§ 0 Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper

§0
Mengen und Abbildungen, Gruppen und Körper
In diesem Paragrafen behandeln wir einige für die Lineare Algebra und für die Analysis
wichtige Grundbegriffe.
Wir beginnen mit dem Begriff der Menge. Auf Cantor geht die folgende Definition zurück:
0.1
Begriff der Menge
Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter wohlunterschiedener Objekte
unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen. Die Objekte heißen
Elemente der Menge.
Die Mengen werden meistens mit großen Buchstaben bezeichnet, z.B.:
M, N, L, K, C, Z,
die Elemente meistens mit kleinen, z.B.:
x, y, z, a, b, c .
Um auszudrücken, dass a ein Element der Menge M ist, schreibt man
a ∈ M;
statt a ist ein Element von M “ sagt man auch, a gehört zu M “, oder a liegt in M “.
”
”
”
Eine Menge können wir unter anderem folgendermaßem festlegen:
Aufzählende Form;
Definierende Form.
Die Zusammenfassung der Elemente deuten wir dadurch an, dass wir sie zwischen geschweifte Klammern setzen, den sogenannten Mengenklammern.
0.2
Beispiel
{1, 2, 3} ist die Menge, die aus den Zahlen 1, 2, 3 besteht.
Es gilt z.B. 1 ∈ {1, 2, 3}.
{2, 4, 6, 8} ist die Menge, die aus den Zahlen 2, 4, 6, 8 besteht.
Es gilt z.B. 6 ∈ {2, 4, 6, 8}.
Beide Mengen sind in aufzählender Form gegeben. Beide Mengen lassen sich aber auch
in definierender Form festlegen, z.B. die zweite als
{2, 4, 6, 8} = {x : x ist eine gerade Zahl zwischen 1 und 9}.
A5
[0]–1
Grundbegriffe
Mengen M , die in definierender Form festgelegt werden, gibt man häufig in der Form an
M := {x : x hat die Eigenschaft E}.
Hierbei benutzt man das Zeichen :=“ um anzudeuten, dass ein Symbol oder ein Aus”
druck — hier also die Menge M — erklärt werden soll. Für :=“ sagt man: soll sein“,
”
”
bedeutet“ oder definitionsgemäß gleich“.
”
”
Statt
{x : x hat die Eigenschaft E}
schreibt man auch
{x | x hat die Eigenschaft E}.
(a)
N := {1, 2, 3, 4, . . .} = Menge der natürlichen Zahlen.
(b)
N0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . .} = Menge der um 0 erweiterten natürlichen Zahlen.
(c)
Z := {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . .} = Menge der ganzen Zahlen.
(d)
Q := { m
n : m ∈ Z, n ∈ N} = Menge der rationalen Zahlen.
Die rationalen Zahlen umfassen in Dezimalschreibweise genau die Dezimalzahlen,
die endlich viele Stellen haben oder periodisch sind.
1
1
1
4 = 0, 25; 8 = 0, 125; 3 = 0, 3.
(e)
R := Menge der reellen Zahlen, also die Menge der endlichen und unendlichen
Dezimalbrüche. R umfaßt also die rationalen Zahlen sowie die Dezimalzahlen, die
nicht periodisch sind.
(f )
G := {x : x = 2y mit y ∈ Z} = {0, 2, −2, 4, −4, 6, −6, . . .} = Menge der geraden
Zahlen.
√
In § 3 werden wir zeigen, dass 2 eine reelle Zahl ist, die keine rationale Zahl ist. Solche
Zahlen heißen irrationale Zahlen. Weitere Beispiele für irrationale Zahlen sind etwa π =
3, 1415... oder e = 2, 7182... . Der Nachweis für die Irrationalität von π und e ist recht
schwierig.
Ist a ein Element von M , so schreiben wir
a ∈ M.
Ist a kein Element von M , so schreiben wir
a 6∈ M .
0.3
Beispiel
11
6 ∈ N, −2 6∈ N, 0 ∈ N0 , − 11
30 6∈ N0 , − 30 ∈ Q,
√
√
2 ∈ R, 2 ∈
6 Q, −2 ∈ Z.
Wir gehen nun auf den Vergleich von Mengen und auf Mengenoperationen ein.
[0]–2
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
0.4
Mengenrelationen und Mengenoperationen
Seien M und N zwei Mengen.
(i)
M und N sind gleich, im Zeichen M = N , wenn sie dieselben Elemente
enthalten. Es ist also M = N , wenn für alle x gilt:
x ist genau dann Element von M , wenn x Element von N ist.
(ii)
M heißt Teilmenge von N , im Zeichen M ⊂ N, wenn jedes Element von M
auch in N liegt. Es ist also M ⊂ N , wenn für alle x gilt:
Ist x ∈ M , so ist auch x ∈ N .
(iii)
Der Durchschnitt M ∩ N von M und N ist die Menge aller Objekte x, die
in M und N gemeinsam liegen. Also
M ∩ N := {x : x ∈ M und x ∈ N }.
(iv)
Die Vereinigung M ∪ N von M und N ist die Menge aller Objekte x, die
in M oder in N (oder in beiden) liegen. Also
M ∪ N := {x : x ∈ M oder x ∈ N }
(v)
Die Differenz M \ N von M und N ist die Menge aller Objekte die in M ,
aber nicht in N liegen. Somit
M \ N := {x : x ∈ M und x 6∈ N }
Ist N eine Teilmenge von M , so nennt man M \ N das Komplement von
N in M . Liegt die Menge M von vornherein fest, so spricht man oft auch
nur vom Komplement von N .
Es ist{1, 2, 3} = {3, 2, 1}, denn beide Mengen enthalten genau dieselben Elemente, nur in
verschiedener Reihenfolge. Ferner ist {a : a reelle Zahl mit a2 = 1} = { − 1, 1}.
Es ist N ⊂ N0 , N0 ⊂ Z, Z ⊂ Q und Q ⊂ R . Diese vier Mengeninklusionen fasst man in
der Inklusionskette N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R zusammen.
Für M ⊂ N schreibt man auch N ⊃ M.
Unter einer Aussage verstehen wir ein sprachliches, grammatisches Gebilde, von dem
feststeht, dass es entweder wahr oder falsch ist.
Statt zu sagen die Aussage A ist wahr“, sagen wir auch die Aussage gilt“.
”
”
Aus Aussagen A und B gewinnt man neue Aussagen durch logische Verknüpfungen:
¬ A (nicht A), die Negation oder Verneinung von A;
A ∧ B (A und B), die Konjunktion von A und B;
A ∨ B (A oder B), die Disjunktion von A und B;
A ⇒ B (wenn A, so B), die Implikation von A auf B;
A ⇐⇒ B (A genau dann, wenn B), die Äquivalenz von A und B.
Der Wahrheitswert der neuen Aussage hängt von den Wahrheitswerten der ursprünglichen
Aussagen folgendermaßen ab (W für wahr, F für falsch):
A5
[0]–3
Grundbegriffe
A
B
¬A
A∧B
A∨B
A⇒B
A ⇐⇒ B
W
W
F
W
W
W
W
W
F
F
F
W
F
F
F
W
W
F
W
W
F
F
F
W
F
F
W
W
Die Aussage x 6∈ A ist also eine Abkürzung für ¬(x ∈ A). Die Disjunktion A ∨ B ist also
wahr genau dann, wenn mindestens eine der beiden Aussagen wahr ist. Es handelt sich
also um das nicht ausschließende oder (= vel“ im Lateinischen). Die Aussage 2 und 2
”
”
ist 4 oder 3 mal 3 ist 9“ ist also wahr.
In der Implikation A ⇒ B nennt man A die Prämisse und B die Konklusion der Implikation. Nach Festsetzung ist die Implikation A ⇒ B stets wahr, wenn A falsch ist. (Die
Aussage wenn 2 und 2 gleich 5 ist, bin ich der Papst“ ist also nach dieser Festsetzung
”
eine wahre Aussage). In mathematischen Theorien ist jeder Satz“ eine Feststellung der
”
Art A ⇒ B ist eine wahre Aussage“, häufig notiert in der Form
”
Satz: Voraussetzung A
Behauptung B
Mit diesen Notationen läßt sich also der Satz ⊂ ist eine partielle Ordnung“ (siehe auch
”
1.1) folgendermaßen aufschreiben. Es gilt
(01)
M ⊂M
(02)
(N ⊂ M ) ∧ (M ⊂ N ) ⇒ (N = M )
(03)
(N ⊂ M ) ∧ (M ⊂ L) ⇒ (N ⊂ L)
(Reflexivität),
(Antisymmetrie),
(Transitivität).
Zum Beweis der Aussage (03) nehmen wir an, dass (N ⊂ M ) ∧ (M ⊂ L) wahr ist, d.h.
also, dass N ⊂ M und M ⊂ L wahr sind, und haben zu zeigen, dass dann N ⊂ L wahr
ist. Sei hierzu also x ∈ N. Dann haben wir nach Definition von N ⊂ L zu zeigen, dass
x ∈ L ist. Da x ∈ N ist, ist wegen N ⊂ M auch x ∈ M . Da x ∈ M ist, ist wegen M ⊂ L
also x ∈ L. Somit gilt N ⊂ L.
Benutzen wir die abkürzenden Schreibweisen, so läßt sich 0.4 auch kürzer aufschreiben:
M = N :⇐⇒ (x ∈ M ⇐⇒ x ∈ N ),
M ⊂ N :⇐⇒ (x ∈ M ⇒ x ∈ N ).
Insbesondere gilt also M = N genau dann, wenn M ⊂ N ∧ N ⊂ M ist. In Formeln
M = N ⇐⇒ (M ⊂ N ∧ N ⊂ M ).
Weiter schreibt man kürzer
M ∩ N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N },
M ∪ N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N },
M \ N := {x : x ∈ M ∧ x 6∈ N }.
Für
schreibt man auch
{x : x ∈ M ∧ x ∈ N }
{x : x ∈ M , x ∈ N }.
Um Beispiele für die letzten drei Definitionen anzugeben, betrachte man die Mengen
M = {1, 2, 3, 4, 5} und N = {2, 3, 5, 6}. Dann ist
[0]–4
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
M ∩ N = {2, 3, 5},
M ∪ N = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
M \ N = {1, 4},
N \ M = {6}.
Ist M = {1, 2, 3} und N = {4}, so liegt in M ∩ N kein Element. Eine Menge, die keine
Elemente enthält, nennt man die leere Menge. Sie wird mit ∅ bezeichnet. Hier ist also
M ∩ N = ∅.
0.5
Mengenrelationen und Mengenoperationen
Seien M und N Mengen. Setze
(i)
∅ := {x : x 6= x}. Die leere Menge ist also die Menge, die kein Element
enthält.
(ii)
Zwei Mengen M und N heißen disjunkt, wenn M ∩ N = ∅ ist.
(iii)
M ⊂ N :⇐⇒ (M ⊂ N ∧ M 6= N )
6=
Hierbei schreiben wir M 6= N für ¬(M = N ), d.h. M und N sind verschiedene Mengen.
(iv)
P(M ) := {N : N ⊂ M } die Potenzmenge von M .
Für jede Potenzmenge M gilt also insbesondere ∅ ∈ P(M ) und M ∈ P(M ). Ist M =
{1, 2}, so ist P(M ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Die Elemente einer Potenzmenge sind immer
Mengen.
Beziehungen zwischen Mengen veranschaulicht man in den sogenannten Venn-Diagrammen.
In den folgenden Abbildungen sind M, N Bereiche der Ebene, die durch ihre umschließenden
Kurven angedeutet werden.
N
M
M ⊂ N und M 6= N
Im folgenden Bild bedeuten die schraffierten Bereiche der Reihe nach
M ∪N
M
A5
M ∩N
N
M
M \N
N
M
N
[0]–5
Grundbegriffe
0.6
Eigenschaften von Mengenoperationen
Seien M, N, L beliebige Mengen. Dann gilt
(i)
Kommutativität von ∩ und von ∪
M ∩N =N ∩M
M ∪ N = N ∪ M.
(ii)
Assoziativität von ∩ und von ∪
(M ∩ N ) ∩ L = M ∩ (N ∩ L)
(M ∪ N ) ∪ L = M ∪ (N ∪ L).
(iii)
Distributivgesetz
M ∩ (N ∪ L) = (M ∩ N ) ∪ (M ∩ L)
M ∪ (N ∩ L) = (M ∪ N ) ∩ (M ∪ L).
(iv)
(M \ N ) ∪ N = M ∪ N.
(v)
M \ (N ∩ L) = (M \ N ) ∪ (M \ L),
M \ (N ∪ L) = (M \ N ) ∩ (M \ L).
Beweis. (i) Zu zeigen ist M ∪ N = N ∪ M, d.h.
(M ∪ N ⊂ N ∪ M ) ∧ (N ∪ M ⊂ M ∪ N ).
Sei x ∈ M ∪ N ⇒ (x ∈ M ∨ x ∈ N ) ⇒ (x ∈ N ∨ x ∈ M ) ⇒ x ∈ N ∪ M . Umgekehrt sei
x ∈ N ∪ M ⇒ (x ∈ N ∨ x ∈ M ) ⇒ (x ∈ M ∨ x ∈ N ) ⇒ x ∈ M ∪ N . Der Beweis weiterer
Gleichungen erfolgt in den Ergänzungen.
0.7
Quantoren
Es sei A(x) eine Aussage, die von x ∈ M abhängt. Wir schreiben
(i)
(∀ x ∈ M )A(x) gilt“ an Stelle von für alle x ∈ M gilt A(x)“.
”
”
∀ heißt Allquantor.
(ii)
(∃ x ∈ M )A(x) gilt“ an Stelle von es gibt ein x ∈ M , für das A(x) gilt“.
”
”
∃ heißt Existenzquantor.
Es gilt mit A(x) = (x > 0) bzw. A(x) = (x > 2) :
(∀x ∈ N)(x > 0)
(∃ x ∈ N)(x > 2).
[0]–6
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
0.8
Beliebige Vereinigungen und Durchschnitte
Sei I 6= ∅ eine beliebige Menge, die sogenannte Indexmenge. Für jedes i ∈ I sei Mi
eine Menge.
(i)
(ii)
∩ Mi := {x : (∀ i ∈ I)x ∈ Mi }, Durchschnitt der Mengen Mi .
i∈I
∪ Mi := {x : (∃ i ∈ I)x ∈ Mi }, Vereinigung der Mengen Mi .
i∈I
Falls I = {1, . . . n} , so schreibt man auch
n
M1 ∩ M2 . . . ∩ Mn für ∩ Mi ,
i=1
n
M1 ∪ M2 . . . ∪ Mn für ∪ Mi .
i=1
Ist I = N, so schreibt man
∞
∩ Mi für ∩ Mi ,
i=1
(iii)
i∈N
∞
∪ Mi für ∪ Mi .
i=1
i∈N
Ist S eine Menge, deren Elemente Mengen sind, so schreibt man auch
∩ M := {x : (∀ M ∈ S)x ∈ M },
M ∈S
∪ M := {x : (∃ M ∈ S)x ∈ M }.
M ∈S
In der Ergänzung bzw. den Übungen wird bewiesen
0.9
Rechenregeln für beliebige Durchschnitte und Vereinigungen
Es sei I 6= ∅ und Mi für i ∈ I Mengen. Dann gilt
(i)
Für i0 ∈ I folgt
∩ Mi ⊂ Mi0 ⊂ ∪ Mi .
i∈I
(ii)
i∈I
Sei ∅ =
6 J ⊂ I. Dann gilt
∪ Mj ⊂ ∪ Mi ,
j∈J
(iii)
i∈I
i∈J
i∈K
∪
i∈J∪K
Mi ,
( ∩ Mi ) ∩ ( ∩ Mi ) =
i∈J
i∈K
∩
i∈J∪K
Mi .
Distributivgesetz: Ist M eine weitere Menge, so gilt
M ∩ ( ∪ Mi ) = ∪ (M ∩ Mi ),
i∈I
(v)
j∈J
Seien ∅ =
6 J ⊂ I und ∅ =
6 K ⊂ I. Dann gilt
( ∪ Mi ) ∪ ( ∪ Mi ) =
(iv)
∩ Mi ⊂ ∩ Mj .
i∈I
i∈I
M ∪ ( ∩ Mi ) = ∩ (M ∪ Mi ).
i∈I
i∈I
Sei M wieder eine weitere Menge, so gilt
M \ ∩ Mi = ∪ (M \ Mi ),
i∈I
i∈I
M \ ∪ Mi = ∩ (M \ Mi ).
i∈I
i∈I
Hieraus erhalten wir insbesondere die Morganschen Regeln.
A5
[0]–7
Grundbegriffe
0.10
Morgansche Regeln
Seien A, B ∈ P(M ). Dann gilt
(i)
M \ (A ∩ B) = (M \ A) ∪ (M \ B),
(ii)
M \ (A ∪ B) = (M \ A) ∩ (M \ B).
Ist M fixiert und ist A ∈ P(M ), so setzt man
A := M \ A,
und die Morganschen Regeln schreiben sich als
A ∩ B = A ∪ B, A ∪ B = A ∩ B.
Wir kommen nun zum Begriff des kartesischen Produkts und dem Begriff des n-tupels.
0.11
Kartesisches Produkt von Mengen und n-tupel.
Seien M, N und M1 , . . . , Mn Mengen.
(i)
M × N := {(x, y) : x ∈ M ∧ y ∈ N } heißt das kartesische Produkt von M
und N .
(ii)
Gleichheit von Elementen aus M × N
(x, y) = (x0 , y 0 ) :⇐⇒ x = x0 ∧ y = y 0 .
(iii)
M1 × M2 × . . . × Mn := {(x1 , . . . , xn ) : x1 ∈ M1 , x2 ∈ M2 , . . . , xn ∈ Mn }
heißt das kartesische Produkt von M1 , M2 bis Mn .
(iv)
Gleichheit von Elementen aus M1 × . . . × Mn
(x1 , . . . , xn ) = (y1 , . . . , yn ) :⇐⇒ (∀i ∈ {1, . . . , n})xi = yi .
(v)
Sind für i = 1, . . . , n alle Mi = M, so schreibt man M n für M
. . × M} .
| × .{z
n−mal
Es ist (2, 3) ∈ N × N und (3, 2) ∈ N × N aber (2, 3) 6= (3, 2). Ferner ist (2, 3) 6= (2, 4) und
(2, 3) 6= (1, 3).
(x1 , x2 ) heißt ein Paar,
(x1 , x2 , x3 ) heißt Tripel,
(x1 , x2 , x3 , x4 ) heißt Quadrupel,
(x1 , x2 , . . . , xn ) heißt n-Tupel.
Im Folgenden schreiben wir auch M 3 x für x ∈ M.
Wir kommen nun zu einem der wichtigsten Begriffe der Mathematik nämlich dem Begriff
der Abbildung.
[0]–8
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
0.12
Abbildung, Definitionsbereich, Wertebereich
Es seien M und N 6= ∅.
Unter Abbildung f : M → N (von M nach N ), versteht man eine Vorschrift, die jedem x ∈ M genau ein y ∈ N zuordnet
(i)
f : M 3 x → y ∈ N.
M heißt der Definitionsbereich und N der Wertebereich. y = f (x) heißt
das Bild von x unter der Abbildung f , und x heißt Argument oder Urbild.
(ii)
Die Menge aller Abbildungen von M nach N bezeichne man mit Abb(M, N )
oder mit N M .
(iii)
Sei f ∈ Abb(M, N ) und A ⊂ M sowie B ⊂ N . Setze
f (A) := {f (a) : a ∈ A}(⊂ N )
f (A) heißt das Bild von A unter der Abbildung f .
Für B ⊂ N setzt man
f −1 (B) := {a ∈ M : f (a) ∈ B}(⊂ M )
f −1 (B) heißt das Urbild von B unter der Abbildung f .
(iv)
Sei f ∈ Abb(M, N ). Setze
G(f ) := {(x, f (x)) : x ∈ M }.
G(f ) heißt der Graph der Abbildung f .
Eine Abbildung nennt man auch Funktion.
0.13
Beispiel
Man betrachte die Abbildung f : R → R gegeben durch R 3 x → x2 ∈ R. Also f (x) = x2 .
Dann ist G(f ) = {(x, x2 ) : x ∈ R}.
Solche Abbildungen werden gezeichnet, indem man in der Ebene mit einem Achsenkreuz
(waagerecht die x-Achse, senkrecht die y-Achse) die Punkte (x, x2 ) einzeichnet. Man
zeichnet also genauer den Grafen von f in das Achsenkreuz.
6
5
y-Achse
4
3
2
1
-2
1
-1
2
x-Achse
-1
A5
[0]–9
Grundbegriffe
0.14
Klassen von Abbildungen
Sei f : M −→ N eine Abbildung.
(i)
f heißt surjektiv (oder auch Abbildung auf N ), wenn f (M ) = N ist.
(ii)
f heißt injektiv, wenn für alle x1 , x2 ∈ M gilt: f (x1 ) = f (x1 ) ⇒ x1 = x2 .
(iii)
f heißt bijektiv, wenn f surjektiv und injektiv ist. Bijektive Abbildungen
heißen auch Bijektionen.
Wir geben hierzu einige Beispiele.
0.15
Beispiel
(i)
Die Abbildung f : R −→ R mit f (x) = x2 ist weder injektiv (f (−1) = f (1)) noch
surjektiv (f (x) ≥ 0 für alle x ∈ R).
(ii)
Die Abbildung f : N → N mit f (x) = 2x ist injektiv. Denn
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ 2x1 = 2x2 ⇒ x1 = x2 .
f ist nicht sujektiv, da es kein x ∈ N mit f (x) = 1 gibt.
Die Abbildung f : Z → Z mit f (x) = x + 1 ist injektiv und surjektiv. Denn
(iii)
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 + 1 = x2 + 1 ⇒ x1 = x2 .
Ist y ∈ Z, so gilt für x := y − 1, dass x ∈ Z und f (x) = x + 1 = y ist.
Die Abbildung f : R → R mit f (x) = x3 − x ist surjektiv, aber nicht injektiv
(f (0) = f (1) = 0).
(iv)
0.16
Gleichheit und Komposition von Abbildungen
(i)
Zwei Abbildungen f, g : M → M heißen gleich im Zeichen f = g, wenn
f (x) = g(x) für alle x ∈ M gilt.
(ii)
Komposition (= Verkettung) von Abbildungen: Seien M, N, L 6= ∅ und
f : M → N, g : N → L. Dann definiert man g ◦ f : M → L durch
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) für x ∈ M.
Bei der Komposition von g ◦ f , wendet man zunächst die Abbildung f auf
x und dann erst g auf f (x) an. Im Diagramm
(iii)
0.17
f
g
M
−→
x
−→ f (x) −→ g(f (x))
N
−→ L
idM ist die Abbildung von M nach M mit idM (x) = x für alle x ∈ M .
Beispiel
Ist f (x) = x2 + 2x + 1 und g(x) = (x + 1)2 , so ist f = g.
Ist f (x) = x2 und g(x) = sin(x), so ist
(g ◦ f )(x) = sin(x2 ) und
[0]–10
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
(f ◦ g)(x) = (sin(x))2
Es ist also g ◦ f 6= f ◦ g.
0.18
Bild und Urbildmengen
Seien M, N, L 6= ∅ . Seien f ∈ Abb(M, N ) und g ∈ Abb(N, L). Dann gilt:
(i)
A ⊂ A0 ⊂ M ⇒ f (A) ⊂ f (A0 ),
(ii)
B ⊂ B 0 ⊂ N ⇒ f −1 (B) ⊂ f −1 (B 0 ).
(iii)
Seien Ai ⊂ M für alle i ∈ I, dann gilt
f (∪i∈I Ai ) = ∪i∈I f (Ai ),
f (∩i∈I Ai ) ⊂ ∩i∈I f (Ai ).
Seien Bi ⊂ N für alle i ∈ I, dann gilt
(iv)
f −1 ( ∪ Bi ) =
i∈I
f −1 ( ∩ Bi ) =
i∈I
(v)
A ⊂ M ⇒ A ⊂ f −1 (f (A)).
(vi)
B ⊂ f (M ) ⇒ B = f (f −1 (B)).
(vii)
A ⊂ M ⇒ (g ◦ f )(A) = g(f (A)).
(viii)
C ⊂ L ⇒ (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)).
∪ f −1 (Bi ),
i∈I
∩ f −1 (Bi ).
i∈I
Beweis. (i) + (ii) sind klar.
(iii) y ∈ f (∪i∈I Ai ) ⇒ (∃ x ∈ ∪i∈I Ai ) y = f (x)
⇒ (∃ i0 ∈ I)(∃ x ∈ Ai0 ) y = f (x)
⇒ (∃ i0 ∈ I) y ∈ f (Ai0 ) ⇒ y ∈ ∪i∈I f (Ai ).
Also ist f (∪i∈I Ai ) ⊂ ∪i∈I f (Ai ).
Nach (i) gilt f (Aj ) ⊂ f (∪i∈I Ai ) für jedes j ∈ I und somit ∪j∈I f (Aj ) ⊂ f (∪i∈I Ai ).
Also gilt insgesamt f (∪i∈I Ai ) = ∪i∈I f (Ai ).
f (∩i∈I Ai ) ⊂ ∩i∈I f (Ai ) folgt wieder aus (i).
(iv) Wegen (ii) reicht es
⊂ “ in der ersten Gleichung zu zeigen. Hierzu: x ∈
”
−1
f (∪i∈I Bi ) ⇒ f (x) ∈ ∪i∈I Bi ⇒ ∃ i0 ∈ I mit f (x) ∈ Bi0 ⇒ ∃ i0 ∈ I mit x ∈
f −1 (Bi0 ) ⇒ x ∈ ∪i∈I f −1 (Bi ).
Wegen (ii) reicht es ⊃ “ in der zweiten Gleichung zu zeigen.
”
x ∈ ∩i∈I f −1 (Bi ) ⇒ (∀ i ∈ I)f (x) ∈ Bi ⇒ (f (x) ∈ ∩i∈I Bi ) ⇒ x ∈ f −1 (∩i∈I Bi ).
(v) Sei x ∈ A, dann gilt f (x) ∈ f (A) und somit x ∈ f −1 (f (A)). Also A ⊂ f −1 (f (A)).
(vi) Sei y ∈ B. Wegen B ⊂ f (M ) gibt es ein x ∈ M mit y = f (x). Also ist x ∈ f −1 (B)
und somit y(= f (x)) ∈ f (f −1 (B)). Daher ist B ⊂ f (f −1 (B)).
Sei umgekehrt y ∈ f (f −1 (B)). Dann gibt es ein x ∈ f −1 (B) mit y = f (x). Wegen
x ∈ f −1 (B) ist y = f (x) ∈ B. Also ist f (f −1 (B)) ⊂ B.
A5
[0]–11
Grundbegriffe
(vii) g ◦ f (A) = {(g ◦ f )(a) : a ∈ A} = {g(f (a)) : a ∈ A} = {g(y) : y ∈ f (A)} = g(f (A))
(viii) x ∈ (g ◦ f )−1 (C) ⇔ g(f (x)) = (g ◦ f )(x) ∈ C ⇔ f (x) ∈ g −1 (C) ⇔ x ∈
f −1 (g −1 (C)). Somit ist (g ◦ f )−1 (C) = f −1 (g −1 (C)).
0.19
Beispiel
Es kann f (∩i∈I Ai ) ⊂ ∩i∈I f (Ai ) sein. Betrachte
(i)
6=
f (x) = x2 und A1 := {x ∈ R|x < 0} sowieA2 := {x ∈ R|x > 0}.
Dann ist f (A1 ∩ A2 ) = f (∅) = ∅, aber f (A1 ) ∩ f (A2 ) 6= ∅.
(ii)
Es kann A ⊂ f −1 (f (A)) sein. Betrachte f : R → R gegeben durch f (x) = 1
6=
für alle x ∈ R und A = {1}. Dann ist f −1 (f (A)) = f −1 ({1}) = R. Also gilt
A ⊂ f −1 (f (A)).
6=
(iii)
0.20
Auf die Voraussetzung B ⊂ f (M ) kann in 0.18 (vi) nicht verzichtet werden.
Betrachte f (x) = x2 und B := {x ∈ R : x < 0}. Dann ist f (f −1 (B)) = f (∅) = ∅.
Die Verknüpfung von Abbildungen ist assoziativ.
Gegeben seien die Abbildungen
f
g
h
M → N → L → K. Dann gilt
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f ).
Beweis. Nach Definition der Gleichheit von Abbildungen ist zu zeigen
(+) ((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ (g ◦ f ))(x) für x ∈ M.
Nun gilt nach Definition der Komposition von Abbildungen.
((h ◦ g) ◦ f )(x) = (h ◦ g)(f (x)) = h(g(f (x))) = h((g ◦ f )(x)) = (h ◦ (g ◦ f ))(x).
Also gilt (+).
Nach 0.17 gilt aber im Allgemeinen, dass g ◦ f 6= f ◦ g ist. Die Komposition von Abbildungen ist also i. A. nicht kommutativ.
[0]–12
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
0.21
Die Umkehrabbildung oder inverse Abbildung
Sei f : M → N . Dann sind (i) und (ii) äquivalent
(i)
f ist bijektiv.
(ii)
Es gibt eine Abbildung g : N → M mit
g ◦ f = idM und f ◦ g = idN , d.h.
g(f (x)) = x für alle x ∈ M und f (g(y)) = y für alle y ∈ N.
Gilt (i) oder (ii), so ist g eindeutig bestimmt und heißt die Umkehrabbildung (oder
inverse Abbildung)f −1 von f . f −1 ist ebenfalls bijektiv, und es gilt (f −1 )−1 = f .
(iii)
Gilt (i), so ist für y ∈ N
{f −1 (y)} = f −1 ({y}).
(iv)
Gilt (i) - existiert also f −1 als Abbildung von N nach M , - so ist für B ⊂ N
das Bild von B unter f −1 gleich dem Urbild von B unter der Abbildung f ,
also
{f −1 (b) : b ∈ B} = {x ∈ M : f (x) ∈ B}.
Beweis. (i) ⇒ (ii) : Sei y ∈ N beliebig. Da f eine bijektive Abbildung von M auf N
ist, gibt es genau ein x ∈ M mit f (x) = y. Setze g(y) := x.
Dann ist g : N → M eine Abbildung mit
(f ◦ g)(y) = f (g(y)) = f (x) = y = idN (y).
Ist umgekehrt x ∈ M , so ist y := f (x) ∈ N und g(y) = x nach obiger Festsetzung. Also
gilt
(g ◦ f )(x) = g(f (x)) = g(y) = x = idM (x),
(ii) ⇒ (i) : f ist injektiv, da aus f (x1 ) = f (x2 ) folgt x1 = idM (x1 ) = g(f (x1 )) =
g(f (x2 )) = idM (x2 ) = x2 . f ist surjektiv, da für y ∈ N gilt
y = idN (y) = f (g(y)) = f (x) mit x := g(y).
Zur Eindeutigkeit von g: Sei g1 eine weitere Abbildung die (ii) erfüllt. Dann ist f bijektiv
und aus f ◦ g = idN = f ◦ g1 folgt daher g = g1 .
Es gilt also f ◦ f −1 = idN und f −1 ◦ f = idM . Mit Vertauschung von N und M folgt aus
(ii) ⇒ (i), das f −1 bijektiv ist, und (f −1 )−1 = f gilt.
(iv) Sei x = f −1 (b) mit b ∈ B. Dann ist x ∈ M mit f (x) = b ∈ B. Also gilt ⊂“. Ist
”
f (x) ∈ B für eine x ∈ M , so ist f (x) = b mit b ∈ B, und somit x = f −1 (b) mit b ∈ B.
Also gilt ⊃“
”
(iii) folgt aus (iv) mit B := {y}.
Wir werden die reellen Zahlen als speziellen Körper einführen. Der allgemeine Begriff
des Körpers ist von grundlegender Bedeutung sowohl für die Lineare Algebra als auch für
die Algebra. Den Begriff des Körpers definiert man meistens mit Hilfe des Begriffs der
Gruppe.
A5
[0]–13
Grundbegriffe
0.22
Verknüpfung auf M
(i)
Sei M 6= ∅. Unter einer Verknüpfung auf M verstehen wir eine Abbildung
◦ : M × M → M;
einem Paar (a, b) ∈ M × M wird also vermöge ◦ ein Element zugeordnet.
Eine Halbgruppe H ist ein Paar (H, ◦) mit einer Menge H 6= ∅ und einer
Verknüpfung ◦ auf H mit
(ii)
(G1)
0.23
(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) für alle a, b, c ∈ G (Asssoziativität).
Beispiel
(i)
(N, +), (N, ·), (Z, +), (Z, ·)
Im ersten Fall ist also die Verknüpfung ◦ durch die Addition auf N, im zweiten
Fall durch die Multiplikation auf N gegeben.
(ii)
Abb (M, M ) mit ◦ als Komposition von Abbildungen, bilden nach 0.20 eine
Halbgruppe.
Aber Z≥(−1) := {−1, 0, 1, 2, 3, . . .} ist bzgl. der Multiplikation keine Halbgruppe,
da −1, 2 ∈ Z≥(−1) aber (−1) · 2 = −2 6∈ Z≥(−1) ist.
0.24
Gruppe
(i)
Eine Halbgruppe (G, ◦) heißt Gruppe, wenn gilt
(G2)
Es gibt ein Element e ∈ G mit e ◦ a = a für alle a ∈ G.
Ein solches Element e heißt ein neutrales Element.
(G3)
Zu jedem a ∈ G existiert ein Element a0 ∈ G mit
a0 ◦ a = e.
Ein solches Element a0 heißt inverses Element von a.
(ii)
Eine Gruppe (G, ◦) heißt kommutativ oder abelsch, wenn gilt
(G4)
a ◦ b = b ◦ a für alle a, b ∈ G.
Der folgende Satz zeigt, dass das neutrale Element und das inverse Element a0 eines
Elements a eindeutig bestimmt sind. Ferner ist das linksinverse Element“ auch ein
”
rechtsinverses Element“, d.h. es gilt a0 ◦ a = a ◦ a0 = e. Für das neutrale Element gilt
”
entsprechendes.
[0]–14
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
0.25
Eindeutigkeit des neutralen und des inversen Elementes
Sei (G, ◦) eine Gruppe. Dann gilt:
(ii)
Es gibt genau ein neutrales Element e ∈ G, und es gilt ferner a ◦ e = a für
alle a ∈ G.
(ii)
Zu jedem a ∈ G gibt es genau ein inverses Element das mit a−1 bezeichnet
wird. Für a−1 gilt ferner a ◦ a−1 = e.
(iii)
Für jedes a ∈ G ist (a−1 )−1 = a.
(iv)
(a ◦ b)−1 = b−1 ◦ a−1 für a, b ∈ G.
Beweis. (i) + (ii) Wir zeigen zunächst:
Ist a0 inverses Element zu a, so gilt
(1) a ◦ a0 = e.
Zu a0 gibt es nach (G2) ein a00 mit a00 ◦ a0 = e. Daraus erhält man mit (G1) und (G2)
a ◦ a0
e ◦ (a ◦ a0 ) = (a00 ◦ a0 ) ◦ (a ◦ a0 ) =
=
(G2)
=
a00 ◦ (a0 ◦ (a ◦ a0 ))
(G1)
a00 ◦ ((a0 ◦ a) ◦ a0 ) = a00 ◦ (e ◦ a0 )
=
(G1)
a00 ◦ a0 = e.
=
(G2)
Hieraus folgt
(2)
a ◦ e = a, denn
a ◦ e = a ◦ (a0 ◦ a) = (a ◦ a0 ) ◦ a = e ◦ a = a
(G3)
(G1)
(1)
(G2)
Zum Nachweis der Eindeutigkeit des neutralen Elementes e sei e0 ein weiteres neutrales
Element. Damit ist e0 = e ◦ e0 , da e neutral ist, und e = e0 ◦ e, da e0 neutral ist.
Nach (2) ist aber e ◦ e0 = e0 ◦ e, also ist e = e0 .
Zum Beweis der Eindeutigekit des inversen Elementes seien a0 und a00 inverse Elemente
zu a ∈ G.
Dann ist a00 = a00 ◦ e = a00 ◦ (a ◦ a0 ) = (a00 ◦ a) ◦ a0 = e ◦ a0 = a0 .
(2)
(1)
(G1)
Hiermit sind (i) und (ii) bewiesen.
(iii) Nach (ii) gibt es genau ein inverses Element (a−1 )−1 zu a−1 . Es ist aber a◦a−1 = e,
und somit ist auch a ein inverses Element zu a−1 . Also ist a = (a−1 )−1 nach (ii).
(iv) Zu zeigen ist b−1 ◦ a−1 ist das inverse Element zu a ◦ b. Dies folgt aus
(b−1 ◦ a−1 ) ◦ (a ◦ b) = b−1 ◦ (a−1 ◦ (a ◦ b))
(G1)
=
b−1
◦ ((a−1
◦ a) ◦ b) = b−1 ◦ (e ◦ b) = b−1 ◦ b = e.
(G1)
0.26 Bemerkung zur Schreibweise
(i)
Wird die Verknüpfung multiplikativ geschrieben, also a · b oder nur ab für a ◦ b,
so schreibt man 1 für das neutrale Element.
A5
[0]–15
Grundbegriffe
Wird die Verknüpfung additiv geschrieben, also a + b für a ◦ b, so schreibt man
0“ für das neutrale Element und −a für das inverse Element.
”
zu (i) 1a = a1 = a
0+a=a+0=a
zu (ii)
(−a) + a = a + (−a) = 0
(ii)
In den Übungen oder in den Ergänzungen wird bewiesen.
0.27
Äquivalente Einführung einer Gruppe
Sei (G, ◦) eine Halbgruppe, die (G1) erfüllt. (G, ◦) ist genau dann eine Gruppe,
wenn es zu je zwei Elementen a, b ∈ G Elemente x ∈ G und y ∈ G existieren mit
a ◦ x = b,
y ◦ a = b.
Beispiele für kommutative Gruppen sind
(Z, +), (Q, +) und (R, +).
(N, +) ist keine Gruppe, da N kein neutrales Element enthält und z.B. die Gleichung
3 + x = 2 in N nicht lösbar ist.
(N0 , +) ist keine Gruppe, da z.B. die Gleichung 3 + x = 2 auch in N0 nicht lösbar ist.
0.28
Symmetrische Gruppe
Sei M 6= ∅. Setze
S(M ) := {f ∈ Abb(M, M ) : f bijektiv}.
Dann ist S(M ) 6= ∅, da z.B. idM ∈ S(M ). Für f, g ∈ S(M ) sei als Verknüpfung ◦
die Komposition f ◦ g definiert.
(G1) gilt nach (0.20).
(G2) Das neutrale Element ist idM : M → M definiert durch idM (x) = x für
x ∈ M.
(G3) Das inverse Element zu f ist f −1 ∈ S(M ) (siehe 0.21(ii)).
Hat M mindestens 3 Elemente, so ist S(M ) nicht abelsch.
Ist M = {1, 2, . . . , n}, dann schreibt man Sn an Stelle von S({1, . . . , n}). Jedes f ∈ Sn
heißt dann eine Permutation, da die Elemente von {1, . . . , n} in eine andere Reihenfolge
gebracht werden.
[0]–16
A5
Mengen, Abbildungen, Gruppen, Körper
0.29
Ring
Eine Menge R 6= ∅ mit zwei Verknüpfungen + : R × R → R und · : R × R → R
heißt Ring, falls gilt:
(R1)
(R, +) ist eine abelsche Gruppe.
(R2)
(R, ·) ist eine Halbgruppe.
(R3)
(R, +) erfüllt die Distributivgesetze, d.h. es gilt für a, b, c ∈ R gilt
(D1)
a(b + c) = ab + ac.
(D2)
(a + b)c = ac + bc.
(R, +, ·) ist Ring mit Einzelelement, falls ein e ∈ R mit ea = ae = a für alle a ∈ R
existiert. (R, +, ·) heißt kommutativer Ring, falls zusätzlich für a, b ∈ R gilt
ab = ba.
(Z, +, ·) ist ein kommutativer Ring mit der Zahl 1 als Einselement.
Für die Analysis ist besonders wichtig:
0.30
Körper
Eine Menge K 6= ∅ mit zwei Verknüpfungen + und · heißt Körper, wenn gilt:
(K1)
(K, +) ist eine kommutative Gruppe.
Das neutrale Element bzgl. der Addition + “ wird Nullelement genannt und mit
”
0 bezeichnet.
(K2)
(K3)
(K \ {0}, ·) ist eine kommutative Gruppe. Das neutrale Element bzgl. der
Multiplikation · “ wird Einselement genannt und mit 1 bezeichnet.
”
Es gilt für alle a, b, c ∈ K
a · (b + c) = a · b + a · c.
Jeder Körper ist kommutativer Ring mit Einselement.
(Q, +, ·) und (R, +, ·) sind Körper.
A5
[0]–17