(Gruppen): I

Übungen zur Vorlesung
MATHEMATIK FÜR PHYSIKER II
Musterlösung zu Blatt 1 Aufgabe 1
Sommersemester 2011
bearbeitet von Tobias Lahme
Aufgabe 1 (Gruppen):
Im Folgenden sind je eine Menge M und eine Verknüpfung ∘ gegeben, wobei ∘ immer für die übliche
Verknüpfung steht, die Sie unter diesem Zeichen kennen. Entscheiden Sie jeweils, ob es sich bei (!,∘)
um eine Gruppe handelt und beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Wahl:
(a)
(b)
(c)
(d)
(ℕ! , +),
(ℤ, +)
(ℤ,∙)
(ℤ \ {0}, +)
Lösung zu Aufgabe 1:
(!,∘) mit einer Menge ! und einer Abbildung ∘∶ ! × ! → ! ist genau dann eine Gruppe, wenn
folgende drei Kriterien erfüllt sind:
(G1) ∀!, !, ! ∈ !: ! ∘ ! ∘ ! = ! ∘ ! ∘ !
(G2) ∃! ∈ ! ∀! ∈ !: ! ∘ ! = !
(G3) ∀! ∈ ! ∃! !! ∈ !: ! ∘ ! !! = ! !! ∘ ! = !
Diese gilt es nun im Wesentlichen bei den Beispielen (a) bis (d) zu untersuchen. Nicht zu vergessen ist
dabei jedoch, dass zunächst einmal die Abbildung ∘ wohldefiniert sein muss, um eines der drei
Kriterien zu beweisen oder zu widerlegen. Hierfür muss die Verknüpfung zweier Elemente aus !
wieder ein Element aus ! ergeben. Oft wird dies auch als Abgeschlossenheit bezeichnet.
(a)
(b)
(ℕ! , +) ist keine Gruppe
Beweis:
zur Wohldefiniertheit von +∶ ℕ! × ℕ! → ℕ! :
Da die Addition zweier nicht negativer ganzer Zahlen wieder eine nicht negative ganze Zahl
ergibt, ist + auf ℕ! wohldefiniert.
Die Bedingung (G3) ist nicht erfüllt:
Das neutrale Element der Addition ist die 0, da ! + 0 = ! gilt für alle ! ∈ ℕ! .
Für beispielsweise 2 ∈ ℕ! (und auch alle anderen Elemente außer 0) existiert jedoch kein
! ∈ ℕ! mit 2 + ! = ! = 0, da diese Gleichung nur für ! = −2 erfüllt ist, jedoch −2 ∉ ℕ! .
Somit ist also (G3) nicht füllt und (ℕ! ,∘) keine Gruppe.
∎
(ℤ, +) ist eine Gruppe
Beweis:
zur Wohldefiniertheit von +∶ ℤ × ℤ → ℤ:
Da die Addition zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt, ist + auf ℤ
wohldefiniert.
Es sind weiter die Bedingungen (G1) bis (G3) zu zeigen.
(G1) Es gilt für alle !, !, ! ∈ ℤ: ! + ! + ! = ! + ! + !.
(G2) ! = 0 ∈ ℤ ist neutrales Element, da gilt: 0 + ! = ! ∀! ∈ ℤ.
(G3) Sei ! ∈ ℤ, dann ist ! !! = −! ∈ ℤ das Inverse zu !, da gilt:
! + −! = 0 = ! ∀! ∈ ℤ.
Anmerkung: (ℤ, +) ist sogar abelsch (kommutativ), da: ! + ! = ! + ! ∀!, ! ∈ ℤ
∎
(c)
(ℤ,∙) ist keine Gruppe
Beweis:
zur Wohldefiniertheit von ∙ ∶ ℤ × ℤ → ℤ:
Da die Multiplikation zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt, ist ∙ auf ℤ
wohldefiniert.
Wieder ist die Bedingung (G3) nicht erfüllt:
Das neutrale Element der Multiplikation ist die 1, da ! ∙ 1 = ! ist für alle ! ∈ ℤ.
Jedoch besitzt beispielsweise 2 ∈ ℤ (und alle anderen Elemente außer 1) kein Inverses, da
!
kein ! ∈ ℤ existiert, für das die Gleichung 2 ∙ ! = ! = 1 erfüllt ist. ! müsste gleich sein,
!
!
jedoch ist ∉ ℤ.
!
Da somit (G3) nicht erfüllt ist, ist (ℤ,∙) keine Gruppe.
(d)
∎
(ℤ \ {0}, +) ist keine Gruppe
Beweis:
zur Wohldefiniertheit von +∶ ℤ \ {0} × ℤ \ {0} → ℤ \ {0}: Die Addition zweier ganzer Zahlen
aus ℤ \ {0} ist nicht abgeschlossen, da für die Verknüpfung aller !! , !! ∈ ℤ \{0} mit !! = −!!
auf 0 abgebildet wird. Somit handelt es sich bei der Abbildung + nicht um ein ∘∶ ! × ! → !
und (ℤ \ {0}, +) ist daher schon keine Gruppe.
Anmerkung: Zudem existiert kein neutrales Element !, da die Bedingung (G2)
! + ! = ! ∀! ∈ ℤ \ {0} nur für ! = 0 erfüllt ist, jedoch 0 ∉ ℤ \ {0}.
∎