relativistischer Korrekturfaktor
Gradienten-Operator
1
γ = 1−
Φ
ΦB
f (x)
F
γ
grad
In diesem Falle, Einheit
hängt vom Vektorfeld ab
∆F V
∆V →0 ∆V
1
m
G Leitwert
S=
G Gravitationskonstante
m3
kg s2
h Höhe der Mantelfläche
m
h Höhe des Leiters in einer
Hall-Anordnung
h Plancksches Wirkungsquantum
~ reduziertes Plancksches
Wirkungsquantum
H Magnetfeld
m
v2
c2
−1/2
grad f =
 ∂ 
∂x
 ∂ 
 ∂y  f
A
V
=
1
Ω
=
∂
∂z
 ∂f 
∂x
 ∂f 
 ∂y 
∂f
∂z
Js
h = 6.63 × 10−34 Js
Js
h ≈ 10−34 Js
A
m
i
Stromdichte
A
m2
I
Strom
A
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231
Begriffe
232
Symbol
Ief f
Name
effektiver Strom
Einheit
A
Bemerkungen
RMS-Strom
A
Leistungsgewichteter
Strom, ”Root Mean
Square”-Strom
j
lineare Stromdichte
A
m
j = lim
k
Federkonstante
N
m
k
kB
beliebige, auch komplexe 1
Zahl
J
Boltzmann-Konstante
K
K
Vorfaktor
Irms
I(∆y)
∆y
1
λ mittlere freie Weglänge
m
λ Linienladungsdichte
C
m
` Abstand von −q zu +q
im Dipol
` Drehimpuls
m
m2 kg
s
L
Länge
m
L
Selbstinduktion
oder
Selbstinduktivität einer
Spule
H
µ0
Induktionskonstante
= WAb =
T m2
= NAm
=
2
A
kgm2
Vs
= A = Ωs
A 2 s2
N s2
= AN2 = H
µ0 = 4π · 10−7 AN2
C2
m
m
Masse
kg
m
magnetisches Moment
Am2
mz
magnetisches Moment in Am2
z-Richtung
Gesamtmasse aller Ionen kg
M
M12
MM ol
M
M
ν
232
∆y→0
Gegeninduktivität zwi- H = WAb =
T m2
schen zwei Spulen
= NAm
=
2
A
2
kgm
Vs
= A = Ωs
A 2 s2
kg
Molmasse
M ol
A
m
makroskopische Magnetisierung
Drehmoment
Nm
Frequenz
Hz =
1
s
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233
Symbol Name
n Ladungsträgerdichte
Einheit
Bemerkungen
1
m2
n spezifische Windungs- m1
zahl einer Spule
n Normalenvektor auf ein 1
Flächenelement
N Dichte der induzierten m13
Dipole
N Windungszahl
einer 1
Spule
1
NA Avogadrozahl
M ol
n=
NA = 6.02 × 1023 M1ol
p Dipolmoment
Cm
p Impuls (mechanisch)
kgm
s
pind
P
induziertes
ment
Leistung
= Ns
Dipolmo- Cm = Asm =
N m2
V
W =
m2 kg
s3
P
PM
Polarisation
C
m2
Leistung des Motors
W
=
J
s
=
As
m2
Nm
s
=
Nm
s
=
m2 kg
s3
=
Ladung
C = As =
Nm
V
Q
Ladung
C = As =
Nm
V
ρ
Massedichte
kg
m3
ρ
elektrische
dichte
Ladungs-
spezifischer Widerstand
ρ Abstand
C
m3
Pa
V
Ωm =
Vm
A
andere Schreibweise für
q
Siehe auch Gleichung
(2.2.4)
=
m
S
m
r
Abstand, Ortsvektor
m
r0
Referenzradius
m
Rotations-Operator
1
m
rot
=
= z.B. Verlustleistung am
Widerstand
N
Vm
q
ρel
N
`
rot f =
 ∂ 
∂x
 ∂ 
 ∂y 




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∂
∂z
∂fy
∂z
∂fz
∂x
∂fx
∂y


fx


×  fy 
fz
=

z
− ∂f
∂y 
x 
− ∂f
∂z 
y
− ∂f
∂x
233
Begriffe
234
Symbol
R
Name
Widerstand
Einheit
Ω = VA
Wellenwiderstand
Ω=
R
Radius
m
σ
Oberflächenladungsdichte
C
m2
σ
Influenzladungsdichte
an der Oberfläche
(spezifische) Leitfähigkeit
C
m2
R∗
σ
s
Maxwellspannung (me- mN2
chanische Spannung)
Schlaufe, ein Weg
m
s
Spin
Js
Längenelement
m
Bezugssystem für relativistische Rechnung
Bezugssystem für relativistische Rechnung
Bezugssystem für relativistische Rechnung
Bezugssystem für relativistische Rechnung
Poynting-Vektor
−
Θ eine der Koordinaten bei
Kugelkoordinaten
1
σM axwell
ds
S
S0
S+
S−
S
τ
τ
τ
=
A
Vm
=
1
Ωm
Im Allgemeinen ist die
Leitfähigkeit ein Tensor
∆F
∆A→0 ∆A
σM axwell = lim
−
−
−
J
m2 s
=
N
ms
Winkel gemessen von
der
z-Achse
(Breitengrad, von Norden
gemessen)
s
∆t kleine Zeitdifferenz
T
V
A
Mittlere Zeit zwischen s
zwei Stössen, Relaxationszeit
Abklingzeitkonstante ei- s
nes RC-Gliedes
Zeit unter Integralen
s
t Zeit
234
S
m
Bemerkungen
Periodendauer einer periodischen grösse
s
s
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235
Symbol
T
Name
Temperatur
Einheit
K
Spannung, auch elektrostatisches Potential
Gravitationspotential
J
C
=V
J
kg
=
m2
s2
V =
Nm
As
Uef f
Spannung am Kondensator
effektive Spannung
V
Urms
RMS-Spannung
V
elektromotorische Kraft
V =
Nm
As
Hallspannung
V =
Nm
As
Spannung am Widerstand
Geschwindigkeit des jten Ladungsträgers
Abziehgeschwindigkeit
Klebestreifen
Hilfsvektorpotential
V =
Nm
As
U
Ugrav
UC
UEM K
UHall
UR
vj
vs
V
m
s
Tm
mkg
As2
3
m
ω
Kreisfrequenz
1
s
Ω
1
Larmorwinkelgeschwindigkeit
s
wel
wB
W
Leistungsgewichtete
Spannung, ”Root Mean
Square”-Spannung
m
s
Volumenelement
dV
=
= Vms
J = Nm
Wmech
mechanische Arbeit
J = Nm
WBatt
Arbeit der Batterie
J = Nm
ξ
χe
N
A
=
ω = 2πν
elektrische Energiedich- mJ3 = mN2
te
Energiedichte des Ma- mJ3 = mN2
gnetfeldes
Arbeit
J = Nm
elektrische Arbeit
Wel
Bemerkungen
Ersatz für x in Integra- m
len
dielektrische Suszeptibi- 1
lität
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Im Allgemeinen ist χe
ein Tensor
235
Begriffe
236
Symbol Name
x Ortsvektor
Einheit
m
x Koordinate im kartesischen Koordinatensystem
XC Impedanz der Kapazität
oder kapazitiver Widerstand
XL Impedanz der Spule oder
induktiver Widerstand
y Koordinate im kartesischen Koordinatensystem
z Koordinate im kartesischen Koordinatensystem
Z Kernladungszahl
236
Bemerkungen
m
Ω
Ω
m
m
1
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C. Mathematische Sätze
C.1. Ableitung
Abbildung C.1.: Berechnung der Ableitung
d.h. die Steigung einer Kurve oder die Änderung finden
df (x)
f (x + ∆x) − f (x)
= f 0 (x) = lim
∆x→0
dx
∆x
Gesetze beim Ableiten:
d
(f (x) · g (x)) =
dx
!
(C.1.1)
!
d
d
f (x) · g (x) + f (x)
g (x)
dx
du
d
f (g (x)) =
dx
(C.1.2)
!
d
dg (x)
f (u)
mit u = g (x)
du
dx
s
f (x)
f 0 (x)
sin (x) cos (x)
cos (x) − sin (x)
1
ln(x)
x
ex
ex
Tabelle C.1.: Beispiele für Ableitungen
(C.1.3)
Mathematische Sätze
238
C.2. Differentiationsregeln
Einige Differentiationsregeln sind
Definition der Ableitung
Partielle Ableitung
u = f (t)
u = f (x, y, z, . . . , t)
u0 =
lim
du
= f 0 (t) =
dt
f (t+∆t)−f (t)
∆t
∆t→0
∂u
∂x
=
(x,y,z,...,t)
lim f (x+∆x,y,z,...,t)−f
∆x
∆x→0
Andere Schreibweise
Konstanter Faktor
u = f (t)
du
dt
=
d
u
dt
dcu
dx
u = f (x), c = const
Summenregel
u = f (t), v = g(t)
d(u+v)
dt
Produktregel
u = f (t), v = g(t)
duv
dt
Bruch
u = f (t), v = g(t)
d
dt
Kettenregel
u = f (v), v = g(t)
df (g(t))
dt
logarithmische Ableitung
u = f (x)
Tabelle C.2.: Differentiationsregeln
238
d
f (t)
dt
=
= c du
dx
=
du
dt
+
dv
dt
= u dv
+ v du
dt
dt
u
v
=
=
v du
−u dv
dt
dt
v2
df (v dv
dv dt
d ln u
dx
=
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=
dy
dx
y
df (v dg(t)
dv dt
239
C.3 Differentiation einfacher Funktionen
C.3. Differentiation einfacher Funktionen
Funktion
xm
ln x
loga (x)
n-te Ableitung
m(m − 1)(m − 2) . . . (m − n + 1)xm−n
bei ganzzahligem m und n und
m > n ist die n-te Ableitung null
(−1)n−1 (n − 1)! x−n
(−1)n−1 (n−1)!
x−n
ln a
ekx
k n ekx
akx
(k ln a)n akx
sin(kx)
k n sin kx +
nπ
2
cos(kx)
k n cos kx + nπ
2
Tabelle C.3.: Ableitung einiger Funktionen
Beispiel:
y = (5x2 − 3x + 2)6x
soll differenziert werden. Wir verwenden die logarithmische Ableitung.
ln(y) = 6x ln(5x2 − 3x + 2)
d
d (ln(y)) =
6x ln(5x2 − 3x + 2)
dx
dx
|
d
dx
|ableiten, Produktregel rechts
y0
d ln(5x2 − 3x + 2)
= 6 ln(5x2 − 3x + 2) + 6x
|Kettenregel ganz rechts
y
dx
y0
1
d(5x2 − 3x + 2)
= 6 ln(5x2 − 3x + 2) + 6x 2
y
5x − 3x + 2
dx
y0
1
= 6 ln(5x2 − 3x + 2) + 6x 2
(10x − 3) | ∗ y
y
5x − 3x + 2
dy
10x − 3
= y 0 = 6y ln(5x2 − 3x + 2) + 6yx 2
|y einsetzen
dx
5x − 3x + 2
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239
Mathematische Sätze
240
y 0 = 6(5x2 − 3x + 2)6x ln(5x2 − 3x + 2) + 6(5x2 − 3x + 2)6x x
0
2
y = 6(5x − 3x + 2)
6x
10x − 3
5x2 − 3x + 2
10x − 3
ln(5x − 3x + 2) + 2
5x − 3x + 2
2
C.4. Taylorreihe und Reihen
Definition
f (x) = f (a) +
x−a 0
(x − a)2 00
(x − a)n (n)
f (a) +
f (a) + . . . +
f (a) + . . .
1!
2!
n!
andere Schreibweise
f (x + ∆x) = f (x) +
∆x 0
(∆x)2 00
(∆x)n (n)
f (x) +
f (x) + . . . +
f (x) + . . .
1!
2!
n!
Beispiel
f (x + ∆x) = sin(x + ∆x)
∆x
(∆x)2 00
= sin(x) +
cos(x) +
f (x) + . . .
1!
2!
2n
2n+1
n (∆x)
n (∆x)
+(−1)
sin(x) + . . . + (−1)
cos(x) + . . .
(2n)!
(2n + 1)!
Spezialfall: x = 0
sin(∆x) = ∆x −
240
1
1
(∆x)2n+1
(∆x)5 + (∆x)5 + . . . + (−1)n
+ ...
3!
3!
(2n + 1)!
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241
C.5 Einige Reihen
C.5. Einige Reihen
Funktion
(1 ± x)m
Potenzreihe
1±
mx + m(m−1)
x2 ± m(m−1)(m−2)
+
2!
3!
n m(m−1)...(m−n+1) n
+(±1)
x + ...
n!
2
|∆x| < ∞
3
∆x2 cos(x)
+ ∆x 3!sin(x)
2!
∆xn cos(x+ nπ
2 )
± ...
n!
cos(x) − ∆x sin(x) −
cos(x + ∆x)
4
+ ∆x 4!cos(x)
− ... +
x + 13 x3 +
tan x
1
x
cot x
ex
−
1+
x ln a
1!
h
+
2 5
x
15
+
17 7
x
315
x
3
+
x3
45
+
2x5
945
x
1!
+
x2
2!
+
x3
3!
h
1+
ax = ex ln a
(x ln a)2
2!
+
+
+
(x ln a)3
3!
62
x9
2835
+
x7
4725
x4
4!
...
i
(x ln a)4
4!
+
2
+
ln x
(x − 1) − (x−1)
+ (x−1)
+ ...
2
3
n
n+1 (x−1)
+ ...
+(−1)
n
2
x−1
x
ln x
+
1
2
2
3
x−1
1 x−1
+
x
x
n3
+ n1 x−1
+
.
..
x
3
|x| < ∞
|x| < ∞
+ ...
x>0
...
0<x≤2
+ ...
x>
4
x − x2 + x3 − x4 + . . .
n
+(−1)n+1 xn + . . .
ln(1 + x)
π
2
5
1 · 3 · 5x5
x3
− x + 2·
+ 21··43x
3
·5 + 2·4·6·7 + . . .
h
3
5
2n+1
x − x3 + x5 − . . . + (−1)n x2n+1 + . . .
Tabelle C.4.: Reihenentwicklungen
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1
2
−1 < x ≤ 1
5
x3
1 · 3 · 5x5
x + 2·
+ 21··43x
3
·5 + 2·4·6·7 + . . .
arcsin x
π
2
0 < |x| < π
3
2
|x| <
+ ...
(x−1)3
(x−1)5
+ 5(x+1)
5 +
3(x+1)3
i
(x−1)2n+1
+ (2n+1)(x+1)2n+1 + . . .
x−1
x+1
|∆x| < ∞
...
ln x
arctan x
...
sin(x) + ∆x
cos(x) + (∆x)
f 00 (x) + . . .
1! n
2!
sin(x + πn
) + ...
+ (∆x)
(n)!
2
sin(x + ∆x)
arccos x
Konvergenz
|x| ≤ 1
|x| < 1
i
|x| < 1
|x| < 1
241
Mathematische Sätze
242
C.6. Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung
von Funktionswerten
Eine allgemeine Funktion f (x), die genügend oft stetig differenzierbar ist, soll in
der Nähe des Wertes x0 angenähert werden (Siehe auch die Ausführungen über
Taylorreihen in C.4).
Näherungen
1.5
x0 = −π/4
1.0
0.5
f(x)
0.0
−0.5
−1.0
f(x)
f1(x)=f(x0)+(df/dx)(x0)*(x−x0)
2
2
2
f2(x)=f1(x)+(1/2)(d f/dx )(x0)*(x−x0)
3
3
3
f3(x) = f2(x)+(1/6)(d f/dx )(x0)*(x−x0)
−1.5
−2.0
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
Abbildung C.2.: Approximationen der Funktion f (x) = cos(x) mit dem Grad 1,
2 und 3.
Abbildung C.2 zeigt, wie die Funktion cos(x) an der Stelle x0 = −π/4 angenähert
wird. Die Funktion und die ersten drei Ableitungen sind
f (x) = cos(x)
d2
f (x) = − cos(x)
dx2
d
f (x) = − sin(x)
dx
d3
f (x) = sin(x)
dx3
(C.6.1)
√
In nullter Näherung würde man sagen, dass cos(x) = 1/ 2 + O(1) ist in der
Umgebung von x0 = −π/4. Das Symbol O(1) bedeutet, dass Terme von x mit
dem Exponenten grösser oder gleich 1 vernachlässigt wurden.
√
√
In erster oder
√ linearer Näherung hätten wir cos(x) = 1/ 2 − 1/ 2(x − (−π/4)) +
O(2) = 1/ 2 (1 − (x + π/4))+O(2). Hier sind Terme mit dem Exponenten 2 oder
mehr vernachlässigt worden.
Die nächste Näherung, die 2., nimmt
oder paraboloiden
√ auch√ die quadratischen √
Anteile mit.
Hier
wäre
cos(x)
=
1/
2−1/
2(x−(−π/4))−1/
2(x−(−π/4))2 +
√
O(3) = 1/ 2 (1 − (x + π/4) − (x + π/4))2 + O(3).
Allgemein sind die verschiedenen Approximationen
242
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243
C.6 Ableitungen zur näherungsweisen Berechnung von Funktionswerten
f (x0 + ∆x) ≈ f0 (∆x) = f (x0 ) + O(1)
df (x) f (x0 + ∆x) ≈ f1 (∆x) = f (x0 ) +
∆x + O(2)
dx x=x0
(C.6.2)
d2 f (x) df (x) ∆x
+
∆x2 + O(3)
f (x0 + ∆x) ≈ f2 (∆x) = f (x0 ) +
dx x=x0
dx2 x=x
0
df (x) d3 f (x) d2 f (x) 2
f (x0 + ∆x) ≈ f3 (∆x) = f (x0 ) +
∆x
+
∆x3 + O(4)
∆x
+
dx x=x0
dx2 x=x
dx3 x=x
0
0
Mit x = x0 + ∆x lauten die Gleichungen
f (x) ≈ f0 (x) = f (x0 ) + O(1)
df (x) f (x) ≈ f1 (x) = f (x0 ) +
(x − x0 ) + O(2)
dx x=x0
(C.6.3)
df (x) d2 f (x) f (x) ≈ f2 (x) = f (x0 ) +
(x − x0 )2 + O(3)
(x − x0 ) +
dx x=x0
dx2 x=x
df (x) f (x) ≈ f3 (x) = f (x0 ) +
dx d2 f (x) 0
x=x0
dx2 (x − x0 ) +
d3 f (x) (x − x0 ) +
(x − x0 )3 + O(4)
dx3 x=x
2
x=x0
0
oder allgemein
∞
X
1 dj f (x) (x − x0 )j
f (x) =
j
dx x=x0
j=0 j!
(C.6.4)
Dabei ist j! = 1 · 2 · . . . · j die Fakultät von j, Per Definition ist 0! = 1. Die
nullte-Ableitung ist einfach die Funktion selber.
Als Beispiel betrachten wir cos(x) an der Stelle x0 = −π/4. Wir haben
1
f (−π/4) = √
df (x) 1
=−√
dx x=−π/4
2
2
d2 f (x) 1
=−√
2
dx x=−π/4
2
(C.6.5)
d3 f (x) 1
= √
3
dx x=−π/4
2
und
1
f (x) ≈ f0 (x) = √ + O(1)
2
(C.6.6)
df (x) f (x) ≈ f1 (x) = f (−π/4) +
dx
f (x) ≈ f2 (x) = f (−π/4) +
(x + π/4) + O(2)
x=−π/4
df (x) d2 f (x) (x + π/4) +
dx x=−π/4
dx2 (x + π/4)2 + O(3)
x=−π/4
df (x) d2 f (x) (x + π/4) +
f (x) ≈ f3 (x) = f (−π/4) +
dx x=−π/4
dx2 x=−π/4
d3 f (x) (x + π/4) +
dx3 2
(x + π/4)3 + O(4)
x=−π/4
Diese Kurven werden in Abbildung C.2 gezeigt.
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243
Mathematische Sätze
244
Näherungen
1.5
x0 = π/2
1.0
0.5
f(x)
0.0
−0.5
−1.0
f(x)
f1(x)=f(x0)+(df/dx)(x0)*(x−x0)
2
2
2
f2(x)=f1(x)+(1/2)(d f/dx )(x0)*(x−x0)
f3(x) = f2(x)+(1/6)(d3f/dx3)(x0)*(x−x0)3
−1.5
−2.0
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
Abbildung C.3.: Approximationen der Funktion f (x) = cos(x) mit dem Grad 1,
2 und 3.
Abbildung C.3 zeigt die Approximation für x0 = −π/2. Hier ist der Funktionswert
wie auch die zweite Ableitung null, so dass eine lineare Approximation resultiert.
Erst die dritte Ableitung ist wieder ungleich null.
Näherungen
1.5
x0 = 0.0
1.0
0.5
f(x)
0.0
−0.5
−1.0
f(x)
f1(x)=f(x0)+(df/dx)(x0)*(x−x0)
f2(x)=f1(x)+(1/2)(d2f/dx2)(x0)*(x−x0)2
f3(x) = f2(x)+(1/6)(d3f/dx3)(x0)*(x−x0)3
−1.5
−2.0
−3.0
−2.0
−1.0
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
x
Abbildung C.4.: Approximationen der Funktion f (x) = cos(x) mit dem Grad 1,
2 und 3.
Abbildung C.4 zeigt die Approximationen bei x0 = 0. Hier ist die erste und die
dritte Ableitung null, so dass nur die zweite übrig bleibt.
C.7. Vektoren
beschreiben Orte oder gerichtete Grössen
244
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245
Abbildung C.5.:
C.7 Vektoren
Definition von Vektoren. r ist ein Ortsvektor, v der
Geschwindigkeitsvektor.
x
y
→
−
r =r=
vx
vy
→
−
v =v=
!
=
!
ẋ
ẏ
!
Die Ableitung nach der Zeit wird auch als
ẋ =
dx
dt
geschrieben.
Addition:






ax
bx
ax + b x
 



a+b=
 ay  +  b y  =  ay + b y 
bz
bz
d z + bz
(C.7.1)
Versuch zur Vorlesung:
Kraft-Polygon (Versuchskarte M-28)
Länge eines Vektors
|a| =
q
a2y + b2y + a2z
(C.7.2)
Skalarprodukt
a · b = ax bx + ay bz + az bz = |a| |b| · cos (∠a, b)
(C.7.3)
der Einheitsvektor ex ist ein Vektor der Länge 1, der in die x-Richtung zeigt.
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245
Mathematische Sätze
246
Vektorprodukt






ax
bx
ay bz − az by


 


a × b =  ay  ×  b y  =  az b x − ax b z 
bz
bz
ax b y − ay b x
(C.7.4)
C.7.1. Gesetze
Vertauschung der Reihenfolge (Kommutationsgesetze)
a·b = b·a
a × b = −b × a
(C.7.5)
(C.7.6)
Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn
a·b = 0
(C.7.7)
a×b=0
(C.7.8)
Sie sind kollinear, wenn
Für die Orientierung der Vektoren gilt:
a×b⊥a
(C.7.9)
a×b⊥b
(C.7.10)
|a × b| = |a| |b| · sin (∠a, b)
(C.7.11)
C.7.1.1. Orthogonalität zweier Vektoren testen
Gegeben seien zwei Vektoren a und b. Die Projektion von a auf b, das heisst, die
Komponente von a in die Richtung von b ist
ab = ain Richtung b = a · eb = a ·
b
b
= a·
|b|
b
(C.7.12)
In kartesischen Koordinaten heisst dies
ab =
ax b x + ay b y + az b z
q
b2x + b2y + b2z
Beispiel:
Sei a = (3, 2, −2) und b = (−2, 0, 1). Dann ist
ab =
3 · (−2) + 2 · 0 + (−2) · 2
q
(−2)2 + 02 + 22
=
10
5
−6 − 4
√
=− √ =−√
8
2 2
2
Beispiel:
Sei a = (3, 2, −2) und b = (0, 0, 1). Dann ist
ab =
246
−2
3 · 0 + 2 · 0 + (−2) · 2
√
= √ = −2
2
2
2
1
0 +0 +1
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(C.7.13)
247
C.8 Vektoridentitäten
Dis ist die z-Komponente von a.
C.8. Vektoridentitäten
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 190])
Im Folgenden sind a, b, c und f Vektoren oder vektorielle Funktionen, a, b, c und
f ihre Längen, k eine Zahl und ϕ(r) eine skalare Funktion. Die Komponenten der
Vektoren in kartesischen Koordinaten sind


ax

a =  ay 

az
Für die anderen Vektoren werden die Komponenten analog geschrieben.
C.8.1. Produkte mit Vektoren
Doppeltes Vektorprodukt
a × (b × c) = (a · c) b − (a · b) c
(C.8.1)
Das Spatprodukt oder gemischte Produkt berechnet das Volumen des durch a, b, c
aufgespannten Spates. Das Vorzeichen ist + bei gerader Permutation von a, b, c und
− bei ungerader Permutation.
(a × b) · c = (b × c) · a
= (c × a) · b
= − (b × a) · c
= − (c × b) · a
= − (a × c) · b
= ax by cz + ay bz cx + az bx cy − (az by cx + ax bz cy + ay bx cz )
(C.8.2)
Drei Vektoren sind komplanar, wenn
(a × b) · c = 0
(C.8.3)
a × (b × c) + b × (c × a) + c × (a × b) = 0
(C.8.4)
Jacobi-Identität
Lagrangesche Identität
(a × b) · (c × f ) = (a · c) (b · f ) − (a · f ) (b · c)
(C.8.5)
Vierfaches Vektorprodukt
(a × b) × (c × f ) = ((a × b) · f ) c − ((a × b) · c) f
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(C.8.6)
247
Mathematische Sätze
248
C.8.2. Ableiten von Vektoren
Ableiten eines Vektors


 dax 
dt
day 

dt
a
d
d  x  
a=
 ay  = 
dt
dt
az
daz
dt


a˙x

=
 a˙y 
a˙z
(C.8.7)
Ableitung eines Produktes
d
dϕ
d
(ϕ(t)a(t)) =
a+ϕ a
dt
dt
dt
(C.8.8)
Ableitung des Skalarproduktes
d
da
db
(a · b) =
·b + a·
dt
dt
dt
(C.8.9)
Ableitung des Vektorproduktes
da
db
d
(a × b) =
×b+a×
dt
dt
dt
(C.8.10)
Ableitung eines Vektors mit konstantem Betrag. Hier ist a · a = a2 = const. Aus
Gleichung (C.8.9) folgt
0=
d
da
da
da
da2
=
(a · a) =
·a + a·
=
·a
dt
dt
dt
dt
dt
⇒
da
⊥a (C.8.11)
dt
Taylorentwicklung einer Vektorfunktion
da τ 2 d2 a τ n dn a a(t + τ ) = a(t) + τ
+
+
.
.
.
+
+ ...
dt t
2 dt2 t
n! dtn t
(C.8.12)
C.8.3. Vektorableitungen bei Skalarfeldern
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 668])
Ableitung eines skalaren Feldes nach einer Richtung
∂ϕ(r)
ϕ(r + εc) − ϕ(r)
= lim
ε→0
∂c
ε
Ableitung
∂ϕ(r)
∂ec
(C.8.13)
in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c
∂ϕ(r)
∂ϕ(r)
= |c|
∂c
∂ec
(C.8.14)
Richtungsableitung einer skalaren Funktion im Vergleich zur Richtung mit dem
stärksten Abfall (Einheitsvektor n)
∂ϕ(r)
∂ϕ(r)
=
cos (∠ec , n)
∂ec
∂n
248
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(C.8.15)
249
C.8 Vektoridentitäten
C.8.4. Vektorableitungen bei Vektorfeldern
Ableitung eines Vektorfeldes a nach einer Richtung c
∂a(r)
a(r + εc) − a(r)
= lim
ε→0
∂c
ε
Ableitung
∂a(r)
∂ec
(C.8.16)
in Richtung des Einheitsvektors ec in Richtung von c
∂a(r)
∂a(r)
= |c|
∂c
∂ec
(C.8.17)
Richtungsableitung einer Vektorfunktion
∂a(r)
= (c · grad ) a
(C.8.18)
∂c
1
= ( rot (a × c) + grad (c · a) + c · div a − a · div c
2
−c × rot a − a × rot c)
Gradient eines Produktes
grad (ϕ1 ϕ2 ) = ϕ1 grad ϕ2 + ϕ2 grad ϕ1
(C.8.19)
Kettenregel beim Gradienten
grad ϕ1 (ϕ2 ) =
dϕ1
grad ϕ2
dϕ2
(C.8.20)
Gradient eines Skalarproduktes
grad (a · b) = (a · grad ) b + (b · grad ) a + a × rot b + b × rot a (C.8.21)
Gradient eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor
r
grad (r · k) = k
(C.8.22)
Gradient eines Vektors v = (vx , vy , vz )T
 ∂vx (x,y,z)
grad v =
∂x
 ∂vy (x,y,z)


∂x
∂vz (x,y,z)
∂x
∂vx (x,y,z)
∂y
∂vy (x,y,z)
∂y
∂vz (x,y,z)
∂y
∂vx (x,y,z) 
∂z
∂vy (x,y,z) 


∂z
∂vz (x,y,z)
∂z
(C.8.23)
Divergenz eines Produktes
div (ϕa) = ϕ div a + a grad ϕ
(C.8.24)
Divergenz eines Skalarproduktes eines konstanten Vektors k mit einem Ortsvektor
r
r·k
div (r · k) =
(C.8.25)
|r|
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249
Mathematische Sätze
250
Divergenz eines Vektorproduktes
div (a × b) = b · rot a − a · rot b
(C.8.26)
Rotation eines Produktes
rot (ϕa) = ϕ rot a + grad ϕ × a
(C.8.27)
Rotation eines Vektorproduktes
rot (a × b) = (b · grad ) a − (a · grad ) b + a div b − b div a
(C.8.28)
Rotation eines Potentialfeldes
rot ( grad ϕ) = 0
∀ϕ
(C.8.29)
Divergenz einer Rotation
∀a
div ( rot a) = 0
(C.8.30)
Rotation einer Rotation
rot ( rot a) = grad ( div a) − div ( grad a)
(C.8.31)
Laplace-Operator in kartesischen Koordinaten
∂2
∂2
∂2
∂ 2f
∂ 2f
∂ 2f
+
+
+
+
f
=
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
∂x2
∂y 2
∂z 2
(C.8.32)
∂2
∂2
∂2
∂ 2a ∂ 2a ∂ 2a
+
+
+ 2 + 2
a
=
∂x2 ∂y 2 ∂z 2
∂x2
∂y
∂z
(C.8.33)
!
∆f = ( div grad )f =
und für Vektorfunktionen
!
∆a = ( div grad )a =
C.8.5. Graphische Darstellung der Ableitungen in drei
Dimensionen
C.8.5.1. Gradient in kartesischen Koordinaten
Wenn wir eine Funktion y = f (x) als Höhenprofil in einer zweidimensionalen
Landschaft auffassen, dann ist
df (x)
dx
die Steigung dieses Profiles an der Stelle x. f (x) ist die Höhenangabe über einer
eindimensionalen Grundfläche.
Wir können eine Funktion f (x, y) als Höhenangabe über einer zweidimensionalen
Grundfläche betrachten.
250
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251
C.8 Vektoridentitäten
180
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
160
140
120
z
100
Gradient
80
60
40
8
20
0
4
8
6
x
6
2
4
2
0
y
0
Abbildung C.6.: Gradient als Richtung der stärksten Steigung
Die Funktion Gradient berechnet das stärkste Gefälle einer Höhenlandschaft über einer zweidimensionalen Ebene. Sie ist definiert:

grad f =

∂f (x,y)


 ∂f∂x
(x,y) 
∂y
Eine skalare Funktion f (x, y, z) definiert eine „Höhenlandschaft“ über einer dreidimensionalen Grundfläche. Sie kann nicht mit einfachen Mitteln visualisiert werden.
Hier ist die Definition
Gradient einer skalaren Funktion f (x, y, z) von drei Variablen


grad f =
∂f (x,y,z)

∂x
 ∂f (x,y,z)


∂y

∂f (x,y,z)
∂z





C.8.5.2. Divergenz in kartesischen Koordinaten
Wir betrachten eine Vektorfunktion
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251
Mathematische Sätze
252
f (x, y) =
fx (x, y)
fy (x, y)
!
Abbildung C.7.: Vektorfeld mit Umrandung
Wenn wir die Umrandung betrachten, dann sehen wir, dass netto etwas aus ihr
herausfliesst. Die „Fläche“ ist dx. In die x-Richtung heisst das, dass
Fx · dx = fx (x + dx, y) − fx (x, y) =⇒ Fx =
fx (x + dx, y) − fx (x, y)
dx
fliesst.
In die y-Richtung müssen wir die schräg liegenden Vektoren aufteilen. Die xKomponente, fx (x, y) und fx (x, y + dy) ist parallel zur oberen und unteren Umrandung. Sie trägt nichts zum Fluss bei. Also gilt auch für die y-Richtung
Fy · dy = fy (x, y + dy) − fy (x, y) =⇒ Fy =
fy (x, y + dy) − fy (x, y)
dy
Die Grösse F = Fx + Fy nennen wir Divergenz oder Quellstärke. Mit
fx (x + dx, y) − fx (x, y)
∂fx (x, y)
=
dx→0
dx
∂x
lim Fx = lim
dx→0
und
fy (x, y + dy) − fy (x, y)
∂fy (x, y)
=
dy→0
dy
∂y
lim Fy = lim
dy→0
erhalten wir für die
Divergenz oder Quellstärke in 2 Dimensionen
div f (x, y) =
∂fx (x, y) ∂fy (x, y)
+
∂x
∂y
Eine analoge Überlegung kann man sich in drei Dimensionen machen. Die Vektor-
252
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253
C.8 Vektoridentitäten
funktion ist dann


fx (x, y, z)

f (x, y, z) =  fy (x, y, z) 

fz (x, y, z)
Wir definieren
Divergenz einer Vektorfunktion f (x, y, z) in drei Dimensionen
div f (x, y, z) =
∂fx (x, y, z) ∂fy (x, y, z) ∂fz (x, y, z)
+
+
∂x
∂y
∂z
C.8.5.3. Rotation in kartesischen Koordinaten
Wir betrachten wieder eine zweidimensionale Vektorfunktion
f (x, y) =
fx (x, y)
fy (x, y)
!
Abbildung C.8.: Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation
Wir nehmen nun an, dass die durch f (x, y) definierten Strömungen den rechteckigen schwimmenden Klotz beeinflussen. So wie die Vektoren gezeichnet sind,
wird er sich drehen. Seine Drehachse zeigt aus der Zeichenebene heraus, also die
z-Richtung. Die Drehung hat etwas zu tun mit den Grössen
Ry dx = fy (x + dx, y) − fy (x, y) −→ Rx =
fy (x + dx, y) − fy (x, y)
dx
und
Rx dy = − (fx (x, y + dy) − fx (x, y)) =⇒ Rx = −
fx (x, y + dy) − fx (x, y)
dy
Um bei gleicher Drehrichtung (positiv ist im Gegenuhrzeigersinn) eine positive
Grösse zu haben, wird bei Rx ein „−“ eingefügt. Mit
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253
Mathematische Sätze
254
fy (x + dx, y) − fy (x, y)
∂fy (x, y)
=
dx→0
dx
∂x
lim Ry = lim
dx→0
und
∂fx (x, y)
fx (x, y + dy) − fx (x, y)
=−
dx→0
dx
∂y
lim Rx = − lim
dy→0
ist die Stärke der Drehung oder die
Rotation in zwei Dimensionen
R=
∂fy (x, y) ∂fx (x, y)
−
∂x
∂y
Diese R zeigt in die +z-Richtung, wenn wir den zweidimensionalen Raum im dreidimensionalen eingebettet betrachten. Für eine dreidimensionale Vektorfunktion


fx (x, y, z)

f (x, y, z) =  fy (x, y, z) 

fz (x, y, z)
kann man sich überlegen, dass die gleichen Überlegungen wie für die xy-Ebene
(Rotation um z) auch für die xz-Ebene (Rotation um y) und die yz-Ebene (Rotation um x) gelten. Wir definieren also
Rotation in drei Dimensionen



rot f (x, y, z) = 


∂fz (x,y,z)
∂y
∂fx (x,y,z)
∂z
∂fy (x,y,z)
∂x
− ∂fy (x,y,z)
∂z
∂fz (x,y,z)
− ∂x
− ∂fx (x,y,z)
∂y






Man kann sich die Berechnung gut merken mit
Gedankenstütze für Rotation



rot f (x, y, z) = 

254
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z







×


fx (x, y, z)
fy (x, y, z)
fz (x, y, z)





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255
C.8 Vektoridentitäten
C.8.6. Totale Ableitung bei mitgeführten Koordinatensystemen
Wenn v = dtd r ein konstanter Geschwindigkeitsvektor ist und diese Grösse an
einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Ort beobachtet wird, dann gilt (Siehe
Jackson[Jac75, p212]):
∂
∂
d
=
+ v·∇ =
+ v · grad
dt
∂t
∂t
(C.8.34)
∂
wobei dtd die totale Ableitung im raumfesten Koordinatensystem und ∂t
die lokale,
mitgeführte Ableitung ist. Diese Gleichung stammt von der Kettenregel:
d
∂
d
∂
f (x (t) , t) =
f (x, t) · x (t) + f (x (t) , t)
dt
∂x
dt
∂t
∂
∂
= v(t) f (x (t) , t) + f (x (t) , t)
∂x
∂t
(C.8.35)
In drei Dimensionen muss mit dem Gradienten gerechnet werden:
d
d
f (r (t) , t) = f (x (t) , y (t) , z (t) , t)
dt
dt
d
∂
= [ grad f (x, y, z, t)] · r (t) + f (r (t) , t)
dt
∂t
∂
= [ grad f (r (t) , t)] · v(t) + f (r (t) , t)
∂t
∂
= f (r (t) , t) + v(t) · grad f (r (t) , t)
∂t
(C.8.36)
Dabei bedeutet die partielle Ableitung ∂/∂t dass man nur nach der Zeitvariable
ableitet, nicht aber nach der impliziten Zeitableitung in r.
Mit Gleichung (C.8.28) kann man schreiben
rot (B × v) = (v · grad ) B − (B · grad ) v + B div v − v div B
∇ × (B × v) = (v · ∇) B − (B · ∇) v + B∇ · v − v∇ · B
(C.8.37)
oder
(v · grad ) B = rot (B × v) + (B · grad ) v − B div v + v div B
(v · ∇) B = ∇ × (B × v) + (B · ∇) v − B∇ · v + v∇ · B (C.8.38)
Nun ist div B = 0. Weiter ist div dtd v = dtd div v = dtd (3) = 0 und grad v =
d
grad r = dtd E = 0, wobei E die 3 mal 3 Einheits-Diagonalmatrix ist. Damit
dt
haben wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit
(v · grad ) B = rot (B × v)
(v · ∇) B = ∇ × (B × v)
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(C.8.39)
255
Mathematische Sätze
256
und
d
∂
∂
B = B + v · ∇B = B + ∇ × (B × v)
dt
∂t
∂t
(C.8.40)
C.9. Satz von Gauss
Der Satz von K. F. Gauss (1777-1855) verknüpft ein Volumenintegral mit einem
Oberflächenintegral.
Gegeben seien
• eine vektorielle Ortsfunktion v(r)
• eine geschlossene Fläche a, die das Volumen V (S) umschliesst.
Z
div vdV =
V (a)
Z
v · da =
a
Z
v · nda
(C.9.1)
a
Man kann auch schreiben div v = ∇ · v, wobei ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) der
Nabla-Operator ist.
C.10. Satz von Green
Der Satz von G. Green (1793-1841) verknüpft ein Volumenintegral mit einem
Oberflächenintegral.
Gegeben seien
• eine skalare Ortsfunktion Ψ(r)
• eine geschlossene Fläche a, die das Volumen V (S) umschliesst.
Z
V (a)
∆ΨdV =
Z
grad Ψ · da =
a
Z
grad Ψ · nda
(C.10.1)
a
Man kann auch schreiben grad Ψ = ∇Ψ, wobei ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) der
Nabla-Operator ist.
C.11. Satz von Stokes
Der Satz von G. G. Stokes (1819-1903) verknüpft ein Oberflächenintegral mit
einem Linienintegral.
Gegeben seien
• eine vektorielle Ortsfunktion v(r)
• eine geschlossener Weg s, der die Oberfläche a(s) umrandet.
256
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257
C.11 Satz von Stokes
Z
a(s)
rot v · da =
Z
rot v · nda =
a(s)
I
v · ds
(C.11.1)
s
Man kann auch schreiben rot v = ∇ × v, wobei ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) der
Nabla-Operator ist.
Dabei wird jedes Flächenelement so umlaufen, dass die entsprechende Normale n
der Bewegung einer Rechtsschraube entspricht.
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257
D. Rechnen mit Integralen
D.1. Integration
Abbildung D.1.: Integration einer Funktion
Integrieren, d.h. Fläche unter der Kurve oder den „zurückgelegten“Weg bestimmen
Zu2
u1
f (u) du = n=∞
lim
n
X
f u1 + j
j=0
u2 − u1
n
·
u2 − u1
n
(D.1.1)
Die verwendeten Symbole sind nebensächlich. Man kann mathematische Operationen mit allen Symbolen durchführen, z.B. die Integration mit u.
R
f (t)
f (τ )dτ
1 n+1
n
t
t
wobei n , −1
n+1
sin (t) − cos (t)
cos (t) sin (t)
et
et
1
ln(t)
t
Tabelle D.1.: Beispiele für Integrale
Rechnen mit Integralen
260
Gesetze der Integration
Z
Z
(g (x) + h (x)) dx =
Z
g (x) dx +
0
(g (x) · h (x)) dx = g (x) h (x) −
Z
Z
h (x) dx
(D.1.2)
g 0 (x) h (x) dx
(D.1.3)
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 447])
Konstanter Faktor
Z
af (x)dx = a
Z
f (x)dx
Integral einer Summe oder Differenz
Z
[u(x) + v(x) − w(x)] dx =
Z
u(x)dx +
Z
v(x)dx −
Z
w(x)dx
Substitutionsmethode
Sei y = φ(x)
Z
f (y)dy =
Z
f [φ(x)]φ0 (x)dx
Partielle Integration der Kettenregel der Differentiation
Z
u(x)v 0 (x)dx = u(x)v(x) −
Z
260
Z
v(x)u0 (x)dx
Z
f 0 (x)
df (x)
dx =
= ln[f (x)] + C
f (x)
f (x)
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261
D.2 Unbestimmte Integrale
D.2. Unbestimmte Integrale
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 445])
Funktion
Integral
xn
R
R
R dx
x
cot(x)
dx
cos2 (x)
R
R
dx
a2 +x2
ax
R
R
sinh x
R
=
ax
ln a
tanh xdx = ln | cosh x|
coth x
R
R
dx
cosh2 x
cot(x)dx = ln | sin(x)|
R
1
sinh2 x
= tanh x
dx
sin2 (x)
= − cot(x)
R x
e dx
R
R
= ex
ln xdx = x ln x − x
R
ln x
cosh x
= ln |x|
cos(x)dx = sin(x)
ex
sinh xdx = cosh x
1
cosh2 x
R
sin2 (x)
arctan xa
ax dx =
R
1
= tan(x)
1
a
Integral
1
x
tan(x)dx = − ln | cos(x)|
1
a2 +x2
√ 1
a2 −x2
n , −1
cos(x)
1
cos2 (x)
tanh x
xn+1
n+1
xn dx =
sin(x)dx = − cos(x)
R
sin(x)
tan(x)
Funktion
cosh xdx = sinh x
coth xdx = ln | sinh x|
R
dx
sinh2 x
= − coth x
√ dx
a2 −x2
= arcsin xa
Tabelle D.2.: Unbestimmte Integrale
D.2.1. Bestimmte Integrale und Integrale mit variabler oberer
Grenze
Wenn für eine Funktion f (x) die Stammfunktion
F̃ (x) =
Z
f (x)dx + C
(D.2.1)
ist, haben bestimmte Integrale der Funktion f (x) die Form
Fa,b =
Zb
f (x)dx = F (x)|ba = F (b) − F (a)
(D.2.2)
a
Der Name der Variablen im bestimmten Integral sind irrelevant
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261
Rechnen mit Integralen
Fa,b =
Zb
f (x)dx =
a
262
Zb
f (ζ)dζ =
a
Zb
f (Ξ)dΞ = F (Ξ)|ba = F (b) − F (a)
(D.2.3)
a
Wir können nun die obere Grenze variabel machen. Wichtig ist, dass die Variable
im Integral eine andere Variable ist wie in der Grenze
Zx
f (ζ)dζ = F (ζ)|xa = F (x) − F (a)
(D.2.4)
a
Wenn F (x) nach x abgeleitet wird, erhält man wieder f (x).
x
d Z
d
dF (x)
f (ζ)dζ =
(F (x) − F (a)) =
= f (x)
dx a
dx
dx
(D.2.5)
Wenn die Variable x die untere Grenze ist und die obere Grenze fest ist, b, dann
gilt
Zb
f (ξ)dξ = F (ξ)|bx = F (b) − F (x)
(D.2.6)
x
und
b
d Z
dF (x)
d
(F (b) − F (x)) = −
= −f (x)
f (ζ)dζ =
dx x
dx
dx
(D.2.7)
Ist die obere Grenze eine Funktion g(x), gilt
g
d Z
d
dF (g(x))
dg(x)
(x)f (ζ)dζ =
(F (g(x)) − F (a)) = −
= f (g(x))
dx a
dx
dx
dx
(D.2.8)
Dies ist nichts anderes als die Kettenregel der Differentiation (Siehe Tabelle C.2).
D.3. Berechnung von Linienintegralen
Gegeben sei ein Vektorfeld F (r). Zu berechnen sei das Linienintegral
Zr2
F (r · dr
r 1 ,b
zwischen den Punkten r 1 und r 2 entlang der Bahn b. Wir nehmen an, dass die
Bahn b mit der Bahnlänge s parametrisiert sei. Dann ist F (r) = F (r(s)) und der
Tangenteneinheitsvektor ist
dr
τ =
ds
Mit r(s1 ) = r 1 und r(s2 ) = r 2 ist das Linienintegral
262
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263
D.4 Die Diracsche Deltafunktion
Zr2
F (r) · dr =
Zs2
F (r(s)) · τ (s)ds
(D.3.1)
s1
r 1 ,b
D.4. Die Diracsche Deltafunktion
Die Diracsche Deltafunktion ist ein nützliches Instrument, um diskrete Ladungsverteilungen, Kräfte, Punktmassen als kontinuierliche Verteilung oder Kraftfelder
zu beschreiben.
Wir beginnen, indem wir die Funktion
(
f (x) =
1
,
a
für |x| ≤ a2 ;
sonst.
0,
(D.4.1)
Diracsche δ−Funktion
10
a=3.0
a=1.0
a=0.3
a=0.1
8
f(x)
6
4
2
0
−10
−5
0
5
10
x
Abbildung D.2.: Darstellung von f (x), wobei a variiert wird.
In der Abbildung D.2 sieht man, dass mit kleiner werdendem a die Amplitude von
f (x) immer grösser wird. Die Fläche unter der Kurve
Af =
Z∞
−∞
f (x)dx =
Za/2
−a/2
1
x a/2
1 a
a
dx = =
− −
a
a −a/2 a 2
2
=1
(D.4.2)
ist konstant und unabhängig von a. Wir definieren nun die Diracsche DeltaFunktion
δ(x) := lim f (x)
a→0
(D.4.3)
Damit ist auch
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263
Rechnen mit Integralen
Z∞
−∞
264
Z∞ δ(x)dx =
Za/2
lim f (x) dx = lim
a→0
a→0
−a/2
−∞
1
dx = lim 1 = 1
a→0
a
(D.4.4)
Als Anwendung betrachten wir das Integral des Produktes
Z∞
g(x)δ(x)dx
−∞
wobei g(x) genügend oft (Fragen Sie einen Mathematiker oder lesen die Packungsbeilage oder ein Mathematikbuch) stetig differenzierbar sein soll. Die Taylorreihe
von g(x) ist dann
g(x) = g(0) + x
xn
∂
+ ... +
g(x)
∂x
n!
x=0
!
∂n
+ ...
g(x)
n
∂x
x=0
!
(D.4.5)
Dann ergibt das Integral
Z∞
−∞
g(x)δ(x)dx = lim
Z∞
a→0
−∞
Z∞
g(x)f (x)dx
"
= lim
Za/2 "
= lim
a→0
−a/2
#
!
#
∂
1
g(x)
+ . . . dx
∂x
a
x=0
g(0) + x

Za/2
 g(0)
= lim 
dx +
a→0
a
∂
g(x)
∂x
x=0
a
−a/2
= g(0) +
!
∂
g(x)
+ . . . f (x)dx
∂x
x=0
g(0) + x
a→0
−∞
(D.4.6)
Za/2

xdx + . . .

−a/2
 ∂
g(x)
∂x
x=0
lim 
a
a→0
"
= g(0) + lim
a→0

a/2
x2 + . . .
2 −a/2
!
#
∂
a2
g(x)
+ . . . = g(0)
∂x
4a
x=0
Damit ist klar, dass die nützliche Gleichung
Z∞
g(x)δ(x − x0 )dx = g(x0 )
(D.4.7)
−∞
gilt. Man kann sie anwenden, zum Beispiel im Gaussschen Gesetz, wenn man das
elektrische Feld einer Ebene berechnen will. Wir setzen für die Ladungsdichte
ρel (x, y, z) = σel (x, y)δ(z)
Für die Einheiten haben wir
[ρel ] = C m−3
264
[σel ] = C m−2
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265
D.4 Die Diracsche Deltafunktion
Der Unterschied in den Dimensionen rührt daher, dass die Delta-Funktion δ(z)
implizit die Dimension [δ(z)] = m−1 hat, sonst wären die Definition in Gleichung
(D.4.3) und Gleichung (D.4.1) dimensionsmässig nicht korrekt.
Das Gausssche Gesetz sagt dann
"
$
Dda =
A(V )
$
ρel dV
=
V
V
"
$
σel (x, y)δ(z)dxdydz
=
ρel (x, y, z)dxdydz
V
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=
σel (x, y)dxdy
Ebene
265
E. Umrechnungen zwischen
kartesischen, sphärischen und
zylindrischen
Koordinatensystemen
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 218])
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 667])
Definitionen
Kartesisches System
V c = Vx ex + Vy ey + Vz ez
Sphärisches System
V s = Vr er + Vφ eφ + Vθ eθ
Zylindrisches System
V z = Vr er + Vφ eφ + Vz ez
Die Transformation zwischen den Koordinatensystemen läuft auf eine allgemeine
Drehung der Koordinaten im Raum hinaus.
z
z
r
r
y
y
x
x
Abbildung E.1.: Definition der Koordinatensysteme. Links: kartesisches System.
Mitte: Zylinderkoordinaten. Rechts: Kugelkoordinaten
Umrechnung zwischen Koordinatensystemen
268
E.1. Vom kartesischen ins sphärische System
Vr = Vx sin θ cos φ + Vy sin θ sin φ + Vz cos θ
Vθ = Vx cos θ cos φ + Vy cos θ sin φ − Vz sin θ
Vφ = −Vx sin φ + Vy cos φ
(E.1.1)
(E.1.2)
(E.1.3)
(E.1.4)
E.2. Vom sphärischen ins kartesische System
Vx = Vr sin θ cos φ + Vθ cos θ cos φ − Vφ sin φ
Vy = Vr sin θ sin φ + Vθ cos θ sin φ + Vφ cos φ
Vz = Vr cos θ − Vθ sin θ
(E.2.1)
(E.2.2)
(E.2.3)
(E.2.4)
E.3. Vom kartesischen ins zylindrische System
Vρ = Vx cos φ + Vy sin φ
Vφ = −Vx sin φ + Vy cos φ
Vz = Vz
268
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(E.3.1)
(E.3.2)
(E.3.3)
(E.3.4)
269
E.4 Vom zylindrischen ins kartesische System
E.4. Vom zylindrischen ins kartesische System
Abbildung E.2.: Umrechnung der Koordinaten
Vx = Vρ cos φ − Vφ sin φ
Vy = Vρ sin φ + Vφ cos φ
Vz = Vz
(E.4.1)
(E.4.2)
(E.4.3)
(E.4.4)
E.5. Vom sphärischen ins zylindrische System
Vρ = Vr sin θ + Vθ cos θ
Vφ = Vφ
Vz = Vr cos θ − Vθ sin θ
(E.5.1)
(E.5.2)
(E.5.3)
(E.5.4)
E.6. Vom zylindrischen ins sphärische System
Vr = Vρ sin θ + Vz cos θ
Vθ = Vρ cos θ − Vz sin θ
Vφ = Vφ
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(E.6.1)
(E.6.2)
(E.6.3)
(E.6.4)
269
F. Geschwindigkeiten und
Beschleunigungen in
Kugelkoordinaten
Wir betrachten die Definition der Kugelkoordinaten
Abbildung F.1.: Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches
Koordinatensystem
Gegeben sind einerseits die kartesischen Koordinaten x, y und z, andererseits die
Kugelkoordinaten r, φ, und θ. Am Punkt P definieren wir ein mitgeführtes kartesisches Koordinatensystem. Seine Orientierung hängt also von der Zeit ab! Beide
Koordinatensysteme sind jeweils durch ein Tripel von Einheitsvektoren gegeben,
die jeweils gegenseitig orthogonal sind. Die Einheitsvektoren sind im kartesischen
System ex , ey und ez und im mitgeführten kartesischen System er , eφ und eθ .
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
272
Abbildung F.2.: Betrachtung in der xy-Ebene für eφ
Wir betrachten zuerst die xy-Ebene. Die Projektion des Ortsvektors r auf diese
Ebene nennen wir ρ. Wir erhalten also die Beziehungen (Einheitsvektoren!)
eφ = − sin(φ)ex + cos(φ)ey
ρ = cos(φ)ex + sin(φ)ey
(F.0.1)
(F.0.2)
Abbildung F.3.: Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von er und eθ
Wir betrachten nun die Ebene gebildet aus den Vektoren ρ und ez . In dieser
Darstellung ist er radial und eθ zeigt in die Richtung der positiven θ-Koordinate.
Dadurch ist auch er , eθ und eφ in dieser Reihenfolge ein ortogonales Rechtssystem.
Aus der Abbildung liest man
er = cos(θ)ez + sin(θ)ρ
= cos(θ)ez + sin(θ) (cos(φ)ex + sin(φ)ey )
= sin(θ) cos(φ)ex + sin(θ) sin(φ)ey + cos(θ)ez
eθ = − sin(θ)ez + cos(θ)ρ
= − sin(θ)ez + cos(θ) (cos(φ)ex + sin(φ)ey )
= cos(θ) cos(φ)ex + cos(θ) sin(φ)ey − sin(θ)ez
(F.0.3)
(F.0.4)
Dabei merken wir uns, dass θ und φ Funktionen der Zeit sind. Zusammenfassend
272
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273
F.1 Geschwindigkeiten
erhalten wir
er = sin(θ) cos(φ)ex + sin(θ) sin(φ)ey + cos(θ)ez
eθ = cos(θ) cos(φ)ex + cos(θ) sin(φ)ey − sin(θ)ez
eφ = − sin(φ)ex + cos(φ)ey
(F.0.5)
(F.0.6)
(F.0.7)
Wir wissen, dass ex , ey und ez ein orthogonales Koordinatensystem ist. Also ist insbesondere 1 = ex · ex = ey · ey = ez · ez und 0 = ex · ey = ey · ezx = ez · ex .
Wenn wir mit diesem Wissen er · er , eθ · eθ und eφ · erφ sowie er · eθ , eθ · eφ
und eφ · er berechnen, können wir zeigen, dass auch das Koordinatensystem er ,
eθ und eφ ein orthogonales Koordinatensystem ist.
Wenn wir dieses Gleichungssystem nach ex , ey und ez auflösen, erhalten wir die
Umkehrrelationen
ex = sin(θ) cos(φ)er + cos(θ) cos(φ)eθ − sin(φ)eφ
ey = sin(θ) sin(φ)er + cos(θ) sin(φ)eθ + cos(φ)eφ
ez = cos(θ)er − sin(θ)eθ
(F.0.8)
(F.0.9)
(F.0.10)
Durch Rückeinsetzen kann man sich überzeugen, dass dies konsistente Formulierungen sind.
F.1. Geschwindigkeiten
Wir wissen, dass in kartesischen Koordinaten
 
x
r=
 
y 
= xex + yey + zez
(F.1.1)
z
der Ortsvektor ist. Die Geschwindigkeit ist dann
dr
=
v=
dt
 dx 
 
dt
 dy

 dt 
dz
dt
 
ẏ 
ẋ
=
= ẋex + ẏey + żez
(F.1.2)
ż
Wir verwenden die Beziehungen
x = r sin(θ) cos(φ)
y = r sin(θ) sin(φ)
z = r cos(θ)
(F.1.3)
(F.1.4)
(F.1.5)
und leiten sie ab. Wir erhalten
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273
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
274
ẋ = ṙ sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ̇ − r sin(θ) sin(φ)φ̇
(F.1.6)
ẏ = ṙ sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ̇ + r sin(θ) cos(φ)φ̇
(F.1.7)
ż = ṙ cos(θ) − r sin(θ)θ̇
(F.1.8)
Wir setzen in die Gleichung F.1.2 die Gleichungen F.0.8, F.0.9, F.0.10, F.1.6, F.1.7
und F.1.8 ein und ordnen nach er , eθ und eφ .
v =ẋex + ẏey + żez
=ẋ [sin(θ) cos(φ)er + cos(θ) cos(φ)eθ − sin(φ)eφ ]
+ ẏ [sin(θ) sin(φ)er + cos(θ) sin(φ)eθ + cos(φ)eφ ]
+ ż [cos(θ)er − sin(θ)eθ ]
= [ẋ sin(θ) cos(φ) + ẏ sin(θ) sin(φ) + ż cos(θ)] er
+ [ẋ cos(θ) cos(φ) + ẏ cos(θ) sin(φ) − ż sin(θ)] eθ
+ [−ẋ sin(φ) + ẏ cos(φ)] eφ
(F.1.9)
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er , eθ und
eφ getrennt. Wir beginnen mit er .
vr =ẋ sin(θ) cos(φ) + ẏ sin(θ) sin(φ) + ż cos(θ)
(F.1.10)
h
i
= ṙ sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ̇ − r sin(θ) sin(φ)φ̇ sin(θ) cos(φ)
h
i
+ ṙ sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ̇ + r sin(θ) cos(φ)φ̇ sin(θ) sin(φ)
h
i
+ ṙ cos(θ) − r sin(θ)θ̇ cos(θ)
=ṙ [sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) + cos(θ) cos(θ)]
+ rθ̇ [cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) − sin(θ) cos(θ)]
+ rφ̇ [− sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]
=ṙ sin2 (θ) cos2 (φ) + sin2 (θ) sin2 (φ) + cos2 (θ)
h
i
+ rθ̇ cos(θ) cos2 (φ) sin(θ) + cos(θ) sin2 (φ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ)
h
i
+ rφ̇ − sin2 (θ) sin(φ) cos(φ) + sin2 (θ) sin(φ) cos(φ)
h
i
=ṙ sin2 (θ) cos2 (φ) + sin2 (φ) + cos2 (θ)
h
i
+ rθ̇ cos(θ) sin(θ) cos2 (φ) + sin2 (φ) − sin(θ) cos(θ)
h
h
i
i
=ṙ sin2 (θ) + cos2 (θ) + rθ̇ [cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ)]
h
i
=ṙ
Wir fahren mit eθ weiter.
274
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275
F.2 Beschleunigung
vθ =ẋ cos(θ) cos(φ) + ẏ cos(θ) sin(φ) − ż sin(θ)
(F.1.11)
h
i
= ṙ sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ̇ − r sin(θ) sin(φ)φ̇ cos(θ) cos(φ)
h
i
+ ṙ sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ̇ + r sin(θ) cos(φ)φ̇ cos(θ) sin(φ)
h
i
− ṙ cos(θ) − r sin(θ)θ̇ sin(θ)
=ṙ [sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) − cos(θ) sin(θ)]
+ rθ̇ [cos(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + sin(θ) sin(θ)]
+ rφ̇ [−r sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]
=ṙ sin(θ) cos(θ) cos2 (φ) + sin(θ) cos(θ) sin2 (φ) − cos(θ) sin(θ)
h
+ rθ̇ cos2 (θ) cos2 (φ) + cos2 (θ) sin2 (φ) + sin2 (θ)
h
i
i
+ rφ̇ [−r sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ)]
=ṙ [sin(θ) cos(θ) − cos(θ) sin(θ)]
+ rθ̇ cos2 (θ) + sin2 (θ)
h
i
=rθ̇
Wir schliessen mit eφ .
vφ = − ẋ sin(φ) + ẏ cos(φ)
(F.1.12)
h
i
h
i
= − ṙ sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ̇ − r sin(θ) sin(φ)φ̇ sin(φ)
+ ṙ sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ̇ + r sin(θ) cos(φ)φ̇ cos(φ)
=ṙ [− sin(θ) cos(φ) sin(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ rθ̇ [− cos(θ) cos(φ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ rφ̇ [sin(θ) sin(φ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(φ)]
=rφ̇ sin(θ) sin2 (φ) + sin(θ) cos2 (φ)
h
i
=r sin(θ)φ̇
Zusammenfassend haben wir
v =vr er + vθ eθ + vφ eφ
(F.1.13)
=ṙer + rθ̇eθ + r sin(θ)φ̇eφ
F.2. Beschleunigung
Die Beschleunigung ist in kartesischen Koordinaten
d2 x
 ddt22y 


 dt2 
d2 z
dt2

2
dr
a= 2 =
dt

 
ẍ
=
 
ÿ 
= ẍex + ÿey + z̈ez
(F.2.1)
z̈
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275
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
276
Wir verwenden die Beziehungen
x =r sin(θ) cos(φ)
y =r sin(θ) sin(φ)
z =r cos(θ)
(F.2.2)
(F.2.3)
(F.2.4)
und leiten sie zweimal ab. Wir erhalten aus
ẋ =ṙ sin(θ) cos(φ) + r cos(θ) cos(φ)θ̇ − r sin(θ) sin(φ)φ̇
ẏ =ṙ sin(θ) sin(φ) + r cos(θ) sin(φ)θ̇ + r sin(θ) cos(φ)φ̇
ż =ṙ cos(θ) − r sin(θ)θ̇
die Gleichungen
ẍ =r̈ sin(θ) cos(φ) + ṙ cos(θ) cos(φ)θ̇ − ṙ sin(θ) sin(φ)φ̇
(F.2.5)
+ ṙ cos(θ) cos(φ)θ̇ − r sin(θ) cos(φ)θ̇2 − r cos(θ) sin(φ)φ̇θ̇ + r cos(θ) cos(φ)θ̈
− ṙ sin(θ) sin(φ)φ̇ − r cos(θ) sin(φ)φ̇θ̇ − r sin(θ) cos(φ)φ̇2 − r sin(θ) sin(φ)φ̈
=r̈ sin(θ) cos(φ)
+ ṙθ̇ [cos(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ)]
+ ṙφ̇ [− sin(θ) sin(φ) − sin(θ) sin(φ)]
+ rθ̇2 [− sin(θ) cos(φ)]
+ rφ̇θ̇ [− cos(θ) sin(φ) − cos(θ) sin(φ)]
+ rθ̈ [cos(θ) cos(φ)]
+ rφ̇2 [− sin(θ) cos(φ)]
+ rφ̈ [− sin(θ) sin(φ)]
=r̈ sin(θ) cos(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) cos(φ) − 2ṙφ̇ sin(θ) sin(φ) − rθ̇2 sin(θ) cos(φ)
− 2rφ̇θ̇ cos(θ) sin(φ) + rθ̈ cos(θ) cos(φ) − rφ̇2 sin(θ) cos(φ) − rφ̈ sin(θ) sin(φ)
und
276
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277
F.2 Beschleunigung
ÿ =r̈ sin(θ) sin(φ) + ṙ cos(θ) sin(φ)θ̇ + ṙ sin(θ) cos(φ)φ̇
(F.2.6)
2
+ ṙ cos(θ) sin(φ)θ̇ − r sin(θ) sin(φ)θ̇ + r cos(θ) cos(φ)θ̇φ̇ + r cos(θ) sin(φ)θ̈
+ ṙ sin(θ) cos(φ)φ̇ + r cos(θ) cos(φ)θ̇φ̇ − r sin(θ) sin(φ)φ̇2 + r sin(θ) cos(φ)φ̈
=r̈ sin(θ) sin(φ)
+ ṙθ̇ [cos(θ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ)]
+ ṙφ̇ [sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ)]
− rθ̇2 sin(θ) sin(φ)
+ rθ̇φ̇ [cos(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ)]
+ r cos(θ) sin(φ)θ̈
− rφ̇2 sin(θ) sin(φ)
+ r sin(θ) cos(φ)φ̈
=r̈ sin(θ) sin(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) sin(φ) + 2ṙφ̇ sin(θ) cos(φ) − rθ̇2 sin(θ) sin(φ)
+ 2rθ̇φ̇ cos(θ) cos(φ) + rθ̈ cos(θ) sin(φ) − rφ̇2 sin(θ) sin(φ) + rφ̈ sin(θ) cos(φ)
sowie
z̈ =r̈ cos(θ) − ṙ sin(θ)θ̇
(F.2.7)
2
− ṙ sin(θ)θ̇ − r cos(θ)θ̇ − r sin(θ)θ̈
=r̈ cos(θ) − 2ṙ sin(θ)θ̇ − r cos(θ)θ̇ − r sin(θ)θ̈
Wir setzen in die Gleichung F.2.1 die Gleichungen F.0.8, F.0.9, F.0.10, F.2.5, F.2.6
und F.2.7 ein und ordnen nach er , eθ und eφ .
a =ẍex + ÿey + z̈ez
=ẍ [sin(θ) cos(φ)er + cos(θ) cos(φ)eθ − sin(φ)eφ ]
+ ÿ [sin(θ) sin(φ)er + cos(θ) sin(φ)eθ + cos(φ)eφ ]
+ z̈ [cos(θ)er − sin(θ)eθ ]
= [ẍ sin(θ) cos(φ) + ÿ sin(θ) sin(φ) + z̈ cos(θ)] er
+ [ẍ cos(θ) cos(φ) + ÿ cos(θ) sin(φ) − z̈ sin(θ)] eθ
+ [−ẍ sin(φ) + ÿ cos(φ)] eφ
(F.2.8)
Der Übersichtlichkeit halber berechnen wir nun die drei Komponenten er , eθ und
eφ getrennt. Wir beginnen mit er .
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277
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
278
ar =ẍ sin(θ) cos(φ) + ÿ sin(θ) sin(φ) + z̈ cos(θ)
(F.2.9)
= r̈ sin(θ) cos(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) cos(φ) − 2ṙφ̇ sin(θ) sin(φ) − rθ̇2 sin(θ) cos(φ)
h
− 2rφ̇θ̇ cos(θ) sin(φ) + rθ̈ cos(θ) cos(φ)
(F.2.10)
−rφ̇2 sin(θ) cos(φ) − rφ̈ sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ)
i
h
+ r̈ sin(θ) sin(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) sin(φ) + 2ṙφ̇ sin(θ) cos(φ)
− rθ̇2 sin(θ) sin(φ) + 2rθ̇φ̇ cos(θ) cos(φ)
+r cos(θ) sin(φ)θ̈ − rφ̇2 sin(θ) sin(φ) + rφ̈ sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)
i
+ r̈ cos(θ) − 2ṙθ̇ sin(θ) − rθ̇2 cos(θ) − rθ̈ sin(θ) cos(θ)
h
i
=r̈ [sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) + cos(θ) cos(θ)]
+ 2ṙθ̇ [cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) − sin(θ) cos(θ)]
+ 2ṙφ̇ [− sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]
+ rθ̇2 [− sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) − cos(θ) cos(θ)]
+ 2rθ̇φ̇ [− cos(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]
+ rθ̈ [cos(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ) − sin(θ) cos(θ)]
+ rφ̇2 [− sin(θ) cos(φ) sin(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ) sin(θ) sin(φ)]
+ rφ̈ [− sin(θ) sin(φ) sin(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) sin(θ) sin(φ)]
=r̈ sin2 (θ) cos2 (φ) + sin2 (θ) sin2 (φ) + cos2 (θ)
h
i
+ 2ṙθ̇ cos(θ) sin(θ) cos2 (φ) + cos(θ) sin(θ) sin2 (φ) − sin(θ) cos(θ)
h
i
+ 2ṙφ̇ − sin2 (θ) sin(φ) cos(φ) + sin2 (θ) cos(φ) sin(φ)
h
i
+ rθ̇2 − sin2 (θ) cos2 (φ) − sin2 (θ) sin2 (φ) − cos2 (θ)
h
i
+ rθ̈ cos(θ) sin(θ) cos2 (φ) + cos(θ) sin(θ) sin2 (φ) − sin(θ) cos(θ)
h
i
+ rφ̇2 − sin2 (θ) cos2 (φ) − sin2 (θ) sin2 (φ)
h
i
+ rφ̈ − sin2 (θ) sin(φ) cos(φ) + sin2 (θ) cos(φ) sin(φ)
h
i
=r̈ sin2 (θ) + cos2 (θ)
h
i
+ 2ṙθ̇ [cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ)]
+ rθ̇2 − sin2 (θ) − cos2 (θ)
h
i
+ rθ̈ [cos(θ) sin(θ) − sin(θ) cos(θ)]
+ rφ̇2 − sin2 (θ)
h
i
=r̈ − rθ̇2 − r sin2 (θ)φ̇2
und
278
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279
F.2 Beschleunigung
aθ =ẍ cos(θ) cos(φ) + ÿ cos(θ) sin(φ) − z̈ sin(θ)
(F.2.11)
= r̈ sin(θ) cos(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) cos(φ) − 2ṙφ̇ sin(θ) sin(φ) − rθ̇2 sin(θ) cos(φ)
h
−2rφ̇θ̇ cos(θ) sin(φ) + rθ̈ cos(θ) cos(φ) − rφ̇2 sin(θ) cos(φ) − rφ̈ sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ)
i
+ r̈ sin(θ) sin(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) sin(φ) + 2ṙφ̇ sin(θ) cos(φ) − rθ̇2 sin(θ) sin(φ)
h
+2rθ̇φ̇ cos(θ) cos(φ) + rθ̈ cos(θ) sin(φ) − rφ̇2 sin(θ) sin(φ) + rφ̈ sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)
i
h
i
− r̈ cos(θ) − 2ṙθ̇ sin(θ) − rθ̇ cos(θ) − rθ̈ sin(θ) sin(θ)
=r̈ [sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) − cos(θ) sin(θ)]
+ 2ṙθ̇ [cos(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + sin(θ) sin(θ)]
+ 2ṙφ̇ [− sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]
+ rθ̇2 [− sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + cos(θ) sin(θ)]
+ 2rφ̇θ̇ [− cos(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]
+ rθ̈ [cos(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ) + sin(θ) sin(θ)]
+ rφ̇2 [− sin(θ) cos(φ) cos(θ) cos(φ) − sin(θ) sin(φ) cos(θ) sin(φ)]
+ rφ̈ [− sin(θ) sin(φ) cos(θ) cos(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(θ) sin(φ)]
=r̈ sin(θ) cos(θ) cos2 (φ) + sin(θ) cos(θ) sin2 (φ) − cos(θ) sin(θ)
h
i
+ 2ṙθ̇ cos2 (θ) cos2 (φ) + cos2 (θ) sin2 (φ) + sin2 (θ)
h
i
+ rθ̇2 − sin(θ) cos(θ) cos2 (φ) − sin(θ) cos(θ) sin2 (φ) + cos(θ) sin(θ)
h
i
+ rθ̈ cos2 (θ) cos2 (φ) + cos2 (θ) sin2 (φ) + sin2 (θ)
h
i
+ rφ̇2 − sin(θ) cos(θ) cos2 (φ) − sin(θ) cos(θ) sin2 (φ)
h
i
=r̈ [sin(θ) cos(θ) − cos(θ) sin(θ)]
+ 2ṙθ̇ cos2 (θ) + sin2 (θ)
h
i
+ rθ̇2 [− sin(θ) cos(θ) + cos(θ) sin(θ)]
+ rθ̈ cos2 (θ) + sin2 (θ)
h
i
− rφ̇2 [sin(θ) cos(θ)]
=2ṙθ̇ + rθ̈ − r sin(θ) cos(θ)φ̇2
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279
Geschwindigkeiten und Beschleunigungen in Kugelkoordinaten
280
und schliesslich
aφ = − ẍ sin(φ) + ÿ cos(φ)
(F.2.12)
= − r̈ sin(θ) cos(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) cos(φ) − 2ṙφ̇ sin(θ) sin(φ) − rθ̇2 sin(θ) cos(φ)
h
−2rφ̇θ̇ cos(θ) sin(φ) + rθ̈ cos(θ) cos(φ) − rφ̇2 sin(θ) cos(φ) − rφ̈ sin(θ) sin(φ) sin(φ)
i
+ r̈ sin(θ) sin(φ) + 2ṙθ̇ cos(θ) sin(φ) + 2ṙφ̇ sin(θ) cos(φ) − rθ̇2 sin(θ) sin(φ)
h
+2rθ̇φ̇ cos(θ) cos(φ) + rθ̈ cos(θ) sin(φ) − rφ̇2 sin(θ) sin(φ) + rφ̈ sin(θ) cos(φ) cos(φ)
i
=r̈ [− sin(θ) cos(φ) sin(φ) + sin(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ 2ṙθ̇ [− cos(θ) cos(φ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ 2ṙφ̇ [sin(θ) sin(φ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(φ)]
+ rθ̇2 [sin(θ) cos(φ) sin(φ) − sin(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ 2rφ̇θ̇ [cos(θ) sin(φ) sin(φ) + cos(θ) cos(φ) cos(φ)]
+ rθ̈ [− cos(θ) cos(φ) sin(φ) + cos(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ rφ̇2 [sin(θ) cos(φ) sin(φ) − sin(θ) sin(φ) cos(φ)]
+ rφ̈ [sin(θ) sin(φ) sin(φ) + sin(θ) cos(φ) cos(φ)]
= + 2ṙφ̇ sin(θ) sin2 (φ) + sin(θ) cos2 (φ)
h
i
+ 2rφ̇θ̇ cos(θ) sin2 (φ) + cos(θ) cos2 (φ)
h
i
+ rφ̈ sin(θ) sin2 (φ) + sin(θ) cos2 (φ)
h
i
= + 2ṙφ̇ sin(θ) + 2rφ̇θ̇ cos(θ) + rφ̈ sin(θ)
h
i
= rφ̈ + 2ṙφ̇ sin(θ) + 2rφ̇θ̇ cos(θ)
Zusammenfassend haben wir
a =ar er + aθ eθ + aφ eφ
(F.2.13)
= r̈ − rθ̇2 − r sin2 (θ)φ̇2 er
h
i
+ 2ṙθ̇ + rθ̈ − r sin(θ) cos(θ)φ̇2 eθ
h
+
h
i
i
rφ̈ + 2ṙφ̇ sin(θ) + 2rφ̇θ̇ cos(θ) eφ
F.2.1. Interpretation
Wir teilen die Beschleunigung in drei Komponenten auf
a = ap + az + ac
(F.2.14)
Dies ist in der angegebenen Reihenfolge die Parallelbeschleunigung, die den Betrag der Geschwindigkeit erhöht, die Zentripetalbeschleunigung und die CoriolisBeschleunigung.
280
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
281
F.2 Beschleunigung
Im Einzelnen haben wir
ap = r̈er + rθ̈eθ + r sin(θ)φ̈eφ
(F.2.15)
az = −r θ̇2 + sin2 (θ)φ̇2 er − r sin(θ) cos(θ)φ̇2 eθ
h
i
h
i
ac = 2ṙθ̇eθ + 2 ṙ sin(θ) + rθ̇ cos(θ) φ̇eφ
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(F.2.16)
(F.2.17)
281
G. Berechnungen in ebenen
schiefwinkligen Dreiecken
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 146])
Abbildung G.1.: Dreieck
halber Dreiecksumfang s =
Radius des Umkreises R =
q
Radius des Inkreises r =
a+b+c
2
a
2 sin α
b
2 sin β
=
(s−a)(s−b)(s−c)
s
=
c
2 sin γ
= s tan α2 tan β2 tan γ2 = 4R sin α2 β2 γ2
Flächeninhalt
S = 12 ab sin γ = 2R2 sin α sin β sin γ = rs =
q
s(s − a)(s − b)(s − c)
Sinussatz sina α = sinb β = sinc γ = 2R
R ist der Umkreisradius
Projektionssatz c = a cos β + b cos α
Kosinussatz oder Satz des Pythagoras im schiefwinkligen Dreieck c2 = a2 +
b2 − 2ab cos γ
Mollweidsche Gleichungen (a + b) sin γ2 = c cos
(a − b) cos γ2 = c sin
Tangenssatz
a+b
a−b
=
tan
tan
α−β
2
α+β
2
α−β
2
Halbwinkelsatz tan α2 =
Tangensformeln tan α =
r
(s−b)(s−c)
s(s−a)
a sin β
c−a cos β
=
a sin γ
b−a cos γ
α−β
2
Berechnungen in ebenen schiefwinkligen Dreiecken
Beziehungen für halbe Winkel sin
cos α2 =
q
α
2
=
q
284
(s−b)(s−c)
bc
s(s−a)
bc
(Siehe Bronstein, Taschenbuch der Mathematik [BSMM08, pp. 148])
1.
2.
3.
gegeben
1 Seite und 2 Winkel
(a, α, β)
2 Seiten und der eingeschlossene
Winkel
(a, b, γ)
2 Seiten und der einer
von ihnen gegenüberliegende Winkel (a, b, α)
Formeln
a sin β
sin γ
, c = asin
, S = 12 ab sin γ
sin α
α
a−b
cot γ2 α+β
= π2 − γ2 α und β werden
a+b
2
sin γ
,S =
und α − β berechnet. c = asin
α
γ = π − α − β, b =
tan α−β
=
2
aus α + β
1
ab sin γ
2
α
sin β = b sin
Für a ≥ b ist β < π2 und eindeua
tig bestimmt. Für a < b sind die folgenden Fälle
möglich:
1. β hat für b sin α < a zwei Werte β2 = π − β1
2. β hat genau einen Wert ( π2 ) für b sin α = a
3. Für b sin α > a ist es unmöglich, ein Dreieck
zu konstruieren.
4.
284
3 Seiten (a, b, c)
sin γ
γ = πq− α − β c = asin
S = 12 ab sin γ
α
(s−a)(s−b)(s−c)
r
r =
, tan α2 = s−a
, tan β2 =
s
q
r
,
s−b
r
tan γ2 = s−c
, S = rs = s(s − a)(s − b)(s − c)
Tabelle G.1.: Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke
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H. Berechnung der Ableitung in
rotierenden Bezugssystemen
Hier werden Ableitungen in rotierenden Bezugssystemen betrachtet. Der Maple
Quelltext ist:
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
with(LinearAlgebra):
with(VectorCalculus):
with(tensor):
SetCoordinates( ’cartesian’[x,y,z] ):
AA := Matrix(3,3,[[cos(omegaz*t), sin(omegaz*t),0],
[-sin(omegaz*t),cos(omegaz*t),0],
[0,0,1]]);
AAinv := MatrixInverse(AA);
omega := <0,0,omegaz>;
s := <R*cos(3*omegaz*t),R*sin(3*omegaz*t),rz>;
sp := convert(MatrixVectorMultiply(AA,s),arctrig);
res1 :=diff(s,t);
CrossProduct(omega,s);
tr1 :=diff(sp,t);
tr2 := simplify(MatrixVectorMultiply(AAinv,tr1));
res2 := tr2+CrossProduct(omega,s);
rr :=simplify(res2-res1);
Der Mathematica-Quelltext ist
Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen

286

cos(tωz) sin(tωz) 0

AA =  − sin(tωz) cos(tωz) 0 

0
0
1
AAinv = Simplify[MatrixPower[AA, −1]]
Simplify[AAinv.AA]
ω = {0, 0, ωz}
s = {fx(t), fy(t), fz(t)}
sp = AA.s
∂s
res1 =
∂t
cp = ω × s
"
#
∂sp
tr1 = Simplify
∂t
tr2 = Simplify[AAinv.tr1]
res2 = cp + tr2
rr = res2 − res1
res3falsch = Simplify[cp + tr1]
Hier ist angenommen worden, dass der Rotationsvektor ω entlang der z-Richtung
des Koordinatensystems angeordnet ist. Dann transformiert die Matrix AA einen
Vektor aus dem Laborsystem in das rotierende Bezugssystem. AAinv transformiert
zurück. s ist der zeitabhängige Ortsvektor. sp ist der Ortsvektor transformiert in
das rotierende Bezugssystem. tr1 ist die Ableitung von sp im rotierenden Bezugssystemm tr2 ist tr1 zurücktransformiert in das Laborsystem.
Zusammenfassung
z
z‘
r (t + dt )
dr
¶r
dr = w ´ rP dt
w
r (t )
y‘
y
x‘
df
x
Abbildung H.1.: Beziehung zwischen den Ableitungen
Gleichung
dr = ∂r + dr̄ = ∂r + ω × rdt
(H.0.1)
gilt dann, wenn die Ableitung im rotierenden Bezugssystem zurück nach dem La-
286
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
287
borsystem transformiert ist.


cos(ωz t) sin(ωz t) 0
−
sin(ωz t) cos(ωz t) 0 
AA = 

=A
0
0
1


cos(ωz t) − sin(ωz t) 0


AAInv =  sin(ωz t) cos(ωz t) 0  = A−1
0
0
1



R cos(3ωz t)


s =  R sin(3ωz t) 
rz

fx (t)


s = fy (t)
fz (t)
allgemein:
Nach der Transformation ins rotierende Bezugssystem erhält man


R cos(2ωz t)

sp =  R sin(2ωz t) 

rz

allgemein:

cos(ωz t)fx (t) + sin(ωz t)fy (t)

0
s = cos(ωz t)fy (t) − sin(ωz t)fx (t)
.
fz (t)
Die Ableitungen im Laborsystem sind


− sin(3ωz t)
ds


= 3ωz R  cos(3ωz t) 
dt
0
d
f (t)
ds  dtd x 
=  dt fy (t)
dt
d
f (t)
dt z

allgemein:

und im rotierenden Bezugssystem (gestrichenes Bezugssystem)


− sin(2ωz t)
dsp


= 2ωz R  cos(2ωz t) 
dt
0
allgemein:
cos(ωz t) dtd fx (t) + sin(ωz t) dtd fy (t) − ωz sin(ωz )fx (t) + ωz cos(ωz t)fy (t)


d
d
− sin(ωz t) dt fx (t) + cos(ωz t) dt fy (t) − ωz cos(ωz )fx (t) − ωz sin(ωz t)fy (t)
d
f (t)
dt z

0
ds
=
dt

0
Zurücktransformiert ins Laborsystem mit A−1 ds
erhält man
dt


ω f (t) + dtd fx (t)
∂s  z y

= −ωz fx (t) + dtd fy (t)
∂t
d
f (t)
dt z

− sin(3ωz t)
∂s


= 2ωz R  cos(3ωz t) 
∂t
0
allgemein:

Das Kreuzprodukt ist


− sin(3ωz t)

ω × s = ωz R  cos(3ωz t) 

0

allgemein:

−ωz fy (t)

ω × s =  ωz fx (t) 

0
und
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287
Berechnung der Ableitung in rotierenden Bezugssystemen
288
∂s
+ω×s
∂t






− sin(3ωz t)
− sin(3ωz t)
− sin(3ωz t)
ds






= 2ωz R  cos(3ωz t)  + ωz R  cos(3ωz t)  = 3ωz R  cos(3ωz t)  =
dt
0
0
0
allgemein:
d
ωz fy (t) + dtd fx (t)
f (t)
−ωz fy (t)
dt x
ds
∂s





d
d
+ ω × s = −ωz fx (t) + dt fy (t) +  ωz fx (t)  =  dt fy (t)
=
∂t
dt
d
d
0
f (t)
f (t)
dt z
dt z






so dass sowohl im Spezialfall wie auch allgemein gilt
ds
∂s
=
+ω×s
dt
∂t
gilt. Wäre
ds0
dt
nicht ins Laborsystem zurücktransformiert worden, hätte man
∂s
+ω×s
∂t
 d

f (t) cos(tωz ) − ωz fx (t) sin(tωz ) + dtd fy (t) sin(tωz ) + ωz fy (t)(cos(tωz ) − 1)
dt x

d
d
=
− dt fx (t) sin(tωz ) + fx (t)ωz (1 − cos(tωz )) + dt fy (t) cos(tωz ) − ωz fy (t) sin(tωz )
d
f (t)
dt z
(H.0.2)
erhalten, was nicht das Resultat im Laborsystem ist.
Wenn mit Vektoren in der Darstellung eines Koordinatensystems
gerechnet wird, müssen alle Vektoren im gleichen Koordinatensystem
dargestellt werden!
288
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I. Drehungen
I.1. Drehmatrizen
Eine Drehung um die x-Achse beschrieben durch den Vektor ex = (1, 0, 0)T um
den Winkel α wird durch die Matrix


1
0
0


Rx (α) = 0 cos(α) − sin(α)
0 sin(α) cos(α)
(I.1.1)
die Transformation ausgeführt. Für eine Drehung um die y-Achse beschrieben
durch den Vektor ey = (0, 1, 0)T um den Winkel β wird durch die Matrix


cos(β) 0 sin(β)

0
1
0 
Ry (β) = 

− sin(β) 0 cos(β)
(I.1.2)
die Transformation ausgeführt. Schliesslich wird eine Drehung um die y-Achse
beschrieben durch den Vektor ez = (0, 0, 1)T um den Winkel γ wird durch die
Matrix


cos(γ) − sin(γ) 0
cos(γ) 0
Rz (γ) = 
(I.1.3)
 sin(γ)

0
0
1
ausgeführt.
Der Vektor r = (x, y, z)T soll um den Winkel α um die x-Achse gedreht werden.
Dies wird mit der Operation

 


1
0
0
x
x
 


r 0 = Rx (α)r = 
0 cos(α) − sin(α) y  = y cos(α) − z sin(α)
0 sin(α) cos(α)
z
y sin(α) + z cos(α)
(I.1.4)
bewerkstelligt. Im Allgemeinen wird eine Drehung durch die Multiplikation des
Vektors von links mit einer Matrix beschrieben.
Die Drehung zurück wird (antisymmetrische reelle Matrix mit der Determinante 1)
wird durch die inverse Matrix oder die transponierte Matrix beschrieben Alternativ
kann man auch α durch −α ersetzen.


1
0
0

T
−1
Rx (−α) = Rx (α) = Rx (α) = 0 cos(α) sin(α) 

0 − sin(α) cos(α)
(I.1.5)
Eine Drehung um einen beliebigen Vektor r α = (xα , yα , zα )T mit x2α + yα2 + zα2 = 1
wird durch
Drehungen
290
R(xα ,yα ,zα )T (α) =
2 + z2
x2α + cos(α) yα
α
−xα yα cos(α) + xα yα + zα sin(α)

−xα zα cos(α) + xα zα − yα sin(α)
−xα yα cos(α) + xα yα − zα sin(α)
2 + y2
cos(α) x2α + zα
α
xα sin(α) − yα zα cos(α) + yα zα

−xα zα cos(α) + xα zα + yα sin(α)
−xα sin(α) − yα zα cos(α) + yα zα 
2 + z2
cos(α) x2α + yα
α
(I.1.6)
beschrieben[WR14]. Die Drehung ist bei positivem α rechtshändig bezüglich der
Richtung von r α (Der Daumen zeigt in die Richtung von r α , die Finger geben die
Drehrichtung).
I.2. Drehung von Vektoren und Matrizen (oder
Tensoren)
Sei Reα (α) die Drehmatrix. Dann ist der aus r hervorgegangene um die Achse eα
und den Winkel α gedrehte Vektor
r 0 = Reα (α)r
(I.2.1)
Ein Beispiel dafür ist in (I.1.4) gezeigt.
Die aus der Matrix


Axx Axy Axz


A = Ayx Ayy Ayz 
Azx Azy Azz
hervorgegangene um die Achse eα und den Winkel α gedrehte Matrix ist
A0 = Reα (α)ARTeα (α).
(I.2.2)
Die Drehung zurück ist dann
Reα (−α)A0 RTeα (−α) = RTeα (α)A0 Reα (α) = RTeα (α)Reα (α)ARTeα (α)Reα (α) = A
(I.2.3)
Wenn wir als Beispiel die Matrix


a b 0

A=
−b c 0
0 0 d
um eα =
290
1
√
, 0, − √12
2
T
drehen, erhalten wir
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291
I.3 Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln
A0 =R(1/ √2,0,−1/ √2)T (α)ART(1/ √2,0,−1/ √2)T (α)
(I.2.4)
=R(1/ √2,0,−1/ √2)T (α)AR(1/ √2,0,−1/ √2)T (−α)
1
√
(cos(α) + 1) sin(α)
2

sin(α)
√
−
cos(α)
=

2
1
√
(cos(α)
− 1) sin(α)
2
2
1
(cos(α) −
2
√
− sin(α)
2
1
(cos(α)
+
2

1)  a b 0

 −b c 0


0
0
d
1)
√
(cos(α) + 1) − sin(α)
2

sin(α)

√
cos(α)

2
1
√
(cos(α) − 1) − sin(α)
2
2
1
(cos(α) −
2
sin(α)
√
2
1
(cos(α)
+
2
1)
√
(cos(α) + 1) sin(α)
2

sin(α)

√
cos(α)
= − 2
1
√
(cos(α) − 1) sin(α)
2
2
1
(cos(α) −
2
√
− sin(α)
2
1
(cos(α)
+
2
2
1
2
1
2

1)
1)
1)








b sin(α)
a sin(α)
1
√
√
√
a(cos(α) + 1) + b sin(α)
a(cos(α)
−
1)
+
b
cos(α)
−
2
2
2
2
2 
 c sin(α)
b sin(α)
c sin(α)
1
1
 √
√
√
b(cos(α)
+
1)
b(cos(α)
−
1) 
−
+
c
cos(α)
−


2
2
2
2
2
d sin(α)
1
1
√
d(cos(α)
−
1)
−
d(cos(α)
+
1)
2
2
2

 1
2
((a + d) cos (α) + 2(a − d) cos(α) + a + 2c sin2 (α) + d) 0 0
4 √

1
− 2 sin(α)(cos(α)(a − 2c + d) + a − d) − 2b(cos(α) + 1) 0 0
=

4
√ 1
0 0
− 4 sin(α) sin(α)(a − 2c + d) + 2 2b
1

√
2b(cos(α) + 1) − 2 sin(α)(cos(α)(a − 2c + d) + a − d)
0

1

(a + d) sin2 (α) + c cos2 (α)
2
√
0
1
− 2 sin(α)(cos(α)(a − 2c + d) − a + d) − 2b(cos(α) − 1) 0
4


√ 0 0
− 41 sin(α) sin(α)(a − 2c + d) − 2 2b


√

1
+
0
0
2b(cos(α)
−
1)
−
2
sin(α)(cos(α)(a
−
2c
+
d)
−
a
+
d)


4
1
2
0 0
(cos(α)((a
+
d)
cos(α)
−
2a
+
2d)
+
a
+
2c
sin
(α)
+
d)
4

0


+ 0
0
1
4
I.3. Allgemeine Drehung mit Eulerwinkeln
Das Koordinatensystem ex , ey , ez geht durch drei Drehungen aus dem Koordinatensystem e∗x , e∗y , e∗z hervor.
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291
Drehungen
292
Abbildung I.1.: Definition der Eulerschen Winkel
Die Eulerschen Winkel sind
1. Drehung um e∗z : α
2. Drehung um 0A : β
3. Drehung um e∗z : γ
Dabei 0A steht senkrecht zur Ebene aufgespannt durch ez und e∗z .
Die Reihenfolge der Drehungen ist
1. Drehung: Bringe e∗x senkrecht zu ez (In der Abbildung I.3 zeigen die Kreise
die Ebenen senkrecht zu e∗z und senkrecht zu ez Die Schnittlinie der beiden
Kreise ist 0A.
2. Drehung: Bringe z-Achse in richtige Lage
3. Drehung: Bringe x,y-Achsen in die richtige Lage.
292
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
J. Berechnung elektrischer Felder
J.1. In der Nähe eines Leiterstückes
Entlang der x-Achse von x = 0 bis x = ` sei die Ladung Q homogen verteilt. Zu
berechnen ist das elektrische Feld für einen Punkt P = (ξ, 0, 0) auf der x-Achse!
Die Linienladungsdichte ist
λ=
Q
`
Das elektrische Feld bei P ist
dEx (x, ξ) =
1 λ (x − ξ) dξ
4π0 |x − ξ|3
Wir integrieren über die Länge des Drahtes
Ex (ξ) =
Z`
0

Z`








dξ
,
(x − ξ)2





Z
dξ
dξ
−
2
2 , für 0 < x < `.
(x − ξ)
(x
−
ξ)
x
λ
dEx (x, ξ) =
· Z0x
4π0 


0
für x > ` oder x < 0;
`
Die Lösung dieser Gleichung ist
Ex (x) =







λ`
, für x > ` oder x < 0;
4πε0 x(x − `)



λ(2x − `)
, für 0 < x < `.
4πε0 x(x − `)
λ
4πε0 x(x − `) 


Berechnung elektrischer Felder
294
E−Feld entlang einer Linienladung
4
3
2
E
1
0
−1
−2
−3
−4
−4
−2
0
2
4
6
x
Abbildung J.1.: Elektrisches Feld entlang einer Linienladung.
Wir berechnen nun das elektrische Feld entlang der Mittelsenkrechten einer Linienladung der Länge `. Zur Berechnung legen wir das Koordinationssystem so,
dass die Ladungsverteilung von - 2` bis 2` reicht. Aus Symmetriegründen existiert
auf der Mittelsenkrechten keine Komponente in x-Richtung. Wir betrachten also
die Komponente entlang y. Am Punkt P = (0, y, 0) ist
dEy (y) =
Ebenso ist
1
λdx
y
4πε0 (x2 + y 2 ) 23
`
Ey (y) =
Z2
− 2`
`
λ
y
λy
3 dx =
2
2
4πε0 (x + y ) 2
4πε0
Z2
− 2`
dx
(x2
3
+ y2) 2
Nach Bronstein[BSMM08] ist
Z
dx
X
294
3
2
=
a2
x
√
X
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
295
J.1 In der Nähe eines Leiterstückes
mit X = x2 + a2 . Daraus folgt
Ey (y) =
λy
4πε0
x
√ 2
2
y x + y2
! `
2
− 2`


`
`
λ 

q
+ q2
=
2
`
`
2
4πε0 y 2
+y
2 4 +y
4
λ`
1
q
=
4πε0 y y 2 + `2
4
Q
1
q
=
4πε0 y y 2 +
`2
4
Für y ` bekommt man
Ey =
Q
1 λ`
=
2
4πε0 y
4πε0 y 2
Für y −` bekommt man
Ey = −
1 λ`
Q
=
−
4πε0 y 2
4πε0 y 2
Wenn die Linienladung ”unendlich” ausgedehnt ist, gilt
y`
Dann ist
Ey ≈
Q
1
λ
λ`
q =
=
2
4πε0 y `
2πε0 |y|
2πε0 ` |y|
4
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295
Berechnung elektrischer Felder
296
E−Feld senkrecht zu Linienladung (Nahfeld)
10
5
genau
E
Nahfeld
0
−5
−10
−1
−0.5
0
0.5
1
y
Abbildung J.2.: Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.
J.2. Auf der Symmetrieachse einer Kreisscheibe
Zur Berechnung setzen wir die Flächenladungsdichte auf
σ=
g
πr2
Das elektrische Feld auf der Symmetrieachse kann nur parallel zu dieser sein. Wir
setzen also an
1 σr̂dr̂dϕ
dEx =
x
4πε0 (r̂2 + x2 ) 32
Also ist
Ex =
Z2πZr
0 0
2π r
r
1 σr̂x dr̂dϕ
σx Z Z r̂ dr̂dϕ
σx Z
r̂dr̂
3 =
3 =
2
2 2
4πε0 (r̂2 + x2 ) 2
4πε0
2ε0 (r̂2 + x2 ) 23
0 0 (r̂ + x )
0
Nach Bronstein ist
rdr
Z
q
(r2 +
296
x2 )3
1
=−√ 2
r + x2
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297
J.3 Innerhalb und ausserhalb einer geladenen Zylinderfläche
Also ist
1
σx
−√ 2
Ex =
2ε0
r̂ + x2
!r
0
!
σx
1
1
=
−√ 2
+
2
2ε0
|x|
r +x
√
2
σx |x| − r + x2
√
·
=−
2ε0
|x| r2 + x2
√
x
r2 + x2 − |x|
σ
√
·
·
=
2ε0 |x|
r 2 + x2
Für |x| r ist
s

r2
2


r + |x| − |x| = |x|
1 + 2 − |x| = |x| 1 + 2
x
2x
q
r2
2
und damit
Ex =
!
r2
− |x| = 2
2x
Q
σ r2
=
2
4ε0 x
4πε0 x2
E−Feld senkrecht zu Kreisscheibe
1
Fernfeld
E
0.5
0
−0.5
genau
−1
−3
−2
−1
0
1
2
3
x
Abbildung J.3.: E-Feld einer homogen geladenen Kreisscheibe entlang einer Senkrechten durch den Mittelpunkt.
J.3. Innerhalb und ausserhalb einer geladenen
Zylinderfläche
Der Zylindermantel habe den Radius R, die Flächenladungsdichte sei σ. Wir betrachten eine Zylinderfläche koaxial zur geladenen Fläche mit dem Radius r < R.
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297
Berechnung elektrischer Felder
298
Das E-Feld ist aus Symmetriegründen radial symmetrisch. Der Fluss durch die
Fläche ist:
"
"
Q
φ=
En da = Er
da = Er · 2πr` =
ε0
Fläche
Fläche
Da keine Ladung umschlossen wird, ist
Er = 0, r < R
Für r > R gilt
Er · 2πr` =
oder
Er =
σ · 2πR`
ε0
σR
ε0 r
E−Feld ausserhalb eines geladenen Zylinders
1.2
1
E
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
x
Abbildung J.4.: Ladung senkrecht zu einem Kreiszylinder.
J.4. In allen Bereichen zweier koaxialer
zylinderförmiger Leiter
Nach Abschnitt J.3 ist Er = σR
wenn die Ladungsdichte σ auf der Zylinderschale
ε0
mit R < r aufgebracht ist. Wir betrachten zwei konzentrische Zylinder mit den
Radien R1 < R2 und deren Oberflächenladungsdichten σ1 und σ2 . Für r < R1 gilt
Er = 0 für r < R1
298
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299
J.4 In allen Bereichen zweier koaxialer zylinderförmiger Leiter
Für R1 < r < R2 existiert allein das Feld des inneren Kreiszylinders. Also ist dort:
Er =
σ1 R1
für R1 < r < R2
ε0 r
Schliesslich ist für r > R2 :
Er =
σ1 R1 σ2 R2
σ1 R1 + σ2 R2
+
=
für r > R2
ε0 r
ε0 r
ε0 r
wobei hier die Additivität elektrischer Felder benutzt wurde. Wenn für r > R2
Er = 0 sein soll, muss gelten
σ1 R1 + σ2 R2 = 0
oder
σ1
R2
=−
σ2
R1
.
E−Feld eines Koaxialkabels
1.2
1
0.8
0.6
E
0.4
0.2
σ1 R1 = − σ2 R2
0
−0.2
−0.4
σ1 = − σ2
−0.6
0
1
2
3
4
5
x
Abbildung J.5.: Elektrische Felder bei einem Koaxialkabel, wobei einmal (dünne
Linie) die Oberflächenladungsdichten σi vom Betrage nach gleich
und einmal (dicke Linie) die Produkte Ri · σi dem Betrage nach
gleich sind.
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299
K. Lorentztransformationen
K.1. Lorentztransformationen für die magnetische
Induktion
Bewegung entlang der x-Richtung
Ex0
Ey0
Ez0
Bx0
By0
Bz0
=
=
=
=
Ex
γ(vx ) (Ey − vx · Bz )
γ(vx ) (Ez + vx · By )
Bx
vx
= γ(vx ) By + 2 Ez
c
vx
= γ(vx ) Bz − 2 Ey
c
Bewegung entlang der y-Richtung
Ex0 = γ(vy ) (Ex + vy · Bz )
Ey0 = Ey
Ez0 = γ(vy ) (Ez − vy · Bx )
vy
0
Bx = γ(vy ) Bx − 2 Ez
c
By0 = By
vy
0
Bz = γ(vy ) Bz + 2 Ex
c
Bewegung entlang der z-Richtung
Ex0 = γ(vz ) (Ex − vz · By )
Ey0 = γ(vz ) (Ey + vz · Bx )
Ez0 = Ez
vz
0
Bx = γ(vz ) Bx + 2 Ey
c
vz
0
By = γ(vz ) By − 2 Ex
c
Bz0 = Bz
Lorentztransformationen
302
K.2. Lorentztransformation für das magnetische
Feld
Bewegung entlang der x-Richtung
Ex0 = Ex
vx 1
Hz
c2 ε 0
vx 1
0
Ez = γ(vx ) Ez + 2 · Hy
c ε0
0
Hx = Hx
Hy0 = γ(vx ) (Hy + vx ε0 Ez )
Ey0 = γ(vx ) Ey −
Hz0 = γ(vx ) (Hz − vx ε0 Ey )
Bewegung entlang der y-Richtung
Ex0 = γ(vy ) Ex +
vy 1
· Hz
c2 ε 0
Ey0 = Ey
vy 1
Hx
c2 ε 0
Hx0 = γ(vy ) (Hx − vy ε0 Ez )
Hy0 = Hy
Ez0 = γ(vy ) Ez −
Hz0 = γ(vy ) (Hz + vy ε0 Ex )
Bewegung entlang der z-Richtung
Ex0
Ey0
Ez0
Hx0
Hy0
vz 1
= γ(vz ) Ex − 2 Hy
c ε0
vz 1
= γ(vz ) Ey + 2 · Hx
c ε0
= Ez
= γ(vz ) (Hx + vz ε0 Ey )
= γ(vz ) (Hy − vz ε0 Ex )
Hz0 = Hz
302
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Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
2.13
2.14
2.15
2.16
2.17
2.18
2.19
2.20
2.21
2.22
2.23
2.24
2.25
2.26
2.27
2.28
2.29
2.30
2.31
2.32
2.33
2.34
2.35
2.36
Auslenkung zweier mit identischer Ladung q geladener Kugeln. . . . . .
Feldlinien + und - . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldlinien bei zwei gleichen positiven Ladungen. . . . . . . . . . . . . .
Feldlinien +q und −q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integration über eine Kugelfläche mit einer Punktladung im Zentrum .
Allgemeine Oberflächen und beliebige Ladungsverteilung . . . . . . . .
Kräfte auf einen Dipol im homogenen elektrischen Feld. . . . . . . . .
Berechnung eines Feldes einer Kugelschale . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Feldverteilung einer homogen geladenen Kugelschale. . . . . . . .
Elektrisches Feld einer homogen geladenen Kugel . . . . . . . . . . . .
Integrationsfläche zur Berechnung des elektrischen Feldes einer Ebene .
Elektrisches Feld um eine endliche Platte. . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektrisches Feld entgegengesetzt gleich geladener Platten. . . . . . . .
Elektrisches Feld gleich geladener Platten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Integrationsfläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldlinien in der Nähe eines Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximation eines beliebigen Integrationsweges durch Kreissegmente.
Potential einer homogen geladenen Ebene . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential eines Kreisringes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential einer homogen geladenen Kreisscheibe . . . . . . . . . . . . .
Potential einer homogen geladenen Kugelschale . . . . . . . . . . . . .
Potential einer homogenen unendlichen Linienladung . . . . . . . . . .
Integrationsoberfläche an der Grenze Metall-Vakuum. . . . . . . . . .
Geometrie eines Plattenkondensators. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Minimierung der Randeffekte in einem Kondensator . . . . . . . . . . .
Parallelschaltung von Kondensatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reihenschaltung oder Serienschaltung von Kondensatoren. . . . . . . .
Flächenladungsversuch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematisches Bild eines Atoms mit seiner Elektronenhülle. . . . . . .
Isolatoren in einem Kondensatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Anordnung permanenter Dipole ohne und mit elektrischem Feld. . . . .
Induzierte Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Gesetzes von Clausius-Mosotti . . . . . . . . . . . . . .
Links: Kondensator ohne und rechts: mit Dielektrikum . . . . . . . . .
Dielektrische Flüssigkeit im Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . .
Skizze der Änderungen beim Anlegen einer Spannung . . . . . . . . .
13
16
17
18
19
20
21
22
23
24
24
25
26
26
27
28
29
32
33
34
35
36
38
39
40
40
41
44
45
47
48
49
50
52
53
54
3.1
3.2
3.3
Kräfte auf Ladungen in einem Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
Berechnung des Stromes in einem Medium . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Fluss eines Stromdichtefeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Abbildungsverzeichnis
304
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
3.15
3.16
3.17
3.18
3.19
3.20
3.21
3.22
3.23
3.24
3.25
3.26
3.27
3.28
3.29
3.30
3.31
3.32
3.33
3.34
3.35
3.36
3.37
3.38
3.39
3.40
3.41
Stromfluss in einem Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bahnkurven ohne und mit elektrischem Feld. . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Widerstandes bei einem inhomogenen Leiter . . . .
Ladungstransport in einem van de Graaff-Generator . . . . . . . . .
Aufladen und Entladen eines Kondensators über einen Widerstand.
Ladekurven am Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Entladekurven am Kondensator. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kennlinie eines 1000Ω-Widerstands. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
In Schaltungen übliche Symbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messung der Kennlinie eines Widerstandes. . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung einer Diodenkennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Typische Diodenkennlinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannungsteiler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arbeitspunkt zweier Widerstände . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Serieschaltung einer Diode D mit einem Widerstand R. . . . . . .
Arbeitspunkt einer Diode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kennlinien eines Transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestimmung der Ausgangskennlinie eines Transistors. . . . . . . . .
Arbeitskennlinie eines Transistors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verstärkung eines Transistors in der Emitterschaltung . . . . . . .
Verstärkerschaltung mit BC107. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strom in zwei parallelen Leitern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Metallischer Gastank mit Ausströmöffnung. . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der magnetischen Kraft. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetische Induktion relativ zur Geschwindigkeit der Ladung. . .
Berechnung der Kraft auf ein Leiterelement. . . . . . . . . . . . . .
Kräfte auf eine Leiterschlaufe im homogenen B-Feld . . . . . . . .
Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld . . .
Drehmoment auf eine Leiterschleife im homogenen Magnetfeld . . .
Tangentiales Magnetfeld eines Linienstromes. . . . . . . . . . . . .
Magnetfeld einer homogenen Stromverteilung . . . . . . . . . . . .
Integrationsfläche zur Analyse der Quellenfreiheit des Magnetfeldes
Integration über die Mantelfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Darstellung von B in einer (x = const)-Ebene. . . . . . . . . . . . .
Vektorpotential einer unendlichen Stromdichte. . . . . . . . . . . .
Hall-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegte Magnetfelder und elektrische Felder. . . . . . . . . . . . .
Lorentztransformation von E und B. . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
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.
.
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.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
64
66
69
70
72
73
74
75
75
76
76
76
77
78
78
79
79
80
80
81
81
83
84
85
90
92
93
94
95
99
100
102
103
107
108
109
110
112
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
Induktion im inhomogenen Magnetfeld. . . . . . . . . . . . .
Vergleich eines Stabmagneten mit einer Spule. . . . . . . . .
Induzierte Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorzeichen des Magnetfeldes und der induzierten Spannung.
Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirbelströme in Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bewegung eines Leiters aus einem Magnetfeld. . . . . . . .
Magnetische Induktion einer langen Spule . . . . . . . . . .
Zwei gekoppelte Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
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.
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119
121
121
122
122
126
127
128
131
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.
.
.
305
Abbildungsverzeichnis
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
Symbolische Darstellung eines Transformators . . . . . . . . . . . .
Schematischer Aufbau eines Transformators . . . . . . . . . . . . . .
Kirchhoffsche Gesetze: links die Maschenregel, rechts die Knotenregel.
Definition von Strömen und Spannungen bei Wechselspannungen . .
Spule mit Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kondensator mit Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schwingkreis mit Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bestandteile eines Elektromotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aufbau eines Elektromotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bauarten von Elektromotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kennlinien von Nebenschluss- und Hauptschlussmotoren. . . . . . . .
Skizze eines Betatrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Skin-Effektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Energie im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
Dia-, Para- und Ferromagnete im inhomegenen Feld. . . . . . . . . .
Kreisströme als Ursache des Dia- und des Paramagnetismus . . . . .
Illustration zum Satz von Larmor . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Einschalten eines Magnetfeldes für ein Elektron in einem Atom. . . .
Berechnung der Larmorfrequenz mit einem Kreisel . . . . . . . . . .
Berechnung des Diamagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ein einzelner Kreisstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Atomare Kreisströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elektronenspin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematischer Verlauf der Magnetisierung . . . . . . . . . . . . . . .
Messung der Hysterese eines Ferromagneten. . . . . . . . . . . . . . .
Hysteresekurve eines Ferromagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ferromagnetische Domänen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Domänenstruktur im ändernden Magnetfeld. . . . . . . . . . . . . . .
Löschen des remanenten Magnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . .
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6.1
6.2
3 mögliche Doppelleitersysteme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
800 MHz-Breitbandverstärker für Fernsehsignale. Auf der Unterseite
sind die Wellenleiterstrukturen sichtbar (Mittlere Struktur in Abbildung 6.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Magnetfelder und elektrische Felder bei einer Lecherleitung. . . . . .
Doppelleitung aus parallelen Platten. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen . . . . . . . . . . . . .
Integrationspfad zur Anwendung des vierten Maxwellschen Gesetzes
Koaxialkabel, Wellen- und Abschlusswiderstand . . . . . . . . . . . .
Berechnung des Poynting-Vektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berechnung der Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bild einer ebenen Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kugelwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation durch Absorption in einem Drahtpolarisator . . . . . . .
Polarisator und Analysator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dichroismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 184
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
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132
134
135
136
137
138
139
140
140
143
145
146
148
151
153
153
154
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157
158
159
160
162
164
165
166
167
167
168
184
185
185
186
187
188
189
191
192
195
196
198
198
199
305
Abbildungsverzeichnis
306
6.16
6.17
6.18
6.19
6.20
6.21
6.22
6.23
6.24
6.25
6.26
6.27
6.28
6.29
Polarisation und Spiegelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition der s-Polarisation und der p-Polarisation . . . . . . . . . .
Stetigkeitsbedingungen für elektromagnetische Wellen . . . . . . . . .
Richtungen des elektrischen Feldes und Vorzeichen . . . . . . . . . .
Polarisation bei der Spiegelung an Wasser . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation bei der Spiegelung an Wasser . . . . . . . . . . . . . . .
Polarisation bei der Spiegelung an Wasser . . . . . . . . . . . . . . .
p-Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensitätsverlauf für p- und s-Polarisation . . . . . . . . . . . . . . .
Amplitudenverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Intensitätsverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verlauf der Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gewichtete Intensität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von
an = n2 /n1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.30 Feldamplituden und Intensitäten bei senkrechtem Einfall, abhängig von
an = n2 /n1 , mit logarithmischer Abszisse. . . . . . . . . . . . . . . .
6.31 Momentaufnahme der Interferenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.32 Intensitätsverteilung bei Totalreflexion . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1
C.2
C.3
C.4
C.5
C.6
C.7
C.8
Berechnung der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Approximationen der Funktion f (x) = cos(x) mit dem Grad 1,
Approximationen der Funktion f (x) = cos(x) mit dem Grad 1,
Approximationen der Funktion f (x) = cos(x) mit dem Grad 1,
Definition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gradient als Richtung der stärksten Steigung . . . . . . . . .
Vektorfeld mit Umrandung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehung eines schwimmenden Klotzes, Rotation . . . . . . . .
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2
2
2
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200
200
208
212
214
215
215
216
216
217
217
220
220
. 222
. 222
. 223
. 223
. . . .
und 3.
und 3.
und 3.
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
237
242
244
244
245
251
252
253
D.1 Integration einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
D.2 Darstellung von f (x), wobei a variiert wird. . . . . . . . . . . . . . . . 263
E.1 Kartesisches, zylindrisches und sphärisches Koordinatensystem . . . . . 267
E.2 Umrechnung der Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
F.1 Mitgeführtes orthogonales Koordinatensystem und kartesisches Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
F.2 Betrachtung in der xy-Ebene für eφ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
F.3 Betrachtung in der ρz-Ebene zur Bestimmung von er und eθ . . . . . . 272
G.1 Dreieck
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
H.1 Beziehung zwischen den Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
I.1
Definition der Eulerschen Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
J.1
J.2
J.3
J.4
J.5
Elektrisches Feld entlang einer Linienladung. . . .
Elektrisches Feld senkrecht zu einer Linienladung.
E-Feld einer homogen geladenen Kreisscheibe. . .
Ladung senkrecht zu einem Kreiszylinder. . . . .
Elektrische Felder bei einem Koaxialkabel. . . . .
306
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294
295
297
298
299
Tabellenverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
Elektrische Felder in der Natur
Gefüllte Elektronenschale . . .
Nicht gefüllte Elektronenschale
Einige relative Permittivitäten .
3.1
3.2
Verstärkungen der Schaltung 3.21. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Dimensionierung der Schaltung nach Abbildung 3.24 . . . . . . . . . . 82
4.1
4.2
Wirbelstromkräfte in N/m3 von Magneten mit 0.1 T und 1 T auf Platten mit der Geschwindigkeit v aus verschiedenen Materialien. . . . . . 128
Skintiefen verschiedener Materialien (nach [Wik16a, Wik16b]) . . . . . 151
C.1
C.2
C.3
C.4
Beispiele für Ableitungen . . .
Differentiationsregeln . . . .
Ableitung einiger Funktionen
Reihenentwicklungen . . . . .
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15
46
46
48
237
238
239
241
D.1 Beispiele für Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
D.2 Unbestimmte Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
G.1 Formeln für schiefwinklige ebene Dreiecke . . . . . . . . . . . . . . . . 284
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©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,
Index
δ-Funktion
Dirac, 261–263
Übersetzungsfaktor, 131
Ableitung, 235–236
Bezugssystem
rotierend, 283–286
drei Dimensionen, 248–252
mitgeführt, 253–254
Ableitung von Vektoren, 246–252
Ableitung:Näherungslösungen, 239–242
Ampèresches Durchflutungsgesetz, 95–
99
Ampèresches Gesetz, 102
Amplitude, 193–195, 197, 214, 215
Analysator, 196, 197
Atom, 43
atomare Polarisierbarkeit, 44
B-Feld
Eigenschaften, 87–107
Barlowsches Rad, 95
Basis, 73
Basis-Emitter-Kennlinie, 77
Bauelemente, 72–81
Betatron, 144–145
Beweglichkeit, 65
Bezugssystem, 82
Bildladung, 26
Biot-Savart
Gesetz, 90–95, 105
Kraft, 91
Biot-Savart-Kraft, 152
Bohrsches Magneton, 160
Boltzmannstatistik, 161
Brechungsindex, 194
Brechzahl, 194
Brewster-Winkel, 211
Cavendish, 11
Clausius, 48–50
Coulomb
Gesetz, 12, 54
Coulombeichung, 103
Coulombsches Gesetz, 10–12
Curie-Gesetz, 162
Curie-Konstante, 162
D dielektrische Verschiebung, 17
Diamagnetismus, 151, 156–158
Dichroismus, 196
Dielektrika, 45–51
dielektrische Suszeptibilität, 56
Dielektrische Verschiebung, 17
dielektrische Verschiebung, 54
Stetigkeit, 47, 56
Dielektrizitätskonstanten, 203
Differentiation
einfache Funktionen, 237–238
Regeln, 236
Differentiationsreglen, 236
Dipol, 19
Dipolmoment, 19
induziert, 43, 56
Dirac
δ-Funktion, 261–263
Divergenz, 18, 249–251
Domäne
ferromagnetisch, 165
Doppelleitersystem, 181–185
Drehmatrizen, 287–288
Drehmoment, 93
Drehspulinstrument, 94
Drehung
Matrix, 288–289
Tensor, 288–289
Vektor, 288–289
Drehungen, 287–290
Dreibein
rechtshändig, 181
Index
314
Dreieck, 281, 282
schiefwinklig, 281–282
Driftgeschwindigkeit, 57, 64
Durchlassrichtung, 75
Eichung, 103
Einfallsebene, 199, 203
Elektrische Eigenschaften
materie, 43–53
elektrische Felder von Leitern, 19–26
Elektrische Feldlinien, 54
Elektrische Ladung, 10–12
Elektrische Ströme, 57–115
elektrischer Fluss, 54
elektrischer Strom, 58
Elektrisches Feld
Fluss, 17
elektrisches Feld, 12–16, 54, 87
Energie, 40–43
Energiedichte, 40, 56
Stetigkeit, 47, 56
elektrisches Potential, 28, 55
Elektrodynamik
Kraftgesetz, 90
elektromagnetische Wellen, 177–222
Elektromotor, 138–143
gemittelte Betrachtung, 140
gemittelte betrachtung, 141
elektromotorische Kraft, 68–69
Elektronen, 88, 159
Hülle, 43
Elektrostatik, 9–56, 103
elektrostatisches Potential, 26–34, 55
kontinuierliche Ladungsverteilung,
55
Emitter, 73
EMK, 68–69, 121, 122, 132
Energie
elektrisches Feld, 40–43
Magnetfeld, 149–150
potentiell, 55
Energiedichte des elektrischen Feldes,
40, 56
Energiefluss, 187–188
ε0 Permittivität des Vakuums, 11, 53
Eulersche Winkel, 289–290
Fakultät, 241
Faraday
314
Induktionsgesetz
differentiell, 121–124
integral, 121–124
Michael, 14
Faradaysches Induktionsgesetz, 117–
149
Feld
elektrisch, 12–16, 54
magnetisch, 87
Feldlinien, 14
elektrisch, 54
Feldstärke
magnetisch, 87–90
Ferromagnet, 164
Ferromagnetismus, 151, 162–166
Flächenladungsdichte, 41–43
Fluss, 60
elektrisch, 54
magnetisch, 118–121
Fluss des elektrischen Feldes, 17
Fluss des Vektorfeldes, 17
Formel von Laplace, 105
Frequenz
Skineffekt, 149
Fresnelsche Formeln
p-Polarisation, 208, 209
Fresnelschen Formeln, 198
Funkeninduktor, 129
Galilei-Transformation, 178
Gauss
Gesetz, 47
Gauss, K.F., 254
Gausssches Gesetz, 16–19, 54
Gegeninduktivitäten, 129
Gesetz
Clausius und Mosotti, 48–50
Clausius-Mosotti, 49
Coulomb, 10–12, 54
Gauss, 16–19, 47, 54
Kirchhoff, 132–133
Ohm, 63–68
Gesetz von Biot-Savart, 90–95, 105
Gleichung
Poisson, 55
Gleichungen
Maxwell, 171–176
Gradient, 248–249
Graphit, 63
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315
Green, G., 254
H-Feld, 87
Hall-Effekt, 107–108
Hallspannung, 107, 108
Hauptschlussmotor, 141
Helmholtzspulen, 88
Hohlleiter, 186
Hysterese, 165
i Stromdichte, 61
Impedanzen, 133–137
Induktion, 117
magnetisch, 87–90
Induktionsgesetz, 147
Faraday, 117–149
differentiell, 121–124
itegral, 121–124
universell, 123
Induktionskonstante, 88
induktiver Widerstand, 135, 234
Induktivität
Selbst-, 128
induzierte Spannung, 124, 131, 134
Inertialsystem, 83
Influenz, 26, 38
Influenzladung, 26
Inhomogenes Magnetfeld, 151–152
Integrale
bestimmt, 259–260
Rechenverfahren, 258
unbestimmt, 259
variable obere Grenze, 259–260
Integration, 257–258
Intensität, 194–197, 199, 205, 214, 215,
218
Joulsche Wärme, 68–69
Kapazität, 35–39, 55
kapazitiver Widerstand, 234
Kartesische Koordinaten, 265–267
Kern, 43
Kernladungszahl, 43
Kirchhoffsche Gesetze, 132–133
Klebestreifen, 23
Knotenregel, 132
Koaxialkabel, 186
Kollektor, 73
Kollektor-Kennlinienfeld, 78
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Index
Kommutator, 138
Kondensator, 72
Reihenschaltung, 39
Kondensatoren, 38
Parallelschaltung, 38
Kontinuitätsgleichung, 58–62
Koordinaten
kartesich, 265–267
sphärisch, 265–267
zylindrisch, 265–267
Koordinatensystem, 289
Kraft, 11
Biot
Savart, 91
Kraftgesetz der Elektrodynamik, 90
Lösung, allgemein
Wellengleichung, 179–181
Ladung, 9–16, 18–21, 23, 25–31, 35–
37, 39, 40, 43, 45, 46, 49, 50,
52, 54, 57, 59, 64, 68, 69, 81–
84, 86–90, 95, 109, 111, 114,
157, 163, 171, 184, 185, 189,
190, 291, 295, 296
elektrisch, 10–12
magnetisch, 102
Proton, 83
Ladungsdichte, 22
Ladungserhaltung, 61, 83
Ladungsinvarianz, 83
relativistisch, 83
Ladungsmenge, 59
Ladungsträger, 57, 59, 60, 65
Ladungstransport, 57
Ladungsverteilung
kontinuierlich, 54
Landé-Faktor, 160
Langevin-Funktion, 162
Laplace
Formel, 105
Larmor
Satz, 152–155
Larmorfrequenz, 155
Larmorwinkelgeschwindigkeit, 154
Lecher-Leitung, 181
Lecherleitungen, 186
Leiter, 54
elektrische Felder, 19–26
Leiterschleife
315
Index
316
bewegt, 117–118
Leitfähigkeit, 63
Skineffekt, 149
Leitwert, 63
Lenzsche Regel, 119
Lichtenberg, G.C. 1742–1799, 10
Lichtstrahlen, 193
Linienintegral, 260–261
Lorentz-Beziehung, 49, 56
Lorentz-Kraft, 88
Lorentz-Transformation, 87, 178
B, 108–112
E, 108–112
EMK, 121
Lorentzeichung, 103
Lorentzkraft, 81–82, 108, 119, 123
Magnetfeld, 81–82
Eigenschaften, 87–107
Energie, 149–150
inhomogen, 151–152
Quellenfreiheit, 99–102
zeitlich veränderlich, 117–166
Magnetische Eigenschaften der Materie, 151–166
magnetische Feldstärke, 87–90
magnetische Flussdichte, 89
magnetische Induktion, 87–90
Magnetische Kraft
Berechnung, 82–87
magnetischer Fluss, 118–121
magnetisches Feld, 87, 89
Magnetisches Moment, 94
Elektronen, 159–160
Magnetisierung, 158–159
Maschenregel, 132
Materie
elektrische Eigenschaften, 43–53
magnetische Eigenschaften, 151–
166
Magnetisierung, 158–159
Mathematik, 235–245
Maxwell
Gleichungen, 171–176
Maxwell, James Clerk, 171
Maxwellsche Gleichungen, 171–176
Maxwellsche Verschiebungsstromdichte, 171
Maxwellspannung, 41, 56
316
mechanische Spannung, 40
Millikan, 12
Moment
magnetisch, 94
Elektronen, 159–160
Mosotti, 48–50
Motor, 94
∇ Nabla-Operator, 254, 255
Nabla-Operator, 254, 255
Nebenschlussmotor, 140
Oberfläche, 203
Oberflächenladungsdichte, 41
Oberflächennormalen, 203
Ohmscher Leiter, 63
ohmscher Widerstand, 131
Ohmsches Gesetz, 63–68
Optik , 178
optisch aktive Substanz, 197
Orientierung
k, E und B, 180
Orientierungspolarisation, 46
p Dipolmoment, 19
p-Polarisation, 198, 214, 215, 218
p-polarisiert, 199
Parallelschaltung, 38
Kondensatoren, 38, 55
Paramagnetismus, 151, 160–162
Permeabilität
Skineffekt, 149
Vakuum, 87
Permittivität, 48
Vakuum, 11, 53
Φ Fluss, 17
ϕ Potential, 28
Pointingvektor, 203
Poisson-Gleichung, 34–35, 55
Poissongleichung, 34, 35
Polarisation, 48
p, 214, 215, 218
s, 203–206, 214, 215, 218
Polarisationsfilter, 198
Polarisator, 196, 197
Polarisierbarkeit, 48
atomar, 44
Potential
elektrostatisch, 26–34, 55
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317
kontinuierlich, 55
Stetigkeit, 48, 56
potentielle Energie, 55
Poynting-Vektor, 187–188
Produkte mit Vektoren, 245
Protonen, 43
Punktladung, 11
Quantenelektrodynamik, 160
Quantenfeldtheorie, 103
Quantenmechanik, 103
Quellen, 18
Quellenfreiheit des Magnetfeldes, 99–
102
RC-Stromkreise, 70–72
Rechte-Hand-Regel, 119, 120
Reflexion, 198, 205, 220
Regel
Lenz, 119
Reihen, 238–239
Reihenschaltung, 39
Kondensatoren, 39, 55
Relativitätstheorie, 82, 103, 190
retardierte Zeit, 191
ρel elektrische Ladungsdichte, 13
Rotation, 251–252
Rotor, 138
s-Polarisation, 198, 203–206, 214, 215,
218
s-polarisiert, 199
Satz von Gauss, 254
Satz von Green, 254
Satz von Larmor, 152–155
Satz von Stokes, 254
Schaltungen, 72–81
Schiefwinkliges Dreieck, 281–282
Schwingkreis, 136, 137
elektrisch, 137
gedämpft, 137
Selbstinduktion, 120
Selbstinduktivität, 128, 129
Serienschaltung, 39
SI-System, 87, 89
Signalfilterung, 137
Skineffekt, 146–149
Frequenz, 149
Spannung, 28, 29, 37, 39, 40, 42, 45,
51, 52, 55, 58, 68, 70, 74–80,
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Index
107, 108, 119, 120, 131, 133–
136, 139, 163, 233
induziert, 124, 131, 134
mechanisch, 40
Spannungsquelle, 70
Sperrrichtung, 75
spezifischer Widerstand, 64, 124, 231
Sphärische Koordinaten, 265–267
Spiegelsymmetrie, 22
Spin, 159
Elektronen, 159–160
Spule, 119
unendlich lang, 126–128
Stator, 138
Stehende Wellen, 187
Stetigkeit, 47–48
dielektrische Verschiebung, 47, 56
elektrisches Feld, 47, 56
Potential, 48, 56
Stokes, G. G., 254
Strahlungsfeld, 191
Strom, 58–60, 62, 68, 75–79, 81, 83,
86, 88, 89, 94, 95, 97–99, 104–
108, 112, 118–120, 124, 126–
131, 133, 135, 136, 139, 141,
142, 146, 152, 157, 159, 163
elektrisch, 58
makroskopisch, 112
Stromdichte, 59, 61
Stromdichtefeld, 60
Stromkreise, 70–72
Stromverteilung
Magnetfeld, 102–107
Suszeptibilität
dielektrisch, 56
Symmetrieüberlegungen, 22
Taylorreihe, 238–239
Tensor, 35, 63, 188, 228, 232, 233
Transformator, 128–132
Translationsinvarianz, 22
Umrechnung
kartesisch zu sphärisch, 266
kartesisch zu zylindrisch, 266
sphärisch zu kartesisch, 266
sphärisch zu zylindrisch, 267
zylindrisch zu kartesisch, 267
zylindrisch zu sphärisch, 267
317
Index
318
Vakuum, 177, 178
Vakuumpermittivität, 195
van de Graaff-Generator, 68
Vektoren, 242–245
Ableitung, 246–252
Vektorprodukt, 245
Vektorfeld, 11, 59, 103, 113, 176, 229,
250
Stromdichte, 61
Vektoridentitäten, 245–254
Vektorpotential, 102–106, 115
Vektorprodukt, 245
Verschiebung
dielektrisch, 17
Verschiebungspolarisation, 47
Verschiebungsstrom , 117
Vierervektor, 86
Volumen, 245
Weber, 118
Wechselspannungsquelle, 137
Wechselstromkreise, 133–137
Wellen
Doppelleiter, 181–185
elektromagnetisch, 177–222
Raum, 189–192
stehend, 187
Wellengleichung, 177–179
allgemeine Lösung, 179–181
Vakuum, 177–179
Wellenvektor, 193
Wellenwiderstand, 185–186
Wellenzahl, 193
Wideroe-Bedingung, 145
Widerstand, 63, 66–70, 72–74, 76–80,
118, 120, 133, 137, 147, 149,
182, 185, 186, 231, 233
induktiv, 135, 234
kapazitiv, 234
ohmsch, 131
spezifisch, 64, 124, 231
Winkel
Euler, 289–290
Wirbelstrom, 124–126
zeitlich veränderliche Magnetfelder, 117–
166
Zylinderkoordinaten, 265–267
318
©2005-2017 Ulm University, Othmar Marti,