Lineare Algebra I - Daniel Roggenkamp

Lineare Algebra I
Daniel Roggenkamp
Universität Mannheim, HS 2016
Version vom 2. September 2016, Kapitel 1-3
Korrekturen/Anmerkungen an [email protected]
2
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Mengen und Abbildungen
1.1 Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Äquivalenzrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
6
10
2 Gruppen
2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Untergruppen und Gruppenhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Die Symmetrische Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
16
3 Körper
3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Unterkörper und Körperhomomorphismen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Die komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
21
22
4 Vektorräume
25
5 Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
25
6 Determinanten
25
7 Eigenvektoren und Eigenwerte
25
8 Euklidische Vektorräume
25
Anhang A Notationen und Symbole
25
1 Mengen und Abbildungen
1
3
Mengen und Abbildungen
1.1
Mengen
In diesem Kapitel werden zunächst einige Grundbegri↵e der Mengenlehre diskutiert, die für
die lineare Algebra relevant sind. Dabei wird auf eine axiomatische und formale Einführung
verzichtet.
• Eine Menge ist eine Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem neuen
Objekt. Man kann sie z.B. durch Aufzählung definieren:
M = {1, 5, 7} ,
M = {1, 2, 3, . . . , 10} ,
M = {1, 7, {2, 3}} .
• Eine Menge kann auch aus unendlich vielen Objekten bestehen. Wichtige unendliche Mengen sind z.B. die Menge der natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .} ,
die Menge der natürlichen Zahlen mit 0
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .} ,
oder die Menge der ganzen Zahlen
Z = {0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, . . .} .
• Die Anzahl der Elemente einer Menge M wird Ordnung genannt und als |M | geschrieben.
• Gehört ein Objekt x zu einer Menge M , so sagen wir auch ‘x ist in M enthalten’, oder
auch ‘x ist Element von M ’, und schreiben x 2 M . Anderenfalls schreiben wir x 2
/ M.
So gilt z.B.
1 2 Z , aber 1 2
/ N.
• Zwei Mengen sind gleich, M = N genau dann wenn die Aussagen x 2 M und x 2 N
äquivalent sind (x 2 M , x 2 N ), anderenfalls sind sie ungleich, M 6= N .
• Die leere Menge ; = {} ist die Menge zu der kein Objekt gehört, d.h. x 2
/ ; für alle
Objekte x.
• Es ist auch möglich, Mengen durch Charakterisierung ihrer Elemente zu definieren. So
kann man häufig die Menge all derjeniger Objekte bilden, die eine Eigenschaft E besitzen:
M = {x | x hat die Eigenschaft E} ,
d.h. x ist genau dann Element von M , wenn x die Eigenschaft E besitzt. Zum Beispiel
M = {x | x ist eine gerade natürliche Zahl} = {2, 4, 6, . . .} .
4
1.1 Mengen
Abbildung 1: Mengenoperationen am Beispiel von Teilmengen des R2 .
Achtung - das geht nicht immer: betrachte z.B.
M = {x | x ist eine Menge und x 2
/ x} .
Würde M existieren, so würde dies zu einem Widerspruch führen, denn für eine Menge x
würde nach der Definition von M gelten
x2M ,x2
/ x.
Angewendet auf x = M würde das bedeuten
M 2M ,M 2
/M,
.
Das nennt man die Russelsche Antinomie.
Definition 1.1.
(1) Eine Menge M ist Teilmenge (oder auch Untermenge) einer Menge N , falls für alle
x 2 M auch gilt x 2 N . Dann schreiben wir M ✓ N oder N ◆ M . N nennt man dann
auch Obermenge von M .
(2) Ist darüberhinaus außerdem M 6= N , so nennt man M echte Teilmenge von N und
schreibt M ⇢ N , bzw. N M .
Bemerkung 1.2.
(1) Aus A ✓ B und B ✓ C folgt A ✓ C.
(2) Aus A ✓ B und B ✓ A folgt A = B.
Beweis. (1) Sei A ✓ B und B ✓ C. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B und daraus wiederum
x 2 C. Also ist A ✓ C.
(2) Sei A ✓ B und B ✓ A. Dann folgt aus x 2 A auch x 2 B, und umgekehrt folgt aus
x 2 B auch x 2 A. Die Aussagen x 2 A und x 2 B sind somit äquivalent, x 2 A , x 2 B,
und daher A = B.
Definition 1.3. Für zwei Mengen M und N definieren wir die folgenden Mengen:
(1) den Durchschnitt M \ N := {x | x 2 M ^ x 2 N },
(2) die Vereinigung M [ N := {x | x 2 M _ x 2 N } und
(3) die Di↵erenz M \ N := {x | x 2 M ^ x 2
/ N }.
1 Mengen und Abbildungen
Die Di↵erenz wird auch das Komplement von N in M genannt, und auch als M
geschrieben. (Vgl. Abbildung 1.)
5
N
Definition 1.4. Zwei Mengen M und N nennt man disjunkt, falls ihr Durchschnitt leer
ist, M \ N = ;.
Bemerkung 1.5. Für Mengen M und N gilt:
(1) M \ N ✓ M ✓ M [ N und genauso M \ N ✓ N ✓ M [ N
(2) M \ N ✓ M
(3) (M \ N ) \ N = ;
(4) M \ N = ; , M ✓ N
(5) M [ N = ; , (M = ; ^ N = ;)
Beweis. (1) Aus x 2 M \ N folgt x 2 M ^ x 2 N . Daraus folgt insbesondere x 2 M .
Damit ist die erste Gleichung in (1) gezeigt. Für die zweite Gleichung bemerkt man, dass
aus x 2 M auch folgt x 2 M _ x 2 N . Den zweiten Teil beweist man analog.
(2) Sei x 2 M \ N . Das bedeutet x 2 M ^ x 2
/ N , woraus aber insbesondere folgt x 2 M .
(3) Nehme an, es gibt ein x 2 (M \ N ) \ N . Dann gilt x 2 M \ N und x 2 N . Aber aus
x 2 M \ N folgt insbesondere x 2
/ N . Aber x 2 N ^ x 2
/ N ist ein Widerspruch, . Es kann
ein solches x also nicht geben, daher ist (M \ N ) \ N = ;.
(4) Sei M \ N = ;. Daraus folgt, dass es kein x 2 M gibt mit x 2
/ N . Daher folgt aus x 2 M
auch x 2 N , und M ✓ N . Sei umgekehrt M ✓ N , d.h. aus x 2 M folgt x 2 N . Es gibt also
kein x 2 M mit x 2
/ N , und daher ist M \ N = ;.
(5) Falls M [ N = ; folgt aus (1) sofort, dass M ⇢ ; ist. Daher M = ;. Gleiches gilt für die
Menge N . Daraus folgt die Richtung “)”der Aussage. Für die andere Richung nehme an,
dass M [ N 6= ;. Das bedeutet, dass es ein x 2 M oder ein x 2 N geben muss. Es können
also nicht beide Mengen M und N leer sein. Das ist die Negation von M = ; ^ N = ;.
Bemerkung 1.6. Für Mengen M, N und O gilt:
(1) M \ N = N \ M und M [ N = N [ M
(2) (M \ N ) \ O = M \ (N \ O) und (M [ N ) [ O = M [ (N [ O)
(3) (M [ N ) \ O = (M \ O) [ (N \ O) und (M \ N ) [ O = (M [ O) \ (N [ O)
(4) (M \ N ) \ O = (M \ O) \ N = (M \ O) \ (N \ O)
(5) O \ (M \ N ) = (O \ M ) [ (O \ N ) und O \ (M [ N ) = (O \ M ) \ (O \ N )
Beweis. Exemplarisch wird die erste Gleichung von (5) gezeigt. Sei x 2 O \ (M \ N ). Dann
gilt x 2 O und x 2
/ M \ N , d.h. x 2
/ M oder x 2
/ N . Also x 2 O \ M oder x 2 O \ N . Daher
x 2 (O \ M ) [ (O \ N ). Es folgt O \ (M \ N ) ✓ (O \ M ) [ (O \ N ).
Sei andererseits x 2 (O \ M ) [ (O \ N ). Dann gilt x 2 (O \ M ) oder x 2 (O \ N ), also (x 2
O^x2
/ M ) _ (x 2 O ^ x 2
/ N ). Das ist gleichbedeutend mit (x 2 O) ^ (x 2
/M _x2
/ N ),
was wiederum gleichbedeutend ist mit (x 2 O) ^ (x 2
/ (M \ N )). Es folgt x 2 O \ (M \ N ).
Also (O \ M ) [ (O \ N ) ✓ O \ (M \ N ). Mit Hilfe von Bemerkung 1.2(2) folgt (5)
6
1.2 Abbildungen
Definition 1.7. Das Produkt zweier Mengen M und N ist definiert als die Menge
M ⇥ N = {(x, y) | x 2 M ^ y 2 N }
der geordneten Paare (x, y), x 2 M , y 2 N .
Beispiel 1.8. Sei I = [0, 1] = {x 2 R | 0  x  1} ⇢ R das
Intervall zwischen 0 und 1. Dann ist das Produkt I ⇥ I gerade
das Quadrat mit Eckpunkten (0, 0), (0, 1), (1, 1), (1, 0) in der
Ebene.
Bemerkung 1.9. Seien M, N and O Mengen. Dann gilt
(1) (M \ N ) ⇥ O = (M ⇥ O) \ (N ⇥ O)
(2) (M [ N ) ⇥ O = (M ⇥ O) [ (N ⇥ O)
(3) (M \ N ) ⇥ O = (M ⇥ O) \ (N ⇥ O)
Beweis. Zeige (1). (2) und (3) folgen analog. Sei x 2 (M \N )⇥O. Das ist äquivalent zu x =
(a, b) mit a 2 M \ N und b 2 O. Das wiederum ist äquivalent zu x 2 (M ⇥ O) \ (N ⇥ O).
Definition 1.10. Das Produkt von Mengen M1 , . . . , Mn ist definiert als die Menge
M1 ⇥ . . . ⇥ Mn = {(x1 , . . . , xn ) | x1 2 M1 , . . . , xn 2 Mn }
der geordneten n-Tupel (x1 , . . . , xn ), x1 2 M1 , . . . , xn 2 Mn .
Im Fall Mi = M für alle 1  i  n schreiben wir
Mn = M
. . ⇥ M} .
| ⇥ .{z
n Faktoren
1.2
Abbildungen
Um Beziehungen zwischen Mengen zu beschreiben verwendet man Abbildungen.
Definition 1.11. Eine Abbildung f von einer Menge M in eine Menge N ist eine Vorschrift,
die jedem Element m 2 M ein eindeutiges Element n = f (m) 2 N zuordnet. Man schreibt1
f :M !N,
m 7 ! f (m) .
Die Menge M nennt man den Definitionsbereich, die Menge N den Wertebereich der
Abbildung.
Beispiel 1.12.
1
Manchmal wird der Name der Abbildung auch über den Pfeil gesetzt:
f
M !N.
1 Mengen und Abbildungen
7
(1) Für jede nicht-leere Menge M gibt es die identische Abbildung idM : M ! M ,
m 7 ! m.
(2) Seien M und N zwei nicht-leere Mengen, und n0 2 N ein beliebiges Element in N .
Dann ist f : M ! N , m 7 ! n0 eine konstante Abbildung.
(3) Seien M1 und M2 zwei nicht-leere Mengen. Dann nennt man die Abbildungen
pr1 : M1 ⇥ M2
pr2 : M1 ⇥ M2
! M1 ,
! M1 ,
(m1 , m2 ) 7 ! m1
(m1 , m2 ) 7 ! m2
und
die Projektionen auf die beiden Faktoren des Mengenprodukts M1 ⇥ M2 .
Beispiel 1.13. Abbildungen f : R ! R, x 7 ! f (x) werden auch Funktionen genannt.
(1) Zum Beispiel definieren die Vorschriften f (x) = x2 , oder f (x) = ex sin(x) Funktionen.
(2) Man kann auch andere Funktionen definieren:
⇢
⇢ 2
1, x 0
x , x2Q⇢R
f (x) =
, oder f (x) =
.
0, x < 0
0, x 2
/Q
(3) Beachten Sie, dass f auf dem gesamten Definitionsbereich definiert sein muss. So definiert die Vorschrift f (x) = x1 keine Abbildung f : R ! R, da sie in 0 2 R nicht
wohldefiniert ist. Sie definiert aber sehr wohl eine Abbildung f : R \ {0} ! R.
(4) Allgemeiner werden auch Abbildungen von Rn ! R Funktionen genannt. Ein Beispiel
einer solchen Funktion ist die Additition
R2 ! R , (x, y) 7 ! x + y .
Definition 1.14. Zwei Abbildungen f : M ! N und g : M ! N sind gleich, geschrieben
als f = g, falls f (m) = g(m) für alle m 2 M . Die Menge aller Abbildungen f : M ! N
wird mit Abb(M, N ) bezeichnet.
Abbildungen können auf Teilmengen des Definitionsbereiches eingeschränkt werden:
Definition 1.15. Seien M und N Mengen, f : M ! N eine Abbildung, und M 0 ⇢ M eine
Teilmenge. Die Einschränkung von f auf M 0 ist definiert durch2
f
M0
: M 0 ! N , m 7 ! f (m) .
Genauso kann man den Bildbereich einer Funktion ausdehnen: für f : M ! N und
e , so ist die Ausdehnung von f auf N
e die Abbildung M ! N
e , m 7 ! f (m). Man
N ⇢N
gibt dieser Abbildung typischerweise keinen neuen Namen, sondern bezeichnet sie einfach
e.
als f : M ! N
2
In der Tat kann man die Einschränkung auf M 0 auch als eine Abbildung
M0
: Abb(M, N ) ! Abb(M 0 , N ) , f 7 ! f
zwischen Mengen von Abbildungen au↵assen.
M0
8
1.2 Abbildungen
Definition 1.16. Sei f : M ! N eine Abbildung zwischen den Mengen M und N , und
seien M 0 ✓ M und N 0 ✓ N Teilmengen von M und N . Dann definiert man
(1) das Bild von M 0 als f (M 0 ) := {f (m) | m 2 M 0 } ✓ N , und
(2) das Urbild von N 0 als f 1 (N 0 ) := {m 2 M | f (m) 2 N 0 } ✓ M .
Das Urbild eines Elements n 2 N definiert man als f 1 (n) := f 1 ({n}).
Bemerkung 1.17.
(1) Es gilt f 1 (N ) = M , aber im allgemeinen nicht f (M ) = N .
(2) Es gilt ferner f (M 0 ) ✓ N 0 , M 0 ✓ f 1 (N 0 ), und damit insbesondere auch
(3) M 0 ✓ f 1 (f (M 0 )) und f (f 1 (N 0 )) ✓ N 0 .
Beweis. (2) Sei f (M 0 ) ✓ N 0 . Daraus folgt, dass f (m) 2 N 0 für alle m 2 M 0 , also M 0 ✓
f 1 (N 0 ). Sei andererseits M 0 ✓ f 1 (N 0 ). Dann folgt, dass f (m) 2 N 0 für alle m 2 M 0 , und
damit f (M 0 ) ✓ N 0 . Damit ist die Äquivalenz gezeigt. Für (3) setzt man nun in (2) einfach
N 0 = f (M 0 ), bzw. M 0 = f 1 (N 0 ) ein.
Wichtige Eigenschaften von Abbildungen sind:
Definition 1.18. Eine Abbildung f : M ! N heißt
(1) injektiv, falls für alle n 2 N f 1 (n) höchstens ein Element enthält,
(2) surjektiv, falls f (M ) = N und
(3) bijketiv, falls f sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Bemerkung 1.19.
(1) f ist injektiv, genau dann wenn aus f (m) = f (m0 ) für m, m0 2 M folgt m = m0 .
(2) f ist surjektiv, genau dann wenn es zu jedem n 2 N ein m 2 M gibt mit f (m) = n.
(3) f ist bijektiv, genau dann wenn es zu jedem n 2 N genau ein m 2 M gibt mit
f (m) = n. D.h. f 1 (n) besteht für alle n 2 N genau aus einem Element. In diesem
Fall kann man die Umkehrabbildung f 1 : N ! M definieren als die Abbildung
n 7 ! m, die n das eindeutige m 2 M zuordnet, für das gilt f (m) = n. (Hierbei ist
zu beachten, dass das Symbol f 1 in zwei verschiedenen Weisen verwendet wird, zum
einen als Urbild, zum anderen als Umkehrfunktion.)
Beweis. Der Beweis folgt direkt aus den Definitionen.
Definition 1.20. Seien f : M ! N und g : N ! O zwei Abbildungen. Die Abbildung
g f : M ! O , m 7 ! g(f (m))
heißt Komposition oder auch Hintereinanderschaltung von f und g. Als Diagramm:
g f
M
/
g
f
N
>O
.
1 Mengen und Abbildungen
9
Bemerkung 1.21. Die Komposition zweier injektiver (bzw. surjektiver oder bijektiver)
Abbildung ist wieder injektiv (bzw. surjektiv oder bijektiv).
Beweis. Seien f : M ! N und g : N ! O Abbildungen. Nehme an, beide sind injektiv.
Falls nun (g f )(m) = (g f )(m0 ) für m, m0 2 M gilt. Dann folgt g(f (m)) = g(f (m0 )). Nun
ist g injektiv, nach Bemerkung 1.19 bedeutet dies f (m) = f (m0 ). Da aber auch f injektiv
ist, folgt m = m0 . Also ist auch g f injektiv.
Betrachte nun den Fall, dass sowohl f als auch g surjektiv sind. Aus der Surjektivität von
g folgt, dass es für alle o 2 O ein n 2 N gibt mit g(n) = o. Da auch f surjektiv ist, gibt es
wiederum ein m 2 M mit f (m) = n, also (g f )(m) = o. Also ist auch g f surjektiv.
Der Fall der Bijektivität folgt aus den beiden anderen.
Bemerkung 1.22. Die Komposition von Abbildung ist assoziativ, d.h. für Abbildungen
f : M ! N , g : N ! O und h : O ! P gilt
(h g) f = h (g f ) .
Beweis. Das ist einfach zu sehen: für m 2 M gilt
((h g) f )(m) = (h g)(f (m)) = h(g(f (m))) = h((g f )(m)) = (h (g f ))(m) .
Man kann also die Klammern beim Komponieren von Abbildungen weglassen, und schreibt,
z.B. für Abbildungen f : M ! M auch f n := f . . . f .
| {z }
n mal
Bemerkung 1.23. Sei f : M ! N . Dann gilt
(1) f idM = f = idN f .
(2) Ist f bijektiv, so gilt f 1 f = idM und f f
1
= idN .
Beweis. Der Beweis ist eine direkte Konsequenz aus den Definitionen.
Lemma 1.24. Sei f : M ! N eine Abbildung zwischen nicht-leeren Mengen M und N .
Dann gilt
(1) f ist genau dann injektiv, falls es eine Abbildung g : N ! M gibt, so dass g f = idM .
(g ist linksinvers zu f .)
(2) f ist genau dann surjektiv, falls es eine Abbildung g : N ! M gibt, so dass f g = idN .
(g ist rechtsinvers zu f .)
(3) f ist genau dann bijektiv, falls es eine Abbildung g : N ! M gibt, so dass g f = idM
und f g = idN . In diesem Fall ist g = f 1 . (g ist die Umkehrfunktion von f .)
Beweis. (1) Sei f injektiv. Dann gibt es zu jedem n 2 f (M ) genau ein m 2 M mit f (m) = n.
Definiere g(n) := m. Für alle n 2 N \ f (M ) definiere g(n) := m0 , wobei m0 2 M ein beliebig
gewähltes Element ist. Auf diese Weise erhält man eine Abbildung g mit g f = idM .
10
1.3 Äquivalenzrelationen
Sei umgekehrt eine Abbildung g : N ! M gegeben, mit g f = idM . Falls dann f (m) =
f (m0 ) für m, m0 2 M , so folgt m = (g f )(m) = g(f (m)) = g(f (m0 )) = (g f )(m0 ) = m0 .
Nach Bemerkung 1.19 ist daher f injektiv.
(2) Sei g surjektiv. Dann ist für alle n 2 N das Urbild f 1 (n) 6= ;. Wähle nun für jedes n
ein m 2 f 1 (n) aus3 , und definiere die Abbildung g : N ! M durch g(n) := m. Dann gilt
f g = idN .
Gibt es umgekehrt eine Abbildung g : N ! M mit f g = idN , dann gilt für alle n 2 N
(f g)(n) = f (g(n)) = n, und f ist surjektiv.
(3) Falls f bijektiv ist, so erfüllt die Umkehrabbildung f 1 =: g die beiden Relationen. Gibt
es umgekehrt ein g : N ! M , so dass die beiden Relationen erfüllt sind, so ist f nach (1)
und (2) bijektiv.
1.3
Äquivalenzrelationen
Eine Relation setzt Elemente einer gegebenen Menge M in Beziehung zueinander. Man
schreibt m ⇠ n, falls m, n 2 M in dieser Beziehung stehen.
Beispiel 1.25.
(1) Für M = R kann man die Relation x ⇠ y :, x < y definieren.
(2) Für M = Z kann man die Relation x ⇠ y :, (x y) ist gerade definieren.
Definition 1.26. Eine Relation auf einer Menge M ist eine Teilmenge R ⇢ M ⇥ M :
m ⇠ n :, (m, n) 2 R .
Definition 1.27. Eine Relation auf einer Menge M nennt man Äquivalenzrelation, wenn
für alle m, n, o 2 M gilt
(1) m ⇠ m
(reflexiv)
(2) m ⇠ n ) n ⇠ m
(symmetrisch)
(3) m ⇠ n und n ⇠ o ) m ⇠ o
(transitiv)
Elemente m ⇠ n in M nennt man dann äquivalent.
Definition 1.28. Sei M eine Menge mit einer Äquivalenzrelation ⇠. Für m 2 M definiere
die Äquivalenzklasse
[m] := {n 2 M | n ⇠ m} ✓ M .
Bemerkung 1.29. Äquivalenzklassen sind entweder disjunkt, oder identisch.
Beweis. Gegeben m, n 2 M . Falls o 2 ([m] \ [n]), so gilt o ⇠ m und o ⇠ n. Sei jetzt
p 2 [n] beliebig. Dann gilt auch p ⇠ n. Aus Reflexivität von ⇠ folgt nun n ⇠ o und wegen
Transitivität auch p ⇠ o und damit auch p ⇠ m. Daher ist p 2 [m]. Es folgt [n] ✓ [m]. Unter
Vertauschung der Rollen von m und n erhält man auf gleiche Art und Weise [m] ✓ [n], und
daher [m] = [n].
3
Dazu benötigt man das Auswahlaxiom.
1 Mengen und Abbildungen
11
Jedes m 2 M ist also in genau einer Äquivalenzklasse enthalten, und M zerfällt in eine
disjunkte Vereinigung von Äquivalenzklassen:
[
M=
[a] ,
[a]2M/⇠
wobei mit M/ ⇠ die Menge der Äquivalenzklassen, die sogenannte Quotientenmenge bezeichnet ist. Es gibt eine kanonische Abbildung
M ! M/⇠ , m 7 ! [m] .
Das Urbild einer Äquivalenzklasse unter dieser Abbildung ist gerade die Äquivalenzklasse
selber, aber aufgefaßt als Teilmenge von M .
Beispiel 1.30. Sei M = Z, und wähle außerdem eine natürliche Zahl p 2 N. Definiere die
Relation auf Z
x ⇠ y :, (x y) ist durch p teilbar .
Man überprüft leicht, dass dies eine Äquivalenzrelation ist. Die Äquivalenzklassen sind gegeben durch
[x] = {x + np | n 2 Z} .
In der Tat gilt [x] = [x + np] für alle n 2 Z, und daher gibt es genau p verschiedene
Äquivalenzklassen: [0], [1], . . . , [p 1], d.h.
Z/ ⇠= {[0], [1], . . . , [p
1]} .
Das kann man sich leicht wie in Abbildung 2 veranschaulichen. Diese Quotientenmenge, die
auch Z/pZ genannt wird, wird uns im nächsten Kapitel wieder begegnen. Die Äquivalenzklassen [n] werden auch Restklassen modulo p genannt.
..
.
2p
p
0
p
2p
..
.
..
.
2p + 1
p+1
1
p+1
2p + 1
..
.
..
.
2p + 2
p+2
2
p+2
2p + 2
..
.
..
.
...
...
...
...
...
3p 1
2p 1
p 1
1
p 1
..
.
[0]
[1]
[2]
...
[p
1]
Abbildung 2: Z/pZ: rot umrandet sind jeweils die Äquivalenzklassen.
12
2
2.1
Gruppen
Definition
Interessante mathematische Objekte können gewonnen werden, in dem man Mengen mit
zusätzlichen Strukturen versieht.
Definition 2.1. Eine Gruppe ist ein Paar (G, ·) bestehend aus einer Menge G zusammen
mit einer Abbildung · : G ⇥ G ! G, (g, h) 7 ! g · h, so dass die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
(G1) (g · h) · i = g · (h · i) für alle g, h, i 2 G
(Assoziativität)
(G2) es gibt ein e 2 G, so dass g · e = g für alle g 2 G
(rechts-neutrales Element)
(G3) für alle g 2 G gibt es ein g 0 2 G, so dass gg 0 = e
(rechts-Inverses)
Eine Gruppe heißt abelsch oder kommutativ, falls zusätzlich gilt
(G4) g · h = h · g, für alle g, h 2 G
(Kommutativität)
(Manchmal schreibt man auch gh für g · h.)
Beispiel 2.2.
(1) die reellen Zahlen mit der Addition (R, +) sind eine abelsche Gruppe:
die Addition ist assoziativ, (x + y) + z = x + (y + z), e = 0, und x 1 = x
(2) die reellen Zahlen ohne Null mit der Multiplikation (R \ {0}, ·) bilden eine abelsche
Gruppe: auch die Multiplikation ist assoziativ (xy)z = x(yz), e = 1, x 1 = x1
(3) genauso bilden die positiven reellen Zahlen mit der Multiplikation (R>0 , ·) eine abelsche
Gruppe
Satz
(1)
(2)
(3)
(4)
2.3.
Sei g 0 rechts-invers zu g 2 G. Dann gilt auch g 0 g = e, d.h. g 0 ist auch links-invers zu g.
Das rechts-neutrale Element e 2 G ist auch links-neutral, d.h. e · g = g für alle g 2 G.
Das neutrale Element ist eindeutig, d.h. falls gh = g so ist h = e.
Das Inverse g 0 zu g 2 G ist eindeutig, wir nennen es g 0 =: g 1 .
Beweis. (1) Nach (G3) gibt es ein rechts-Inverses g 00 von g 0 . Dann gilt das folgende:
(G3)
(G2)
(G3)
(G1)
(G3)
(G2)
e = g 0 g 00 = (g 0 e)g 00 = (g 0 (gg 0 ))g 00 = (g 0 g)(g 0 g 00 ) = (g 0 g)e = g 0 g .
(2) Dazu benutzt man (1), also dass g 0 sowohl rechts- als auch links-invers zu g ist.
(G3)
(G1)
(1)
(G2)
eg = (gg 0 )g = g(g 0 g) = ge = g .
(3) Sei h 2 G mit gh = g. Dann gilt
(2)
(1)
(G1)
(1)
h = eh = (g 0 g)h = g 0 (gh) = g 0 g = e .
(4) Sei h 2 G ein anderes rechts-inverses zu g, d.h. gh = e. Dann gilt
(2)
(1)
(G1)
h = eh = (g 0 g)h = g 0 (gh) = g 0 .
2 Gruppen
13
Beispiel 2.4. Betrachte die Quotientenmenge Z/pZ aus Beispiel 1.30. Zu zwei Äquivalenzklassen [m], [n] 2 Z/pZ definiere die Menge
[m] + [n] := {a + b | a 2 [m] , b 2 [n]} .
(2.1)
In der Tat ist dies wieder eine Äquivalenzklasse:
[m] + [n] = {m + kp + n + lp | k, l 2 Z} = {(m + n) + (k + l)p | k, l 2 Z}
= {(m + n) + rp | r 2 Z} = [m + n] .
Gleichung (2.1) definiert also eine Verknüfpung + : Z/pZ ⇥ Z/pZ ! Z/pZ, [m] + [n] 7!
[m + n] auf Z/pZ. Diese Verknüpfung ist assoziativ und kommutativ, e = [0] ist ein neutrales
Element, und [m] 1 = [ m] ist invers zu [m]. (Z/pZ, +) ist daher eine abelsche Gruppe.
Bemerkung 2.5. Die Menge Bij(X, X) der bijektiven Abbildungen X ! X einer nicht
leeren Menge X in sich selber zusammen mit der Komposition · = ist eine Gruppe. (Auf
diese Art kann man leicht interessante Gruppen konstruieren. Insbesondere werden wir in
Kapitel 2.3 auf diese Art die wichtigen symmetrischen Gruppen erhalten.)
Beweis. Zunächst stellt man fest, dass nach Bemerkung 1.19 die Komposition zweier bijektiver Abbildungen wieder bijektiv ist. ist daher wirklich eine Verknüpfung auf Bij(X, X).
Die Assoziativität der Komposition haben wir in Bemerkung 1.22 gezeigt. Das neutrale Element ist e = idX , und das Inverse einer bijektiven Abbildung f ist ihre Umkehrabbildung
f 0 = f 1 , vgl. Bemerkung 1.23.
2.2
Untergruppen und Gruppenhomomorphismen
In den Kapitel 1.1 und 1.2 wurden Untermengen und Abbildungen eingeführt, um Beziehungen zwischen Mengen beschreiben zu können. Für die Untersuchung von Relationen zwischen
Gruppen paßt man diese Begri↵e dahingehend an, dass sie mit der zusätzlichen Struktur der
Gruppen, d.h. der Gruppenverknüpfung · : G ⇥ G ! G kompatibel sind.
Definition 2.6. Eine Untergruppe ist eine nicht-leere Teilmenge H von G, so dass für alle
a, b 2 H folgt ab 1 2 H. Man schreibt H ⇢ G.
Bemerkung 2.7. In der Tat ist unter diesen Bedingungen H mit der von G geerbten
Verknüpfung selber eine Gruppe. Wählt man a = b so folgt direkt, dass e 2 H ist. Wählt
man nun a = e, so folgt, dass für alle b 2 H auch b 1 in H ist. Die Gruppenverknüpfung
bildet H ⇥ H nach H ab. Assoziativität folgt aus der Assoziativität der Verknüpfung auf G.
Beispiel 2.8.
(1) (Z, +) ⇢ (Q, +) ⇢ (R, +)
(2) Für p 2 N sei pZ = {pn | n 2 Z} die Menge der durch p teilbaren ganzen Zahlen. Dann
sieht man leicht, dass (pZ, +) ⇢ (Z, +) eine Untergruppe ist.
14
2.2 Untergruppen und Gruppenhomomorphismen
Satz 2.9. Alle Untergruppen H ⇢ Z sind von der Form pZ, p 2 N0 .
Beweis. Sei H ⇢ Z eine Untergruppe. Es gilt 0 2 H. Falls H = {0}, so ist H = pZ mit
p = 0. Falls andererseits H {0}, so enthält sie mindestens eine positive ganze Zahl, denn
für alle q 2 H ist auch q 2 H. Sei p die kleinste positive ganze Zahl in H. Aus der Gruppeneigenschaft folgt weiter, dass auch alle nq, mit n 2 Z in H enthalten sein müssen, also
pZ ✓ H. In der Tat ist H = pZ. Denn gäbe es ein q 2 H \ pZ, so wären auch alle q np 2 H.
Die kleinste positive solche Zahl ist aber kleiner als p, . Das ist ein Widerspruch, da p ja
die kleinste positive ganze Zahl in H ist.
Um Gruppen zu vergleichen betrachtet man Abbildungen zwischen Gruppen, die mit der
Verknüpfung kompatibel sind:
Definition 2.10. Seien (G, ·G ) und (H, ·H ) zwei Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus von G nach H ist eine Abbildung ' : G ! H, so dass für alle g, h 2 G gilt:
'(g ·G h) = '(g) ·H '(h) .
(GH)
Ist ' ferner bijektiv, so nennt man es einen Gruppenisomorphismus, und die beiden
Gruppen isomorph. Man schreibt dann G ⇠
= H.
(Da meist klar ist, welche Verknüpfung gemeint ist, werden die Verknüpfungen in der Notation normalerweise nicht unterschieden, sondern man schreibt ‘·’ sowohl für die Verknüpfung
in G als auch für die in H.)
Beispiel 2.11.
(1) Für p 2 N ist die Inklusionsabbildung
i : pZ ! Z
pn 7 ! pn
ein Gruppenhomomorphismus.
(2) Darüberhinaus ist die Abbildung
Z ! pZ
n 7 ! pn
ein Gruppenisomorphismus. Z und pZ sind also isomorph.
(3) Außerdem ist die Quotientenabbildung
mod
p : Z ! Z/pZ
n 7 ! [n]
die n auf die Äquivalenzklasse [n] abbildet ein Gruppenhomomorphismus.
2 Gruppen
15
(4) ({±1}, ·), die Menge bestehend aus ±1 zusammen mit der Multiplikation bildet eine
Gruppe, wobei hier e = 1 ist. Vermöge des Gruppenisomorphismus
({±1}, ·) ! (Z/2Z, +)
+1 7 ! [0]
1 7 ! [1]
ist ({±1}, ·) isomorph zu (Z/2Z, +).
(5) Die Abbildung
exp : R ! R>0
x 7 ! ex
ist ein Isomorphismus zwischen den beiden Gruppen (R, +) und (R>0 , ·).
Proposition 2.12. Seien G und H zwei Gruppen und ' : G ! H ein Gruppenhomomorphismus.
(1) Dann gilt '(eG ) = eH und '(g 1 ) = ('(g)) 1 für alle g 2 G.
(2) Sei G0 ⇢ G eine Untergruppe von G, dann ist '(G0 ) eine Untergruppe von H. Insbesondere ist '(G) Untergruppe von H.
(3) Ist H 0 ⇢ H eine Untergruppe von H, so ist auch ' 1 (H 0 ) eine Untergruppe von G.
Insbesondere ist der Kern ker(') := ' 1 (eH ) ⇢ G eine Untergruppe.4
(4) Ist ' ein Gruppenisomorphismus, so gilt das auch für die Umkehrabbildung ' 1 .
Beweis. (1) Es gilt '(g) = '(eG · g) = '(eG ) · '(g). Mit Satz 2.3 folgt '(eG ) = eH .
Daraus folgt weiter eH = '(eG ) = '(g · g 1 ) = '(g) · '(g 1 ). Nach Satz 2.3 gilt daher
('(g)) 1 = '(g 1 ).
(2) Seien a, b 2 '(G0 ), d.h. a = '(g), b = '(h) für g, h 2 G0 . Dann gilt aber a · b 1 =
'(g) · ('(h)) 1 = '(g) · '(h 1 ) = '(g · h 1 ). Dies ist aber in '(G0 ), da G0 eine Untergruppe
ist, vgl. Definition 2.6.
(3) Seien a, b 2 ' 1 (H 0 ). Dann gilt '(a), '(b) 2 H 0 . Da dies eine Untergruppe ist folgt, dass
H 0 3 '(a) · ('(b)) 1 = '(a) · '(b 1 ) = '(a · b 1 ), und daher ist auch a · b 1 in ' 1 (H 0 ). Es
ist also eine Untergruppe.
(4) Die Umkehrabbildung ist bijektiv. Zu zeigen ist lediglich, dass sie ein Gruppenhomomorphismus ist. Seien a, b 2 H mit '(a0 ) = a und '(b0 ) = b. Dann gilt ' 1 (a) · ' 1 (b) = a0 · b0 =
' 1 ('(a0 · b0 )) = ' 1 ('(a0 ) · '(b0 )) = ' 1 (a · b).
Beispiel 2.13.
(1) Das Bild i(pZ) = pZ ⇢ Z der Inklusionsabbildung in Beispiel 2.11(1) ist eine Untergruppe.
(2) Der Kern ker(mod p) = pZ der Quotientenabbildung mod p in Beispiel 2.11(3) ist
eine Untergruppe.
4
Der Kern ist in der Tat sogar eine sogenannte normale Untergruppe. Dies sind sehr wichtige spezielle
Untergruppen, die hier jedoch nicht diskutiert werden.
16
2.3
2.3 Die Symmetrische Gruppe
Die Symmetrische Gruppe
Wählt man in Bemerkung 2.5 die Menge X = {1, . . . , n} für n 2 N so erhält man die
sogenannte symmetrische Gruppe
Sn := (Bij(X, X), ) .
(2.2)
Elemente ⇡ 2 Sn sind Bijektionen von {1, . . . , n}, d.h. Abbildungen die die Zahlen von
1 bis n miteinander permutieren. Man nennt sie daher auch Permutationen und Sn die
Permutationsgruppe. Man benutzt die Schreibweise
✓
◆
1
2
...
n
Sn 3 ⇡ =
.
⇡(1) ⇡(2) . . . ⇡(n)
Die Gruppe S1 besteht nur aus dem neutralen Element e. Die Gruppe S2 besteht aus zwei
Elementen, der Identitätsabbildung e, und der Transposition ⌧ , die 1 und 2 vertauscht:
✓
◆
✓
◆
1 2
1 2
e=
, ⌧=
.
1 2
2 1
Es gilt ⌧ 2 = e, und daher ist S2 isomorph zu der abelschen Gruppe Z/2Z
⇠
=
S2 ! Z/2Z .
e 7 ! [0]
⌧ 7 ! [1]
Für n > 2 ist Sn nicht abelsch, denn seien ⇡ und die Permutationen, die die Elemente 1
und 2, bzw. 2 und 3 vertauschen:
✓
◆
✓
◆
1 2 3 ... n
1 2 3 4 ... n
⇡=
,
=
,
2 1 3 ... n
1 3 2 4 ... n
so gilt
⇡
=
✓
1 2 3 4 ... n
2 3 1 4 ... n
◆
6=
✓
1 2 3 4 ... n
3 1 2 4 ... n
◆
=
⇡.
Man sieht leicht, dass Sn die Ordnung |Sn | = n! hat. Denn um ⇡ zu spezifizieren, muß man
die Bilder ⇡(i) für alle 1  i  n festlegen. Das kann man sukzessive tun. Bei ⇡(1) hat
man n verschiedene Möglichkeiten, nämlich alle Elemente von {1, . . . , n}. Da ⇡ injektiv ist,
muß ⇡(1) 6= ⇡(2) gelten. Bei ⇡(2) hat man daher nur noch (n 1) Möglichkeiten, nämlich
{1, . . . , n}\{⇡(1)}. Bei der Wahl von ⇡(3) gibt es nur noch (n 2) Möglichkeiten, und bei ⇡(i)
(n + 1 i) viele. Insgesamt hat man also n(n 1) . . . 1 = n! unterschiedliche Permutationen.
Bemerkung 2.14. Die Teilmenge
{⇡ 2 Sn | ⇡(n) = n} ⇢ Sn
aller Elemente in Sn , die n 2 X auf n abbilden ist eine Untergruppe von Sn , die isomorph
ist zu Sn 1 .
2 Gruppen
17
Permutationen, die zwei Elemente i 6= j 2 X vertauschen, und alle anderen invariant
lassen werden Transpositionen genannt:
8
/ {i, j}
< x, x 2
j, x=i
Sn 3 (i j) : x 7 !
.
:
i, x = j
Für diese gilt (i j) = (j i), und außerdem (i j)2 = e. Die Transpositionen erzeugen die gesamte
Permutationsgruppe. Genauer gilt
Proposition 2.15. Jede Permutation ⇡ 2 Sn kann als Produkt von höchstens (n
Transpositionen dargestellt werden.
1)
Beweis. Das beweist man leicht induktiv nach n. Es ist klar für n = 1. Sei nun ⇡ 2 Sn . Falls
⇡(n) = n, so liegt ⇡ in der in Bemerkung 2.14 beschriebenen Untergruppe Sn 1 ⇢ Sn , und ist
daher nach Induktionsvorraussetzung darstellbar als Produkt von höchstens (n 2) < (n 1)
Transpositionen. Falls andererseits ⇡(n) = p 6= n, so bildet die Komposition ((n p) ⇡) n auf
n ab: ((n p) ⇡)(n) = n. Also ist (n p) ⇡ 2 Sn 1 und kann nach Induktionsvorraussetzung als
Produkt von höchstens (n 2) Transpositionen geschrieben werden. Mit (n p)2 = e folgt nun,
dass ⇡ als Transposition aus höchstens (n 1) Transpositionen dargestellt werden kann.
Definition 2.16. Für ⇡ 2 Sn definiere die Menge der Fehlstände
F⇡ := {(i, j) | i < j , und , ⇡(i) > ⇡(j)}
von ⇡.
l(⇡) := |F⇡ |
nennt man die Länge von ⇡, und
sign(⇡) := ( 1)l(⇡)
das Signum von ⇡. Ferner nennt man ⇡ gerade (ungerade) falls sign(⇡) = +1( 1).
Satz 2.17.
(1) sign(e)=1
(2) Für 2 Sn gilt
sign( ) =
Y
1i<jn
(i)
i
(j)
j
=
Y
{a,b}⇢{1,...,n}, a6=b
(3) sign(⇡
) = sign(⇡) sign( ) .
(4) Falls ⌧ 2 Sn eine Transposition ist so gilt sign(⌧ ) =
1.
(a)
a
(b)
b
.
18
Beweis. (1) e hat keine Fehlstände.
(2) Der Unterschied der beiden Produktformeln liegt lediglich in dem Umstand, dass die
Reihenfolge der beiden Elemente in der ersten Formel vorgegeben ist, und in der zweiten
nicht. Die Formel hängt von der Reihenfolge jedoch nicht ab. Daher ist die zweite Formel
wohldefiniert, und gleich der ersten. Wenn nun {a, b} alle Teilmengen von {1, . . . , n} mit
zwei Elementen durchlaufen, so gilt das auch für { (a), (b)}. Daher sind die Beträge des
Nenners und des Zählers in der Gleichung identisch. Der Quotient muß also ±1 sein. Wie
man an der ersten Formel sieht, muß das Vorzeichen aber gerade ( 1)|F | = sign( ) sein.
(3) Nach (2) gilt
sign(⇡
Y
) =
{a,b}⇢{1,...,n}, a6=b
=
Y
{a,b}⇢{1,...,n}, a6=b
0
= @
Y
(⇡
✓
{a,b}⇢{1,...,n}, a6=b
= sign(⇡) sign( ) .
)(a)
a
(⇡
⇡(a)
a
(⇡
b
)(b)
◆✓
◆
(⇡
)(b)
(a)
(b)
(b)
a b
10
1
Y
⇡(b) A @
(a)
(b) A
b
a b
)(a)
(a)
{a,b}⇢{1,...,n}, a6=b
Dabei wurde verwendet, dass { (a), (b)} alle zwei-Elemente Teilmengen von {1, . . . , n}
durchläuft, wenn {a, b} alle solche Teilmengen durchläuft.
(4) Sei ⌧ = (i j) mit oBda i < j. Dann sind die Fehlstände gegeben durch die disjunkte
Vereinigung
F⌧ = {(i, l) | i < l < j} [˙ {(l, j) | i < l < j} [˙ {(i, j)} ,
und da die ersten beiden Teilmengen die gleiche Ordnung haben folgt die Behauptung.
Bemerkung 2.18. Satz 2.17(3) besagt insbesondere, dass die Abbildung sign : Sn ! {±1}
ein Gruppenhomomorphismus ist, vgl. Beispiel 2.11(4). Nach Proposition 2.12 ist der Kern
ker(sign) = {⇡ 2 Sn | ⇡ ist gerade} eine Untergruppe von Sn . Diese wird alternierende
Gruppe genannt und mit An bezeichnet.
3
3.1
Körper
Definition
Im vorherigen Kapitel wurden Gruppen als Mengen mit einer Verknüpfung eingeführt. In der
Linearen Algebra benötigt man Objekte, die wie z.B. die reellen Zahlen zwei Verknüpfungen
haben, Addition und Multiplikation.
3 Körper
19
Definition 3.1. Ein Körper ist ein Tripel (K, +, ·) bestehend aus einer nicht-leeren Menge
K und zwei Verknüpfungen
+:K ⇥K
! K
(x, y) 7 ! x + y
und
·:K ⇥K
! K,
(x, y) 7 ! x · y
so dass die folgenden Axiome erfüllt sind
(K1) (K, +) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element bezeichnen wir mit 0.
(K2) (K ⇤ = K \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe.
(K3) Distributivgesetz: für alle x, y, z 2 K gilt
(x + y) · z = (x · z) + (y · z) und z · (x + y) = (z · x) + (z · y) .
Schwächt man die Körperaxiome (K1-3) dahingehend ab, dass man statt (K2) lediglich
die Assoziativität der Verknüpfung · fordert, erhält man die Definition eines Rings:
Definition 3.2. Ein Ring ist ein Tripel (K, +, ·) wie in Definition 3.1, das (K1) und (K3)
erfüllt, und dessen Multiplikation · assoziativ ist.
Notation 3.2.1. Sei (K, +, ·) ein Körper, dann verwenden wir die folgenden Notationen:
• das Inverse von x in der Gruppe (K, +) bezeichnen wir mit x
• wir schreiben x y für x + ( y)
• das neutrale Element von (K ⇤ , ·) bezeichnen wir mit 1
• x 1 oder auch x1 ist das Inverse von x in der Gruppe (K ⇤ , ·)
• wir schreiben xy für x · y und xy für xy 1 bzw. y 1 x
• für x 2 K ⇤ , i 2 Z verwenden wir die Potenzschreibweise
8
1,
i=0
>
<
x
·
x
·
.
.
.
·
x
,
i
>0
|
{z
}
xi =
>
i mal
:
(x i ) 1 ,
i<0
• wir benutzen die ‘Punkt-vor-Strich-Regel’ und schreiben x + yz für x + (yz)
Beispiel 3.3.
• (R, +, ·) und (Q, +, ·) sind Körper.
• Auch
p
p
Q( 2) := {r + s 2 | r, s 2 Q}
ist ein Körper. (Siehe Übungsaufgabe.)
• (Z, +, ·) ist kein Körper, sondern nur ein Ring, denn es gibt nicht für jede ganze Zahl
ein multiplikatives Inverses.
Bemerkung 3.4. In einem Körper gelten die folgenden Regeln (x, y, z 2 K):
(1) 1 6= 0
(2) 0 · x = 0 = 0 · x für alle x 2 K
(3) x · y = 0 ) (x = 0 _ y = 0)
20
3.1 Definition
(4) x · ( y) = x · y, ( x) · ( y) = x · y
(5) (x · z = y · z ^ z 6= 0) ) x = y
Beweis. (1) 1 2 K ⇤ = K \ {0}.
(2) Aus dem Distributivgesetz (K3) folgt 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x. Mit Satz 2.3(3) folgt
daher 0x = 0. Analog zeigt man x0 = 0.
(3) Wegen der Gruppeneigenschaft von (K ⇤ , ·) ist xy 6= 0 falls x, y 2 K ⇤ .
(4) xy + x( y) = x(y + ( y)) = x0 = 0 ) x( y) = xy. Ferner ( x)( y) = ( x)y =
( xy) = xy.
(5) Die Behauptung gilt wegen der Gruppeneigenschaft für x, y 2 K ⇤ . Falls nun x = 0, so
muß nach (3) auch y = 0 sein. Es folgt also auch in diesem Fall x = y.
Satz 3.5. Definiere das Produkt zweier Äquivalenzklassen [m], [n] 2 Z/pZ als
[m] · [n] := {M N + kp | M 2 [m] , N 2 [n] , k 2 Z} .
Dann gilt [m] · [n] = [mn]. Neben der Addition (vgl. Gleichung (2.1)) ist · also eine weitere
Verknüpfung auf Z/pZ. Falls p 2 N eine Primzahl ist, so ist (Z/pZ \ {[0]}, ·) eine abelsche
Gruppe und (Z/pZ, +, ·) ein Körper, der auch Fp genannt wird.
Beweis. Es gilt
[m] · [n] = {(m + ap)(n + bp) + kn | a, b, k 2 Z}
= {mn + p(k + mb + na + abp) | a, b, k 2 Z} = {mn + pl | l 2 Z}
= [mn]
Dass (Z/pZ, +) eine abelsche Gruppe ist, ist bekannt. Kommutativität und Assoziativität
von · und das Distributivgesetz folgen aus den entsprechenden Eigenschaften von Z. Das
neutrale Element von (Z/pZ \ {[0]}, ·) ist [1]. Für die Existenz von Inversen benötigt man
dass p eine Primzahl ist. In diesem Fall ist die Multiplikation mit [n] 6= [0] eine injektive
Abbildung auf Z/pZ. Denn aus [n][a] = [n][b] folgt, dass n(a b) durch p teilbar. Da p prim
ist, und n nicht durch p teilbar, muß (a b) durch p teilbar sein, also [a] = [b]. Da Z/pZ
eine endliche Menge ist, folgt aus der Injektivität auch die Surjektivität. Insbesondere gibt
es also ein [n0 ] mit [n] · [n0 ] = [1].
Bemerkung 3.6. Falls p keine Primzahl ist, so gibt es in Z/pZ sogenannte Nullteiler, d.h.
es gibt [n], [m] 2 Z/pZ \ {[0]} mit [m] · [n] = [0]. Falls nämlich p = ab mit a, b 2 N>1 , so
gilt [a], [b] 6= [0] aber [a] · [b] = [0]. Insbesondere ist (Z/pZ \ {[0]}, ·) keine Gruppe. Da die
Multiplikation assoziativ ist, ist Z/pZ aber trotzdem noch ein Ring.
Beispiel 3.7. Der Körper F2 hat zwei Elemente: das neutrale Element der Addition 0
und das neutrale Element der Multiplikation 1. Multiplikation und Addition sind durch die
folgenden Tabellen beschrieben:
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
· 0 1
0 0 0
1 0 1
3 Körper
21
Wenn man 0 und 1 als die logischen Werte ‘falsch’ und ‘wahr’ interpretiert, entsprechen die
Operationen + und · gerade den logischen Operationen _˙ (‘xor’) und ^ (‘und’).
3.2
Unterkörper und Körperhomomorphismen
Genau wie bei Gruppen adaptiert man die Begri↵e Untermenge und Abbildung derart, dass
sie mit der zusätzlichen Körper-Struktur kompatibel sind, um damit Beziehungen zwischen
Körpern formulieren zu können.
Definition 3.8. Sei L ⇢ K eine Teilmenge eines Körpers (K, +, ·), so dass (L, +) ⇢ (K, +)
und (L \ {0}, ·) ⇢ (K \ {0}, ·) Untergruppen sind, so ist (L, +, ·) selber ein Körper, man
nennt ihn einen Unterkörper von K.
Definition 3.9. Seien (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) Körper, und f : K ! L eine Abbildung,
die mit der Addition und Multiplikation kompatibel ist, d.h.
f (x +K y) = f (x) +L f (y) ; und f (x ·K y) = f (x) ·L f (y) ,
dann nennt man f einen Körperhomomorphismus5 .
Ist f bijektiv, so nennt man f Körperisomorphismus, und die beiden Körper isomorph.
Man schreibt (K, +K , ·K ) ⇠
= (L, +L , ·L ).
(Handelt es sich bei (K, +K , ·K ) und (L, +L , ·L ) um Ringe, nennt man f einen Ringhomomorphismus.)
p
Beispiel 3.10. Q ⇢ Q( 2) ⇢ R sind Unterkörper und die jeweiligen Inklusionen sind
Körperhomomorphismen.
Lemma 3.11. Sei K ein Körper. Dann ist
':Z ! K
n 7 ! n · 1K := 1K + . . . + 1K
|
{z
}
n mal
ein Ringhomomorphismus.
Beweis. Übungsaufgabe.
Definition 3.12. Die Characteristik eines Körpers K ist definiert als
⇢
0,
n · 1K 6= 0 8 n 2 N
char(K) :=
.
min{n 2 N | n · 1K = 0} , sonst
Proposition 3.13.
Anders ausgedrückt müssen f : (K, +K ) ! (L, +L ) und f |K ⇤ : (K ⇤ , ·K ) ! (L⇤ , ·L ) Gruppenhomomorphismen sein.
5
22
3.3 Die komplexen Zahlen
(1) Die Charakteristik eines
p Körpers ist entweder 0 oder eine Primzahl.
(2) char(Q) = char(Q( 2)) = char(R) = 0
(3) Sei p eine Primzahl. Dann ist char(Fp ) = p.
Beweis. (1) Nehme an, dass char(K) = ab mit a, b 2 N>1 . Da die Abbildung ' ein
Ringhomomorphismus ist, folgt 0 = '(ab) = '(a) ·K '(b). Nach Bemerkung 3.4(3) folgt,
'(a) = 0 oder '(b) = 0. Das ist ein Widerspruch zur Definition der Charakteristik, denn
a, b < char(K).
p
(2) In Q, Q( 2), R gilt n · 1 = n 6= 0 für alle n 2 N.
(3) In Fp gilt n · [1] = [n]. Das ist gleich 0 = [0] in Fp genau dann wenn n 2 pZ.
3.3
Die komplexen Zahlen
Satz 3.14. Die Menge R ⇥ R = {(x, y) | x, y 2 R} zusammen mit den Verknüpfungen
(a, b) + (x, y) = (a + x, b + y) und (a, b) · (x, y) = (ax
by, ay + bx)
ist ein Körper, mit 0 = (0, 0) und 1 = (1, 0). Die Inversen sind gegeben durch
✓
◆
x
y
1
,
,
(x, y) = ( x, y) und (x, y) =
x2 + y 2 x2 + y 2
wobei bei dem multiplikativen Inversen (x, y) 6= (0, 0) vorrausgesetzt ist. Man nennt den
Körper auch Körper der komplexen Zahlen, und bezeichnet ihn als C.
Beweis. Übungsaufgabe.
Die Abbildung R ! C, x 7 ! (x, 0) ist ein injektiver Körperhomomorphismus. (Das
liest man leicht aus der Definition der Verknüpfungen von C ab.) Er identifiziert R als
Unterkörper von C: R = {(x, 0) | x 2 R} ⇢ C. Wenn man die imaginäre Einheit i := (0, 1)
definiert, so läßt sich damit jede komplexe Zahl z schreiben als
z = (x, y) = x + iy .
Dabei nennt man x = <(z) den Realteil von z, und y = =(z) den Imaginärteil. Die
imaginäre Einheit hat die Eigenschaft6
i2 =
1.
Man kann sich die komplexen Zahlen als Punkte in der Gauß’schen Zahlenebene veranschaulichen.
6
Das ist auch der Grund, warum die komplexen Zahlen so nützlich sind. Über ihnen sind alle quadratischen
Gleichungen lösbar, insbesondere x2 = 1.
3 Körper
23
Abbildung 3: Gaußsche Zahlenebene: (a) Real- und Imaginärteil, (b) komplexe Konjugation,
(c) Absolutbetrag und Argument
Definition 3.15. Die Abbildung
C ! C
z = x + iy 7 ! z = x
(3.1)
iy
nennt man die komplexe Konjugation.
Proposition 3.16. Die komplexe Konjugation ist ein Körperisomorphismus C ! C. Insbesondere gilt
z + w = z + w , und z w = z w .
Desweiteren gilt
• z=z
• z=z ) z2R⇢C
• <(z) = 12 (z + z), =(z) = 2i1 (z z)
• z z = x2 + y 2 2 R 0 für z = x + iy
Beweis. Das rechnet man leicht nach.
Definition 3.17. Der Absolutbetrag einer komplexen Zahl z = x + iy ist definiert durch
p
p
|z| = |x + iy| = zz = x2 + y 2 .
Bemerkung 3.18. Es gilt
• |zw| = |z| |w|
• |z| = |z|
• |z + w|  |z| + |w| (Dreiecksungleichung)
24
3.3 Die komplexen Zahlen
Abbildung 4: Addition und Multiplikation in der Gaußschen Zahlenebene
Beweis. Auch dies rechnet man leicht nach.
Bemerkung 3.19.
(1) Sei z = x + iy 2 C \ {0}. Es gilt
✓
x
|z|
◆2
+
✓
y
|z|
◆2
= 1,
und wie in der Analysis diskutiert wird, gibt es daher ein eindeutiges ↵ 2 [0, 2⇡), so
dass
✓
◆
z
x
y
z = |z|
= |z|
+i
= |z| (cos(↵) + i sin(↵)) .
|z|
|z|
|z|
Man nennt ↵ auch das Argument von z und schreibt ↵ = arg(z). Das Argument
bezeichnet den Winkel zwischen der x-Achse und dem Vektor z in der Gauß’schen
Zahlenebene.
(2) In der Analysis wird ferner die Eulersche Formel bewiesen
ei↵ = cos(↵) + i sin(↵) ,
Man kann also jede komplexe Zahl z 6= 0 eindeutig schreiben als
z = |z|ei arg(z) .
(3) Aus den Additionstheoremen der trigonometrischen Funktionen folgt
ei↵ ei
= (cos(↵) + i sin(↵)) (cos( ) + i sin( ))
= (cos(↵) cos( ) sin(↵) sin( )) + i (cos(↵) sin( ) + sin(↵) cos( ))
= cos(↵ + ) + i sin(↵ + ) = ei(↵+ ) .
A Notationen und Symbole
25
Unter Multiplikation verhalten sich die Argumente also additiv, während sich die Beträge multiplizieren (vgl. Bemerkung 3.18):
z w = |z| ei arg(z) |w| ei arg(w) = |z| |w| ei(arg(z)+arg(w)) .
Addition und Multiplikation von komplexen Zahlen lassen sich in der Gaußschen Zahlenebene
veranschaulichen (siehe Abbildung 4).
4
Vektorräume
5
Matrizen und Lineare Gleichungssysteme
6
Determinanten
7
Eigenvektoren und Eigenwerte
8
Euklidische Vektorräume
Anhang A
⇤
oBdA
8
9
@
9!
_
^
)
;
,
<
:,
:=
2
2
/
[
\
\
⇥
Notationen und Symbole
Ende eines Beweises
ohne Beschränkung der Allgemeinheit
für alle
es gibt
es gibt kein
es gibt genau ein
Widerspruch
oder
und
daraus folgt
daraus folgt nicht
ist äquivalent zu, bzw. genau dann wenn
nicht äquivalent zu
definiert als äquivalent zu
definiert als
ist enthalten in (S. 3)
ist nicht enthalten in (S. 3)
Vereinigung von Mengen (Definition 1.3)
Durchschnitt von Mengen (Definition 1.3)
Di↵erenz von Mengen (Definition 1.3)
Produkt von Mengen (Definitionen 1.7, 1.10)
26
;
✓
⇢
leere Menge (S. 3)
Teilmenge (Definition 1.1)
echte Teilmenge (Definition 1.1)
Untergruppen (Definition 2.6)
|·|
Ordnung einer Menge (S. 3)
N
natürliche Zahlen (S. 3)
N0
natürliche Zahlen und Null (S. 3)
Z
ganze Zahlen (S. 3)
Z/pZ
Quotientengruppe (Beispiel 2.4)
Q
rationale Zahlen
R
reelle Zahlen
C
komplexe Zahlen (Kapitel 3.3)
=
Imaginärteil einer komplexen Zahl (S. 22)
<
Realteil einer komplexen Zahl (S. 22)
Komposition von Abbildungen (Definition 1.20)
P
Summe
Q
Produkt
⇤
K
Elemente eines Körpers K ungleich 0 (Definition 3.1)
K[x]
Polynomring über K
det
Determinante einer Matrix
im
Bild eines Vektorraumhomomorphismus (Definition ??)
ker
Kern eines Gruppenhomomorphismus (Satz 2.12)
Kern eines Vektorraumhomomorphismus (Definition ??)
dim
Dimension eines Vektorraums (Definition ??)
L
lineare Hülle einer Teilmenge eines Vektorraums (Definition ??)
span
aufgespannter Vektorraume (Fußnote ??, S. ??)
rang
Rang eines Vektorraumhomomorphismus (Definition ??)
Sn
Symmetrische Gruppe (Gleichung (2.2))
sign
Signum einer Permutation (Definition 2.16)
Mat(m, n; K) Ring der m ⇥ n-Matrizen über K
GL(n; K)
allgemeine lineare Gruppe
O(n)
orthogonale Gruppe