Ubungen zur Analysis 1, SoSe 2016 Blatt 1

BERGISCHE UNIVERSITÄT
WUPPERTAL
Fakultät 4 - Mathematik
und Naturwissenschaften
Apl. Prof. Dr. G. Herbort
Dr. T. P. Pawlaschyk
13.04.16
Übungen zur Analysis 1, SoSe 2016
Blatt 1
Aufgabe 1 (3+7 Punkte)
Sei M eine Menge. Für eine endliche Menge A ⊂ M sei n(A) die Anzahl der Elemente von A.
a) Zeigen Sie n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) für alle endlichen Teilmengen A, B ⊂ M .
b) Leiten Sie eine entsprechende Formel für die Anzahl der Elemente in einer Vereinigung dreier
endlicher Mengen ab.
Lösung
a) (i) Sind A und B disjunkt, haben wir n(A ∪ B) = n(A) + n(B). Außerdem falls D ⊂ E,
dann gilt für E \ D := E ∩ Dc die Formel
n(E \ D) = n(E) − n(D),
da E \ D und D disjunkt sind.
(ii) Sei C = A ∩ B. Dann ist
A ∪ B = (A \ C) ∪ C ∪ B = (A \ C) ∪ (C ∪ B) = (A \ C) ∪ B,
da A ∩ B ⊂ B. Zudem sind A \ C und B disjunkt. Somit folgt mit (i), dass
n(A ∪ B) = n(A \ C) + n(B) = n(A) − n(C) + n(B).
(ii2 ) Alternativ sieht man leicht, dass A ∪ B die disjunkte Vereinigung von A \ C, B \ C sowie
C ist. Daraus folgt
n(A ∪ B) = n(A \ C) + n(B \ C) + n(C) = n(A) − n(C) + n(B) − n(C) + n(C)
= n(A) + n(B) − n(C).
b) Wir iterieren das Ergebnis aus (a).
n(A ∪ B ∪ C) = n((A ∪ B) ∪ C)
= n(A ∪ B) + n(C) − n( (A ∪ B) ∩ C)
= n(A) + n(B) − n(A ∩ B) + n(C) − n( (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) )
= n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B)
−( n(A ∩ C) + n(B ∩ C) − n(A ∩ B ∩ C) )
= n(A) + n(B) + n(C)
−n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(A ∩ C)
+n(A ∩ B ∩ C)
Aufgabe 2 (3+7 Punkte)
Sei Ad ⊂ Z für eine ganze Zahl d 6= 0 die Menge aller durch d teilbaren Zahlen.
a) Berechnen Sie dann A3 ∩ A7 . (Antwort beweisen!)
b) Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche nicht?
A2 ∩ A4 = A8 ,
A2 ∪ A4 = A6 ,
Ak ∩ Am ⊃ Akm (k, m ∈ Z, k, m 6= 0)
Lösung
a) Es gilt A3 ∩ A7 = A21 .
Beweis:
”⊃”: Ist x ∈ A21 , so gibt es eine ganze Zahl k mit x = 21k = 7 · 3 · k. Also ist x ∈ A3 ∩ A7 .
”⊂”: Sei x ∈ A3 ∩A7 . Dann gibt es ganze Zahlen x1 und x2 mit x = 3x1 = 7x2 . Da 7−2·3 = 1
ist, können wir schreiben:
x = (7 − 2 · 3)x = 7x − 2 · 3x = 21x1 − 2 · 21x2 = 21(x1 − 2x2 )
Somit ist auch x ∈ A21 .
b) Es gilt A2 ∩ A4 = A4 ⊃ A8 . Aber 12 ∈ A4 ohne dass 12 ∈ A8 . Gleichheit gilt also nicht.
Es gilt 16 ∈ A2 = A2 ∪ A4 , aber 16 ∈
/ A6 . Wir haben also A6 ⊂ A2 ∪ A4 , aber keine Gleichheit.
Stets ist Akm ⊂ Ak ∩ Am . Im Allgemeinen gilt nicht die Gleichheit, wie das erste Beispiel lehrt.
Aufgabe 3 (3+7 Punkte)
Sei M eine nichtleere Menge und X, Y ⊂ M . Dann definieren wir
X∆Y := (X ∩ Y c ) ∪ (X c ∩ Y ).
Zeigen Sie:
a) X∆Y = (X ∪ Y ) ∩ (X ∩ Y )c
b) A ∩ (B∆C) = (A ∩ B)∆(A ∩ C) für alle A, B, C ⊂ M
Lösung
a) Es gilt
(X ∪ Y ) ∩ (X ∩ Y )c = (X ∪ Y ) ∩ (X c ∪ Y c )
=
(X ∪ Y ) ∩ X c ∪ (X ∪ Y ) ∩ Y c
= (Y ∩ X c ) ∪ (X ∩ Y c )
= X∆Y
b) Wir formen die linke Seite um:
A ∩ (B∆C) = A ∩ ( (B ∩ C c ) ∪ (B c ∩ C) )
= ( A ∩ B ∩ C c ) ∪ (A ∩ B c ∩ C)
Die rechte Seite ist gerade
(A ∩ B)∆(A ∩ C) = ( (A ∩ B) ∩ (A ∩ C)c ) ∪ ( (A ∩ B)c ∩ (A ∩ C) )
= ( (A ∩ B) ∩ (Ac ∪ C c ) ) ∪ ( (Ac ∪ B c ) ∩ (A ∩ C) )
= ( A ∩ B ∩ C c ) ∪ ( Bc ∩ A ∩ C )
= A ∩ (B ∩ C c ) ∪ ( B c ∩ C)
Das stimmt mit der linken Seite überein.
Aufgabe 4 (10 Punkte)
Zeigen Sie: Es gibt keine ganzen Zahlen k, m 6= 0, so dass 10k = 4m .
Lösung
Gäbe es solche Zahlen k und m, folgte 2k 5k = 10k = 22m , also
5k = 22m−k .
Angenommen, k ≥ 0. Dann steht links eine Zahl ≥ 1. Also muss 2m − k ≥ 0 sein, damit rechts
auch eine Zahl ≥ 1 steht. Aber dann steht links eine ungerade Zahl und rechts eine gerade
Zahl, Widerspruch.
Im Falle k < 0 steht links eine Zahl < 1. Also muss 2m − k < 0 sein, damit rechts ebenfalls
eine Zahl < 1 steht. Da 5k = 22m−k mit 5−k = 2−(2m−k) äquivalent ist, sind wir wieder im
vorherigen Fall und erhalten einen Widerspruch mit denselben Argumenten.
Abgabe: bis 21.04.16 bis 10 Uhr in das Postfach Ihres Übungsleiters auf D13
Webseite: www.math.uni-wuppertal.de/∼herbort