Zahlenfolgen

KAPITEL 1
Zahlenfolgen
1. Konvergente Zahlenfolgen
Wir werden Zahlenfolgen dazu benotigen den Begri der Stetigkeit einer Funktion zu denieren, andererseits sind Zahlenfolgen aber auch Abbildungen.
1.1. Unter einer Folge reeller Zahlen (oder einer reellen Zahlenfolge) versteht man eine auf N0 erklarte reellwertige Funktion, die
jedem n ∈ N0 ein an ∈ R zuordnet:
Definition
N0 3 n → an ∈ R.
Man schreibt hierfur
und (an )n≥0 , oder auch a0 , a1 , a2 , . . . .
Die Zahlen an heien Glieder der Folge. Die direkte Vorschrift n → an
wird als explizites Bildungsgesetz, die rekursive Denition der an als
implizites Bildungsgesetz bezeichnet.
Eine Zahlenfolge heit beschrankt, wenn es reelle Konstanten K1 und
K2 gibt mit K1 ≤ an ≤ K2 f
ur alle n ≥ 0.
(an )n∈N
1.2. Eine Zahlenfolge (an )n≥0 , strebt oder konvergiert gegen
den Grenzwert a ∈ R, wenn es zu jeder beliebig kleinen vorgegebenen
Schranke ε > 0 einen Index n0 ∈ N gibt, so dass gilt
Definition
fur alle n ≥ n0 .
Man schreibt: an → a fur n → ∞ oder kurz an → a bzw. limn→∞ an = a.
Jede gegen Null konvergierende Folge heit Nullfolge. Nicht konvergente
Folgen heien divergent.
|an − a| < ε
Beispiel
• an =
1.1. Die Folge (an )n∈N mit
√
n ist divergent,
1
2
1. ZAHLENFOLGEN
ist eine Nullfolge,
• an = 1 − n1 konvergiert gegen 1.
• an =
2n
n2 +1
1.1. Fur jede konvergente Zahlenfolge (an )n≥0 gilt
(1) Der Grenzwert ist eindeutig bestimmt, d.h. aus lim an = a und
n→∞
lim an = b folgt a = b.
n→∞
(2) Konvergente Zahlenfolgen sind beschrankt, d.h. es gibt eine Konstante K mit |an | ≤ K fur alle n ∈ N0 .
Satz
Beweis: zu (1): Wir nehmen an, dass gilt lim an = a und lim an = b, d.h. es gilt
n→∞
n→∞
|an − a| < ε f
ur alle n ≥ n0 und |an − b| < ε fur alle n ≥ n1 . Damit ist aber auch
|a − b| beliebig klein, da aus den Voraussetzungen folgt
|a − b| = |a − an + an − b| ≤ |a − an | + |an − b| ≤ 2ε
fur n ≥ max(n0 , n1 ).
zu (2): Es sei ε = 1, da die Zahlenfolge konvergent ist, gilt
|an − a| ≤ 1
⇔ −1 ≤ an − a ≤ 1 ⇐⇒ a − 1 ≤ an ≤ a + 1
fur n ≥ n0
fur n ≥ n0 .
D.h. alle Glieder der Zahlenfolge mit n ≥ n0 liegen zwischen a − 1 und a + 1. Es
verbleiben damit endlich viele Glieder der Zahlenfolge, die u.U. auerhalb des Intervalls [a − 1, a + 1] liegen, deshalb mussen diese endlich vielen Glieder extra mit
einbezogen werden, es sei
K1 := min(a − 1, a0 , a1 , . . . , an0 −1 ) und K2 := max(a + 1, a0 , a1 , . . . , an0 −1 ),
dann gilt K1 ≤ an ≤ K2 fur alle n ≥ n0 .
#
1.3. Ist (an )n≥0 eine Folge und n0 < n1 < n2 < . . . <
nm < . . . eine (unendliche) aufsteigende Indexfolge, dann heit die Folge
an0 , an1 , an2 . . . , anm , . . . Teilfolge von (an )n≥0 .
Definition
Unmittelbar aus der Denition folgt:
Ist lim an = a, dann konvergiert auch jeder (unendliche) Teilfolge gegen a.
n→∞
2. GRENZWERTBESTIMMUNG
3
1.4. Man sagt, dass eine Folge (bestimmt) gegen den uneigentlichen Grenzwert ∞ divergiert, wenn zu jedem noch so groem
K ∈ R die Ungleichung an ≥ K f
ur alle n > n0 (K) gilt. Analog deniert
man die bestimmte Divergenz gegen den uneigentlichen Grenzwert −∞.
Definition
2. Grenzwertbestimmung
2.1. Rechenregeln. Aus gegebenen Folgen (an )n≥0 und (bn )n≥0 werden durch
Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division neue Folgen gewonnen.
1.2. Sind (an )n≥0 und (bn )n≥0 konvergente Zahlenfolgen mit
lim an = a und lim bn = b dann gilt
n→∞
n→∞
(1) lim an ± bn = a ± b,
n→∞
(2) lim an bn = ab, insbesondere ist lim can = ca, fur c ∈ R.
n→∞
n→∞
(3) Ist a 6= 0, dann gibt es ein n1 ∈ N0 mit an 6= 0 fur alle n ≥ n1 und
fur die Folgen (an )n≥n1 , (bn )n≥n1 gilt
Satz
1
1
= ,
n→∞ an
a
lim
bn
b
= .
n→∞ an
a
lim
(4) lim |an | = |a|.
n→∞
(5) Ist a > 0, dann gibt es ein n2 ∈ N0 mit an > 0 fur alle n ≥ n2 und
fur die Folge (an )n≥n2 gilt
lim
n→∞
√
an =
√
a.
Beweisideen:
(1) Aus |an − a| → 0 und |bn − b| → 0 folgt als Abschatzung mittels Dreiecksungleichung:
|(an ± bn ) − (a ± b)| = |(an − a) ± (bn − b)| ≤ |an − a| + |bn − b| → 0.
(2) Wieder Dreiecksungleichung:
|an bn −ab| = |an (bn −b)+b(an −a)| ≤ |an | |bn −b|+|b| |an −a| ≤ A |bn −b|+|b| |an −a| → 0,
insbesondere ist |an | ≤ A da jede konvergente Folge beschrankt ist (siehe
Satz 1.1.)
4
1. ZAHLENFOLGEN
(3) Ist a 6= 0, dann enthalt a − |a|2 , a − |a|2 nicht die Null, aber alle Glieder der
Folge ab einem gewissen Index n1 . Fur diese gilt
1
− 1 = a − an ≤ C |an − a|,
an a a an fur n ≤ n1 .
(4)
||an | − |a|| ≤ |an − a|.
(5) Ist a = 0, dann sei ε > 0 beliebig klein gewahlt und es gibt einen Index
√
n0 ∈ N0 , so dass an ≤ ε2 gilt f
ur alle n ≥ n0 . Dann gilt aber auch an ≤ ε
√
fur diese n und damit an → 0. Ist dagegen a > 0, dann gilt
√ √
√
√
√
| an − a| | an + a|
√
|an − a|
|a − a|
√
√ ≤ n√
| an − a| =
= √
→ 0.
√
| an − a|
| an + a|
| a|
1.2. Die Folge (an )n∈N mit dem allgemeinen Glied
√
• an = 1+n3 n ist eine Nullfolge.
Beispiel
√
4n2 − 3n − 2n konvergiert gegen − 43 ,
q
q
n−1
3
• an = 8n+10 konvergiert gegen 3 18 .
• an =
2.2. Grenzwertbestimmung durch Abschätzung. Die Grundidee besteht dar-
in Folgenglieder so abzuschatzen, dass man den Grenzwert bekannter Folgen verwenden kann.
1.3. (Vergleichskriterium) Lassen sich fur n ≥ n1 die Glieder der
Zahlenfolge (an )n≥0 nach oben und unten abschatzen durch
Satz
b n ≤ an ≤ c n
mit n→∞
lim bn = lim cn = c,
n→∞
dann ist die Folge (an )n≥0 konvergent und es gilt
lim = c.
n→∞
Beweis: F
ur jedes ε > 0 gilt c − ε ≤ bn ≤ an ≤ cn ≤ c + ε fur alle hinreichend groen
n, also an → c.
#
1.4. (Grenzwertbildung erhält schwache Ungleichungen) Sind
(an )n≥0 und (bn )n≥0 konvergente Folgen mit an ≤ bn f
ur alle n ≥ n1 , dann
gilt a = lim an ≤ lim bn = b.
Satz
n→∞
n→∞
2. GRENZWERTBESTIMMUNG
5
1.1. Die Grenzwertbildung erhalt aber i. Allg. keine strikten
Ungleichungen. Aus an < bn fur alle n ≥ n1 , folgt nur a = lim an ≤ lim bn = b
n→∞
n→∞
und nicht die strikte Ungleichung, wie das Beispiel an = 0 und bn = n1 belegt.
Bemerkung
1.3. Die Folge (an )n∈N mit dem allgemeinen Glied
2
• an = (sinnn) ist eine Nullfolge,
√
• an = n n konvergiert gegen 1.
Beispiel
da
√
√
√
n(n − 1) √
n = (( n n − 1) + 1)n = 1 + n( n n − 1) +
( n n − 1)2 + . . . + ( n n − 1)n
2
nach der Binomischen Formel
≥1+
da fur jedes feste n ∈ N gilt
n(n − 1) √
( n n − 1)2
2
√
√
n
n ≥ 1 ⇐⇒ n ≥ 1 und damit n n − 1 ≥ 0.
Damit ergibt sich die Ungleichung
√
n(n − 1) √
n(n − 1) √
2
( n n − 1)2 ⇐⇒ n − 1 ≥
( n n − 1)2 ⇐⇒
≥ ( n n − 1)2 ≥ 0
2
2
n
√
2
n
und es gilt limn→∞ ( n − 1) = 0. Damit ist aber auch
q √
√
lim ( n n − 1)2 = lim ( n n − 1) = 0.
n ≥ 1+
n→∞
und
n→∞
√
n
√
√
lim ( n − 1) + 1 = lim (( n n − 1) + 1) = lim n n = 0 + 1 = 1.
n→∞
n→∞
n→∞
2.3. Monotone Folgen.
1.5. Eine Zahlenfolge (an )n≥0 heit monoton wachsend (bzw.
monoton fallend), wenn an+1 ≥ an (bzw. an+1 ≤ an ) fur alle n ≥ 0 gilt.
Definition
1.2. Die Folge (an )n≥0 ist genau dann monoton wachsend, wenn
die Folge (−an )n≥0 monoton fallend ist.
Bemerkung
1.5. (Monotonie-Kriterium) Jede monoton wachsende oder monoton fallende beschrankte Zahlenfolge ist konvergent.
Satz
ohne Beweis.
6
1. ZAHLENFOLGEN
1.4. Die Zahlenfolge (an )n∈N mit dem allgemeinen Glied
√
• an = n c ist konvergent und hat den Grenzwert 1 (wie man mit dem
√
gleichen "Trick\ wie fur n n zeigen kann,
P
• an = nk=0 k!1 ist konvergent und hat den Grenzwert e.
Beispiel
Bemerkung
wert e.
1.3. Die Folge (an )n∈N mit an = 1 + n1
n
hat ebenfalls den Grenz-