Das Standardmodell der Elementarteilchen – Theoretische Einführung

c 2010-2013 Dr. Tord Riemann, [email protected]
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Bearbeitung)
This draft version is not for distribution [2013-12-12 20:12]
Das Standardmodell der Elementarteilchen
– Theoretische Einführung –
Vorlesungen an der Universität Potsdam im SS 2006 – 2010
Vorlesungen an der Technischen Universität Dresden im WS 2012/13
Dr. Tord Riemann
Deutsches Elektronensynchrotron
DESY, Zeuthen, Germany
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
Contents
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V02: Lokale Eichinvarianz
2.1 Freie Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lokale Eichinvarianz der Quantenelektrodynamik (QED) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 e+ e− -scattering with photon exchange ... ist nicht ausgearbeitet ... . . . . . . .
2.3 SU(N)-Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Einige Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 SU(2)-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 SU(3)-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Lokal eichinvariante, nicht-Abelsche Wechselwirkungen: Yang-Mills-Theorien (1954)
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V03: Der Higgs-Mechanismus
3.1 Das Goldstone-Modell und das Goldstone-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Der Higgs-Mechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
31
4
V04: The electroweak Standard Model:
35
5
V05: The electroweak Standard Modell: (ii) Physical Fields
5.1 The couplings between gauge bosons W ± , Z, A and fermions f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
46
6
V06: First evidence for Standard Model: Neutrino scattering etc.
√
V07: e+ e− -scattering at LEP 1 ( s = MZ )
7.1 2-fermion production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Z Resonance physics and Breit-Wigner propagator . . . . . . . .
7.3 Details of the Standard Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Summary of this lecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
1
2
7
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V01: Einführung
1.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Elementarteilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Matrixelemente, Zerfallsbreiten, Wirkungsquerschnitte
1.4 Einige experimentelle Fakten . . . . . . . . . . . . . .
1.5 What will be assumed to be known . . . . . . . . . .
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(I) Symmetrical formulation
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V08: Precision tests of the Standard Model: One-loop corrections
8.1 Running QED coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 The ration NC/CC and the top and Higgs masses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Role of photon emission; radiative tail of the Z resonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
V09: Physics at LEP2 ( s = 200) - ZZ, WW, Z + Higgs?
49
49
49
49
57
64
64
64
64
65
10 V10: Tief-inelastische Lepton-Nukleon-Streuung
66
11 V12: Supersymmetry
72
12 V13: Physics at the LHC
73
13 V13: Evaluation of loop diagrams: Feynman integrals, Mellin-Barnes representations, infinite sums
74
A Phase space integrals for 2-, 3-, and 4-particle production
A.1 Kinematics and Phase Space Parameterizations . . . . . . . . . . .
A.2 The 3-momentum of one particle in the rest frame of another particle
A.3 Two-particle final state . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Some phase-space integrals . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4 Three-particle phase space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Sequential parameterization . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.2 Phase-space volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
A.4.3 d dimensions and soft gluon or photon corrections . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.4 Photon angle and invariant lepton pair mass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.5 A symmetric parameterization using the particle energies in 4 and in d dimensions
A.5 Four- and five particle phase spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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B Gamma-Matrizen und Spuren
B.1 Massive vector particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Spinor particles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.3 γ Matrices and All That . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91
91
91
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C The decay widths of particles in the Standard Model
C.1 Higgs decay into a fermion pair . . . . . . . . . . .
C.2 Muon decay into electron and two neutrinos . . . .
C.3 Some scanned decay and cross section calculations
C.4 Neutron decay into proton and two leptons . . . . .
C.5 Neutral pion decay into two leptons . . . . . . . .
C.6 Z boson and W ± boson decays into two fermions .
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. 101
. 101
D Mathematical appendices
D.1 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . .
D.2 Quadratwurzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.3 Komplexer Logarithmus . . . . . . . . . . . . . .
D.4 The Euler Dilogarithm . . . . . . . . . . . . . . .
D.5 The Gamma function . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5.1 The Pochhammer symbol . . . . . . . . .
D.6 Cauchy Theorem and Residues . . . . . . . . . .
D.7 Die Delta-Funktion und Breit-Wigner-Resonanzen
D.8 Some integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.8.1 Integrals for scalar one-loop functions . .
D.8.2 QED corrections with photon exchange . .
D.8.3 Muon decay with finite electron mass . . .
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E Some Constants
102
102
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104
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116
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117
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Tord Riemann
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Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
V01: Einführung
Die Elementarteilchen, ihre Eigenschaften und Wechselwirkungen werden kurz eingeführt. Das Standardmodell muss sie möglichst vollständig und widerspruchsfrei
beschreiben/erklären, und es sollte darüberhinaus neue Phänomene vorhersagen. Wir
erwarten von einer erfolgreichen Theorie auch, dass sie Quantenkorrekturen vorherzusagen
erlaubt. Das alles soll mit möglichst wenigen ad-hoc–Annahmen erreicht werden.
Tatsächlich ist dieses Programm weitgehend realisiert worden.
In der ersten Vorlesung erinnern wir an einige experimentelle Fakten, die in diesem
Zusammenhang wichtig sind:
• Elementarteilchen, ihre Massen, Lebensdauern, Quantenzahlen
• Wechselwirkungen und Auswahlregeln
• Übergangsmatrixelemente und observable Grössen – Lebensdauern/Zerfallsbreiten
und Wirkungsquerschnitte
Selbstverständlich würde der Versuch, eine auch nur angenäherte Vollständigkeit zu
erreichen, den Rahmen der Vorlesung sprengen.
1.1
Vorbemerkung
Das Standardmodell der Elementarteilchen wird durch eine Lagrangefunktion beschrieben,
die recht kompakt eingeführt werden kann, jedoch eine Vielzahl von Wechselwirkungen enthält. Das wird mit einer Übungsaufgabe sehr schön veranschaulicht, die man
auf der Webseite [1] von T. Gutierrez finden kann, und die hier explizit wiedergegeben
wird. T. Gutierrez hat den Lagrangean des Standardmodells aus Anhängen des “Diagrammatica” zusammengestellt. Der Autor von “Diagrammatica” [2] ist Nobelpreisträger Martinus Veltman. Hier ist die Lagrangefunktion, deren Herleitung und
experimenteller Verifikation wir uns in den folgenden Lektionen widmen werden:
Exercise 1.1.1.1.1a:
Given locality, causality, Lorentz invariance, and known physical data since 1860, show that the
Lagrangian describing all observed physical processes (sans gravity) can be written:
L =
µ σ a
a 2 a
− 21 ∂ν gaµ ∂ν gaµ − g s f abc ∂µ gaν gbµ gcν − 14 g2s f abc f ade gbµ gcν gdµ geν + 21 ig2s (q̄σ
i γ q j )gµ + Ḡ ∂ G +
g s f abc ∂µḠaGb gcµ − ∂ν Wµ+ ∂ν Wµ− − M 2 Wµ+ Wµ− − 21 ∂ν Zµ0 ∂ν Zµ0 − 2c12 M 2 Zµ0 Zµ0 − 12 ∂µ Aν ∂µ Aν − 12 ∂µ H∂µ H −
w
2M
1 2 2
2M 2
1
1
0 0
+
−
2 + − 1
0
0
2
0 0
+ −
2 mh H − ∂µ φ ∂µ φ − M φ φ − 2 ∂µ φ ∂µ φ − 2c2w Mφ φ − βh [ g2 + g H + 2 (H + φ φ + 2φ φ )] +
2M 4
α − igcw [∂ν Zµ0 (Wµ+ Wν− − Wν+ Wµ− ) − Zν0 (Wµ+ ∂ν Wµ− − Wµ− ∂ν Wµ+ ) + Zµ0 (Wν+ ∂ν Wµ− − Wν− ∂ν Wµ+ )] −
g2 h
3
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
igsw [∂ν Aµ (Wµ+ Wν− − Wν+ Wµ− ) − Aν (Wµ+ ∂ν Wµ− − Wµ− ∂ν Wµ+ ) + Aµ (Wν+ ∂ν Wµ− − Wν− ∂ν Wµ+ )] −
1 2 + − + − 1 2 + − + −
2 2 0 + 0 −
0 0 + −
2 2
+
−
2 g Wµ Wµ Wν Wν + 2 g Wµ Wν Wµ Wν + g cw (Zµ Wµ Zν Wν − Zµ Zµ Wν Wν ) + g sw (Aµ Wµ Aν Wν −
Aµ Aµ Wν+ Wν− ) + g2 sw cw [Aµ Zν0 (Wµ+ Wν− − Wν+ Wµ− ) − 2Aµ Zµ0 Wν+ Wν− ] − gα[H 3 + Hφ0 φ0 + 2Hφ+ φ− ] −
1 2
1 M 0 0
4
0 4
+ − 2
0 2 + −
2 + −
0 2 2
+ −
8 g αh [H + (φ ) + 4(φ φ ) + 4(φ ) φ φ + 4H φ φ + 2(φ ) H ] − gMWµ Wµ H − 2 g c2 Zµ Zµ H −
w
1
1
+ 0
−
−
0
− 0
+
+
0
+
−
−
−
+
2 ig[Wµ (φ ∂µ φ − φ ∂µ φ ) − Wµ (φ ∂µ φ − φ ∂µ φ )] + 2 g[Wµ (H∂µ φ − φ ∂µ H) − Wµ (H∂µ φ −
2
s
φ+ ∂µ H)] + 12 g c1w (Zµ0 (H∂µ φ0 − φ0 ∂µ H) − ig cww MZµ0 (Wµ+ φ− − Wµ− φ+ ) + igsw MAµ (Wµ+ φ− − Wµ− φ+ ) −
1−2c2
ig 2cw w Zµ0 (φ+ ∂µ φ− − φ− ∂µ φ+ ) + igsw Aµ (φ+ ∂µ φ− − φ− ∂µ φ+ ) − 41 g2 Wµ+ Wµ− [H 2 + (φ0 )2 + 2φ+ φ− ] −
2
2
1 2 sw 0
1 2 1 0 0
1 2 sw 0 0
+ −
− +
+ −
2
0 2
2
2 + −
4 g c2w Zµ Zµ [H + (φ ) + 2(2sw − 1) φ φ ] − 2 g cw Zµ φ (Wµ φ + Wµ φ ) − 2 ig cw Zµ H(Wµ φ −
Wµ− φ+ ) + 12 g2 sw Aµ φ0 (Wµ+ φ− + Wµ− φ+ ) + 12 ig2 sw Aµ H(Wµ+ φ− − Wµ− φ+ ) − g2 csww (2c2w − 1)Zµ0 Aµ φ+ φ− −
g1 s2w Aµ Aµ φ+ φ− − ēλ (γ∂ + mλe )eλ − ν̄λ γ∂νλ − ūλj (γ∂ + mλu )uλj − d̄λj (γ∂ + mλd )dλj + igsw Aµ [−(ēλ γµ eλ ) +
ig 0
1 λ µ λ
2 λ µ λ
λ µ
5 λ
λ µ
2
5 λ
λ µ 4 2
5 λ
3 (ū j γ u j ) − 3 (d̄ j γ d j )] + 4cw Zµ [(ν̄ γ (1 + γ )ν ) + (ē γ (4sw − 1 − γ )e ) + (ū j γ ( 3 sw − 1 − γ )u j ) +
(d̄λj γµ (1 − 38 s2w − γ5 )dλj )] + ig√ Wµ+ [(ν̄λ γµ (1 + γ5 )eλ ) + (ūλj γµ (1 + γ5 )Cλκ dκj )] + ig√ Wµ− [(ēλ γµ (1 + γ5 )νλ ) +
2 2
2 2
ig mλe
g mλe
† µ
κ
5
λ
+
λ
5
λ
−
λ
5
λ
√
(d̄ j Cλκ γ (1 + γ )u j )] +
[−φ (ν̄ (1 − γ )e ) + φ (ē (1 + γ )ν )] − 2 M [H(ēλ eλ ) + iφ0 (ēλ γ5 eλ )] +
2 2 M
ig
ig
λ
5 κ
− λ λ †
5 κ
√ φ+ [−mκ (ūλC λκ (1 − γ5 )d κ ) + mλ
u (ū j C λκ (1 + γ )d j ] + 2M √2 φ [md (d̄ j C λκ (1 + γ )u j ) −
j
d j
2M 2
mλ
mλ
mλ
mλ
†
mκu (d̄λj Cλκ
(1 − γ5 )uκj ] − g2 Mu H(ūλj uλj ) − 2g Md H(d̄λj dλj ) + ig2 Mu φ0 (ūλj γ5 uλj ) − ig2 Md φ0 (d̄λj γ5 dλj ) + X̄ + (∂2 −
2
)X 0 + Ȳ∂2 Y + igcw Wµ+ (∂µ X̄ 0 X − − ∂µ X̄ + X 0 ) + igsw Wµ+ (∂µ Ȳ X − −
M 2 )X + + X̄ − (∂2 − M 2 )X − + X̄ 0 (∂2 − M
c2w
∂µ X̄ + Y) + igcw Wµ− (∂µ X̄ − X 0 − ∂µ X̄ 0 X + ) + igsw Wµ− (∂µ X̄ − Y − ∂µ Ȳ X + ) + igcw Zµ0 (∂µ X̄ + X + − ∂µ X̄ − X − ) +
1−2c2
igsw Aµ (∂µ X̄ + X + − ∂µ X̄ − X − ) − 12 gM[X̄ + X + H + X̄ − X − H + c12 X̄ 0 X 0 H] + 2cw w igM[X̄ + X 0 φ+ −
w
X̄ − X 0 φ− ] + 2c1w igM[X̄ 0 X − φ+ − X̄ 0 X + φ− ] + igMsw [X̄ 0 X − φ+ − X̄ 0 X + φ− ] + 21 igM[X̄ + X + φ0 − X̄ − X − φ0 ]
Der Autor verweist darauf, dass man die Vorzeichen in seiner Funktion überprüfen
sollte, bevor man sie verwendet.
Eine sorgfältig getestete Version des Lagrangeans des Standardmodells findet man
zum Beispiel im Lehrbuch von Böhm, Denner u. Joos [3], dessen Konventionen wir
weitgehend folgen werden. Als weitere Basisreferenz, aus Sicht des Experimentalphysikers geschrieben, empfehle ich das deutschsprachige Buch von Berger [4].
Bei den Hörern des Kurses werden Grundkenntnisse zur Kern- und Teilchenphysik
vorausgesetzt.
1.2
Elementarteilchen
Elementarteilchen im Sinne dieser Vorlesung – und der Teilchenphysik (und der
Physik insgesamt) – sind alle beobachtbaren punktförmigen Objekte mit Wechselwirkungen, die mit den Methoden der Physik beschrieben werden können. Man
kann sie durch ihre Masse, den Spin und ladungsartige Quantenzahlen sowie ihre
Lebensdauer klassifizieren. Dass elementare Objekte eine endliche Lebensdauer
haben können, ist eine durchaus nicht triviale Feststellung. Vor etwa hundert Jahren
kannte man wenige elementare Teilchen:
4
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
• Proton und Neutron
• Elektron
• Photon
Diese Liste war dann zu erweitern um das Antiteilchen des Elektrons, das Myon und
sein Antiteilchen (erste Vertreter einer zweiten Teilchengeneration), das lange Zeit
hypothetische Neutrino, später weitere Neutrinos, usw.
Fast alle diese Fermionen wechselwirken elektromagnetisch, aber es gibt auch schwache
Zerfälle und die Kernkraft, oder allgemeiner die starke Wechselwirkung (sowie die
Gravitation, die wir hier nicht weiter betrachten werden). Ob die starken und schwachen
Wechselwirkungen durch Teilchen, analog zu den Photonen, übertragen werden, war
lange nicht bekannt.
Andererseits wurden Pionen und weitere Mesonen sowie Baryonresonanzen entdeckt, die auch als elementare Objekte angesehen werden konnten, und es wurde entdeckt, dass Mesonen und Baryonen - im Unterschied zu den Leptonen - nicht punktförmig sind, sondern eine Struktur haben. Paritätsverletzung und CP-Verletzung
sowie diverse Zerfallsregeln (Verbote, globale Quantenzahlen, Leptonenzahlerhaltung etc.) wurden entdeckt. Die Untersuchungsobjekte wurden immer aufwändiger
präpariert:
• Radioaktive Quellen, Kathodenstrahlen usw. im Labor
• Höhenstrahlung, kosmische Strahlung
• Teichenbeschleuniger, Kernkraftwerke
Parallel entstanden neue Nachweisgeräte, die den höheren Energien und Intensitäten
Rechnung trugen.
Beschleunigeranlagen, die wesentliches Beobachtungsmaterial für das Teilchenmodell lieferten, sind u.a.
• diverse Detektoren am SLAC
• Beschleuniger PS mit Detektoren Gargamelle und Funkenkammer am CERN
• Beschleuniger SPS mit den Detektoren UA1 und UA2 am CERN
• Beschleuniger PETRA mit den Detektoren Jade, Mark J, Pluto, Tasso am DESY
• Beschleuniger LEP mit den Experimenten ALEPH (see also http://aleph.
web.cern.ch/aleph/alpub/draft/AlephHistory.pdf), L3, DELPHI und
OPAL am CERN
• Beschleuniger HERA mit den Experimenten H1, ZEUS, Hermes am DESY
5
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
600
mH[GeV]
upper mH limit (all data)
lower mH limit (LEP)
400
200
0
1995
2000
2005
2010
Figure 1.1: Higgs boson mass measurements. The upper limits and the fit values for MH derive from a combination
of virtual corrections to LEP and similar data, top and W mass measurements, performed by the LEPEWWG. The lower
mass limit is due to LEP direct searches. The lower limits from data combinations are not shown. Figure taken from [5].
• Beschleuniger Tevatron mit den Experimenten CDF und D0 am Fermilab
• Beschleuniger LHC mit den Experimenten Atlas und CMS am CERN
Ein sehr komplizierter Paradigmenwechsel war mit der Einführung von Quarks mit
der Color-SU(3)-Symmetrie in das Ideengebäude der Physik verbunden, die Mesonen und Hadronen als elementare Objekte ablösen, und die als punktförmig wahrgenommen werden. Quarks wechselwirken im Unterschied zu Leptonen stark, das wird
durch Gluonen vermittelt.1 Zudem wurde eine dritte Generation von Teilchen entdeckt, zu der Tau-Leptonen und Tau-Neutrinos sowie Top- und Bottom-Quarks gehören.
Insgesamt hat sich dann in den Siebziger und Achtziger Jahren des vorigen Jahrhunderts das Bild der Elementarteilchen abgerundet, so, wie wir es heute als gesicherte
Erkenntnis betrachten und im Standardmodell beschreiben/erklären.
Erst 1995 wurde das Top-Quark mit einer Masse von etwa 173 GeV entdeckt.
Danach war das einzige “missing link” bei der Verifizierung oder Falsifizierung des
Standardmodells das Higgs-Boson. In den Jahren nach der LEP-Inbetriebnahme
hatte sich die Vorhersagekraft indirekter Messungen der Higgsboson-Parameter beträchtlich erhöht, siehe Abbildung 1.1. Die Topquark-Masse war dabei ein wichtiger
Input-Parameter. Siehe Abbildung 1.1.
[From ETschaYa, translate etc:]
Im Jahr 2012 berichteten die LHC-Kollaborationen ATLAS und CMS über die Beobachtung eines skalaren Teilchens mit einer Masse von etwa 125 GeV [6,7], die recht gut
mit den indirekten Vorhersagen üebereinstimmte. Inzwischen wird allgemein akzeptiert, dass es tatsächlich ein Teilchen ist, das dem Higgsboson des Standardmod1 Eine schöne Darstellung aus Sicht eines Physikers, der am DESY in dieser Periode wirkte, gibt P. Söding im Vortrag The Decade of 1969-1979:
How Quarks and Gluons Became Real. Siehe Alternativ: Seminare des DESY in Zeuthen.
6
Tord Riemann
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Figure 1.2: Higgs boson mass estimate. Figure of LEPEWWG, taken from [10].
ells wesensgleich oder ähnlich ist. Binnen eines Jahres wurde im Oktober 2013 der
Physik-Nobelpreis an Peter Higgs und Francois Englert verliehen, “... for the theoretical discovery of a mechanism that contributes to our understanding of the origin
of mass of subatomic particles, and which recently was confirmed through the discovery of the predicted fundamental particle, by the ATLAS and CMS experiments
at CERNs Large Hadron Collider” [8]. Die ausführliche Begründung der Klasse
für Physik der Königlich-Schwedischen Akademie der Wissenschaften “Scientific
Background on the Nobel Prize in Physics 2013: The BEH-Mechanism, Interactions with Short Range Forces and Scalar Particles” [9] reproduziert den so genannten “blue-band plot” von März 2012 [10], der von der LEP Electroweak Working Group LEPEWWG berechnet wird. Siehe Figure 1.2. Der Plot wird mit der
Standardmodell-Bibliothek ZFITTER berechnet, die Theoretiker aus JINR/Dubna
und DESY/Zeuthen betreuen [11–13].
Dieser Exkurs durch die Begriffswelt hat die Aufgabe, Ihnen einige wichtige (oder
auch: historisch wichtige) Tatsachen zu benennen und Sie anzuregen, sich selbst
genauer zu informieren. Bei weiterer Ausarbeitung der Skripte werden genauere
Ausführungen und vor allem vertiefende Weblinks eingearbeitet. Einige Berückhtigung finden dabei Wikipedia-Einträge, die im allgemeinen recht zuverlässig sind
und häufig auch auf fachwissenschaftliche Webseiten verweisen. Es sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass Webseiten im Internet per se nicht die Qualität
haben, wie man sie von einem guten Lehrbuch sehr wohl erwarten kann; das surfen
im Internet kann das Studium der Fachliteratur [3] keinesfalls ersetzen. Eine uner7
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
schöpfliche Quelle von Definitionen sowie aktuellsten Daten und Parametern ist der
“Review of Particle Physics” [14].
Wir geben in den Tabellen 1.1 und 1.2 eine Zusammenstellung der elementaren
Fermionen, die in Leptonen und Quarks unterteilt werden können, und in Tabelle 1.3
eine Zusammenstellung der Eichbosonen, die die Wechselwirkungen der Fermionen
vermitteln. Wir werden jedoch sehen, dass sie auch Selbstwechselwirkungen haben
können. Die Tabellen enthalten keine Teilchen, die nicht beobachtet worden sind;
daher ist z.B. das Higgsboson des Standardmodells nicht enthalten.
Leptonen
Symbol
1
νe
Masse
el. Ladung
< 3 eV
0
Entdeckung
Cowan, Reines 1956
(inverser β-Zerfall)
e−
2
0.5110 MeV
−1
Kathodenstrahlen vor
1900 (Positron 1932)
νµ
< 190 keV
0
Ledermann, Schwartz,
µ−
105.66 MeV
−1
Kosmische Strahlung
1936
ντ
< 18.2 MeV
0
DONUT Experiment
Steinberger 1962
3
(FNAL) 1997-2000
τ−
1777 MeV
−1
M. Perl et al.
(MARK I Exp.) 1975
Table 1.1: Die drei Lepton-Familien.
Dass auch Neutrinos - sehr kleine - Massen besitzen müssen, ist seit 1998 bekannt,
als mit grossen unterirdisch betriebenen Detektoren Neutrino-Oszillationen für Neutrinos von der Sonne und aus der Höhenstrahlung zweifelsfrei nachgewiesen werden
konnten. Diese Detektoren waren ursprünglich zur Suche nach Protonzerfällen konstruiert worden. Neutrino-Oszillationen sind möglich, wenn die Teilchen massiv sind
und ihre Umwandlung möglich ist, es also keine strenge Leptonenzahlerhaltung gibt.
Siehe dazu auch die entsprechende Lektion.
Die color-Quantenzahl kann drei Werte annehmen: rot, grün, blau (r, g, b). Die
Quarks bilden color-Triplets: (ur , ug , ub ) etc. In der Natur sind nur color-neutrale
Zustände beobachtbar: color-Singlets. Das sind Baryonen (qqq) oder Mesonen (qq̄).
Die Ladungen der Baryonen und Mesonen, z.B. Q(p) = 1 und Q(n) = 0 für Proton
und Neutron:
p = (u, u, d)
n = (u, d, d)
8
(1.1)
(1.2)
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
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Quarks
Symbol
1
2
3
Masse
el. Ladung
Entdeckung
dr , dg , db
∼ 1 − 5 MeV
−1/3
∼ 1964
ur , ug , ub
∼ 3 − 9 MeV
+2/3
∼ 1964
sr , sg , sb
∼ 75 − 170 MeV
−1/3
∼ 1964
cr , cg , cb
∼ 1.15 − 1.35 GeV
+2/3
Richter et al. (SLAC),
Ting et al. (BNL) 1974
br , bg , bb
∼ 4.0 − 4.4 GeV
−1/3
Lederman et al.
174.3 ± 5.1 GeV
+2/3
tr , tg , tb
(FNAL) 1977
CDF-, D0-Experimente
(FNAL) 1994
Table 1.2: Die drei Quark-Familien. Jedes Quark kommt in drei color-Varianten vor.
sind Summen der Ladungen ihrer Konstituenten Q(u) = 2/3, Q(d) = −1/3.2
Konkrete Beispiele findet man z.B. hier: buildingparticles. Da es keine freien
Quarks gibt, sind die Massen als effektive Massen zu verstehen [15].
Sie wurde eingeführt, um z.B. die Strangeness-Quantenzahl:
Sie wurde eingeführt, um z.B. die assozierte Produktion von K-Mesonen zu beschreiben
(1953):
π− + p → K 0 + Λ
(1.3)
wobei K 0 und Λ die Strangeness S = +1 und S = −1 haben; es ist K 0 = (d s̄ und Λ =
(uds) ist ein Baryon mit drei verschiedenen Quarks, siehe http://de.wikipedia.
org/wiki/Kaon und http://en.wikipedia.org/wiki/Lambda_baryon.
SU(3)-flavour-Symmetrie: 1961.
Quarkmodell: Gell-Mann, Zweig 1964.
Substruktur der Hadronen (Partonen):
Hofstadter et al., Friedman, Kendall, Turner et al. (SLAC), 1969.
Wir wissen nicht, warum es N f = 3 Generationen (oder Familien) von Teilchen
gibt. Vielleicht besteht ein Zusammenhang von N f mit der Existenz von CP-Verletzung,
die im Standardmodell durch Fermionen-Mischung entstehen kann, wenn die Fermionen ihre Massen durch Kopplung ans Higgs erhalten, und es mindestens drei Generationen gibt.
2 We
neglect here the aspect of color; proton and neutron are also constructed as color singlets.
9
Tord Riemann
Kraft
Starke WW
Standardmodell & Beschleunigerphysik
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rel. Stärke
wirkt auf
vermittelt durch
Theorie
1
Quarks und Gluonen
(mit Farbladungen)
elektrisch geladene
Teilchen
Quarks, Leptonen
(außer νR ),
W ±, Z0
8 Gluonen g
(masselos, Spin 1)
Photon γ
(masselos, Spin 1)
W +, W −, Z0
(massiv, Spin 1)
Quantenchromodynamik (QCD)
Quantenelektrodynamik (QED)
elektroschwaches
Standardmodell
(GSW)
alle Teilchen
Graviton
(masselos, Spin 2)
Allgemeine
Relativitätstheorie (ART)
Elektromagnet. WW
Schwache WW
10−3
Gravitation
10−38
10−5
Table 1.3: Die Wechselwirkungen der Elementarteilchen im GSW– (Glashow-Salam-Weinberg–) Modell.
Wir wissen auch nicht, warum es Leptonen und Quarks gibt, warum es drei colorFreiheitsgrade gibt (c f = 3), und warum die Quarkladungen gedrittelt sind. Es ist
jedenfalls so, dass das Standardmodell konsistent renormierbar ist (frei von so genannten Anomalien ist), wenn folgende Relation für die Summe der Ladungen, in jeder
Teilchengeneration separat, erfüllt ist:
X
X
Qq = 0.
(1.4)
Ql + c f
l
q
Hier ist c f = 3 die Zahl der Color-Freiheitsgrade und l sowie q stehen fuer Leptonen
und Quarks in einer Generation (Familie). Tatsächlich gilt: (0 − 1) + 3 × (2/3 − 1/3) =
−1 + 3 × 1/3 = 0.
1.3
Matrixelemente, Zerfallsbreiten, Wirkungsquerschnitte
Das Standardmodell der Elementarteilchen muss verschiedenste Messungen zusammenfassen/erklären:
• Massen und Quantenzahlen der Teilchen
• Zerfallsbreiten bzw. Lebensdauern der Teilchen
• Wirkungsquerschnitte von Streuprozessen
Zerfallsbreiten und Wirkungsquerschnitte sind quantenmechanische Übergangswahrscheinlichkeiten und werden als Absolutquadrate von Matrixelementen berechnet. Dabei
ist zu beachten:
• Anfangs- und Endzustand enthalten Teilchen in Eigenzuständen, z.B. mit wohldefinierten
4-Impulsen.
10
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
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• Ein Übergang a + b → c1 + c2 + · · · setzt sich im allgemeinen aus mehreren Teilprozessen zusammen. Daher tragen mehrere Matrixelemente Mi kohärent zur
Observablen Oa bei:
X
a
a
Oa = |
M1 + M2 + · · · |2
(1.5)
i
• Es gibt jedoch häufig Situationen, in denen verschiedene Endzustände im Detektor nicht zu unterscheiden sind, obwohl sie formal verschieden sind. Ein
typisches Beispiel: enthält ein Endzustand ein zusätzliches Photon mit verschwindend geringer Energie, wird man es nicht vom Rest des Events abheben
können. In solchen Fällen ist die Observable O durch die inkohärente Summe
der entsprechenden Beiträge zu berechnen (Stichwort: Dichtematrix):
X
Oa
(1.6)
O =
a
Wir haben im Rahmen dieser Vorlesung nicht die Zeit, die Formeln für die Übergangswahrscheinlichkeiten herzuleiten. Wir können sie hier nur anführen.
Die Zerfallsbreite für den Übergang eines Teilchens mit dem Impuls p0 = (E0 , |p|) in
einen n-Teilchen-Endzustand ist3 [3][1.2.25]:
P
Z 3
d p1 d3 pn 1 (2π)4 δ4 (p0 − pn )
1
···
= Γ =
|hA → b1 · · · bn i|2 (1.7)
3n
τ
2E1
2En (2π)
2E0
Der Ausdruck hA → b1 · · · bn i enthält die Summe aller Matrixelemente der Teilbeiträge
zum Endzustand b1 · · · bn . Wenn mehrere Endzustände beitragen, sind die Ausdrücke
inkohärent zu addieren. Die Masseinheit ist 1/sec, da wir jedoch stets
~ = c = 1
(1.8)
setzen, wird die Zerfallsbreite in MeV gemessen:
Γ
Γ
=
(1.9)
~
6.587 × 10−22 MeV sec
Der numerische Faktor ist zu berücksichtigen, wenn man eine Breite in MeV berechnet hat und dann in 1/sec umrechnen möchte.
Beispiele: Myon-Zerfall, Pionzerfall, Neutronzerfall.
Analog wird der totale Wirkungsquerschnitt definiert [1.2.24]:
P
Z 3
d p1 d3 pn 1 (2π)4 δ4 (k1 + k2 − pn )
σtot =
···
|hA1 + A2 → b1 · · · bn i|2
q 3n
2E1
2En (2π)
2 λ s, m21 , m22
Γ[1/sec] =
3 Wir benutzen im allgemeinen die Notation des Lehrbuches [3], und verweisen gegebenenfalls auf entsprechende Formeln darin mit der Notation
[3][1.2.25], oder auch kürzer durch [1.2.25].
11
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Draft 2013-12-12 20:12
(1.10)
Die Funktion λ(a, b, c) wird auch Kallen-Funktion (A.5) genannt:
2 2
λ s, m1 , m2 = s2 + m41 + m42 − 2sm21 − 2sm22 − 2m21 m22
2
= s − m21 − m22 − 4m21 m22
(1.11)
Der Ausdruck ist relativistisch invariant, wie man mit Hilfe der folgenden Relation
sehen kann:
d3 p
≡ d4 pδ p2 − M 2 θ(p0 )
(1.12)
2E
Man sieht das mit E = p0 und unter Verwendung von Eigenschaften der δ-Funktion,
siehe Anhang D.7.
Beispiel:
Der differentielle QED Paar-Produktions-Wirkungsquerschnitt für e+ e− → f + f − lautet
für punktförmige Teilchen mit Ladung Q f (hier ist stets Q − e = −1):
πα2
dσ
=
[~c]2 1 + cos2 θ Q2f
d cos θ
2s
2
2 πα2
2
−26 GeV cm
2
(0.1973286) × 10
1 + cos θ Q2f
=
2
s
2
πα
GeV 2 cm2 =
(0.08938576) × 10−26
1 + cos2 θ Q2f
2
s
2
GeV
2
= 32.571 nbarn
1 + cos θ Q2f
2
s[GeV ]
(1.13)
Dabei ist θ der Streuwinkel (gemessen zwischen e− und f − im center-of-mass system
(cms).
Nach Winkelintegration
Z
4
1 1
(1.14)
d cos θ(1 + cos2 θ) =
2 −1
3
erhält man den totalen Wirkungsquerschnitt:
σtot
πα2
[~c]2
=
2s
(1.15)
wobei wir verwenden, dass s = 4E 2 , wobei E die Strahlenergie sei und im Schwerpunktsystem gemessen werde, und die Masseinheit des Wirkungsquerschnitts ist:
106 fbarn = 103 pbarn = 1 nbarn = 10−33 cm2
12
(1.16)
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
Die Zahl (~c)2 = 0.38937966 mbarn GeV2 = 0.38937966 × 106 nbarn GeV2 wird als
Konversionsfaktor bezeichnet.
Wir führen weitere Konstanten an (siehe auch Appendix E):
1 GeV
c
~
αem
Gµ
=
=
=
=
=
1.519 × 1024 ~/sec
2.998 × 1010 cm/sec
6.582 × 10−25 GeV sec
1/137.06
1.166 × 10−5 /GeV2
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
Der Wirkungsquerschnitt ist ein Mass für die Zählraten am Beschleuniger:
N = L × T × σtot ,
(1.22)
1032
LLEP = 2
cm sec
(1.23)
wobei N die gemessene Zahl von Ereignissen ist, T die Messdauer, und die Luminosity L ist eine Beschleuniger- und Detektor-spezifische Grösse; z.B war bei LEP1
und beim LHC wird erreicht:4
1034
(1.24)
cm2 sec
Bei LEP beträgt ein typischer Wirkungsquerschnitt 1 nbarn = 10−33 cm2 . Für die
Hadron-Produktion am LEP ergibt sich ein Wert von etwa 20 nbarn. Ein typisches
Jahr hat 100 Tage, d.h. etwa 107 sec, und das bedeutet eine typische Zählrate von
LLHC =
1032
× 10−33 cm2 × 107 sec = 106 Ereignisse
(1.25)
N=
2
cm sec
Mit Millionen von Ereignissen
kann man erwarten, Wirkungsquerschnitte mit einer
√
Genauigkeit von etwa N/N = 10−3 , also von einem Promille, zu messen.
1.4
Einige experimentelle Fakten
Die Theorie der schwachen Wechselwirkungen muss eine Anzahl von experimentellen
Fakten beschreiben:
• Massive Teilchen zerfallen in der Regel spontan in Mehrteilchenendzustände
leichterer Teilchen. Manchmal gibt es nur einen Zerfallskanal, manchmal auch
mehrere. Beispiele sind:
4 Ein
n → p + e− + ν¯e
(1.26)
Überblick zum LHC – Technik, Detektoren, Physikprogramm – wird im Vortrag von P. Sphicas (CERN) zu “The Upcoming Dawn of CMS and
the LHC” gegeben. Siehe alternativ: “Seminare des DESY in Zeuthen”.
13
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
µ−
µ+
π+
π+
π+
→
→
→
→
→
Draft 2013-12-12 20:12
νµ + e− + ν¯e
ν̄µ + e+ + νe
e+ + νe
e+ + νe + γ
µ+ + νµ
• Betrachten wir (1.27). Das Übergangsmatrixelement hat die Form:
i
GF h
M = √ ψµ γr (1 − γ5 )ψν̄µ ψe γr (1 − γ5 )ψνe
2
Die totale Zerfallsrate (inverse Lebensdauer) berechnet sich daraus zu:
(1.27)
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
(1.32)
G2F 5
1
1
Γµ =
=
(1.33)
mµ =
3
τµ
192π
(2.19703 ± 0.00004) × 10−6 s
Die Beziehung von Lebensdauer und Fermi-Konstante im Fermi-Modell lautet
genauer:
!"
!#
G2F 5
m2e
α 25
2
1+
(1.34)
−π ,
Γµ =
m 1−8
mµ 2
2π 4
192π3 µ
wobei die runden Klammern eine final-state Phasenraumkorrektur enthalten,
und die eckigen Klammern Einschleifen-QED-Korrekturen (1956-1959, [16,17]).
Die Stärke verschiedenster schwacher Zerfälle wird durch die universelle FermiKonstante sehr genau beschrieben:
G F = 1.16637 × 10−5 GeV−2 .
(1.35)
Zweischleifen-QED-Korrekturen (1999, [18]) zu (1.34) bewirken, dass der Zahlenwert von 1.16639 zu 1.16637 korrigiert wird. Siehe auch Appendix E dazu und
Appendix C.2 zu einer genaueren Behandlung des Phasenraumfaktors und zur
Berücksichtigung des W-Boson-Propagators. Später werden wir die schwachen
Korrekturen behandeln, die eine modfizierte Formel für die Myon-Lebensdauer
ergeben, denn die Theorie sagt G F vorher, unter Berücksichtigung von (1.34):
παem
(1 + ∆r) ,
GF = √
(1.36)
2
2s2W MW
wobei ∆r Korrekturen höherer Ordnung enthält. Für Details siehe Kapitel 4.6.2.1
in [3] und später folgende Lektionen.
• Die Zerfälle sind alle maximal paritätsverletzend, vom Typ γr (1 − γ5 ), d.h. die
Übergangsmatrixelemente sind wie in (1.32) von der Form ψA γr (1 − γ5 )ψB.5
5 Wir erinnern daran, dass die Kombination 1 (1 − γ ) masselose freie Fermionen auf Zustände mit z-Spinkomponente entgegen der Bewegungsrich5
2
tung projiziert.
14
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
• Es handelt sich um charged-current Reaktionen; elektrische Ladung wird zwischen den Strömen ausgetauscht.
• Die Zerfälle mit Hadronen (oder Mesonen) haben scheinbar eine etwas geringere
Stärke als die rein leptonischen. Dieses Phänomen wird durch das CabibboMixing verursacht: Das u-Quark koppelt nicht nur an das d-Quark, sondern
an eine Mischung aus dem d-Quark und dem s-Quark, so dass sich der Kopplungsanteil des d-Quarks effektiv etwas vermindert.
• Während es eine Vielzahl von charged-current–Reaktionen gibt, sind vergleichbar starke neutral-current–Reaktionen, die nicht durch Photonen vermittelt
werden, lange Zeit nicht beobachtet worden: Flavor-changing neutral-current–
Reaktionen sind unterdrückt.
• Die beschriebenen Eigenschaften von Zerfallsreaktionen zeigen auch die durch
schwache Wechselwirkungen vermittelten Streuprozesse an Beschleunigern oder
auch in Kernreaktoren. Beispiele sind:
νl + N → l + N̄, l = e± , µ± , N = p, n,
νl + e− → l + νe
(1.37)
(1.38)
wobei auch diese Reaktionen nur unter Beachtung der Erhaltung elektrischer
Ladung möglich sind.
• Neben der elektrischen Ladungserhaltung gibt es eine Reihe von weiteren Auswahlregeln,
die formuliert wurden, um das Fehlen von kinematisch erlaubten Reaktionen
formal zu beschreiben. Dabei spielen die sogenannte Hyperladung und die
Strangeness eine wichtige Rolle.
Add text here.
• In Analogie zur QED erwartet man sogenannte Strahlungskorrekturen zu den
Matrixelementen wie (1.32). Eine renormierbare Quantenfeldtheorie, die das
leiten könnte, ist nicht ohne weiteres zu finden.
Die Formulierung und Ausarbeitung einer Theorie, die die aufgezählten Phänomene
auch quantitativ beschreibt, führt uns zum elektroschwachen Standardmodell. Das
ist der Gegenstand dieser Vorlesung.
Zusammen mit der Quantenchromodynamik (QCD) bildet die elektroschwache Theorie das Standardmodell der Elementarteilchen.
1.5
What will be assumed to be known
Unsere Vorlesungen setzen gedanklich voraus einen Zyklus von Vorlesungen mit
einer Einführung zu formalen Aspekten der Quantenfeldtheorie, wie sie etwa an der
15
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
Universität Dresden von Professor Dominik Stöckinger angeboten wird.
Nevertheless, in a one-semester course of about thirteen lectures it is impossible
to introduce the complete theoretical framework needed here for a well-founded understanding of the Standard model as a field theory. We will assume that the basic
facts on field quantization, the derivation of the perturbative series and of Feynman
rules are known [or may be intuitively understood].
A nice open-source introduction to the corresponding formulae may be found from
Maria-Laach-Vorlesungen 2004 by Thorsten Ohl:
http://maria-laach.physik.uni-siegen.de/Folien/2008/Ohl/Laach2008.
pdf
http://maria-laach.physik.uni-siegen.de/Folien/2008/Ohl/Laach2008-loesungen.
pdf
A similar Presentation is given by Thomas Binoth at the Maria Laach School in 2004:
http://maria-laach.physik.uni-siegen.de/2004/Folien/Binoth/binoth.
ps.gz is given by Thomas Binoth at Maria Laach School in 2004.
References
[1] T. D. Gutierrez, webpage http://nuclear.ucdavis.edu/ tgutierr/files/stmL1.html.
[2] M. J. G. Veltman, Diagrammatica: The Path to Feynman Rules. Cambridge, UK: Univ. Pr. (1994) 284 p. (Cambridge lecture notes
in physics, 4).
[3] M. Böhm, A. Denner, H. Joos, Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interaction, 3rd Edition, B.G. Teubner, Stuttgart,
Leipzig, Wiesbaden, 2001, 789 p.
[4] C. Berger, Elementarteilchenphysik - Von den Grundlagen zu den modernen ExperimentenSpringer, Berlin, Heidelberg, New
York, 2. Auflage 2006, 496 S.
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[6] G. Aad, et al., Observation of a new particle in the search for the Standard Model Higgs boson with the ATLAS detector at the
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[7] S. Chatrchyan, et al., Observation of a new boson at a mass of 125 GeV with the CMS experiment at the LHC, Phys. Lett. B716
(2012) 30–61. arXiv:1207.7235, doi:10.1016/j.physletb.2012.08.021.
[8] Press release from Royal Swedish Academy of Sciences, 8 October 2013, available from http://www.nobelprize.org/
nobel_prizes/physics/laureates/2013/press.pdf.
[9] The Class for Physics of the Royal Swedish Academy of Sciences. Scientific Background on the Nobel Prize in Physics 2013:
The BEH-Mechanism, Interactions with Short Range Forces and Scalar Particles. Available from http://www.nobelprize.
org/nobel_prizes/physics/laureates/2013/advanced-physicsprize2013.pdf.
[10] Blue-band plot of the LEPEWWG (March 2012), http://lepewwg.web.cern.ch/LEPEWWG/plots/winter2012/w12_
blueband.pdf.
[11] Webpage of the ZFITTER project, http://zfitter.com.
[12] D. Bardin, M. Bilenky, P. Christova, M. Jack, L. Kalinovskaya, A. Olchevski, S. Riemann, T. Riemann, ZFITTER v.6.21:
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[13] A. Arbuzov, M. Awramik, M. Czakon, A. Freitas, M. Grünewald, K. Mönig, S. Riemann, T. Riemann, ZFITTER: A Semianalytical program for fermion pair production in e+ e− annihilation, from version 6.21 to version 6.42, Comput. Phys. Commun.
174 (2006) 728–758, doi:10.1016/j.cpc.2005.12.009. arXiv:hep-ph/0507146, doi:10.1016/j.cpc.2005.12.009.
[14] C. Amsler, et al., Review of particle physics, Phys. Lett. B667 (2008) 1. doi:10.1016/j.physletb.2008.07.018.
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10.1103/PhysRev.101.866.
16
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
[17] T. Kinoshita, A. Sirlin, Radiative corrections to Fermi interactions, Phys. Rev. 113 (1959) 1652–1660. doi:10.1103/PhysRev.
113.1652.
[18] T. van Ritbergen, R. G. Stuart, Complete 2-loop quantum electrodynamic contributions to the muon lifetime in the Fermi model,
Phys. Rev. Lett. 82 (1999) 488–491. arXiv:hep-ph/9808283, doi:10.1103/PhysRevLett.82.488.
17
Tord Riemann
2
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
V02: Lokale Eichinvarianz
Die Quantenelektrodynamik ist eine qualitativ und quantitativ erfolgreiche Beschreibung der Wechselwirkung von elektrisch geladenen Teilchen und Photonen. Sie erlaubt die Berechnung von sogenannten Strahlungskorrekturen im Rahmen der quantenfeldtheoretischen Störungstheorie für eine Vielzahl von Observablen. Die Renormierung – Beseitigung der sogenannten Ultraviolett- (UV-) Singularitäten – ist durch
die Eichinvarianz der Theorie unter Verwendung endlich vieler Renormierungskonstanten zu allen Ordnungen der Störungstheorie möglich.
Diesem Beispiel folgend soll eine Theorie gefunden werden, die analoges leistet
auch für die starken und schwachen Wechselwirkungen, und möglicherweise auch
für die Gravitation. Eine vereinheitlichte Beschreibung der verschiedenen Wechselwirkungen in einer höhersymmetrischen Theorie wäre dabei natürlich wünschenswert.
Es hat sich gezeigt, dass tatsächlich ein Standardmodell der elektroschwachen und
starken Wechselwirkungen formuliert werden kann, indem man Lagrangefunktionen
mit nichtabelscher Eichsymmetrie postuliert, deren Symmetrie spontan gebrochen
ist (Higgs-Mechanismus), d.h. durch die Annahme eines nicht-symmetrischen Vakuumzustands der Theorie bei zugleich ungebrochen lokal eichinvarianten Wechselwirkungen.
In dieser Vorlesung behandeln wir:
• Freie Felder
• Invarianz der QED bei abelschen lokalen Eichtranformationen der U(1)-Gruppe
• Invarianz der Yang-Mills-Theorie bei nicht-abelschen lokalen Eichtranformationen der SU(N)-Gruppe
2.1
Freie Felder
Eine systematische Darstellung der Grundlagen der Quantenfeldtheorie wird in den
Vorlesungen “Quantenphysik II” und “Quantenfeldtheorie” gegeben. Wir folgen
hier, insbesondere auch bei der Wahl der Konventionen, dem Lehrbuch [1].
Freie Teilchen mit Spin s= 12 werden durch 4-komponentige Dirac-Spinoren Ψa (x)
beschrieben. Diese genügen der Dirac-Gleichung:
0 = (iγ∂ − m) Ψ(x)
4 X
µ
=
iγαβ ∂µ − m 1αβ Ψβ (x).
(2.1)
(2.2)
α=1
Das freie Dirac-Feld hat Komponenten mit Erzeugungsoperatoren a+ , b+ und Vernichtungsoperatoren a, b und definierter Projektion des Drehimpulses auf die Bewe18
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
gungsrichtung j3 = ± 12 ( j3 ist Erhaltungsgrösse):
Z
i
1 X d3 p̄ h
+ipx
−ipx
+
(p)e
. (2.3)
(p)e
+
v
(p,
j
)b
u
(p,
j
)a
Ψα (x) =
α
α
j
3
3
3
j3
2E p
(2π)3 j
3
Die Bezeichnungen sind:
px = p0 x0 − p̄ x̄
p0 = E p
(2.4)
(2.5)
und es gilt
p2
Ψ̄
o
n
′
′
Ψα (x), Ψα′ (x ) = Ψ̄α (x), Ψ̄α′ (x )
o
n
Ψα (x), Ψ̄α′ (x′ )
mit
1
∆(x − x , m) = −
(2π)3
′
Z
= m2
= Ψ+ γ0
= 0
(2.6)
(2.7)
(2.8)
= iS αα′ (x − x′ , m)
= (iγ∂ + m)i∆(x − x′ , m)
(2.9)
d4 pδ(p2 − m2 )sign(p0 )e−ipx
Die γ-Matrizen erfüllen die Relationen
{γµ , γν } = γµ γν + γν γµ = 2gµν 1
i
γ5 = iγ0 γ1 γ2 γ3 = − ǫµνρσ γµ γν γρ γσ
4!
2.2
(2.10)
(2.11)
(2.12)
Lokale Eichinvarianz der Quantenelektrodynamik (QED)
Der Lagrangean der QED lautet:
h
i
1
LQED = − Fµν F µν + Ψ̄ iγµ ∂µ − m − eQγµ Aµ Ψ
(2.13)
4
Bei einer lokalen Eichtranformation des Spinorfeldes hängt der Eichparameter θ(x)
vom Ort x ab:
Ψ(x)′ = e−ieQθ(x) Ψ(x)
Ψ̄(x)′ = Ψ̄(x)e+ieQθ(x)
(2.14)
(2.15)
Hier ist e die Elementarladung mit
αem =
e2
= 1/137.03600.
4π
19
(2.16)
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
und Q die Ladung des jeweiligen Fermions. Insbesondere gilt für das Elektron
Q(e) = −1.
(2.17)
Der Feldstärketensor Fµν hängt mit dem Vektorfeld Aµ (x) zusammen:
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ .
(2.18)
Betrachten wir nun das Transformationsverhalten des Spinorteils des Lagrangeans:
h
i
′
µ
µ ′
′
LQED = Ψ̄ iγ ∂µ − m − eQγ Aµ Ψ′
(2.19)
h
i
= Ψ̄(x)e+ieQθ(x) iγµ ∂µ − m − eQγµ A′µ e−ieQθ(x) Ψ(x)
h
i
= Ψ̄(x) iγµ ∂µ − m − eQγµ A′µ + iγµ ∂µ e−ieQθ(x) Ψ(x)
Bei globaler Eichinvarianz wäre θ = const., und wir hätten A′ = A. Der Unterschied
zur globalen Eichinvarianz entsteht hier durch den Term
h
i
iγ∂ e−ieQθ(x) Ψ(x) = eQγ (∂θ(x)) + iγ∂ e−ieQθ(x) Ψ(x)
(2.20)
Der Zusatzterm e−ieQθ(x) Ψ(x) eQγ∂θ(x) kann kompensiert werden, indem eine entsprechende
Eichtransformation auf das Vektorfeld angewendet wird:
A(x)′ = A(x) + ∂θ(x)
(2.21)
Dadurch wird der Spinorteil des Lagrangeans invariant gegenüber lokalen Eichtransformationen. Unabhängig davon ist auch der Feldstärketensor eichinvariant:
h
i
′
Fµν
= ∂µ [Aν + ∂ν θ(x)] − ∂ν Aµ + ∂µ θ(x)
(2.22)
= Fµν ,
weil [∂µ ∂ν − ∂ν ∂µ ]θ(x) = 0.
Die Forderung nach Eichinvarianz der Theorie wird durch die sogenannte minimale Kopplung erfüllt. Sie erlaubt zugleich, die Wechselwirkung von Materieteilchen
und Photonen zu finden.
Wir fassen zusammen. Die Lagrangefunktion der QED enthält die minimale Kopplung von Spinoren und Vektorteilchen:
h
i
1
(2.23)
LQED = − Fµν F µν + Ψ̄ iγ∂ − m − eQAµ γµ Ψ
4
Die Felder transformieren sich unter einer lokalen Eichtransformation mit dem Eichparameter θ(x):
Ψ′ = e−ieQθ(x) Ψ
Ψ̄′ = Ψ̄e+ieQθ(x)
20
(2.24)
(2.25)
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
A′µ = Aµ + ∂µ θ(x)
Draft 2013-12-12 20:12
(2.26)
Unter einer kombinierten Anwendung dieser drei Transformationen ist die LagrangeFunktion invariant.
Der Term − 14 Fµν F µν ist alleine eichinvariant. Da er bilinear ist, enthält er keine
Wechselwirkungsterme.
2.2.1
e+ e− -scattering with photon exchange ... ist nicht ausgearbeitet ...
The Lagrangean of QED describes many of the physical phenomena of everyday life,
atomic physics, optics etc. In our context, it is worth mentioning that the quantum
field theory of electromagnetism allows to evaluate perturbative quantum corrections
to basic processes originating from higher order corrections. A systematic presentation of the apparatus of quantum field theory is well beyond the scope of this lecture
course. We just like to mention here that a systematic perturbative expansion of scattering amplitudes may be derived and interpreted in terms of Feynman diagrams.
The Feynman diagrams may be constructed with Feynman rules. The Feynman rules
contain interaction vertices, in case of QED there is only one such object:
e-e-g vertex
Let us have a look at e+ e− -annihilaion. This reaction is used in particle accelerators for the discovery and production of other particles and for the study of their
properties. The simplest reaction is:
The corresponding cross-section may be evaluated to be:
For quark-pair production, one has a factor of three compared to muon-pair production due to the incoherent production of three different kinds of quarks. This
reflects the existence of the color quantum number.
Experimentally, this has been studied by measuring the ratio of two cross-sections,
σhadrons
R =
σµ
X
,
(2.27)
=
Q2µ
where for the hadronic cross-section some theoretical ansatz has to be chosen. The
correct one is, in certain kinematical regions, due to quark-pair production (ideally
with higher-order corrections). One calculates the incoherent sum over quark pair
production cross-sections:
P
Ncolor q Q2q
R =
(2.28)
Q2µ
21
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
This is a truly simple observable, and it allows to measure e.g. the color degrees
of freedom, or to check on the charges of “open” quark degrees of freedom. Open
degrees are those which are accessible by the kinematics, i.e. are not too heavy to be
produced.
Nature is much richer than quantum electrodynamics, and for that reason we have
to go on.
2.3
SU(N)-Symmetrien
Die Elementarteilchen, ihre statischen Eigenschaften und ihre Wechselwirkungen
weisen auf Symmetrien der SU(N)-Gruppen hin:
• Zerfälle von schwach wechselwirkenden Teilchen zeigen Isospin-Symmetrie,
die als Invarianz unter der Gruppe SU(2) interpretiert werden kann;
• Die Wechselwirkungen stark wechselwirkender Teilchen zeigen SU(3)-Symmetrie,
d.h. sie können beschrieben werden, indem die Teilchen in entsprechenden Multipletts angeordnet werden. Es gibt allerdings zunächst keine Kandidaten für die
Fundamentale Darstellung (Quarks in Triplets).
Kann man diese Beobachtungen zur Konstruktion einer Feldtheorie benutzen, die
diese Wechselwirkungen dann auch quantitativ beschreibt? Beispielhaftes Vorbild
ist die Quantenelektrodynamik mit lokaler U(1)-Symmetrie:
Die Renormierbarkeit von Quantenfeldtheorien und die Einschränkung der Form
von Wechselwirkungstermen in der Lagrange-Funktion erfordern das Vorhandensein
von lokaler Eichinvarianz.
2.4
Einige Begriffe
Die Felder (der Materie-Teilchen) formen Multiplets (Vektoren) Ψi , mit i = 1 · · · n,
die sich entsprechend einer Darstellung Dg einer Symmetriegruppe G mit den Elementen g ∈ G transformieren.
Die Generatoren T a werden durch (n × n)-Matrizen dargestellt.
Die lokale Eichtransformation der Felder ist dann:
a
Ψi (x) → Ψi (x)′ = eiθa (x)T i j Ψ j (x)
(2.29)
wobei exp[iθa (x)T a ] ebenso wie T a durch (n × n)-Matrizen dargestellt werden kann;
infinitesimale Transformationen sind z.B.:
h
i
eiδθT = 1 + iδθT + O (δθ)2 ,
(2.30)
mit infinitesimal kleinem δθ(x). Globale Eichinvarianz gilt für θa (x) = const.
22
Tord Riemann
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Draft 2013-12-12 20:12
Wir nehmen nun an, die Materiefelder (Spinorfelder) seien in der fundamentalen
Darstellung (Darstellung der Gruppe G mit kleinster Dimension).
2.4.1
SU(2)-Gruppe
Die fundamentale Darstellung ist zweidimensional, die Multiplets sind Dublets. Die
entsprechenden Generatoren sind (bis auf einen Faktor) die drei Pauli-Matrizen τa :
Ta =
τa
2
Eine Darstellung der Pauli-Matrizen:
!
!
!
1
0
0
−i
0
1
, τ3 =
, τ2 =
τ1 =
0 −1
i 0
1 0
(2.31)
(2.32)
Produkt und Summe von Gruppenelementen sind wieder Gruppenelemente. Die
Kommutatorrelationen der Gruppengeneratoren T a definieren die Strukturkonstanten f abc der Gruppe:
h
i
T a , T b = i f abc T c
(2.33)
Die Paulimatrizen erfüllen die Relation:
τa τb = δab + iǫ abc τc
(2.34)
woraus unmittelbar folgt, dass die Strukturkonstanten der SU(2) lauten:
f abc = ǫ abc .
(2.35)
Hier ist ǫ abc der total antisymmetrische Tensor; die nicht verschwindenden Elemente
sind:
ǫ 123 = ǫ 231 = ǫ 321 = −ǫ 132 = −ǫ 231 = −ǫ 321 = 1.
(2.36)
Die (n × n)-Matrizen der Darstellung der Symmetriegruppe formen eine Lie-Algebra
der Gruppe. Die Ordnung der Gruppe oder auch Dimension der Gruppe ist die
Anzahl der unabhängigen Generatoren (Erzeugenden).
Der Rang r der Gruppe ist die maximale Anzahl der vertauschenden Generatoren.
Beispiel: Die Gruppe der unitären (N × N)-Matrizen mit Determinante 1, SU(N), hat
N 2 − 1 Generatoren: für SU(2): 3 Generatoren, und für SU(3): 8 Generatoren.
Für semi-simple kompakte Gruppen können die Strukturkonstanten total antisymmetrisch gewählt werden. Für die SU(2) ist das mit den ǫ abc evident.
Neben der fundamentalen Darstellung ist im weiteren die adjungierte Darstellung
der Gruppe wichtig. Sie wird durch die Strukturkonstanten f abc definiert:
a
T adj
= −i f abc
(2.37)
bc
23
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
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Das sind also für die Gruppe SU(N) jeweils N 2 − 1 Matrizen der Dimension N. Für
die SU(2):


0 0 0 


1ab
1
(2.38)
= 0 0 −i ,
T ad
j = (−i)ǫ


0 i 0


0 0 −i


2
2ab
(2.39)
T ad
= 0 0 0  ,
j = (−i)ǫ


i 0 0


0 −i 0


3
3ab
(2.40)
T ad
=  i 0 0
j = (−i)ǫ


0 0 0
2.4.2
SU(3)-Gruppe
Die Gruppe SU(3) definiert die Symmetrie-Eigenschaften der starken Wechselwirkungen und wird in dieser Vorlesung nicht im Zentrum stehen. Trotzdem seien hier kurz
einige grundlegende Eigenschaften gegeben.
Die fundamentale Darstellung ist dreidimensional, und die Materiefelder werden
in Triplets zusammengefasst. Die Generatoren in dieser Darstellung sind (wieder bis
auf eine Konstante) die acht Gell-Mann-Matrizen λa :
T
a
λa
=
,
2
(2.41)
mit
λ1
λ4
λ7

0

= 1

0

0

= 0

1

0

= 0

0




1 0
1 0
0 −i 0



3
2 
0 0 , λ =  i 0 0 , λ = 0 −1




0 0
0 0 0
0 0




0 1
0 0
0 0 −i



6
5 


0 0 , λ = 0 0 0  , λ = 0 0




0 10
i 0 0
00



0 0 
1 0 0 
1 


8
0 −i , λ = √ 0 1 0 

3 0 0 −2
i 0

0

0

0

0

1

(2.42)
Zwei Generatoren sind diagonal, der Rang der Gruppe ist also zwei: λ3 , λ8 .
Die Strukturkonstanten f abc der SU(3)-Gruppe können total antisymmetrisch gewählt
werden. Sie können wieder benutzt werden zur Darstellung der acht Generatoren in
24
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der adjungierten Darstellung, die hier 8x8-Matrizen sind:
bc
a
= −i f abc ,
T adjg.
(2.43)
mit den folgenden Werten nichtverschwindender Strukturkonstanten:
f 123 = +1
1
f 147 = − f 156 = f 246 = f 257 = f 345 = − f 367 =
2√
3
f 458 = f 678 =
2
2.5
(2.44)
(2.45)
(2.46)
Lokal eichinvariante, nicht-Abelsche Wechselwirkungen: Yang-Mills-Theorien (1954)
Wir kommen nun zur lokalen Eichinvarianz von Lagrangefunktionen, die bei Transformationen der Gruppe G invariant sein sollen.
Die Verallgemeinerung zu nicht-Abelschen Gruppen führt zu bemerkenswerten
Konsequenzen, die im Artikel “Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge
Invariance”, C.N.Yang and Mills, Phys. Rev. 96 (1954) 91 [2] untersucht wurden.
Die Autoren betrachten Kernkräfte und versuchten deren Beschreibung als Wechselwirkungen mit Isospin-Invarianz (die ja beobachtet wurde) bei lokalen Eichtransformationen.
Als Multiplet stelle man sich ein Dublet von Proton und Neutron vor. Es zeigt
sich, dass Invarianz unter lokalen Isospin-Rotationen die Existenz von “b-Feldern”
erfordert (dies in Analogie zum Vektorfeld der QED), die nichtlineare Differenzialgleichungen erfüllen. Diese “b-Felder” müssen Spin=1, Isospin=1, und drei elektrische Ladungszustände mit Q = ±e und Q = 0 haben. Nichtlineare Differenzialgleichungen für diese Felder bedeuten, abweichend von den Photonen der QED, dass
diese Felder Selbstwechselwirkungen haben. Die Masse der “b-Felder” scheint, wie
auch die der Photonen, wegen der Eichinvarianz Null sein zu müssen. Das war aber
1954 eine Killer-Eigenschaft, weil masselose Überträger von Isospin-verändernden
Wechselwirkungen nicht beobachtet wurden.
Die kovariante Ableitung ist allgemein:
Dµ,i j (x) = ∂µ − igAbµ (x)T ibj
(2.47)
wobei die Generatoren T b hier natürlich wieder in der fundamentalen Darstellung
mit den Spinor-Multipletts wirken sollen.
In der Gruppe SU(2) gibt es drei Generatoren in der fundamentalen Darstellung als
2x2-Matrizen.
In der Gruppe SU(3) gibt es acht Generatoren in der fundamentalen Darstellung als
3x3-Matrizen.
25
Tord Riemann
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Draft 2013-12-12 20:12
Wie jedoch transformieren sich die Eichfelder Abµ ?
Die Transformationen der Eichfelder sollen diejenigen der Materiefelder kompensieren.
Es muss ebenso viele Generatoren geben, wie es Eichfelder gibt.
Also wählt man die Generatoren der Transformationen der Eichfelder in der adjungierte Darstellung, von der man genau diese Eigenschaft kennt:
Eichfelder transformieren sich entsprechend der adjungierten Darstellung der Eichgruppe. Die Generatoren sind die Strukturkonstanten f abc , siehe (2.37).
In der Gruppe SU(2) gibt es drei Generatoren als 3x3-Matrizen in der adjungierten
Darstellung, und für die SU(3) sind es acht 8x8-Matrizen.
Der Feldstärketensor und die Lagrangefunktion werden daher wie folgt angesetzt:
a
(x) = ∂µ Aaν (x) − ∂ν Aaµ (x) + g f abc Abµ (x)Acν (x) und kein Massenterm (2.48)
Fµν
h
i
1 a
LY M = − Fµν
(x)F µν,a (x) + Ψ̄(x) iγµ Dµ,i j (x) − m 1i j Ψ(x)
(2.49)
4
Ohne den Term mit f abc Abµ Acν , den es in der QED nicht gibt, gibt es auch keine
Selbstwechselwirkung der Eichfelder Abµ (x).
Die folgenden infinitesimalen Feldtransformationen lassen die Lagrangedichte invariant:
Ψ′i (x) = eiδθ
a (x)T a
ij
Ψ̄i (x)′ = Ψ̄ j (x)e
Ψ j (x)
(2.50)
−iδθa (x)T aji
(2.51)
Ai′µ (x) = Aiµ (x) +
1 ad j
Dµ,i j (x) δθ j (x)
g
(2.52)
In (2.52) ist die kovariante Ableitung (2.47) in der adjungierten Darstellung zu verwenden, in (2.49) jedoch in der fundamentalen Darstellung. Es folgt aus der Transformationsregel für die Eichfelder Aiµ (x) diejenige für den Feldstärketensor:
Fµν,i (x)′ = Fµν,i (x) + f i jk Fµν, j (x) δθk (x)
(2.53)
In der QED ist (siehe (2.22)):
Fµν (x)′ = Fµν (x)
(2.54)
Der Lagrangean für die Eichfelder alleine ist eichinvariant, der für die Spinorfelder
alleine ist das nicht.
Exemplifizieren.
Verglichen mit den experimentellen Erfahrungen, sind die bis hier angeführten
Formeln nicht sehr nützlich.
26
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
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Man erwartet, dass Eichbosonen der schwachen Wechselwirkung, fals es sie gibt,
massiv sind. Das liest man zum Beispiel aus der Fermi-Konstanten ab, die dimensionsbehaftet ist. Das wäre eine natürliche Tatsache, wenn die Fermi-Konstante reflektieren würde, dass die Energieskala der Wechselwirkungen, die sie beschreibt,
sehr klein ist im Vergleich zur Eichbosonmasse:
"
#
g2
g 2
1
GF
→
(2.55)
M∼ √ ∼ √
2
2
8MW
2
2 2 p2 − M W
Exemplifizieren.
Wären jedoch die Eichbosonen massiv, wäre der Lagrangean nicht mehr eichinvariant, wie man leicht sieht:
blablabla
Um eine Yang-Mills-Theorie zur Beschreibung der Elementarteilchen-Wechselwirkungen
anwenden zu können, ist es also notwendig, entweder massive Eichbosonen in das
Kalkül einzubeziehen, oder zu verstehen, weshalb es zwar masselose Eichbosonen
gibt, sie jedoch sich der Beobachtung entziehen. Erstaunlicherweise scheint die
Natur beide Varianten realisiert zu haben, und jede von ihnen ist in der Realisierung
durchaus komplexer Art.
Ersteres ist durch den Higgsmechanismus gelungen und ermöglichte die Formulierung
der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkungen.
Letzteres erwies sich als Schlüsselansatz zur Quantenchromodynamik als Theorie
der starken Wechselwirkungen.
Ein weiteres Problem bestand darin, dass die (charged-current) schwachen Wechselwirkungen maximal paritätsverletzend sind. Es ist aber evident, dass naiv konstruierte Massenterme für chirale Fermionen verschwinden:
Lm f = const m f (ψ¯L )ψL = const m f ψ̄RLψ = 0
(2.56)
Es gelten für die chiralen Projektoren L und R
1
L = (1 − γ5 ),
(2.57)
2
1
(2.58)
R = (1 + γ5 )
2
die üblichen Eigenschaften L2 = L, R2 = R, LR = 0, L + R = 1.
Wir verwenden hier auch, dass (ψ¯L ) = (ψL )† γ0 = (Lψ)† γ0 = ψ† L† γ0 = ψ† Lγ0 =
−ψ† γ0 R etc.
Siehe dazu auch Appendix B.
Eine Anwendung der sehr eleganten Idee lokaler nicht-abelscher Eichinvarianz
hing also entscheidend davon ab, Teilchenmassen konsistent zu beschreiben. Für die
schwachen Wechselwirkungen leistet das der Higgsmechanismus.
27
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
References
[1] M. Böhm, A. Denner, H. Joos, Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interaction, 3rd Edition, B.G. Teubner, Stuttgart,
Leipzig, Wiesbaden, 2001, 789 p.
[2] C.-N. Yang, R. L. Mills, Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance, Phys. Rev. 96 (1954) 191–195. doi:
10.1103/PhysRev.96.191.
28
Tord Riemann
3
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
V03: Der Higgs-Mechanismus
Noch nicht final. Einige wenige Formeln müssen noch gehackt werden.
Die Probleme bei der Beschreibung der Elementarteilchen-Wechselwirkungen mit
lokal eichinvarianten Lagrange-Funktionen beruhen wesentlich auf den Massen von
Teilchen, die diese lokale Eichinvarianz stören.
Wir werden nun sehen, daß es zu diesem Problem eine Lösung gibt:
• Annahme der Existenz (mindestens) eines skalaren, massiven (Higgs-)Teilchens,
das lokal eichinvariante Wechselwirkungen hat;
• das Higgsfeld hat (mindestens) einen nichtverschwindenden Vakkuumerwartungswert;
• die Teilchen erhalten ihre Massen durch Wechselwirkungen mit dem Higgsfeld.
Tatsächlich fand Peter Higgs im Jahre 1964 eine Möglichkeit, massive Eichbosonen und Eichinvarianz miteinander verträglich zu notieren [1]. Weitere wichtige
Originalarbeiten in diesem Zusammenhang sind [2–7]. Eine journalistisch geprägte
Kurzbiografie von Peter Higgs ist in der Wochenschrift “Die Zeit” (2008) erschienen.
Ein Foto von Peter Higgs finden Sie hier.
Die experimentelle Suche nach Higgs-Bosonen hatte einen absoluten Höhepunkt
mit dem Routinemessbetrieb des LHC im Jahre 2010-212 erreicht, von dessen Resultaten wir eine ultimative Antwort auf die Frage nach der Existenz von HiggsBosonen wohl erhalten haben. Wir haben das vorn schon reflektiert. Bis dahin gab
es nur Messungen, die Higgsbosonen mit Massenwerten unter etwa 120 GeV (am
Beschleuniger LEP des CERN) und zwischen 170 und 180 GeV (am TeVatron des
Fermilab) ausschliessen.
3.1
Das Goldstone-Modell und das Goldstone-Theorem
Wir betrachten zunächst die Selbstwechselwirkung eines komplexen skalaren Feldes
mit Masse M [8]. Die freie Lagrange-Funktion lautet:
† %
1
L = ∂µ φ ∂µ φ − M 2 |φ|2 .
(3.1)
2
Die allgemeine Lagrange-Funktion des Goldstone-Modells mit Wechselwirkungsterm ist:
† %
(3.2)
L = ∂µ φ ∂µ φ − V(φ),
2 !2
λ
2 µ
−V(φ) = − |φ| −
4
λ
λ
1
= − |φ|4 + µ2 |φ|2 + const,
(3.3)
4
2
29
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
und ist invariant unter globalen Phasentransformationen:
φ(x) → eiθ φ(x).
(3.4)
Damit die Energie von unten gebunden ist, muß gelten: λ > 0. Das Vorzeichen von
µ muß mit Vorsicht diskutiert werden:
• µ2 < 0:
Das komplexe Feld φ hat die Masse M 2 = −µ2 , vergleiche dazu (3.1). Die
klassische Feldkonfiguration mit minimaler Energie (das klassische Vakuum)
ist φ0 (x) = 0.
• µ2 > 0:
Diese Lösung ist auch möglich. Betrachte im Potential (3.3) die Nullstelle (das
Minimum):
µ2
|φ| − − > 0
λ
2
bedeutet
|φ| =
q
µ2 λ
(3.5)
(3.6)
Bevor wir die Masse des Feldes bestimmen, suchen wir auch hier die Feldkonfiguration, die das Potential V(φ) minimiert, es ist:
φ0 (x) = veiθ ,
(3.7)
r
µ2
v =
,
(3.8)
λ
und θ ist eine nicht festgelegte Konstante, die durch eine Eichtransformation
geändert werden kann.
Dieser zweite Fall ist sehr interessant. Wir haben hier eine Gesamtheit von Grundzuständen. Die Felder können parametrisiert werden als Fluktuationen um einen der Grundzustände:
"
# 1
1
i θ+ √ ξ(x)
2v
.
(3.9)
φ(x) = v + √ η(x) e
2
Hier sind η(x) und ξ(x) reelle Felder. Die Wahl eines der Grundzustände, mit der
Phase θ, führt zur sogenannten spontanen Symmetriebrechung. Der Lagrangean
wird:
1 % µ 1 % µ 1 2 2
L =
∂µ ξ ∂ ξ + ∂µ η ∂ η − µ η + higher order terms in ξ, η(3.10)
2
2
2
Der Massenterm des skalaren Feldes entsteht sowohl aus dem Wechselwirkungsterm
als auch aus dem “Massenterm”:
L M = bilinear terms in η, ξ
30
Tord Riemann
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Draft 2013-12-12 20:12
!
!
λ
η 4 µ2
η 2
+
+···
LM = − v + √
v+ √
4
2
2
2
3
1
= − µ2 η2 + µ2 η2
4
4
1 2 2
= − µ η ,
(3.11)
2
unter Verwendung von v2 = µ2 /λ.
Der Lagrangean hat, durch die Symmetriebrechung, einen vollkommen anderen
Feldgehalt bekommen:
• η(x) ist ein skalares, reelles Feld mit der Masse µ.
• ξ(x) ist jedoch ein masseloses skalares reelles Feld; das Goldstone-Feld.
Allgemein führt die spontane Brechung einer kontinuierlichen globalen Symmetrie
zu masselosen skalaren Feldanregungen, den Goldstone-Bosonen.
Wir können diese Betrachtungen verallgemeinern von der Gruppe U(1) der Phasentransformationen zu nichtabelschen Gruppen G mit N Generatoren T a , und dabei ein
Multiplet φ(x) von n skalaren Feldern betrachten, sowie Konsequenzen der Eichinvarianz des Potentials bei spontaner Symmetriebrechung studieren. Das führt zum
Goldstone-Theorem [8–10]:
Die Matrix der Massenquadrate der Felder hat für jeden spontan gebrochenen
Generator (mit T iaj v j , 0) einen Eigenwert Null, und die anderen Eigenwerte sind
positiv. Da Einzelheiten hierzu den Zeitrahmen sprengen, verweisen wir auf die
Lehrbuch-Literatur, z.B. Kapitel 4.1.1.2 in [11].
3.2
Der Higgs-Mechanismus
Wir werden nun sehen, dass die lokal eichinvariante Kopplung des Higgsfeldes an
Vektorfelder überraschende Konsequenzen hat.
Dazu führen wir ein komplexes, skalares, mehrkomponentiges Feld Φ(x) ein.
Mit der kovarianten Ableitung (2.47)
Dµ = ∂µ − igAaµ T a
(3.12)
a
(x) = ∂µ Aaν (x) − ∂ν Aaµ (x) + g f abc Abµ (x)Acν (x)
Fµν
(3.13)
und dem Feldstärketensor (2.48)
kann man die Wechselwirkung des komplexen skalaren Feldes mit dem VektorfeldMultiplett Aaµ (x) beschreiben:
† 1
1 a
(x)F µν,a (x) + Dµ φi Dµ φi − V(φ)
(3.14)
Lφ = − Fµν
4
2
31
Tord Riemann
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Hier nehmen wir an, φ sei ein Multiplet von komplexen Feldern und beschrieben
durch einen Vektor in der fundamentalen Darstellung der Gruppe G. Es gibt keinen
expliziten Massenterm für die Eichfelder.
!
φ1
Beispiel: Gruppe SU(2), Dublet
.
φ2
Das Selbstwechselwirkungspotential des Feldes φ wurde in section 3.1 bereits eingeführt, und es hat die allgemeine Gestalt:
2 !2
µ
λ
1
µ4
λ
|φ|2 −
= |φ|4 − µ2 |φ|2 + ,
(3.15)
V(φ) =
4
λ
4
2
4λ
wobei die Konstante µ4 /(4λ) irrelevant ist. Das Potential enthält einen Wechselwirkungsterm und einen Massenterm.
Das Vektorfeld Aaµ (x) hat keinen expliziten Massenterm.
Die Masse des skalaren Feldes ist der Koeffizient des bilinearen Terms des Feldes,
das die Feldfluktuationen um das Minimum des klassischen Feldes beschreibt.
Hier waren zwei wesentlich verschiedene Fälle zu unterscheiden, von denen der mit
spontaner Symmetriebrechung uns hier interessiert.
Wir machen wieder den Ansatz (3.9), nun jedoch als Multiplett:
"
# i θi + √1 ξi (x)
1
2vi
φi (x) = vi + √ ηi (x) e
.
(3.16)
2
In der adjungierten Darstellung ist die Zahl der Feld-Komponenten φi gleich der Zahl
der Generatoren T a der Gruppe. Unter der Annahme lokaler Eichinvarianz, d.h. mit
ortsabhängigen Eichparametern, lautet dann das transformierte skalare Feld (hier:
die j-te Komponente):
φ j (x) = eiθ
a (x)
T aji
φi (x)
√
i θa (x) T aji +θi + ξ(x)
2v
= e
#
"
1
vi + √ ηi (x) .
2
(3.17)
Dabei können wir nun die Eichphasen θa (x) an jedem Ort so wählen, dass das
Phasenfeld überall aus dem Teilchenspektrum verschwindet:
X
ξ(x)
(3.18)
θa (x) T aji + θi + √ = 0
2v
i
Sammeln wir nun wieder die Terme, die bilinear in den Feldfluktuationen sind.
Wir erhalten analog zum Fall lokaler Eichinvarianz:
1 % µ 1 2 2
Lbilin. =
∂µ η ∂ η − µ η
2
2
32
Tord Riemann
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1 a
1 − Fµν
(x)F µν,a (x) + M 2 Aaµ Aµb
ab
4
2
+ higher order terms in Aµ , η
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(3.19)
Schauen wir genauer auf die Massenterme der Vektorfelder, die ausschliesslich aus
den Termen mit kovarianter Ableitung entstehen:
i† h
1X
(−i)2 g2 Aaµ T a vi Abµ T b vi
L MA =
2
a,b,i
1 X a b 2
(3.20)
Aµ Aµ M
= −
ab
2
a,b
wobei
M2
ab
= −
X g2
i
2
o
n
v†j T aji , T ikb vk
(3.21)
Wir verwenden hier, dass die Generatoren T a hermitesch sind: (T i j )a† = (T ji )a , und
P
P
dass gilt: a,b T a T b = 21 a,b (T a T b + T b T a ).
Die Theorie hat nun einen vollkommen anderen Feldgehalt:
• η(x) ist wieder ein skalares, reelles Feld mit der Masse µ.
• ξ(x) ist jedoch als Feld verschwunden, es wurde ein would-be Goldstone-Boson.
• Die Vektorfelder haben nun Massenterme, die jedoch im allgemeinen Fall nicht
diagonal sind. Die Symmetrie-Eigenzustände müssen in dieser Matrix diagonalisiert werden, da physikalische Felder Masseneigenzustände sind. Das bedeutet:
Symmetrie-Eigenzustände und Massen-Eigenzustände unterscheiden sich. Es
können Eigenwerte Null entstehen, also masselose Vektorbosonen in der Theorie verbleiben.
Eine detailliertere Diskussion des Higgsmechanismus findet sich in Lehrbüchern,
z.B. in [11]. Dort ist auch erläutert, wann Eigenwerte Null auftreten. Im konkreten
Beispiel sehen wir das in der Lektion 5 zum Standardmodell.
Allgemein führt also die spontane Brechung einer kontinuierlichen lokalen Symmetrie zu massiven Eichfeldern, die die skalaren Komponenten der would-be GoldstoneBosonen als longitudinale Freiheitsgrade übernehmen.6
Und das ist der Higgs-Mechanismus:
Die Verwandlung von Goldstonemoden in longitudinale Polarisationszustände von
(nun massiven) Vektorbosonen.
6 Es sei daran erinnert, dass die masselosen Photonen transversal polarisiert sind, und die Massen der schweren Eichbosonen die zusätzlichen
longitudinalen Freiheitsgrade bewirken.
33
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
Der Higgsmechanismus eröffnet die Möglichkeit, eine Eichtheorie der schwachen
Wechselwirkungen mit massiven geladenen Vektorbosonen zu formulieren, wie sie
zur Beschreibung der charged current Reaktionen benötigt wird.
Einige Verweise auf Webseiten:
Wikipedia zum Higgsmechanismus
scholarpedia zum Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble-Mechanismus
Von Phys. Rev. Letters zu: “Milestones of 50 years”
Particle Data Group (PDG) zum Higgsboson
References
[1] P. W. Higgs, Broken Symmetries and the Masses of Gauge Bosons,
doi:10.1103/PhysRevLett.13.508. doi:10.1103/PhysRevLett.13.508.
Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 508–509,
[2] P. W. Higgs, Broken symmetries, massless particles and gauge fields, Phys. Lett. 12 (1964) 132–133, doi:10.1016/0031–
9163(64)91136–9. doi:10.1016/0031-9163(64)91136-9.
[3] P. W. Higgs, Spontaneous Symmetry Breakdown without Massless Bosons, Phys. Rev. 145 (1966) 1156–1163. doi:10.1103/
PhysRev.145.1156.
[4] F. Englert, R. Brout, Broken symmetry and the mass of gauge vector mesons, Phys. Rev. Lett. 13 (1964) 321–322. doi:10.
1103/PhysRevLett.13.321.
[5] G. S. Guralnik, C. R. Hagen, T. W. B. Kibble, Global conservation laws and massless particles, Phys. Rev. Lett. 13 (1964)
585–587. doi:10.1103/PhysRevLett.13.585.
[6] T. W. B. Kibble, Symmetry breaking in non-Abelian gauge theories, Phys. Rev. 155 (1967) 1554–1561. doi:10.1103/PhysRev.
155.1554.
[7] J. Bernstein, Spontaneous symmetry breaking, gauge theories, the Higgs mechanism and all that, Rev. Mod. Phys. 46 (1974)
7–48. doi:10.1103/RevModPhys.46.7.
[8] J. Goldstone, Field Theories with ‘Superconductor’ Solutions, Nuovo Cim. 19 (1961) 154–164. doi:10.1007/BF02812722.
[9] J. Goldstone, A. Salam, S. Weinberg, Broken Symmetries, Phys. Rev. 127 (1962) 965–970. doi:10.1103/PhysRev.127.965.
[10] S. A. Bludman, A. Klein, Broken Symmetries and Massless Particles, Phys. Rev. 131 (1963) 2364–2372. doi:10.1103/
PhysRev.131.2364.
[11] M. Böhm, A. Denner, H. Joos, Gauge Theories of the Strong and Electroweak Interaction, 3rd Edition, B.G. Teubner, Stuttgart,
Leipzig, Wiesbaden, 2001, 789 p.
34
Tord Riemann
4
Standardmodell & Beschleunigerphysik
V04: The electroweak Standard Model:
Draft 2013-12-12 20:12
(I) Symmetrical formulation
We introduce now a Lagrangean with a common description of electromagnetic and
weak interactions. The matter particles are assumed to be the leptons and quarks.
The existence of three generations of these particles will be described by a sequential
treatment of them in a first step, and later mixings of the generations will taken into
account.
Only the quarks undergo yet another kind of interactions: strong interactions.
The description of strong interactions is possible with an unbroken local gauge theory, the QDC (Quantum Chromodynamics), with gluons as the gauge particles. It
has its own peculiarities: The gauge particles, gluons, are massless. Nevertheless,
both the gluons and quarks are not observable as free particles, and a theoretical
treatment of their interactions has to go beyond perturbation theory. An adequate
formulation is Lattice Gauge Theory, which became quite successful in recent years
in the quantitative description of hadronic and mesonic bound states.
arXiv:0906.359
“Ab Initio Determination of Light Hadron Masses”, Science 21 November 2008:
Vol. 322. no. 5905, pp. 1224 - 1227
Because the strong interactions become weaker at smaller distances, it is possible to
describe high energetic scattering of quarks by perturbation theory. Further, quarks
have electromagnetic and weak interactions. This part of quark physics will be discussed later.
The first consistent approach to the electroweak Standard Model was given 1967
in S. Weinberg’s article “A theory of leptons” [1]. Hadrons were added to the picture
later in 1970 with the GIM mechanism, derived in the article “Weak Interactions with
Lepton-Hadron Symmetry” by Glashow, Iliopoulos and Maiani [2]. The mixing of at
least three generations of quarks as a potential origin of CP-violation was derived in
1973 by Kobayashi and Maskawa in the article "CP Violation in the Renormalizable
Theory of Weak Interaction“ [3].
The Standard Model as a quantum field theory will be subject of subsequent lectures, where we will study the quantum corrections to some of the basic interactions. The problems related to the renormalizability of the theories of electroweak
and strong interactions were solved in articles by T. D. Lee, Zinn-Justin, ’t Hooft
(1974), Veltman.
The basics of that development will be at the center of this and the following
lectures.
We formulate a non-abelian gauge theory with local gauge invariance for spinr
and scalar fields, interacting with each other via massless and massive gauge bosons.
The Higgs mechanism is used for the construction of a renormalizable theory: the
35
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
lagrangean stays gauge invariant and the symmetry is broken by a non-vanishing
vacuum expectation value of the Higgs field.
We have to choose a gauge group G = S U(2)xU(1):
a , a = 1, 2, 3, and the couS U(2)W – representing the weak isospin, with generators IW
pling constant g2 .
U(1) – representing the weak hypercharge, with generator YW , and the coupling constant g1 .
From the construct we see immediately, that the ansatz does not correspond to a true
unification of forces. For that aim, we would expect to have one gauge group only,
and also only one coupling constant.
The appearance of the hypercharge looks a bit arbirtrary here. In fact, this
quantum number, which is conserved in strong decays of mesons and baryons, was
introduced by Gell-Mann and Nishijima in the Gell-Mann-Nishijima relation, see
wikipedia on: Gell-Mann-Nishijima-Formel:
Y
B+S
= Iz + ,
2
2
where baryon number B, third component of isospin Iz and strangeness S
wikipedia on: Baryonenzahl
wikipedia on: Isospin
wikipedia on: Strangeness
are related to the electric charge Q. Here the
Q = Iz +
Y = B+S
(4.1)
(4.2)
is the hypercharge. The relation summarizes just experimental facts, now interpreted
for the light quarks u, d, s. The more complete version includes also c, t, b with quantum numbers charm C, bottomness B′ and topness T :
Q = Iz +
Y
B + S + C + B′ + T
≡ Iz +
2
2
(4.3)
The gauge fields Wµa are elements of vectors in the adjoint representation of the
groups. This fixes their number (three plus one) and their interaction strengths (i.e.
the coupling constants).
We have further to choose the representations for the scalar and the matter fields;
due to parity violation, there are left-handed and right-handed representations for the
matter (spinor) particles:
ψL = (νe,L , eL , uL , dL ), (νµ,L , µL , cL , sL ), (ντ,L , τL , tL , bL )
ψR = (νe,R , eR , uR , dR ), (νµ,R , µR , cR , sR ), (ντ,R , τR , tR , bR )
36
(4.4)
(4.5)
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
We take into account that there are three generations of leptons and quarks which
differ, at first glance, only by their masses. The quarks will have additional, socalled strong interactions, carry the additional quantum number color. These facts
will be ignored here and not be made explicit; we only have to take into account that
there are three different items of quarks u, d, c, s, t, b: uc , c = r, g, b for e.g. red, green,
blue, etc. One may say, the electroweak interactions are color-blind. The scalar
fields should be in representations P, and the representations have to fulfill the same
commutation relations:
h
i
La , Lb = i f abc Lc ,
(4.6)
h
i
Ra , Rb = i f abc Rc ,
(4.7)
h
i
Pa , Pb = i f abc Pc .
(4.8)
Let us now become more specific. To start with, the most general ansatz for a lagrangean is, for the case of only one gauge interaction:
h
µ
i
1
1 a a,µν
µ
F
+ ψ̄i iγµ,i j Di j − Mi j ψ j + Drs,µ φ s Drs′ φ s′ − V(φ)
L = − Fµν
4
2
!
1 − γ5 r,L 1 + γ5 r,R
+gψ̄i φr
(4.9)
Xi j +
Xi j ψ j ,
2
2
together with the following definitions:
a
Fµν
= ∂µ Wνa − ∂νWµa + g f abc Wµb Wνc ,
"
!#
1 + γ5 a
µ
µ
a,µ 1 − γ5 a
Di j ψ j = δi j ∂ − igW
Li j +
Ri j ψ j ,
2
2
%
µ
Drs φ s = δrs ∂µ − igW a,µ Pars φ s .
(4.10)
(4.11)
(4.12)
The coupling ψ̄φψ is gauge-invariant, if the following relations between the representation matrices L (or R) of the fermion fields and those (P) of the scalar fields
with the couplings X hold:
i
h
La , X r,L = X s,L Pa,sr ,
(4.13)
h
i
Ra , X r,R = X s,R Pa,sr .
(4.14)
We now adapt the above relations to our physics case.
Let us first recall the known quantum numbers of leptons and quarks. Tables 1.1
and 1.2 contain their electric charges. The weak isospin has to be fixed corresponding to the behaviour in charged current reactions, where a unit charge is exchanged
between the isospin partners in parity violating reactions. So, we have to put lefthanded fermions into isospin dublets:
!
!
!
!
νe uR uG uB
,
(4.15)
,
,
,
e dR dG dB
37
Tord Riemann
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!
νµ
,
µ
!
ντ
,
τ
!
!
cR cG
,
,
sR sG
!
!
tR tG
,
,
bR bG
!
cB
,
sB
!
tB
.
bB
For the left-handed dublets, the relation holds:
!
!
1
1
U
U
3
.
= (+ , − )
IW
D L
2
2 D L
They are also eigenstates of the electric charge Q:
!
!
up
U
,
= (QU , QD )
Q
down L
D L
Draft 2013-12-12 20:12
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
with
Qe = −1
1
Qd = −
3
QU = QD + 1.
The right-handed particles are in iso-singlets,
3
F = 0,
IW
(4.21)
(4.22)
(4.23)
R
and they are also charge eigenstates:
Q F = QF F .
R
(4.20)
R
(4.24)
These conditions define the values of the hypercharges of the left- and righthanded fermions, according to:
YW
3
= Q − IW
.
2
(4.25)
For each generation, this gives:
YW (νR ) = 0
YW (ER ) = −2
YW (νL ) = YW (E L ) = −1
4
YW (UR ) = +
3
2
YW (DR ) = −
3
2
YW (U L ) = YW (DL ) = +
3
38
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.29)
(4.30)
(4.31)
Tord Riemann
Standardmodell & Beschleunigerphysik
Draft 2013-12-12 20:12
The weak hypercharge is a conserved quantum number, so it is equal inside the lefthanded weak isodublets. Each of the right-handed singlets has its own charge and
hypercharge. While the electric charges of the left- and right-handed particles are
equal, this is not the case for their weak hypercharges.
We observe an important sum rule (valid per generation):
!
2 −1
3
= 0,
(4.32)
ΣIW = 0 + (−1) + Nc +
3 3
being valid for the case of three colors, Nc = 3. The relation is necessary for the
cancellation of so-called chiral anomalies which appear in Feynman loop diagrams
and would spoil renormalization, if not canceling out (for each generation). It drops
out of the other conditions formulated above and appears mysterious: being needed
and fulfilled, but we have no other hint for a correlation of color degrees of freedom
and the weak interactions.
We now introduce the gauge bosons, three Wµa (x) for local gauge invariance under
S U(2), and one Bµ (x) for the U(1) transformations. The corresponding lagrangean
is:
1
µν 1 a
a,µν
Lgauge = − F1,µν F1 − F2,µν
F2
(4.33)
4
4
with
F1,µν = ∂µ Bν − ∂ν Bµ
a
F2,µν
= ∂µ Wνa − ∂ν Wµa + g2 εabc Wµb Wνc .
(4.34)
(4.35)
The totally anti-symmetric εabc are the structure constants, and also the generators
in the adjoint representation of S U(2). The lagrangean related to the U(1) group has
no self-interaction. The S U(2) part contains self-interactions of the gauge bosons
and allows, in principle, a non-trivial physics of gauge bosons without matter fields.7
The discovery and study of such self-interactions (e.g. at LEP 2) was a crucial part
of the experimental establishment of the EWSM.
The lagrangean describing interactions of fermions with the gauge fields is:
X
X
h
i
h
i
µ
Lf =
Ψ̄ri,L iγµ D Ψri,L +
Ψ̄ si,R iγµ Dµ Ψ si,R (4.36)
singlets s
generations i
dublets r
generations i
The index r = E, QR , QB, QG , and i = 1 · · · 3, while s = ν, E, UR , U B, UG , DR , DB, DG .
Often, the color degrees of freedom (R, B,G) are left out.
To be precise here: the multiplets Ψ differ from the ψ, because we will see that the
symmetry eigenstates Ψ are not necessarily identical with the mass eigenstates ψ. In
fact, we have at this stage of construction no mass terms at all.
7 In
fact, there are predictions for the existence of so-called glueballs, bound states consisting of only gluons.
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The covariant derivative is:
YW
Bµ ,
(4.37)
2
a and Y /2 are acting in the corresponding representations of
where the generators IW
W
8
the matter fields.
For the left-handed fermions:
τa
a
(4.38)
IW =
2
The τa are chosen in the two-dimensional fundamental representation of S U(2),
while for the right-handed fermions, which don’t undergo interactions related to
S U(2):
a
Wµa + ig1
Dµ = ∂µ − ig2 IW
a
=0
IW
(4.39)
So, we will get:
Dµ F L
Dµ fR


L
a


Y
τ
W
Bµ  F L ,
= ∂µ − ig2 Wµa + ig1
2
2


R


YW
= ∂µ + ig1
Bµ  fR
2
(4.40)
(4.41)
There exist no explicit mass terms.
In the minimal version of the EWSM, neutrinos have only left-handed weak iteractions, and they are assumed to be massless. Thus there is no need to introduce
right-handed neutrino states. In view of observation of neutrino oscillations, one
may change the point of view and consider neutrinos as being massive. Then, righthanded neutrino states have to appear although they have no true interactions in the
EWSM.
This last point leads us to the introducion of the Higgs fields. They have to give
masses to fermion dublets and singlets, and to a part of the gauge bosons; the photon
is known to be massless. The ansatz of the EWSM is:
Xh
† i
LH = Dµ φ Dµ φ − V(φ) −
gi j Ψ̄i,L φΨ j−,R +e
gi j Ψ̄i,L φc Ψ j+,R + h.c. (4.42)
ij
The ΨL are dublets and the ΨR singlets under S U(2) transformations. The φ and
Ψ have to be in the same representations in order to get a scalar lagrangean from
the above combinations. Summations are over all left-handed fermion dublets in
8 The general expression for a covariant derivative was D = ∂ − igT a W a . The deviation in notations from that for the weak hypercharge traces back
µ
µ
µ
just to historical reasons of conventions chosen at the time when the concept of hypercharge was introduced, see above.
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the model, and we understand by Ψ j−,R and Ψ j+,R the singlets as needed for building mass terms: take all fermion singlets with the appropriate quantum numbers, to
combine with the dublet item into bilinear, scalar spinor forms. The Higgs field is
chosen to be a dublet of two complex scalar fields, one carrying charge one, the other
one being neutral:
!
φ+
φ =
(4.43)
φ0
The charge conjugated Higgs field is:
φc
φ0∗
= iτ2 φ∗ =
−φ−
!
(4.44)
The Higgs potential is:
λ † 2 2 †
φ φ − µ φ φ,
(4.45)
4
where we assume λ, µ > 0. Then, the non-vanishing vacuum expectation value may
apear for the neutral component:


φ+ (x)



(4.46)
φ(x) =  √1 v + η(x) + iχ(x)
V(φ) =
2
where
√
v = 2µ λ
(4.47)
defines the minimal field configuration or vacuum expectation value The fields χ
and φ+ , φ− have vanishing vacuum expectation values, they are would-be Goldstone
bosons. By choosing an appropriate gauge they may be eliminated from the Feynman
rules (unitary gauge). The η(x) is a real, electrically neutral, massive physical Higgs
field.
After defining the Higgs dublet, we see that the couplings of φ(x) to fermions
produce the mass terms for down-type fermions, and those of φ(x)c the mass terms
for up-type fermions. This observation explains the corresponding choices Ψ j−,R and
Ψ j+,R in (4.42).
The lagrangean for the EWSM is:
L = Lgauge + L f + LH + L f ix + LFP
(4.48)
We mention here only that the complete lagrangean includes additional terms L f ix
and LFP related to the quantization procedure, which necessitates a gauge fixing
term and introduces the Faddeev-Popov ghosts. These two pieces together help to
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avoid, in the path integral formulation of the quantized theory, superficial degrees of
freedom related to gauge invariance. The omission is regretful, but it is not harmful
for the physical applications considered in the following, because gauge fixing leads
to specific Feynman rules for the propagators and some vertices (which we will not
derive in detail here), and the Faddeev-Popov ghosts couple only to gauge bosons.
They contribute first in one-loop corrections of the non-abelian type.
References
[1] S. Weinberg, A Model of Leptons, Phys. Rev. Lett. 19 (1967) 1264–1266. doi:10.1103/PhysRevLett.19.1264.
[2] S. Glashow, J. Iliopoulos, L. Maiani, Weak Interactions with Lepton-Hadron Symmetry, Phys. Rev. D2 (1970) 1285–1292,
doi:10.1103/PhysRevD.2.1285. doi:10.1103/PhysRevD.2.1285.
[3] M. Kobayashi, T. Maskawa, CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction, Prog. Theor. Phys. 49 (1973) 652–
657, doi:10.1143/PTP.49.652. doi:10.1143/PTP.49.652.
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