Michael Flohr Anwesenheitsübungen IV

Vorlesung Theoretische Physik III – WS 2002/2003 – Michael Flohr
Anwesenheitsübungen IV
11. November bis 13. November
A4.1 Spontane Emission
Befindet sich ein Atom nicht im Grundzustand, so zeigt das Experiment, daß es durch
Abstrahlung von Licht in diesen übergeht. Allerdings ist ein Eigenzustand stabil und
wir können im Rahmen der Störungstheorie nur die (durch ein externes elektromagnetisches Feld) stimulierte Emission erklären, die man sich im Laser zunutze macht.
Zur Erklärung der spontanen Emission müssen einige Anleihen in der Quantenelektrodynamik gemacht werden, dort wird das elektromagnetische Feld quantisiert. Wir
~ = 0. Im Vakuum gilt daher Φ = 0 sowie E
~ = −1 ∂ A
~
wählen die Coulombeichung div A
c ∂t
~ = rotA.
~ Für das Vektorpotential nehmen wir A(~
~ r, t) = A
~ + (~r, t) + A
~ − (~r, t) mit
und B
√ 2 Z
c h̄ X
1
~
~
A+ (~r, t) =
~e(~k, λ) gλ (~k) ei(k~r−ω~k t) ,
d3 k √
2π
ω~k
ω~k = c|~k|
λ=1
~− = A
~ ∗+ , damit A(~
~ r, t) reell wird. ~e(~k, λ) sind die beiden Polarisatian, wobei A
onsvektoren, die in Coulombeichung auf ~k senkrecht stehen (warum?). gλ (~k) ist die
√
Wellenzahlverteilung. Die Einführung der Normierung 1/ ω~k wird später ersichtlich.
~ + (~r, t) als Wellenpaket. Sei gλ (~k) scharf konzentiert um ~k0 .
(1) Wir interpretieren A
R 3
1
~ 2 + |B|
~ 2 ) = h̄ω~ gegeben ist.
Zeige, daß die Feldenergie durch H = 8π
d r(|E|
k0
Ein scharf konzentriertes Wellenpaket sieht man jedoch als Teilchen an, dieses
Teilchen hat daher genau die Dispersionsrelation eines Photons.
(2) Nun interpretiert man gλ∗ (~k) als Vernichtungsoperator a~k,λ und gλ (~k) als Erzeugungsoperator a+ eines Photons mit Impuls ~k und Polarisation λ. Die Opera~
k,λ
toren sollen die Vertauschungsrelationen des harmonischen Oszillators erfüllen,
d.h. [a~k,λ , a~+0 0 ] = δ~k~k0 δλλ0 , [a~k,λ , a~k0 ,λ0 ] = [a~+ , a~+0 0 ] = 0. Zeige, daß damit
k,λ k ,λ
k ,λ
R
P
der Hamiltonoperator des Feldes H = h̄2 d3 k λ ω~k (a~+ a~k,λ + a~k,λ a~+ ) lautet.
k,λ
k,λ
√
Warum hat sich jetzt die Normierung 1/ ω~k als nützlich erwiesen?
(3) Leite die Wechselwirkung eines Teilchens mit dem elektromagnetischen Feld her:
H0 = −
q ~
q2 ~
A(~r, t) · p~ +
|A(~r, t)|2 + qΦ(~r, t).
2
mc
2mc
q
p~ nützlich, um Formeln der klassischen ElekDabei ist die Identifikation ~ = m
~ enthält je zwei
trodynamik anwenden zu können. Der quadratische Term in A
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren und beschreibt daher Prozesse wie die
Comptonstreuung. Zur Emission von Photonen trägt nur der lineare Term bei.
(4) Sei V (t) = F e−iωt + F + eiωt eine zeitabhängige Störung. Leite analog zur Ableitung der Goldenen Regel in der Vorlesung folgende Formel für die Übergangsrate,
d.h. die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit her:
wm→n =
¢
2π ¡
δ(En − Em − h̄ω)|hn|F |mi|2 + δ(En − Em + h̄ω)|hn|F + |mi|2 .
h̄
(5) Betrachten wir nun die spontane Emission eines Photons mit Wellenzahl ~k und
Polarisation λ durch ein Atom, das dabei vom Zustand |mi nach |ni übergeht.
Das Strahlungsfeld geht dabei vom Grundzustand |0i in den Ein–Photon–Zustand
a~+ |0i über. Zeige mit Hilfe der Goldenen Regel bzw. (4) für die Übergangsrate:
k,λ
¯2
¯
1
~
¯
¯
δ(Em − En − h̄ω~k )¯hn|~ (~r ) · ~e(~k, λ)∗ e−ik~r |mi¯ .
wm→n,~k,λ =
~
2π|k|c
Folgere daraus die in den Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung:
ω~k2 ¯
dPm→n,~k,λ
¯
¯hn|~ (~k) · ~e(~k, λ)∗ |mi¯2 ,
=
dΩ
2πc3
~
−En
erfüllen muß.
wobei ~ (~k) = ~ (~r )e−ik~r und ~k im Matrixelement |~k| = Emh̄c
(6) Zeige, daß ~k~r ¿ 1 gilt und daher die in ~ (~k) auftretende Exponentialreihe abgebrochen werden kann (Langwellennäherung; Theoretische Physik II, A8.2).
(7) Zeige für den ersten Term dieser Reihe, die elektrische Dipolstrahlung, daß
q 2 ω~k4 ¯
dPm→n,~k,λ
¯
~k, λ)∗ ¯2 , wobei d~nm = hn|~r |mi.
¯~
d
·
~
e
(
=
nm
dΩ
2πc3
4q 2 ω~4
2
k ~
Die totale Strahlungsleistung ergibt sich dann zu Pm→n =
3 |dnm | .
3c
(8) Diskutiere, welche Übergänge möglich sind. Wie ist das Licht polarisiert?
Hausaufgaben IV
Abgabe vom 18. November bis 20. November in den Übungen
Hinweis: In H4.1 und H4.2 werden die in A4.1 eingeführten Notationen verwendet.
H4.1 Lebensdauer bei Dipolübergängen
(1) Zeige für die Wahrscheinlichkeit wm→n pro Zeiteinheit, daß ein Photon in den
Raumwinkel dΩ emittiert wird (θ~k,λ ist der Winkel zwischen ~e(~k, λ)∗ und d~nm ):
dwm→n,~k,λ
q 2 ω~k3
=
|d~nm |2 cos2 θ~k,λ .
dΩ
2πc3 h̄
(2) Zeige durch Summation über die Polarisation und Integration über den Winkel
für die totale Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit:
4q 2 ω~k3
wm→n =
|d~nm |2 .
3c3 h̄
P
(3) Die Lebensdauer τ eines Zustands |mi hängt via τ1 = n wm→n mit den Wahrscheinlichkeiten zusammen, wobei die Summe über alle erlaubten Endzustände
|ni läuft. Berechne so die Lebensdauer für den 2p−Zustand des Wasserstoffs.
(15 Punkte)
H4.2 Höhere Multipole
Der der elektrischen Dipolstrahlung folgende Term in der Langwellenentwickung lautet
hn| − i (~k · ~r )~ (~r ) · ~e(~k, λ)∗ |mi.
(1) Zeige, daß dieses Matrixelement wie folgt zerlegt werden kann:
iq
q Em − E n
~
hn|(~k × ~e(~k, λ)∗ ) · L|mi
hn|(~k · ~r )(~e(~k, λ)∗ · ~r )|mi .
−
−
h̄
|2m
{z
} |2
{z
}
magnetischer Dipolübergang
elektrischer Quadrupolübergang
(2) Diskutiere, welche Übergänge wann möglich sind. Um wieviel schwächer sind
diese Übergänge im Vergleich zu elektrischen Dipolübergängen?
(15 Punkte)