Wiederholung Aussagenlogik

SE MODALLOGIK UND ANDERE
PHILOSOPHISCH RELEVANTE LOGIKEN
WS 2015/16 — ESTHER RAMHARTER &
GÜNTHER EDER
FORMALE SPRACHEN
•
Wie jede natürliche Sprache, hat auch auch jede
formale Sprache
•
Syntax/Grammatik
•
Semantik
GRAMMATIK / SYNTAX
•
Die Grammatik / Syntax einer formalen Sprache macht
dasselbe wie Grammatik / Syntax einer natürlichen
Sprache
•
Sie spezifiert
•
die Grundbausteine, aus denen man Ausdrücke der
Sprache bilden kann
•
Regeln, nach denen man aus den Grundbausteinen
dieser Sprache komplexe Ausdrücke / Sätze dieser
formalen Sprache korrekt bilden darf
DIE GRUNDBAUSTEINE DER
KLASSISCHEN AL
•
Die Grundbausteine der Sprache der AL sind
•
Nicht-logische Konstanten = Atomare
Satzbuchstaben
•
Logische Konstenten = Aussagenlogische
Junktoren
•
Klammern
NICHTS SONST!
DIE GRUNDBAUSTEINE DER
KLASSICHEN AL
•
Atomare Satzbuchstaben:
•
p, q, r, …
•
Aussagenlogische Junktoren: ¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷
•
Klammern zum Strukturieren: „(“ und „)“
•
Eine bestimmte Menge von atomaren Satzbuchstaben
nennt man auch Signatur
DIE GRUNDBAUSTEINE DER
KLASSISCHEN AL
•
Satzbuchstaben p, q, r, … sollen für einfache, aussagenlogisch nicht
weiter zerlegbare Aussagesätze stehen wie „Ned Stark ist tot“ oder
„Joffrey ist so richtig gemein“
•
Die aussagenlogischen Junktoren sollen jeweils stehen für
„nicht“
¬
„und“
∧
„(einschließendes) oder“
∨
„wenn, dann“
→
„genau dann wenn“
⟷
DIE GRUNDBAUSTEINE DER
KLASSISCHEN AL
•
Durch jede Signatur ist eine aussagenlogische
Sprache festgelegt, nämlich …
•
… die Menge aller Sätze (= wohlgeformten
Formeln), die sich durch wiederholte Anwendung
der Wohlformungsregeln aus den Elementen der
Signatur erzeugen lassen
WOHLGEFORMTHEITSREGELN
DER AL
WOHLGEFORMTHEITSREGELN
DER AL
•
Die Wohlgeformtheitsregeln sind das erste Beispiel für eine
sogenannte rekursive Definition
•
Die Tatsache, dass es sich bei der Definition der
wohlgeformten Formeln um eine rekursive Definition
handelt, gibt uns auch eine (meta-theoretische)
Beweismethode an die Hand — die sogenannte
•
Induktion über den Formelaufbau (= Strukturelle Induktion)
•
Mit Hilfe der Induktion über den Formelaufbau kann man oft
zeigen, dass JEDE Formel eine bestimmte Eigenschaft hat
WAS TUT EINE SEMANTIK?
•
Eine Semantik für eine formale Sprache gibt allgemeine
Bedingungen an, die festlegen welche/n Bedeutung /
semantischen Wert ein korrekt gebildeter Ausdruck hat —
gegeben, dass eine Bedeutung / semantischer Wert für
seine einfachsten Bestandteile fixiert wurde
•
So wird jedem (einfachen oder komplexen) Ausdruck
eine(n) eindeutige(n) Bedeutung / semantischer Wert
zugewiesen — gegeben, dass die / der Bedeutung /
semantischer Wert für die einfachsten Bestandteile fixiert
wurde
SEMANTIK DER KLASSISCHEN
AL
•
Die semantischen Werte, die ein Satz in der klassischen AL haben
kann, sind: wahr oder falsch (w/f bzw. 1/0)
•
Die Semantik der klassischen AL gibt also allgemeine
Bedingungen an, die festlegen welchen der beiden
Wahrheitswerte ein korrekt gebildeter Satz hat — gegeben, dass
die Wahrheitswerte für die atomaren Satzzeichen feststehen.
Semantik = Angabe von Wahrheitsbedingungen.
•
Jedem (einfachen oder komplexen) Satz der AL wird ein
eindeutiger Wahrheitswert zugewiesen — gegeben, dass
Wahrheitswerte für die atomaren Sätze fixiert wurden
AL—INTERPRETATIONEN
•
Eine Festlegung von Wahrheitswerten für die
atomaren Sätze p, q, r… nennt man auch eine
aussagenlogische Interpretation
•
Formal definiert man eine AL-Interpretation als eine
Funktion, die jedem atomaren Satzzeichen einen
der beiden Wahrheitswerte w (= wahr) oder f (=
falsch) zuordnet
I : {p, q, r, …} ⟶ {w, f}
SEMANTIK DER JUNKTOREN
•
Um jedem wohlgeformten Satz einen eindeutigen
Wahrheitswert (relativ zu einer AL-Interpretation) zuordnen
zu können, muss für jeden einzelnen Junktor festgelegt
werden, in welcher Art der Wahrheitswert einer Aussage,
die ihn als Hauptjunktor enthält, von den Wahrheitswerten
seiner unmittelbaren Teile abhängt abhängt
•
Zugleich legt man damit die Bedeutung der Junktoren fest
•
Man sagt dann auch: „α ist wahr in / unter der Interpretation
I“. Es handelt sich als um einen relativen Wahrheitsbegriff
SEMANTIK DER AL —
ZUSAMMENFASSUNG
SEMANTIK DER JUNKTOREN
•
Diese Wahrheitsbedingungen schreibt man sich
oft auch in Form von Wahrheitstafeln an
•
Negation und Disjunktion:
α
¬α
w
f
f
w
α
β
(α ∨ β)
w
w
w
w
f
w
f
w
w
f
f
f
SEMANTIK DER JUNKTOREN
•
Konjunktion und (materiales) Bikonditional
α
β
(α ∧ β)
α
β
(α ⟷ β)
w
w
w
w
w
w
w
f
w
w
f
f
f
w
w
f
w
f
f
f
f
f
f
w
SEMANTIK DER JUNKTOREN
•
Das materiale Konditional:
α
β
(α → β)
w
w
w
w
f
f
f
w
w
f
f
w
α nennt man das Antezedens, β das Konsequens
WIESO SO KOMPLIZIERT?
Frage: Wieso braucht man so einen komplizierten, relativen
Wahrheitsbegriff?
Antwort: Weil es uns in der Logik um logische Wahrheit und
Logische Folgerung geht!
•
Ein Satz ist allgemeingültig / eine Tautologie wenn er nicht
falsch sein kann
•
Ein Satz folgt logisch aus einer Menge von Prämissen wenn
es nicht sein kann, dass er wahr ist und die Prämissen falsch
ZENTRALE SEMANTISCHE
BEGRIFFE
Ein Satz α ist eine Tautologie / logische Wahrheit wenn…
Informell:
α aufgrund seiner aussagenlogischen Form nicht falsch sein kann
Formal:
wahr ist
α aufgrund seiner aussagenlogischen Form in jeder Interpretation
Ein Satz α folgt logisch aus einer Menge von Sätzen S wenn
Informell:
es aufgrund der aussagenlogischen Form der Sätze in S und α
nicht sein kann, dass alle Sätze in S wahr sind, aber α falsch ist
Formal:
wenn es aufgrund der aussagenlogischen Form der Sätze in S und α
keine Interpretation gibt in der alle Sätze in S wahr aber α falsch ist
SEMANTIK DER AL
SEMANTIK DER AL
Ob ein Satz
•
(k)eine Tautologie
•
(un-)erfüllbar
•
(k)eine Kontradiktion
•
(k)eine Folgerung aus anderen Sätzen
ist, kann man also einfach überprüfen, indem man mit Hilfe von
Wahrheitstafeln systematisch alle Interpretationen durchcheckt
TAUTOLOGIE / KEINE
TAUTOLOGIE
p
q
(p→(q→p))
p
q
(p → ¬q)
w
w
w
w
w
f
w
f
w
w
f
w
f
w
w
f
w
w
f
f
w
f
f
w
KONTRADIKTION / KEINE
KONTRADIKTION
p
(p⟷¬p)
p
(p → ¬p)
w
f
w
f
f
f
f
w
LOGISCHE FOLGERUNG
p
q
p
(q → p)
w
w
w
w
w
f
w
w
f
w
f
f
f
f
f
w
LOGISCHE FOLGERUNG
•
p
q
p
(q → p)
w
w
w
w
w
f
w
w
f
w
f
f
f
f
f
w
In jeder Interpretation, in der alle Prämissen wahr sind, ist es
auch die Konklusion —> {p} ⊨ (q → p)
KEINE LOGISCHE FOLGERUNG
p
q
(p ∨ ¬q)
¬p
q
w
w
w
f
w
w
f
w
f
f
f
w
f
w
w
f
f
w
w
f
KEINE LOGISCHE FOLGERUNG
•
p
q
(p ∨ ¬q)
¬p
q
w
w
w
f
w
w
f
w
f
f
f
w
f
w
w
f
f
w
w
f
Es gibt eine Interpretation, in der alle Prämissen wahr sind, aber
die Konklusion falsch ist —> {(p ∨ ¬q), ¬p} ⊭ q
ERFÜLLBAR
p
q
p
(p → q)
w
w
w
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
ERFÜLLBAR
•
p
q
p
(p → q)
w
w
w
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
Es gibt eine Interpretation, in der alle Sätze der Menge {p, (p →
q)} wahr sind —> {p, (p → q)} ist erfüllbar
UNERFÜLLBAR
•
p
q
(p ∨ ¬q)
¬p
q
w
w
w
f
w
w
f
w
f
f
f
w
f
w
w
f
f
w
w
f
Es gibt keine Interpretation, in der alle Sätze der Menge {(p ∨ ¬q),
¬p, q} wahr sind —> {(p ∨ ¬q), ¬p, q} ist unerfüllbar
BEZIEHUNGEN ZWISCHEN DEN
ZENTRALEN BEGRIFFEN
Ganz fundamentale Beziehungen zwischen diesen Begriffen sind
z.B. (wobei α, β für irgendwelche einzelnen Sätze und S für
irgendeine Satzmenge steht):
(1) α ist eine Kontradiktion gdw. α ist unerfüllbar
(2) α ist eine Tautologie gdw. ¬α ist eine Kontradiktion
(3) S ⊨ α gdw. S ∪ {¬α} ist unerfüllbar
(4) α ⊨ β gdw. α → β ist eine Tautologie
(5) α1, … αn ⊨ β gdw. (α1 ∧ … ∧ αn) → β ist eine Tautologie
ÜBERFLÜSSIGE JUNKTOREN UND
FUNKTIONALE VOLLSTÄNDIGKEIT
•
Mit Hilfe von Wahrheitstafeln lässt sich auch sehr einfach
nachprüfen, dass einzelne Junktoren überflüssig sind.
•
D.h. alles, was sich mit Hilfe der Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶, ⟷
ausdrücken lässt, lässt sich auch schon ausdrücken mit
den Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶ oder ¬, ∧, ∨ oder auch ¬, ∧.
•
Tatsächlich lässt sich jede Wahrheitsfunktion mit Hilfe all
dieser Mengen ausdrücken. Man sagt auch, dass all
diese Mengen funktional vollständig sind.
*BIVALENZ / ZWEIWERTIGKEIT
•
Ein erstes charakteristisches Feature der klassischen AL
haben wir gerade kennengelernt: Das Zweiwertigkeitsoder Bivalenzprinzip:
•
Jede Aussage muss mindestens einen der beiden
Wahrheitswerte wahr / falsch haben (keine
„Wahrheitswert-Lücken“)
•
Jede Aussage darf höchstens einen der beiden
Wahrheitswerte wahr / falsch haben (keine
„Wahrheitswert-Ballungen“)
*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT
•
Die Tatsache, dass der Wahrheitswert eines
wohlgeformten Satzes der klassischen AL immer davon
abhängt, wie die Wahrheitswerte seiner einfachsten
Teilaussagen festgelegt wurden nennt man auch
Wahrheitsfunktionalität / Extensionalität der klassischen
AL.
•
Daraus folgt: Ersetzen wir in einem wahren (falschen) Satz
A(p) einen Teilsatz p durch einen Satz q mit demselben
Wahrheitswert wie p, so ist auch A(p/q) wahr (falsch)
*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT
Nehmen wir an, dass der 7-jährige Fredi schon einfache Arithmetik
beherrscht, aber noch keine höhere Mathematik, dann ist
(1)
Der 7-jährige Fredi weiss, dass 2 + 2 = 4.
wahr, aber
(1*)
Der 7-jährige Fredi weiss, dass es keine natürlichen
Zahlen a, b, c und keine natürliche Zahl n ≥ 3 gibt, sodass
n
n
n
a +b =c .
ist falsch, obwohl wir einen wahren Teilsatz durch einen Teilsatz
ersetzt haben, der ebenfalls wahr ist.
*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT
Nehmen wir an, dass mathematische Wahrheiten (in einem bestimmten
Sinn) nicht falsch sein können, es aber sein kann, dass die Tatsache, dass
Wien Österreichs Hauptstadt ist, nicht in Stein gemeisselt sind. Dann ist
(2)
Es gilt notwendigerweise, dass 2 + 2 = 4.
wahr, aber
(2*)
Es gilt notwendigerweise, dass Wien die Hauptstadt von
Österreich ist.
ist falsch, obwohl wieder nur ein wahrer Teilsatz durch einen anderen
wahren Teilsatz ersetzt wurde.
*WAHRHEITSFUNKTIONALITÄT
Bestimmte sprachliche Konstrukte induzieren also Kontexte, die
nicht wahrheitsfunktional sind.
Darunter befinden sich Wörter für propositionale Einstellungen wie
•
wissen
•
glauben
oder Wörter für alethische Modalitäten wie
•
notwendigerweise
•
möglicherweise
*PARADOXIEN DES MATERIALEN
KONDITIONALS
(1) „Wenn Kennedy tot ist, dann ist Österreich EU-Mitglied“
(2) „Wenn Österreich kein EU-Mitglied ist, dann ist Kennedy tot“
(3) „Wenn 3 die Quadratwurzel aus 16 ist, dann ist Kennedy am Leben“
•
(1) — (3) sind allesamt wahre Sätze sofern die „Wenn … dann …“ —
Konstruktion als materiales Konditional verstanden wird
•
Intuitiv finden viele diese Sätze aber falsch! Ein Ziel vieler
philosophischer Logiker besteht darin, „bessere“ Konditionale zu
finden, die alltagssprachlichen „Wenn … dann …“-Sätzen besser
entsprechen
SYNTAX AGAIN…
Semantischer Folgerungsbegriff, Tautologien etc.
sind schön und gut, aber Logik ist doch die Lehre
vom korrekten Schließen, richtig? Wo also sind die
Schlüsse hingekommen?
Verschiedene formale Beweisbegriffe, die durch
Systeme von Schlussregeln (und manchmal Axiomen)
bestimmt sind, kommen dieser Intuition direkt nach
KALKÜLE
•
Anders als beim semantischen Folgerungsbegriff von früher,
spielen semantische Begriffe wie Interpretation oder
Wahrheit in einer Interpretation bei syntaktischen
Folgerungsbegriffen keine unmittelbare Rolle
•
Syntaktische Folgerungsbegriffe werden durch Kalküle
bestimmt, die wiederum über rein syntaktisch formulierte,
mechanisch ausführbare Schlussregeln und Axiome definiert
sind
Folgern = Manipulieren von Zeichen nach festgelegten Regeln
ARTEN VON KALKÜLEN
•
Hilbert-Kalküle (Axiomatische Kalküle)
•
•
Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,…
Kalküle des natürlichen Schließens
•
Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume…
•
Sequenzenkalküle
•
Tableaux-Kalküle
•
Resolutionskalkül
•
…
ARTEN VON KALKÜLEN
•
Hilbert-Kalküle (Axiomatische Kalküle)
•
•
Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,…
Kalküle des natürlichen Schließens
•
Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume…
•
Sequenzenkalküle
•
Tableaux-Kalküle
•
Resolutionskalkül
•
…
FREGE-ŁUKASIEWICZ
Ein sehr einfacher Kalkül ist der axiomatische Kalkül
nach Frege-Łukasiewicz.
Er besteht aus
•
drei Axiomenschemata und
•
einer Schlussregel
FREGE-ŁUKASIEWICZ
Axiomenschemata:
(1) α → (β → α)
(2) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
(3) (¬α → ¬β) → (β → α)
Schlussregel: Modus Ponens (MP)
•
Von α und α → β, schließe auf β
FREGE-ŁUKASIEWICZ
•
Eine Ableitung im axiomatischen Kalkül für die AL von α aus S ist eine endliche
Folge von Sätzen, deren letzter Satz α ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt,
dass er entweder
•
Element von S ist
•
Instanz eines der Axiomenschemata (1) — (3) ist
•
durch MP aus früheren Folgengliedern folgt
•
Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im axiomatischen Kalkül) aus S, in
Zeichen S ⊢AX α, wenn es eine Ableitung im axiomatischen Kalkül von von α aus S
gibt.
•
Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢AX α, dann sagen wir, dass α
ein AL-Theorem ist (und schreiben einfach ⊢AX α).
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM AX. KALKÜL
1. p → ((q → p) → p)
2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p))
3. (p → (q → p)) → (p → p))
4. p → (q → p)
5. p → p
(wollen zeigen: ⊢AX p → p)
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM AX. KALKÜL
1. p → ((q → p) → p)
Ax (1)
2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p))
Ax (2)
3. (p → (q → p)) → (p → p))
MP 1, 2
4. p → (q → p)
Ax (1)
5. p → p
MP 3, 4
haben gezeigt: ⊢AX p → p
METATHEOREME
•
•
Deduktionstheorem: Wenn S ∪ {α} ⊢AX β, dann S ⊢AX α → β
Das Deduktionstheorem ist ein Metatheorem, das uns erlaubt,
Ableitungen „abzukürzen“.
Beispiel:
Wir wollen zeigen, dass gilt: ⊢AX p → p. Statt das direkt zu machen
(wie vorhin), zeigen wir zunächst {p} ⊢AX p und wenden dann das
Deduktionstheorem an. {p} ⊢AX p ist aber sehr einfach gezeigt:
1. p
•
(Frage: Wie könnte man das Deduktionstheorem beweisen???)
METATHEOREME
•
Korrektheitsatz: Wenn S ⊢AX α, dann S ⊨ α
•
Die Korrektheit des Kalküls garantiert also, dass wir aus wahren
Sätzen nur wahre Sätze ableiten können.
•
Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge nur
Tautologien herleiten.
•
Die Korrektheit garantiert uns also insbesondere, dass unser
axiomatischer Kalkül konsistent ist. D.h. kein Satz der Form α ∧
¬α ist ableitbar.
•
(Frage: Wie könnte man Korrektheit beweisen???)
METATHEOREME
•
Vollständigkeitsatz: Wenn S ⊨ α, dann S ⊢AX α
•
Die Vollständigkeit des Kalküls garantiert, dass wir mit
unserem Kalkül tatsächlich alle semantischen Folgerungen
aus S „erfassen“ können.
•
Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge
alle Tautologien herleiten.
•
Anders als das Deduktionstheorem und der Korrektheitssatz
ist der Vollständigkeitssatz nicht so einfach zu beweisen.
(siehe etwa Barwise & Etchemendy 2011, Bd. 2)
KALKÜL DES NATÜRLICHEN
SCHLIESSENS
•
Beweisbegriff des axiomatischen Kalküls ist unglaublich
einfach; Beweise in so einem Kalkül zu finden, ist aber
sehr schwer
•
Es wurden deshalb Kalküle entwickelt, die das alltägliche
Schließen besser abbilden sollen (Gerhard Gentzen),
sogenannte Kalküle des natürlichen Schließens
•
Eine Variante so eines Kalküls ist der Fitch-Style Kalkül
des natürlichen Schließens (von Frederic B. Fitch)
FITCH STYLE KALKÜL DES NATÜRLICHEN
SCHLIESSENS FÜR DIE KLASSISCHE AL
•
Wie alle Kalküle des natürlichen Schließens
zeichnet sich auch der Fitch-Style Kalkül durch
Einführungs- und Beseitigungsregeln für die
Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶ aus
•
Ausserdem gibt es, im Gegensatz zu axiomatischen
Kalkülen, ein Regel der Annahme, die es erlaubt, zu
jedem beliebigen Zeitpunkt in einem Beweis
beliebige Annahmen zu treffen
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
•
Die waagrechten Striche deuten an, wo Prämissen
stehen bzw. (temporäre) Annahmen getroffen werden
•
Die senkrechten Striche deuten an, von welchen
Prämissen / Annahmen ein Satz in einer Ableitung
jeweils abhängt
•
(Ziel einer Ableitung ist es, am Ende alle temporären
Annahmen loszuwerden, sodass die Konklusion nur
mehr von den Prämissen abhängt (falls es solche gibt))
REGEL DER ANNAHME
Erlaubt uns, zu jedem beliebigen Zeitpunkt einer
Ableitung eine beliebige Annahme zu treffen
REGELN FÜR KONJUNKTION
∧-Einführung
∧-Beseitigung
REGELN FÜR MATERIALES
KONDITIONAL
→-Einführung
→-Beseitigung (Modus Ponens)
→-Einführung erlaubt uns auf ein Konditional α → β
zu schließen, wenn wir einen konditionalen Beweis
von β aus der Annahme α haben
REGELN FÜR DISJUNKTION
∨-Einführung
∨-Beseitigung
Die ∨-Beseitigung entspricht einer Fallunterscheidung
REGELN FÜR DIE NEGATION
¬-Einführung
¬-Beseitigung
Beide Regeln für die Negation entsprechen der reductio
ad absurdum (Widerspruchsbeweis)
REITERATIONSREGEL
Die Reiterationsregel erlaubt uns, schon Bewiesenes auf allen
Beweisebenen zu wiederholen. (Klingt trivial, wird sich aber in der
Modallogik als nicht-trivial erweisen!)
FREGE-ŁUKASIEWICZ
•
Eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von α aus S ist eine Struktur,
die aus einer endlichen Folge von Sätzen besteht, deren letzter Satz α ist, und die
nach den besprochenen Regeln aufgebaut ist, sodass für jeden Satz dieser Folge
gilt, dass er entweder
•
Element von S ist
•
gemäß den Regeln A, ∧-E, ∧-B 1& 2, →-E, →-B, ∨-E 1 & 2, ∨-B, ¬-E, ¬-B und
Reit aus früheren Sätzen der Folge folgt
•
Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im Kalkül des natürlichen Schließens)
aus S, in Zeichen S ⊢KNS α, wenn es eine Ableitung im Kalkül des natürlichen
Schließens von von α aus S gibt.
•
Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢KNS α, dann sagen wir, dass α
ein Theorem ist (und schreiben einfach ⊢KNS α).
NOCH ZWEI BEISPIELE
⊢KNS (p ∧ ¬p) → q
(Ex Contradictione
Quodlibet)
⊢KNS (p → q) → (¬q → ¬ p)
(Kontraposition)
METATHEOREME
•
Wie der axiomatische Kalkül, ist auch der Fitch-Style Kalkül des
natürlichen Schließens vollständig und korrekt, d.h.
Wenn S ⊢KNS α, dann S ⊨ α (Korrektheit)
Wenn S ⊨ α, dann S ⊢KNS α (Vollständigkeit)
•
Es gilt also:
S ⊢KNS α
•
S⊨α
S ⊢AX α
(Frage: Gilt das Deduktionstheorem auch für den KNS? Wieso
wurde es hier nicht mehr angeführt???)