Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE - Peter Müller

Physik-Department LS für Funktionelle Materialien
WS 2014/15
Übungen zu Experimentalphysik 1 für MSE
Prof. Dr. Peter Müller-Buschbaum, Dr. Volker Körstgens, Daniel Moseguí González,
Pascal Neibecker, Nitin Saxena, Johannes Schlipf
Vorlesung 17.12.2014, Übungen 22.12.2014 und 07.01.2015
Blatt 11
1. U-Rohr
L
Wir betrachten eine reibungsfreie Flüssigkeitssäule in
cher Höhe so ist das System im Gleichgewicht. Ist
eine rücktreibende Gewichtskraft F. Hierbei sei L =
kg
A = 35,0 cm2 die Querschnittsfläche und ρ = 1,00 dm3
einem U-Rohr. Sind beide Enden auf gleidie Säule um y verschoben, so entsteht
85,0 cm die Länge der Flüssigkeitssäule,
die Dichte der Flüssigkeit (Wasser).
a) Geben Sie die Formel für die Rückstellkraft F an.
rücktreibende Kraft = Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule mit der Höhe 2y
F = −ρ · V (Säule mit Höhe 2y) · g = −ρ · A · 2y · g
b) Stellen Sie eine Differentialgleichung auf, die die Bewegung beschreibt. Um welche Art von
Bewegung handelt es sich?
Mÿ = −2ρAyg (Newton)
mit M = Masse der kompletten Flüssigkeit, also M = ρAL
=⇒
=⇒
ÿ +
ρALÿ + 2ρAyg = 0
2g
y = 0 (Schwingungsgleichung, Form: ÿ + ω02 y = 0)
L
c) Lösen Sie die Differentialgleichung unter der Voraussetzung, dass bei t = 0 die Wassersäule
um y = 10,0 cm ausgelenkt ist und dass dies gleichzeitig auch die maximale Auslenkung ist.
Wir kennen die Lösung dieser DGL bereits:
(√
y(t) = y0 cos(ω0 t + φ0 ) = y0 cos
2g
· t + φ0
L
)
haben Anfangsbedingungen y(0) = 0,1 m und ẏ(0) = 0
(√
)
√
2g
2g
ẏ(t) = −y0
· sin
· t + φ0
L
L
√
2g
0 = ẏ(0) = −y0
sin( φ0 ), wähle φ0 = 0
| {z L}
̸ =0
=⇒
0,1 m = y(0) = y0
√

)
(√
(
)
m
2
·
9,81
1
2g
s2
· t = 0,1 m · cos 
· t = 0,1 m · cos 4,8 · t
y(t) = 0,1 m · cos
L
0,85 m
s
d) Wie groß müsste die Fadenlänge eines mathematischen Pendels sein, das die gleiche
Schwingungsfrequenz hat wie unser U-Rohr?
√
g
aus Vorlesung: ω Fadenpendel = l
√
g
=
l
√
2g
L
=⇒
l=
L
2
Es müsste eine Fadenlänge von 42,5 cm haben.
e) Was würde sich ändern wenn wir eine andere Flüssigkeit mit einer dreimal so hohen Dichte
einfüllen würden?
Nichts, da die Dichte in der Bewegungsgleichung nicht vorkommt.
2
2. Brückenversuch
Nach ihrer Fertigstellung unterzogen die Bauingenieure die neue Brücke über die Hamburger
Norder-Elbe einem Großversuch. Unter der Last eines in der Mitte der Brücke zu diesem Zweck
angehängten Gewichts von m = 100 t bog sich die Brücke den Messungen zufolge um 5,0 cm
durch. Als schließlich die Verbindung der Brücke mit dem Gewicht schlagartig gelöst wurde, geriet die Brücke wie erwartet in Schwingungen, die viele Sekunden andauerten. Die Frequenz der
Schwingung betrug f = 0,62 Hz. Ein Beobachter, der sich mitten auf der Brücke befand, berichtete, er habe das Gefühl gehabt, die Brücke habe sich um ca. einen Meter gehoben und gesenkt.
a) Wie groß war die Amplitude, mit der sich der Augenzeuge bewegt hat in Wirklichkeit? Wie
groß war seine maximale Geschwindigkeit?
m = 100 t; x0 = −0,05 m
x (t) = x0 cos(ωt) = x0 cos(2π f t)
(da zum Zeitpunkt t = 0 gilt: x (0) = −0,05 m und ẋ (0) = 0)
=⇒ Amplitude der Bewegung des Augenzeugen ebenfalls 0,05 m
ẋ (t) = −2π f xc sin(2π f t)
=⇒ maximale Geschwindigkeit vmax = −2π f x0 = −2π · 0,62 1s · −0,05 m = 0,19 ms
b) Bei welcher Auslenkung erfuhr obiger Beobachter die maximale Beschleunigung und wie
groß war diese?
ẍ (t) = −4π 2 f 2 x0 cos(2π f t)
wird maximal für cos(2π f t) = 1, also z.B. für t = 0
(
)2
maximale Beschleunigung amax = −4π 2 f 2 x0 = −4π 2 0,62 1s · −0,05 m = 0,76 m
s2
c) Um wie viel Prozent scheint sich sein Gewicht während einer solchen Schwingungsbewegung
zu ändern?
m
m
, amin = −0,76 2
s2
s
Dies entspricht etwa (±)7,7% des Ortsfaktors und damit einer gefühlten Gewichtsänderung von 15,4%.
amax = 0,76
3
d) Wie groß ist die Energie, die mit der beschriebenen Schwingbewegung der Brücke verbunden
ist?
„Federkonstante“ D der Brücke über Ausgangssituation
D=
F
mg
=
x0
x0
Betrachte Punkt der maximalen potentiellen Energie. An dem gilt:
Emax = E pot =
1
1 2
1
N
Dx0 = mgx0 = · 100 · 103 kg · 9,81
· 0,05 m = 2,5 · 104 J
2
2
2
kg
e) Ein Steinchen der Masse 2,0 g liegt neben dem Beobachter. Bleibt dieses Steinchen am
Boden liegen? Und wenn nicht, wie hoch wird es im Vergleich zur unausgelenkten Brücke
geschleudert?
amax und amin gelten für das Steinchen genauso. Da | amin | < | g| ist, bleibt das
Steinchen am Boden liegen.
4
3. Überlagerung harmonischer Schwingungen
In der Vorlesung haben Sie die allgemeine Lösung der Schwingungsgleichung kennengelernt. Sie
lautet
y(t) = c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt).
Dies kann auch als eine Überlagerung zweier harmonischer Schwingungen gleicher Frequenz
aufgefasst werden. Das Ergebnis ist wieder eine harmonische Schwingung gleicher Frequenz
und kann geschrieben werden als
y(t) = cneu sin(ωt + φneu ).
a) Leiten Sie allgemein cneu und φneu als Funktionen von c1 und c2 her. Verwenden Sie dazu die
vektorielle Darstellung im Zeigerdiagramm.
⃗c1 ist Vektordarstellung der Funktion c1 sin(ωt), ⃗c2 analog
|⃗c1 | = c1 , |⃗c2 | = c2
(
)
(
)
c1 cos(ωt)
−c2 sin(ωt)
⃗c1 =
⃗c2 =
c1 sin(ωt)
c2 cos(ωt)
(
)
c1 cos(ωt) − c2 sin(ωt)
⃗c1 +⃗c2 =
= ⃗cneu
c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt)
5
√
c21 cos2 (ωt) + c22 sin2 (ωt) − 2c1 c2 cos(ωt) sin(ωt)
√
+c21 sin2 (ωt) + c22 cos(ωt) + 2c1 c2 sin(ωt) cos(ωt) = c21 + c22
cneu = |⃗cneu | =
(Unter Benutzung von cos2 α + sin2 α = 1)
Berechnung von φneu :
(
)
c2
=⇒ φneu = arctan
tan φneu
c1
(
( ))
√
c2
2
2
y(t) = c1 sin(ωt) + c2 cos(ωt) = c1 + c2 · sin ωt + arctan
c1
c2
=
c1
=⇒
b) Wir betrachten zwei sich überlagernde harmonische Schwingungen y1 (t) = 3,0 · cos( π3 t) und
y2 (t) = 4,0 · sin( π3 t). Geben Sie die Überlagerung in der Form y(t) = cneu sin(ωt + φneu ) an.
√
cneu = 32 + 42 = 5,0
( )
3
≈ 0,64
φneu = arctan
4
π
=⇒ y(t) = 5,0 · sin( t + 0,64)
3
c1 = 4, c2 = 3
=⇒
6