ÜBUNG ZUM GRUNDKURS LOGIK SS 2016 — GÜNTHER EDER SYNTAX AGAIN… Semantischer Folgerungsbegriff, Tautologien etc. sind schön und gut, aber Logik ist doch die Lehre vom richtigen Schließen, oder etwa nicht? Wo also sind die Schlüsse hingekommen? Verschiedene formale Beweisbegriffe, die durch Systeme von Schlussregeln (und manchmal Axiomen) bestimmt sind, sind näher an der Konzeption von Logik als der Lehre vom richtigen Schließen. KALKÜLE • Anders als beim semantischen Folgerungsbegriff von früher, spielen semantische Begriffe wie Interpretation oder Wahrheit in einer Interpretation bei syntaktischen Folgerungsbegriffen keine unmittelbare Rolle • Syntaktische Folgerungsbegriffe werden durch Kalküle bestimmt, die wiederum über rein syntaktisch formulierte, mechanisch ausführbare Schlussregeln und Axiome definiert sind Formales Ableiten = Manipulieren von Zeichen nach festgelegten Regeln ARTEN VON KALKÜLEN • Axiomatische Kalküle • • Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,… Kalküle des natürlichen Schließens • Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume… • Sequenzenkalküle • Tableaux-Kalküle • Resolutionskalkül • … ARTEN VON KALKÜLEN • Axiomatische Kalküle • • Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,… Kalküle des natürlichen Schließens • Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume… • Sequenzenkalküle • Tableaux-Kalküle • Resolutionskalkül • … FREGE-ŁUKASIEWICZ Ein sehr einfacher Kalkül ist der axiomatische Kalkül nach Frege-Łukasiewicz. Er besteht aus • drei Axiomenschemata und • einer Schlussregel FREGE-ŁUKASIEWICZ Axiomenschemata: (1) α → (β → α) (2) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ)) (3) (¬α → ¬β) → (β → α) Schlussregel: Modus Ponens (MP) • Von α und α → β, schließe auf β FREGE-ŁUKASIEWICZ Instanzen der Axiome (1) — (3) sind: • ¬p → (¬¬q → ¬p) • (¬r → ((p → q) → p)) → ((¬r → (p → q)) → (¬r → p)) • (¬¬p → ¬¬q) → (¬q → ¬p) Keine Instanzen der Axiome (1) — (3) sind: • (¬p → ¬¬q) → ¬p • (¬p → ¬q) → (¬¬q → ¬¬p) FREGE-ŁUKASIEWICZ Instanzen der Axiome (1) — (3) sind: • ¬p → (¬¬q → ¬p) • (¬r → ((p → q) → p)) → ((¬r → (p → q)) → (¬r → p)) • (¬¬p → ¬¬q) → (¬q → ¬p) FREGE-ŁUKASIEWICZ • Eine Ableitung im axiomatischen Kalkül für die AL von α aus S ist eine endliche Folge von Sätzen, deren letzter Satz α ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt, dass er entweder • Element von S ist • Instanz eines der Axiomenschemata (1) — (3) ist • durch MP aus früheren Folgengliedern folgt • Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im axiomatischen Kalkül) aus S, in Zeichen S ⊢AX α, wenn es eine Ableitung im axiomatischen Kalkül von von α aus S gibt. • Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢AX α, dann sagen wir, dass α ein AL-Theorem ist (und schreiben dafür kurz ⊢AX α). BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM AX. KALKÜL (wollen zeigen: ⊢AX p → p) BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM AX. KALKÜL 1. p → ((q → p) → p) 2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p)) 3. (p → (q → p)) → (p → p)) 4. p → (q → p) 5. p → p BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM AX. KALKÜL 1. p → ((q → p) → p) Ax (1) 2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p)) Ax (2) 3. (p → (q → p)) → (p → p)) MP 1, 2 4. p → (q → p) Ax (1) 5. p → p MP 3, 4 haben gezeigt: ⊢AX p → p METATHEOREME • • Deduktionstheorem: Wenn S ∪ {α} ⊢AX β, dann S ⊢AX α → β Das Deduktionstheorem ist ein Metatheorem, das uns erlaubt, Ableitungen „abzukürzen“. Beispiel: Wir wollen zeigen, dass gilt: ⊢AX p → p. Statt das direkt zu machen (wie vorhin), zeigen wir zunächst {p} ⊢AX p und wenden dann das Deduktionstheorem an. {p} ⊢AX p ist aber sehr einfach gezeigt: 1. p • (Frage: Wie könnte man das Deduktionstheorem beweisen???) METATHEOREME • Korrektheitsatz: Wenn S ⊢AX α, dann S ⊨ α • Die Korrektheit des Kalküls garantiert also, dass wir aus wahren Sätzen nur wahre Sätze ableiten können. • Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge nur Tautologien herleiten. • Die Korrektheit garantiert uns also insbesondere, dass unser axiomatischer Kalkül konsistent ist. D.h. kein Satz der Form α ∧ ¬α ist ableitbar. • (Frage: Wie könnte man Korrektheit beweisen???) METATHEOREME • Vollständigkeitsatz: Wenn S ⊨ α, dann S ⊢AX α • Die Vollständigkeit des Kalküls garantiert, dass wir mit unserem Kalkül tatsächlich alle semantischen Folgerungen aus S „erfassen“ können. • Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge alle Tautologien herleiten. • Anders als das Deduktionstheorem und der Korrektheitssatz ist der Vollständigkeitssatz nicht so einfach zu beweisen. KALKÜL DES NATÜRLICHEN SCHLIESSENS • Beweisbegriff des axiomatischen Kalküls ist unglaublich einfach; Beweise in so einem Kalkül zu finden, ist aber sehr schwer • Es wurden deshalb Kalküle entwickelt, die das alltägliche Schließen besser abbilden sollen (Gerhard Gentzen), sogenannte Kalküle des natürlichen Schließens • Eine Variante so eines Kalküls ist der Fitch-Style Kalkül des natürlichen Schließens (von Frederic B. Fitch) FITCH STYLE KALKÜL DES NATÜRLICHEN SCHLIESSENS FÜR DIE KLASSISCHE AL • Wie alle Kalküle des natürlichen Schließens zeichnet sich auch der Fitch-Style Kalkül durch Einführungs- und Beseitigungsregeln für die Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶ aus. • Ausserdem gibt es (im Gegensatz zu axiomatischen Kalkülen) ein Regel der Annahme, die es erlaubt, zu jedem beliebigen Zeitpunkt in einem Beweis beliebige Annahmen zu treffen. BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL 1 ¬p ∨ q P 2 q → ¬p P 3 ¬¬p A 4 q ∨B 1, 3 5 ¬p →B 2, 4 6 ¬p ∧ ¬¬p ∧E 3, 5 7 ¬p {¬p ∨ q, q → ¬p} ⊢KNS ¬p) ¬B 3–6 BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL Zeilennummern 1 ¬p ∨ q P 2 q → ¬p P 3 ¬¬p A 4 q ∨B 1, 3 5 ¬p →B 2, 4 6 ¬p ∧ ¬¬p ∧E 3, 5 7 ¬p {¬p ∨ q, q → ¬p} ⊢KNS ¬p) ¬B 3–6 BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL Zeilennummern 1 ¬p ∨ q P 2 q → ¬p P 3 ¬¬p A 4 q ∨B 1, 3 5 ¬p →B 2, 4 6 ¬p ∧ ¬¬p ∧E 3, 5 7 ¬p {¬p ∨ q, q → ¬p} ⊢KNS ¬p) ¬B 3–6 Labels der Regeln, die angewendet wurden inkl. Zeilennummern der Formeln, auf die die jeweilige Regeln angewendet wurde BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL Zeilennummern 1 ¬p ∨ q P 2 q → ¬p P 3 ¬¬p A 4 q ∨B 1, 3 5 ¬p →B 2, 4 6 ¬p ∧ ¬¬p ∧E 3, 5 7 ¬p Waagrechte Linien schreiben wir unter die Prämissen des Arguments und jede neue Annahme, die getroffen wird {¬p ∨ q, q → ¬p} ⊢KNS ¬p) ¬B 3–6 Labels der Regeln, die angewendet wurden inkl. Zeilennummern der Formeln, auf die die jeweilige Regeln angewendet wurde BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL Zeilennummern 1 ¬p ∨ q P 2 q → ¬p P 3 ¬¬p A 4 q ∨B 1, 3 5 ¬p →B 2, 4 6 ¬¬p ∧ ¬p ∧E 3, 5 7 ¬p Waagrechte Linien schreiben wir unter die Prämissen des Arguments und jede neue Annahme, die getroffen wird {¬p ∨ q, q → ¬p} ⊢KNS ¬p) Labels der Regeln, die angewendet wurden inkl. Zeilennummern der Formeln, auf die die jeweilige Regeln angewendet wurde ¬B 3–6 Senkrechte Linien deuten Abhängigkeiten an; eine Formel hängt immer von allen Annahmen/Prämissen ab, zu denen die senkrechten Linien links neben ihr „zurückverfolgt“ werden können BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG IM FITCH-STYLE KALKÜL • Die waagrechten Striche deuten an, wo Prämissen stehen bzw. (temporäre) Annahmen getroffen werden • Die senkrechten Striche deuten an, von welchen Prämissen / Annahmen ein Satz in einer Ableitung jeweils abhängt • Ziel einer Ableitung ist es, am Ende alle temporären Annahmen loszuwerden, sodass die Konklusion nur mehr von den Prämissen abhängt (falls es solche gibt) REGEL DER ANNAHME … α A … … Erlaubt uns, zu jedem beliebigen Zeitpunkt einer Ableitung eine beliebige Annahme zu treffen. REGELN FÜR KONJUNKTION ∧-Einführung ∧-Beseitigung … n m … α n α∧β … … β α … … α∧β … n α∧β … ∧B n β ∧B n … ∧E n,m … n und m stehen hier für die Zeilennummer(n) der Formel(n) auf die die jeweilige Regel angewendet wurde. REGELN FÜR MATERIALES KONDITIONAL →-Beseitigung (Modus Ponens) →-Einführung … … n α n … … m β m α→β … α →E n—m α→β … β →B n,m … →-Einführung erlaubt uns auf ein Konditional α → β zu schließen, wenn wir einen konditionalen Beweis von β aus der Annahme α haben REGELN FÜR DISJUNKTION ∨-Einführung ∨-Beseitigung … n … α n … α∨β … … β n … ∨E n α∨β … … α∨β n … ∨E n m … ¬α m … β … α∨β ¬β … ∨E n,m α … Die ∨-Beseitigungsregeln entsprechen jeweils Varianten des disjunktiven Syllogismus ∨E n,m REGELN FÜR DIE NEGATION ¬-Einführung ¬-Beseitigung … … α n ¬α n … … β ∧ ¬β m ¬α … β ∧ ¬β m ¬E n—m α ¬B n—m … Beide Regeln für die Negation entsprechen der reductio ad absurdum (Widerspruchsbeweis) REITERATIONSREGEL n Reit 1 Reit 2 … … α n … α α … Reit. n … … α Reit. n … … Die Reiterationsregel erlaubt uns, schon Bewiesenes auf allen Beweisebenen zu wiederholen. (Klingt trivial, ist aber formal notwendig für einen vollständigen Kalkül!) DEFINITION ABLEITUNG • Eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von α aus S ist eine Struktur, die aus einer endlichen Folge von Sätzen besteht, deren letzter Satz α ist, und die nach den besprochenen Regeln aufgebaut ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt, dass er entweder • Element von S ist • gemäß den Regeln A, ∧E, ∧B, →E, →B, ∨E, ∨B, ¬E, ¬B und Reit. aus früheren Sätzen der Folge folgt • Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im Kalkül des natürlichen Schließens) aus S, in Zeichen S ⊢KNS α, wenn es eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von von α aus S gibt. (Wenn aus dem Kontext klar ist, mit welchem Kalkül wir gerade arbeiten, schreiben wir auch einfach S ⊢ α.) • Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢KNS α, dann sagen wir, dass α ein Theorem ist (und schreiben einfach ⊢KNS α). BEISPIELE Wir wollen zeigen, dass aus den Prämissen {p → q, q → r} die Konklusion p → r ableiten (Transitivität des Konditionals): BEISPIELE Wir wollen zeigen, dass aus den Prämissen {p → q, q → r} die Konklusion p → r ableiten (Transitivität des Konditionals): 1 p→q P 2 q→r P 3 p A 4 q →B 1,3 5 r →B 2,4 6 p→r →E 3–5 BEISPIELE Wir wollen zeigen, dass aus den Prämissen {p → q, q → r} die Konklusion p → r ableiten (Transitivität des Konditionals): 1 p→q P 2 q→r P 3 p A 4 q →B 1,3 5 r →B 2,4 6 p→r →E 3–5 Wir haben gezeigt: {p → q, q → r} ⊢KNS p → r) BEWEISSTRATEGIEN I • Im Beispiel von vorhin mussten wir p → r ableiten. Wir haben deshalb auf gut Glück p angenommen und versucht r herzuleiten. • Das ist eine allgemeine, sehr einfache, aber wichtige Beweisstrategie um Konditionale zu beweisen! • Wenn wir ein Konditional beweisen wollen, ist es sehr oft hilfreich das Antezedens des Konditionals anzunehmen und danach versuchen das Konsequens herzuleiten. BEISPIELE Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse p → (q → r) die Konklusion (p → q) → (p → r) ableitbar ist, indem wir diese Idee anwenden: BEISPIELE Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse p → (q → r) die Konklusion (p → q) → (p → r) ableitbar ist, indem wir diese Idee anwenden: 1 p → (q → r) P 2 p→q A 3 p A 4 q →B 2,3 5 q→r →B 1,3 6 r →B 4,5 7 p→r →E 3–6 8 (p → r) → (p → r) →E 2–7 BEISPIELE Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse p → (q → r) die Konklusion (p → q) → (p → r) ableitbar ist, indem wir diese Idee anwenden: 1 p → (q → r) P 2 p→q A 3 p A 4 q →B 2,3 5 q→r →B 1,3 6 r →B 4,5 7 p→r →E 3–6 8 (p → r) → (p → r) →E 2–7 Wir haben gezeigt: {p → (q → r)} ⊢KNS (p → q) → (q → r) BEISPIELE Wir wollen das Gesetz der Kontraposition beweisen. Dazu müssen wir zeigen, dass (p → q) → (¬q → ¬ p) aus der leeren Prämissenmenge ableitbar ist: BEISPIELE Wir wollen das Gesetz der Kontraposition beweisen. Dazu müssen wir zeigen, dass (p → q) → (¬q → ¬ p) aus der leeren Prämissenmenge ableitbar ist: 1 2 p→q A ¬q A 3 p A 4 q →B 1,3 5 (q ∧ ¬q) ∧E 24 6 ¬p ¬E 3—5 ¬q → ¬p →E 2—6 8 (p → q) → (¬q → ¬p) →E 1—7 7 BEISPIELE Wir wollen das Gesetz der Kontraposition beweisen. Dazu müssen wir zeigen, dass (p → q) → (¬q → ¬ p) aus der leeren Prämissenmenge ableitbar ist: 1 2 p→q A ¬q A 3 p A 4 q →B 1,3 5 (q ∧ ¬q) ∧E 24 6 ¬p ¬E 3—5 ¬q → ¬p →E 2—6 8 (p → q) → (¬q → ¬p) →E 1—7 7 Wir haben gezeigt: ⊢KNS (p → q) → (¬q → ¬ p) BEWEISSTRAGIEN II • Auch das vorige Beispiel bietet eine allgemeine Lehre: wir haben gemäß der ersten Beweisstrategie von vorhin zwei Annahmen getroffen, p → q und ¬q, und müssen nun versuchen ¬p herzuleiten. • Wie es weitergeht, ist aber nicht offensichtlich! In solchen Situation ist es oft hilfreich das Gegenteil von dem anzunehmen, was man eigentlich zeigen will, und danach zu versuchen einen Widerspruch herzuleiten. Hat man das geschafft, kann man mit Hilfe der ¬Einführungs- oder ¬-Beseitigungsregel auf das schließen, was man eigentlich zeigen will. (Indirekter Beweis, Reductio ad absurdum) • Im Beispiel von vorhin wollten wir ¬p zeigen und haben deshalb p angenommen. Da wir aus p in Zeile 5 einen Widerspruch herleiten konnten, konnten wir die ¬-Einführungsregel anwenden. BEISPIELE Wir wollen das Gesetz Ex Contradictione Quodlibet (Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges), (p ∧ ¬p) → q, zeigen, indem wir diese Idee anwenden: BEISPIELE Wir wollen das Gesetz Ex Contradictione Quodlibet (Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges), (p ∧ ¬p) → q, zeigen, indem wir diese Idee anwenden: 1 p ∧ ¬p A 2 ¬q A 3 p ∧ ¬p Reit. 1 4 q ¬B 2—3 5 (p ∧ ¬p) → q →E 1—4 BEISPIELE Wir wollen das Gesetz Ex Contradictione Quodlibet (Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges), (p ∧ ¬p) → q, zeigen, indem wir diese Idee anwenden: 1 p ∧ ¬p A 2 ¬q A 3 p ∧ ¬p Reit. 1 4 q ¬B 2—3 5 (p ∧ ¬p) → q →E 1—4 Wir haben gezeigt: ⊢KNS (p ∧ ¬p) → q METATHEOREME • Wie der axiomatische Kalkül, ist auch der Fitch-Style Kalkül des natürlichen Schließens vollständig und korrekt, d.h. Wenn S ⊢KNS α, dann S ⊨ α (Korrektheit) Wenn S ⊨ α, dann S ⊢KNS α (Vollständigkeit) • Es gilt also: S ⊢KNS α gdw. S ⊨ α gdw. S ⊢AX α • (Frage: Gilt das Deduktionstheorem auch für den KNS? Wieso wurde es hier nicht mehr angeführt???)