Vorlesung Theoretische Physik II – SS 2003 – Proff. H. Monien, H.P.
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Vorlesung Theoretische Physik II – SS 2003 – Proff. H. Monien, H.P. Nilles Anwesenheitsübungen XII 18. Juli Befindet sich ein Atom nicht im Grundzustand, so zeigt das Experiment, daß es durch Abstrahlung von Licht in diesen übergeht. Allerdings ist ein Eigenzustand stationär und damit stabil. Übergänge gibt es erst, wenn der Hamiltonoperator zeitabhängig ist. A12.1 Zeitabhängige Störungstheorie Sei H = H0 + λV (t) ein zeitabhängiger Hamiltonoperator. H0 sei zeitunabhängig und habe ein diskretes Spektrum H0 ψn = En ψn . Eine Lösung ψ(t) der zeitabhängigen ∂ Schrödingergleichung ih̄ ∂t ψ = Hψ kann nach der bekannten Basis von H0 entwickelt werden: ∞ X En cn (t) e−i h̄ t ψn . ψ(t) = n=0 (1) Zeige, daß ψ(t) eine Lösung der Schrödingergleichung ist, falls ih̄ ∞ X En −Em ∂ cn (t) = λ hnm (t) cm (t) mit hnm (t) = hψn |V (t)|ψm i ei h̄ t . ∂t m=0 (2) Wieso sind alle cn (t) eindeutig durch Anfangsbedingungen cn (0) = c0n gegeben? (3) Betrachtet man nun analog zur zeitunabhängigen Störungstheorie λV als Störung (0) (1) und entwickelt die Koeffizienten cn (t) in λ, d.h. cn (t) = cn (t) + λcn (t) + O(λ2 ), (k) so können mit Hilfe von (1) die cn iterativ berechnet werden. Zeige: ∞ Z i X t 0 (0) 0 (k) dt hnm (t0 ) c(k−1) (t0 ) f ür k ≥ 1. cn (t) = cn , cn (t) = − m h̄ m=0 0 (4) Insbesondere gilt in erster Ordnung demnach ∞ Z i X t 0 (1) cn (t) = − dt hnm (t0 ) c0m . h̄ m=0 0 Für t = 0 befinde sich das System im Zustand ψi , d.h. c0n = δin . Warum ist dann (1) in erster Ordnung Störungstheorie Pi→f = |cf (t)|2 die Wahrscheinlichkeit, das System zur Zeit t im Zustand ψf 6= ψi zu finden? (5) Eine wichtige Anwendung ist eine periodische Störung V (t) = V0 e±iωt . Zeige Z t Ef − E i i (1) cf (t) = − hψf |V0 |ψi i dt0 eiΩt , Ω = ± ω. h̄ h̄ 0 (6) Zeige für die Übergangsrate, d.h. die Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeit: (1) Wi→f := |cf (t)|2 t 2 1 2 4 sin (Ω t/2) = 2 |hψf |V0 |ψi i| . Ω2 t h̄ (7) Bilde t → ∞ und zeige folgenden Spezialfall von Fermis Goldener Regel Wi→f = 2π |hψf |V0 |ψi i|2 δ(Ef − Ei ± h̄ω). h̄ Die Deltadistribution macht zunächst keinen Sinn, wird aber unten als Zustandsdichte interpretiert. Man kann aber an dieser Formel schon ablesen, daß nur Energiequanten absorbiert/emittiert werden können, wenn h̄ω = |Ef − Ei |. (8) Sei V (t) = V e−iωt + V + eiωt . Verallgemeinere (7) zu ´ 2π ³ Wi→f = δ(Ef − Ei − h̄ω)|hψf |V |ψi i|2 + δ(Ef − Ei + h̄ω)|hψf |V + |ψi i|2 . h̄ A12.2 Absorption und stimulierte Emission ~ = 0. Im Vakuum gilt so Φ = 0 sowie E ~ = −1 ∂ A ~ Wir wählen Coulombeichung div A c ∂t ~ = rotA. ~ Für das Vektorpotential nehmen wir A(~ ~ r, t) = A ~ + (~r, t) + A ~ − (~r, t) mit und B √ 2 Z 1 c h̄ X ~ ~ d3 k √ A+ (~r, t) = ~e(~k, λ) gλ (~k) ei(k~r−ω~k t) , ω~k = c|~k| 2π ω~k λ=1 ~− = A ~ ∗+ , damit A(~ ~ r, t) reell wird. ~e(~k, λ) sind die Polarisationsvektoren, an, wobei A die in Coulombeichung auf ~k senkrecht stehen. gλ (~k) ist die Wellenzahlverteilung. (1) Leite die Wechselwirkung eines Teilchens mit dem elektromagnetischen Feld her: H0 = − q2 ~ q ~ |A(~r, t)|2 + qΦ(~r, t). A(~r, t) · p~ + 2 mc 2mc q Dabei ist die Identifikation ~ = m p~ nützlich, um klassische Elektrodynamik an~ beschreibt 2–Photonen–Prozesse wenden zu können. Der quadratische Term in A wie Comptonstreuung. Zur Emission/Absorption trägt nur der lineare Term bei. R (2) Sei gλ (~k) scharf konzentriert (Laserlicht) um ~k0 und gemäß d3 k|gλ (~k)|2 = |Aλ |2 normiert, was die Amplitude offen läßt. Betrachten wir nun die stimulierte Emission eines Photons mit Wellenzahl ~k0 und Polarisation λ durch ein Atom, das dabei vom Zustand ψi nach ψf übergeht. Zeige mit A12.1.8 für die Übergangsrate: Wi→f = ¯ ¯2 |Aλ |2 ~ ¯ ¯ δ(Ef − Ei + h̄ω~k0 )¯hψf |~ (~r ) · ~e(~k0 , λ)∗ e−ik0 ~r |ψi i¯ . 2π|~k0 |c (3) Folgere daraus die in den Raumwinkel dΩ abgestrahlte Leistung: |Aλ |2 ω~k2 ¯ ¯2 dPi→f 0 ¯ hψf |~ (~k0 ) · ~e(~k0 , λ)∗ |ψi i¯ , = 3 dΩ 2πc ~ E −E wobei ~ (~k0 ) = ~ (~r )e−ik0 ~r und ~k0 im Matrixelement |~k0 | = ih̄c f erfüllen muß. Hier sieht man, daß die Deltadistribution durch Integration über die Endzustände (hier Photonen mit Wellenzahl ~k0 , wo die Richtung noch frei ist) aufgelöst wird. (4) Was ändert sich, wenn man Absorption betrachtet? (5) Zeige, daß für atomare Übergänge ~k0~r ¿ 1 gilt und daher die in ~ (~k0 ) auftretende Exponentialreihe abgebrochen werden kann (Langwellennäherung). (6) Zeige für den ersten Term dieser Reihe, die elektrische Dipolstrahlung, daß |Aλ |2 q 2 ω~k4 ¯ ¯ dPi→f ¯d~f i · ~e(~k, λ)∗ ¯2 , = 3 dΩ 2πc d~f i = hψf |~r |ψi i. wobei (7) Diskutiere mit Hilfe von A10.2, welche Übergänge möglich sind. Ist ein elektrischer Dipolübergang durch diese Auswahlregeln verboten, so kann der Zustand immer noch durch einen höheren Multipolübergang zerfallen. Die nächsten Übergänge (magnetische Dipolstrahlung, elektrische Quadrupolstrahlung) sind um |~k0~r | ≈ α unterdrückt, womit der Zustand entsprechend langlebiger wird. A12.3 Bemerkungen zur spontanen Emission Wir konnten im Rahmen der zeitabhängigen Störungstheorie nur (durch ein externes Feld) stimulierte Emission erklären, die man sich im Laser zunutze macht. Das erklärt immer noch nicht, warum ein angeregter Zustand “von selbst” zerfällt. Zur Erklärung dieser spontanen Emission müssen einige Anleihen in der Quantenelektrodynamik gemacht dort wird das elektromagnetische Feld quantisiert. R werden, 1 ~ 2 + |B| ~ 2 ) = (|A1 |2 + |A2 |2 )h̄ω~ die Feldenergie für A12.2 d3 r(|E| Zeige, daß H = 8π k0 beschreibt. Ein scharf konzentriertes Wellenpaket sieht man jedoch als Teilchen an, dieses Teilchen hat daher genau die Dispersionsrelation eines Photons. Man normiert ~ r, t) als Wellenpaket. zweckmäßigerweise |A1 |2 + |A2 |2 = 1. Man interpretiert A(~ Man muß jedoch noch gλ (~k) als Vernichtungsoperator a~k,λ und gλ∗ (~k) als Erzeugungsoperator a+ eines Photons mit Impuls ~k und Polarisation λ ansehen, wobei die ~ k,λ Operatoren die Vertauschungsrelationen des Oszillators erfüllen sollen. Die Formeln für spontane Emission sind am Ende dieselben wie in A12.2, mit A λ = 1. A12.4 Lebensdauer bei Dipolübergängen (1) Zeige für die Wahrscheinlichkeit Wi→f pro Zeiteinheit, daß ein Photon mit Wellenvektor ~k und Polarisation λ spontan in den Raumwinkel dΩ emittiert wird: dWi→f,~k,λ dΩ = q 2 ω~k3 2πc3 h̄ |d~f i |2 cos2 θ~k,λ . Dabei ist θ~k,λ der Winkel zwischen ~e(~k, λ)∗ und d~f i . (2) Zeige durch Summation über die Polarisation und Integration über den Winkel für die totale Übergangswahrscheinlichkeit pro Zeiteinheit: Wi→f = 4q 2 ω~k3 3c3 h̄ |d~f i |2 . 2 4 4q ω~ 2 k ~ Zeige für die totale Strahlungsleistung, daß Pi→f = 3cP 3 | df i | . (3) Die Lebensdauer τ eines Zustands ψi hängt via τ1 = f Wi→f mit den Wahrscheinlichkeiten zusammen, wobei die Summe über alle erlaubten Endzustände ψf läuft. Berechne so die Lebensdauer für den 2p−Zustand des Wasserstoffs. Vorlesung Theoretische Physik II – SS 2003 – Proff. H. Monien, H.P. Nilles Die Klausur findet am Montag, 28. Juli ab 14:30 Uhr in folgenden Hörsälen statt: Tutorin/Tutor Hörsaal Blaesing, Carqueville, Griepernau, Hochkeppel, Pütter, Schwick Großer HS Mathematik Arnold, Kim, Klitz, Pricking, Vaudrevange HS I, Physikalisches Inst. Hartlap, Kremers, Müller, Plöger Kleiner HS Mathematik Es wird nur ein Stift benötigt (kein Taschenrechner o.ä.), Papier wird gestellt. Zum Bestehen der Klausur sind 50% der erreichbaren Punkte notwendig. Für Lehramtskandidaten und Nebenfächler (bitte auf dem Klausurdeckblatt ankreuzen) reduziert sich dies auf 50% der Punkte aus den Aufgaben “A” zur Quantentheorie. Die korrigierten Klausuren können ab Mittwoch, 30. Juli in AVZ 112, die Scheine einige Tage später im Theoriesekretariat, Physikalisches Institut, Zimmer 125 abgeholt werden. Die Nachklausur findet voraussichtlich am Dienstag, 2. September 2003 statt. Die Übungen am Fr, 25.7. sollen zum Wiederholen genutzt werden. Die Übungen am Mo, 28. und Di, 29.7. fallen aus, die am Mi, 30.7. können zur Klausurbesprechung verwendet werden, bei Bedarf möchten die anderen Gruppen einen Termin mit dem Tutor vereinbaren.
