Fitch-Style Kalkül des natürlichen Schließens

ÜBUNG ZUM GRUNDKURS
LOGIK
WS 2015 — GÜNTHER EDER
SYNTAX AGAIN…
Semantischer Folgerungsbegriff, Tautologien etc.
sind schön und gut, aber Logik ist doch die Lehre
vom richtigen Schließen, oder etwa nicht? Wo also
sind die Schlüsse hingekommen?
Verschiedene formale Beweisbegriffe, die durch
Systeme von Schlussregeln (und manchmal Axiomen)
bestimmt sind, sind näher an der Konzeption von
Logik als der Lehre vom richtigen Schließen.
KALKÜLE
•
Anders als beim semantischen Folgerungsbegriff von früher,
spielen semantische Begriffe wie Interpretation oder Wahrheit in
einer Interpretation bei syntaktischen Folgerungsbegriffen keine
unmittelbare Rolle
•
Syntaktische Folgerungsbegriffe werden durch Kalküle bestimmt,
die wiederum über rein syntaktisch formulierte, mechanisch
ausführbare Schlussregeln und Axiome definiert sind
Formales Ableiten = Manipulieren von Zeichen nach festgelegten
Regeln
ARTEN VON KALKÜLEN
•
Hilbert-Kalküle (Axiomatische Kalküle)
•
•
Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,…
Kalküle des natürlichen Schließens
•
Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume…
•
Sequenzenkalküle
•
Tableaux-Kalküle
•
Resolutionskalkül
•
…
ARTEN VON KALKÜLEN
•
Hilbert-Kalküle (Axiomatische Kalküle)
•
•
Frege-Łukasiwicz, Principia Mathematica,…
Kalküle des natürlichen Schließens
•
Fitch-Style, Lemmon-Style, Bäume…
•
Sequenzenkalküle
•
Tableaux-Kalküle
•
Resolutionskalkül
•
…
FREGE-ŁUKASIEWICZ
Ein sehr einfacher Kalkül ist der axiomatische Kalkül
nach Frege-Łukasiewicz.
Er besteht aus
•
drei Axiomenschemata und
•
einer Schlussregel
FREGE-ŁUKASIEWICZ
Axiomenschemata:
(1) α → (β → α)
(2) (α → (β → γ)) → ((α → β) → (α → γ))
(3) (¬α → ¬β) → (β → α)
Schlussregel: Modus Ponens (MP)
•
Von α und α → β, schließe auf β
FREGE-ŁUKASIEWICZ
•
Eine Ableitung im axiomatischen Kalkül für die AL von α aus S ist eine endliche
Folge von Sätzen, deren letzter Satz α ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt,
dass er entweder
•
Element von S ist
•
Instanz eines der Axiomenschemata (1) — (3) ist
•
durch MP aus früheren Folgengliedern folgt
•
Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im axiomatischen Kalkül) aus S, in
Zeichen S ⊢AX α, wenn es eine Ableitung im axiomatischen Kalkül von von α aus S
gibt.
•
Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢AX α, dann sagen wir, dass α
ein AL-Theorem ist (und schreiben einfach ⊢AX α).
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM AX. KALKÜL
1. p → ((q → p) → p)
2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p))
3. (p → (q → p)) → (p → p))
4. p → (q → p)
5. p → p
(wollen zeigen: ⊢AX p → p)
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM AX. KALKÜL
1. p → ((q → p) → p)
Ax (1)
2. (p → ((q → p) → p)) → (p → (q → p)) → (p → p))
Ax (2)
3. (p → (q → p)) → (p → p))
MP 1, 2
4. p → (q → p)
Ax (1)
5. p → p
MP 3, 4
haben gezeigt: ⊢AX p → p
METATHEOREME
•
•
Deduktionstheorem: Wenn S ∪ {α} ⊢AX β, dann S ⊢AX α → β
Das Deduktionstheorem ist ein Metatheorem, das uns erlaubt,
Ableitungen „abzukürzen“.
Beispiel:
Wir wollen zeigen, dass gilt: ⊢AX p → p. Statt das direkt zu machen
(wie vorhin), zeigen wir zunächst {p} ⊢AX p und wenden dann das
Deduktionstheorem an. {p} ⊢AX p ist aber sehr einfach gezeigt:
1. p
•
(Frage: Wie könnte man das Deduktionstheorem beweisen???)
METATHEOREME
•
Korrektheitsatz: Wenn S ⊢AX α, dann S ⊨ α
•
Die Korrektheit des Kalküls garantiert also, dass wir aus wahren
Sätzen nur wahre Sätze ableiten können.
•
Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge nur
Tautologien herleiten.
•
Die Korrektheit garantiert uns also insbesondere, dass unser
axiomatischer Kalkül konsistent ist. D.h. kein Satz der Form α ∧
¬α ist ableitbar.
•
(Frage: Wie könnte man Korrektheit beweisen???)
METATHEOREME
•
Vollständigkeitsatz: Wenn S ⊨ α, dann S ⊢AX α
•
Die Vollständigkeit des Kalküls garantiert, dass wir mit
unserem Kalkül tatsächlich alle semantischen Folgerungen
aus S „erfassen“ können.
•
Insbesondere können wir aus der leeren Prämissenmenge
alle Tautologien herleiten.
•
Anders als das Deduktionstheorem und der
Korrektheitssatz ist der Vollständigkeitssatz nicht so einfach
zu beweisen.
KALKÜL DES NATÜRLICHEN
SCHLIESSENS
•
Beweisbegriff des axiomatischen Kalküls ist unglaublich
einfach; Beweise in so einem Kalkül zu finden, ist aber
sehr schwer
•
Es wurden deshalb Kalküle entwickelt, die das alltägliche
Schließen besser abbilden sollen (Gerhard Gentzen),
sogenannte Kalküle des natürlichen Schließens
•
Eine Variante so eines Kalküls ist der Fitch-Style Kalkül
des natürlichen Schließens (von Frederic B. Fitch)
FITCH STYLE KALKÜL DES NATÜRLICHEN
SCHLIESSENS FÜR DIE KLASSISCHE AL
•
Wie alle Kalküle des natürlichen Schließens
zeichnet sich auch der Fitch-Style Kalkül durch
Einführungs- und Beseitigungsregeln für die
Junktoren ¬, ∧, ∨, ⟶ aus.
•
Ausserdem gibt es (im Gegensatz zu axiomatischen
Kalkülen) ein Regel der Annahme, die es erlaubt,
zu jedem beliebigen Zeitpunkt in einem Beweis
beliebige Annahmen zu treffen.
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
1
¬p ∨ q
P
2
q → ¬p
P
3
¬¬p
A
4
q
∨B 1, 2
5
¬p
→B 2, 4
6
¬p ∧ ¬¬p
∧E 3, 5
7
¬p
¬B 3–6
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
Zeilennummern
1
¬p ∨ q
P
2
q → ¬p
P
3
¬¬p
A
4
q
∨B 1, 2
5
¬p
→B 2, 4
6
¬p ∧ ¬¬p
∧E 3, 5
7
¬p
¬B 3–6
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
Zeilennummern
1
¬p ∨ q
P
2
q → ¬p
P
3
¬¬p
A
4
q
∨B 1, 2
5
¬p
→B 2, 4
6
¬p ∧ ¬¬p
∧E 3, 5
7
¬p
¬B 3–6
Labels der Regeln,
die angewendet
wurden inkl.
Zeilennummern der
Formeln, auf die die
jeweilige Regeln
angewendet wurde
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
Zeilennummern
1
¬p ∨ q
P
2
q → ¬p
P
3
¬¬p
A
4
q
∨B 1, 2
5
¬p
→B 2, 4
6
¬p ∧ ¬¬p
∧E 3, 5
7
¬p
Waagrechte Linien schreiben
wir unter die Prämissen des
Arguments und jede neue
Annahme, die getroffen wird
¬B 3–6
Labels der Regeln,
die angewendet
wurden inkl.
Zeilennummern der
Formeln, auf die die
jeweilige Regeln
angewendet wurde
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
Zeilennummern
1
¬p ∨ q
P
2
q → ¬p
P
3
¬¬p
A
4
q
∨B 1, 2
5
¬p
→B 2, 4
6
¬¬p ∧ ¬p
∧E 3, 5
7
¬p
Waagrechte Linien schreiben
wir unter die Prämissen des
Arguments und jede neue
Annahme, die getroffen wird
Labels der Regeln,
die angewendet
wurden inkl.
Zeilennummern der
Formeln, auf die die
jeweilige Regeln
angewendet wurde
¬B 3–6
Senkrechte Linien deuten Abhängigkeiten
an; eine Formel hängt immer von allen
Annahmen/Prämissen ab, zu denen die
senkrechten Linien links neben ihr
„zurückverfolgt“ werden können
BEISPIEL FÜR EINE ABLEITUNG
IM FITCH-STYLE KALKÜL
•
Die waagrechten Striche deuten an, wo Prämissen
stehen bzw. (temporäre) Annahmen getroffen werden
•
Die senkrechten Striche deuten an, von welchen
Prämissen / Annahmen ein Satz in einer Ableitung
jeweils abhängt
•
Ziel einer Ableitung ist es, am Ende alle temporären
Annahmen loszuwerden, sodass die Konklusion nur
mehr von den Prämissen abhängt (falls es solche gibt)
REGEL DER ANNAHME
…
α
A
…
…
Erlaubt uns, zu jedem beliebigen Zeitpunkt einer Ableitung eine
beliebige Annahme zu treffen.
REGELN FÜR KONJUNKTION
∧-Einführung
∧-Beseitigung
…
n
m
…
α
n
α∧β
…
…
β
α
…
…
α∧β
…
n
α∧β
…
∧B n
β
∧B n
…
∧E n,m
…
n und m stehen hier für die Zeilennummer(n) der Formel(n) auf die
die jeweilige Regel angewendet wurde.
REGELN FÜR MATERIALES
KONDITIONAL
→-Beseitigung (Modus Ponens)
→-Einführung
…
…
n
α
n
…
…
m
β
m
α→β
…
α
→E n—m
α→β
…
β
→B n,m
…
→-Einführung erlaubt uns auf ein Konditional α → β zu schließen,
wenn wir einen konditionalen Beweis von β aus der Annahme α
haben
REGELN FÜR DISJUNKTION
∨-Einführung
∨-Beseitigung
…
n
…
α
n
…
α∨β
…
…
β
n
…
∨E n
α∨β
…
…
α∨β
n
…
∨E n
m
…
¬α
m
…
β
…
α∨β
¬β
…
∨E n,m
α
…
Die ∨-Beseitigungsregeln entsprechen jeweils Varianten des
disjunktiven Syllogismus
∨E n,m
REGELN FÜR DIE NEGATION
¬-Einführung
¬-Beseitigung
…
…
α
n
¬α
n
…
…
β ∧ ¬β
m
¬α
…
β ∧ ¬β
m
¬E n—m
α
¬B n—m
…
Beide Regeln für die Negation entsprechen der reductio ad
absurdum (Widerspruchsbeweis)
REITERATIONSREGEL
…
n
α
…
…
α
Reit. n
…
…
Die Reiterationsregel erlaubt uns, schon Bewiesenes auf allen
Beweisebenen zu wiederholen. (Klingt trivial, ist aber formal
notwendig für einen vollständigen Kalkül!)
DEFINITION ABLEITUNG
•
Eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von α aus S ist eine Struktur, die aus
einer endlichen Folge von Sätzen besteht, deren letzter Satz α ist, und die nach den
besprochenen Regeln aufgebaut ist, sodass für jeden Satz dieser Folge gilt, dass er entweder
•
Element von S ist
•
gemäß den Regeln A, ∧E, ∧B, →E, →B, ∨E, ∨B, ¬E, ¬B und Reit. aus früheren Sätzen
der Folge folgt
•
Ein Satz α ist eine syntaktische Folgerung (im Kalkül des natürlichen Schließens) aus S, in
Zeichen S ⊢KNS α, wenn es eine Ableitung im Kalkül des natürlichen Schließens von von α aus
S gibt. (Wenn aus dem Kontext klar ist, mit welchem Kalkül wir gerade arbeiten, schreiben wir
auch einfach S ⊢ α.)
•
Wenn α sich ohne Prämissen herleiten lässt, d.h. { } ⊢KNS α, dann sagen wir, dass α ein
Theorem ist (und schreiben einfach ⊢KNS α).
BEISPIELE
Wir wollen zeigen, dass aus den Prämissen {p → q, q → r} die
Konklusion p → r ableiten (Transitivität des Konditionals):
BEISPIELE
Wir wollen zeigen, dass aus den Prämissen {p → q, q → r} die
Konklusion p → r ableiten (Transitivität des Konditionals):
1
p→q
P
2
q→r
P
3
p
A
4
q
→B 1,3
5
r
→B 2,4
6
p→r
→E 3–5
BEISPIELE
Wir wollen zeigen, dass aus den Prämissen {p → q, q → r} die
Konklusion p → r ableiten (Transitivität des Konditionals):
1
p→q
P
2
q→r
P
3
p
A
4
q
→B 1,3
5
r
→B 2,4
6
p→r
→E 3–5
Wir haben gezeigt: {p → q, q → r} ⊢KNS p → r)
BEWEISSTRATEGIEN I
•
Im Beispiel von vorhin mussten wir p → r ableiten. Wir haben
deshalb auf gut Glück p angenommen und versucht r herzuleiten.
•
Das ist eine allgemeine, sehr einfache, aber wichtige
Beweisstrategie um Konditionale zu beweisen!
•
Wenn wir ein Konditional beweisen wollen, ist es sehr oft hilfreich
das Antezedens des Konditionals anzunehmen und danach
versuchen das Konsequens herzuleiten.
BEISPIELE
Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse p → (q → r) die
Konklusion (p → q) → (p → r) ableitbar ist, indem wir diese Idee
anwenden:
BEISPIELE
Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse p → (q → r) die
Konklusion (p → q) → (p → r) ableitbar ist, indem wir diese Idee
anwenden:
1
p → (q → r)
P
2
p→q
A
3
p
A
4
q
→B 2,3
5
q→r
→B 1,3
6
r
→B 4,5
7
p→r
→E 3–6
8
(p → r) → (p → r)
→E 2–7
BEISPIELE
Wir wollen zeigen, dass aus der Prämisse p → (q → r) die
Konklusion (p → q) → (p → r) ableitbar ist, indem wir diese Idee
anwenden:
1
p → (q → r)
P
2
p→q
A
3
p
A
4
q
→B 2,3
5
q→r
→B 1,3
6
r
→B 4,5
7
p→r
→E 3–6
8
(p → r) → (p → r)
→E 2–7
Wir haben gezeigt: {p → (q → r)} ⊢KNS (p → q) → (q → r)
BEISPIELE
Wir wollen das Gesetz der Kontraposition beweisen. Dazu müssen
wir zeigen, dass (p → q) → (¬q → ¬ p) aus der leeren
Prämissenmenge ableitbar ist:
BEISPIELE
Wir wollen das Gesetz der Kontraposition beweisen. Dazu müssen
wir zeigen, dass (p → q) → (¬q → ¬ p) aus der leeren
Prämissenmenge ableitbar ist:
1
2
p→q
A
¬q
A
3
p
A
4
q
→B 1,3
5
(q ∧ ¬q)
∧E 24
6
¬p
¬E 3—5
¬q → ¬p
→E 2—6
8 (p → q) → (¬q → ¬p)
→E 1—7
7
BEISPIELE
Wir wollen das Gesetz der Kontraposition beweisen. Dazu müssen
wir zeigen, dass (p → q) → (¬q → ¬ p) aus der leeren
Prämissenmenge ableitbar ist:
1
2
p→q
A
¬q
A
3
p
A
4
q
→B 1,3
5
(q ∧ ¬q)
∧E 24
6
¬p
¬E 3—5
¬q → ¬p
→E 2—6
8 (p → q) → (¬q → ¬p)
→E 1—7
7
Wir haben gezeigt: ⊢KNS (p → q) → (¬q → ¬ p)
BEWEISSTRAGIEN II
•
Auch das vorige Beispiel bietet eine allgemeine Lehre: wir haben
gemäß der ersten Beweisstrategie von vorhin zwei Annahmen
getroffen, p → q und ¬q, und müssen nun versuchen ¬p
herzuleiten.
•
Wie es weitergeht, ist aber nicht offensichtlich! In solchen Situation
ist es oft hilfreich das Gegenteil von dem anzunehmen, was man
eigentlich zeigen will, und danach zu versuchen einen Widerspruch
herzuleiten. Hat man das geschafft, kann man mit Hilfe der ¬Einführungs- oder ¬-Beseitigungsregel auf das schließen, was man
eigentlich zeigen will. (Indirekter Beweis, Reductio ad absurdum)
•
Im Beispiel von vorhin wollten wir ¬p zeigen und haben deshalb p
angenommen. Da wir aus p in Zeile 5 einen Widerspruch herleiten
konnten, konnten wir die ¬-Einführungsregel anwenden.
BEISPIELE
Wir wollen das Gesetz Ex Contradictione Quodlibet (Aus einem
Widerspruch folgt Beliebiges), (p ∧ ¬p) → q, zeigen, indem wir
diese Idee anwenden:
BEISPIELE
Wir wollen das Gesetz Ex Contradictione Quodlibet (Aus einem
Widerspruch folgt Beliebiges), (p ∧ ¬p) → q, zeigen, indem wir
diese Idee anwenden:
1
p ∧ ¬p
A
2
¬q
A
3
p ∧ ¬p
Reit. 1
4
q
¬B 2—3
5 (p ∧ ¬p) → q
→E 1—4
BEISPIELE
Wir wollen das Gesetz Ex Contradictione Quodlibet (Aus einem
Widerspruch folgt Beliebiges), (p ∧ ¬p) → q, zeigen, indem wir
diese Idee anwenden:
1
p ∧ ¬p
A
2
¬q
A
3
p ∧ ¬p
Reit. 1
4
q
¬B 2—3
5 (p ∧ ¬p) → q
→E 1—4
Wir haben gezeigt: ⊢KNS (p ∧ ¬p) → q
METATHEOREME
•
Wie der axiomatische Kalkül, ist auch der Fitch-Style Kalkül des
natürlichen Schließens vollständig und korrekt, d.h.
Wenn S ⊢KNS α, dann S ⊨ α (Korrektheit)
Wenn S ⊨ α, dann S ⊢KNS α (Vollständigkeit)
•
Es gilt also:
S ⊢KNS α
•
S⊨α
S ⊢AX α
(Frage: Gilt das Deduktionstheorem auch für den KNS? Wieso
wurde es hier nicht mehr angeführt???)