Ubungen zur Analysis 1, SoSe 2017 Blatt 1 - Lösungen

BERGISCHE UNIVERSITÄT
WUPPERTAL
Fakultät 4 - Mathematik
und Naturwissenschaften
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Christian Budde
21.04.17
Übungen zur Analysis 1, SoSe 2017
Blatt 1 - Lösungen
Aufgabe 1 (3+7 Punkte)
Sei M eine Menge. Für eine endliche Menge A ⊂ M sei n(A) die Anzahl der Elemente von A.
a) Zeigen Sie n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) für alle endlichen Teilmengen A, B ⊂ M .
b) Leiten Sie eine entsprechende Formel für die Anzahl der Elemente in einer Vereinigung dreier
endlicher Mengen ab.
Lösung
a) (i) Sind A und B disjunkt, haben wir n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Außerdem falls D ⊂ E,
dann gilt für E \ D := E ∩ Dc die Formel
n(E \ D) = n(E) − n(D),
da E \ D und D disjunkt sind.
(ii) Sei C = A ∩ B. Dann ist
A ∪ B = (A \ C) ∪ C ∪ B = (A \ C) ∪ (C ∪ B) = (A \ C) ∪ B,
da A ∩ B ⊂ B. Zudem sind A \ C und B disjunkt. Somit folgt mit (i), dass
n(A ∪ B) = n(A \ C) + n(B) = n(A) − n(C) + n(B).
(ii2 ) Alternativ sieht man leicht, dass A ∪ B die disjunkte Vereinigung von A \ C, B \ C sowie
C ist. Daraus folgt
n(A ∪ B) = n(A \ C) + n(B \ C) + n(C) = n(A) − n(C) + n(B) − n(C) + n(C)
= n(A) + n(B) − n(C).
b) Wir iterieren das Ergebnis aus (a).
n(A ∪ B ∪ C) = n((A ∪ B) ∪ C)
= n(A ∪ B) + n(C) − n( (A ∪ B) ∩ C)
= n(A) + n(B) − n(A ∩ B) + n(C) − n( (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) )
= n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B)
−( n(A ∩ C) + n(B ∩ C) − n(A ∩ B ∩ C) )
= n(A) + n(B) + n(C)
−n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C)
+n(A ∩ B ∩ C)
Aufgabe 2 (3+7 Punkte)
Sei Ad ⊂ Z für eine ganze Zahl d 6= 0 die Menge aller durch d teilbaren Zahlen.
a) Berechnen Sie dann A3 ∩ A7 . (Antwort beweisen!)
b) Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche nicht?
A2 ∩ A4 = A8 ,
A2 ∪ A4 = A6 ,
Ak ∩ Am ⊃ Akm (k, m ∈ Z, k, m 6= 0)
Lösung
a) Es gilt A3 ∩ A7 = A21 .
Beweis:
”⊃”: Ist x ∈ A21 , so gibt es eine ganze Zahl k mit x = 21k = 7 · 3 · k. Also ist x ∈ A3 ∩ A7 .
”⊂”: Sei x ∈ A3 ∩A7 . Dann gibt es ganze Zahlen x1 und x2 mit x = 3x1 = 7x2 . Da 7−2·3 = 1
ist, können wir schreiben:
x = (7 − 2 · 3)x = 7x − 2 · 3x = 21x1 − 2 · 21x2 = 21(x1 − 2x2 )
Somit ist auch x ∈ A21 .
b) Es gilt A2 ∩ A4 = A4 ⊃ A8 . Aber 12 ∈ A4 ohne dass 12 ∈ A8 . Gleichheit gilt also nicht.
Es gilt 16 ∈ A2 = A2 ∪ A4 , aber 16 ∈
/ A6 . Wir haben also A6 ⊂ A2 ∪ A4 , aber keine Gleichheit.
Stets ist Akm ⊂ Ak ∩ Am . Im Allgemeinen gilt nicht die Gleichheit, wie das erste Beispiel lehrt.
Aufgabe 3 (3+3+4 Punkte) Seien X und Y zwei nicht leere Mengen.
Zeigen Sie:
a) (A1 × B1 ) ∪ (A2 × B2 ) ⊆ (A1 ∪ A2 ) × (B1 ∪ B2 ) für alle A1 , A2 ⊆ X und B1 , B2 ⊆ Y .
Zeigen Sie anhand eines Gegenbeispiel, dass im Allgemeinen keine Gleichheit besteht.
b)Für alle A ⊆ X und alle C, D ⊆ Y gilt A × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (A × D).
c) Für alle A1 , A2 ⊆ X und B1 , B2 ⊆ Y gilt
(A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) = (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 )
Lösung
a) Sei (x, y) ∈ (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ), dann (x, y) ∈ (A1 × B1 ) oder (x, y) ∈ (A2 × B2 ),
was bedeutet, dass x ∈ A1 oder x ∈ A2 und y ∈ B1 oder y ∈ B2 . Dementsprechend gilt
x ∈ A1 ∪ A2 und y ∈ B1 ∪ B2 und somit (x, y) ∈ (A1 ∪ A2 ) × (B1 ∪ B2 ). Ein gesuchte
Gegenbeispiel kann man für X = Y = R konstruieren. Wähle hierzu A1 = B1 = [0, 2] und
A2 = B2 = [−1, 1].
b) Der Beweis der Aussage ist in der folgenden Ketten von Äquivalenzen enthalten:
(x, y) ∈ A × (C ∩ D) ⇐⇒ x ∈ A und y ∈ C ∩ D
⇐⇒ x ∈ A und y ∈ Cund y ∈ D
⇐⇒ x ∈ A und y ∈ C und x ∈ A und y ∈ D
⇐⇒ (x, y) ∈ A × C und (x, y) ∈ A × D
⇐⇒ (x, y) ∈ (A × C) ∩ (A × D)
c)Auch hier verwenden wir eine Äquivalenzkette:
(x, y) ∈ (A1 × B1 ) ∩ (A2 × B2 ) ⇐⇒ (x, y) ∈ A1 × B1 und (x, y) ∈ A2 × B2
⇐⇒ x ∈ A1 , y ∈ B1 und x ∈ A2 , y ∈ B2
⇐⇒ x ∈ A1 und x ∈ A2 , y ∈ B1 und y ∈ B2
⇐⇒ x ∈ A1 ∩ A2 , y ∈ B1 ∩ B2
⇐⇒ (x, y) ∈ (A1 ∩ A2 ) × (B1 ∩ B2 )
Aufgabe 4 (5+5 Punkte)
Zeigen Sie:
a) Es gibt keine Quadratzahl k 2 , mit k ∈ N, deren Einerziffer gleich 2 wäre.
b) Für eine Menge M sei P(M ) die Menge der Teilmengen von M , also A ∈ P(M ) genau
dann, wenn A ⊂ M .
Für zwei nichtleere Mengen M1 , M2 untersuchen Sie, ob folgende Behauptung immer richtig
ist:
Jede Menge T ⊂ M1 × M2 hat die Form T = A1 × A2 mit geeigneten A1 ⊂ M1 , A2 ⊂ M2 .
Lösung
Zu a). Ist k ∈ N, so schreiben wir k = 10a + b mit a ∈ N und b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Die Einerziffer von k 2 stimmt mit der von b2 überein, da k 2 = 10(10a2 + 2ab) + b2 und
10(10a2 + 2ab) zur Einerziffer nicht beiträgt. Aber die Einerziffer von b2 ist eine der Zahlen
1,4,5,6 oder 9. Die 2 ist also nicht dabei.
b) Es sei M1 = M2 = {1, 2, 3} und T = {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2)}. Könnten wir nun
Mengen A1 , A2 ⊂ M1 mit der Eigenschaft A1 × A2 = T finden, und bezeichnen wir mit n1
die Elementezahl von A1 und mit n2 die von A2 , so müsste die Elementezahl von T gerade
n1 n2 = 5 sein. Das geht unter der Vorgabe n1 , n2 ∈ {0, 1, 2, 3} nicht. Also gibt es keine
derartigen Mengen A1 , A2 ⊂ M1 .
Abgabe: bis 28.04.17 bis 10 Uhr in das Postfach Ihres Übungsleiters auf D13
Webseite: www2.math.uni-wuppertal.de/∼herbort