Algebra und Zahlentheorie WS 13/14 Zentralübung FU Berlin

Algebra und Zahlentheorie
Zentralübung
David Müßig
WS 13/14
FU Berlin
http://page.mi.fu-berlin.de/def/auz14/
[email protected]
26.11.2013
1 Grundlagen der Zahlentheorie
Da in den meisten der Beweisen zu den p-Sylowgruppen Grundkenntnisse der Zahlentheorie nötig
sind, gibt es hier eine kleine Einführung. Später wird das Thema in der Vorlesung noch ein wenig
vertieft.
1.1 Teilungsrelationen
Definition 1. Eine Zahl p ∈ N heißt Primzahl, falls p > 1 gilt und p nur die trivialen Teiler ±1
und ±p besitzt. Die Menge aller Primzahlen bezeichnen wir mit P.
Im Folgenden einige Sätze und Eigenschaften von Primzahlen (und ganzen Zahlen im Allgemeinen), die zum Teil bekannt sein sollten. Wenn nicht, dann seien sie es ab jetzt.
Definition 2. Es seien a, b ∈ Z, nicht beide gleich 0. Wir sagen a ∣ b (in Worten: a teilt b), falls
es ein k ∈ Z gibt, mit a ⋅ k = b.
Ich gehe davon aus, dass die meisten schon vorher wussten, was „a teilt b“ bedeutet, an dieser
Stelle wollte ich es trotzdem noch einmal mathematisch korrekt definieren.
Definition 3. Es seien a, b ∈ Z, und es gelte nicht a = b = 0. Wir nennen d den größten gemeinsamen Teiler von a und b, falls d folgende Eigenschaften erfüllt:
1. d ∣ a und d ∣ b
2. Aus c ∣ a und c ∣ b folgt c ≤ d.
Wir schreiben dann d = ggT(a, b).
Definition 4. Es seien a, b ∈ Z wie oben. Wir definieren das kleinste gemeinsame Vielfache von
a und b als die kleinste natürliche Zahl d mit der Eigenschaft a ∣ d und b ∣ d. Wir schreiben dann
d = kgV(a, b).
Bemerkung 5. Es seien a, b ∈ Z und d = ggT(a, b). Dann existieren k, l ∈ Z, mit k ⋅ a + l ⋅ b = d.
Zum Beispiel der erweiterte euklidische Algorithmus liefert solche Koeffizienten k, l ∈ Z.
Lemma 1. Es seien a, b, c, d ∈ Z mit a + b = c. Dann gilt:
d ∣ a und d ∣ b ⇒ d ∣ c.
Lemma 2. Es seien a, b, c ∈ Z und ggT(a, b) = 1. Dann gilt
a ∣ bc ⇒ a ∣ c.
Insbesondere gilt für alle Primzahlen p ∈ P:
p ∣ ab ⇒ p ∣ a oder p ∣ b.
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1.2 Primfaktorzerlegung
Lemma 3. Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben.
Beweis. Es sei n ∈ N die kleinste natürliche Zahl, für die wir noch nicht wissen, dass sie sich
als Primzahlprodukt schreiben lässt (Damit können wir n > 3 voraussetzen). Dann ist entweder
n ∈ P oder aber n ist das Produkt kleinerer Zahlen n1 , . . . , nk . Für diese kleineren Zahlen ni ist
die Bedingung allerdings schon erfüllt und so können wir auch n als Produkt von Primzahlen
schreiben.
◻
Lemma 4. Die Zerlegung einer natürlichen Zahl n in ein Produkt aus Primzahlen ist (bis auf
Reihenfolge) eindeutig.
Beweis. Angenommen, die Aussage ist falsch. Es sei dann n ∈ N das kleinste Gegenbeispiel. D.h.
es existieren zwei verschiedene Zerlegungen in Primfaktoren
q1 q2 . . . qk = p1 p2 . . . pl .
Wir können davon ausgehen, dass die beiden Seiten gekürzt sind, das heißt dass qi ≠ pj für alle
i, j gilt.
Es teilt aber qi (1 ≤ i ≤ k) die rechte Seite und somit einen Faktor des Produkts. Das heißt aber
es existiert ein 1 ≤ j ≤ l mit qi ∣ pj und damit dann qi = pj , was einen Widerspruch zur Annahme
darstellt.
◻
Satz 1. Jede natürliche Zahl lässt sich bis auf Reihenfolge eindeutig als ein Produkt aus Primzahlen schreiben. Wir nennen diese Primzahlen die Primfaktoren von n.
Satz 2. Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis (nach Euklid). Angenommen falsch. Es sei {p1 , p2 , . . . , pk } die Menge aller Primzahlen.
Betrachte nun
n ∶= p1 ⋅ p2 ⋅ . . . ⋅ pk + 1 ∈ N.
Es gilt ggT(pi , n) = 1 für alle 1 ≤ i ≤ k. Da n jedoch eindeutig in Primfaktoren zerlegt werden
kann, muss mindestens eine weitere Primzahl pk+1 existieren, die n teilt.
◻
Über Primzahlen, ihre Verteilung in der Menge N, Struktur, Zusammengehörigkeit etc. gibt es
eine Vielzahl an Sätzen und offenen Vermutungen.
2 Die Diedergruppe D2n
Definition 6. Die Diedergruppe D2n (manchmal auch Dn ) bezeichnet die Isometriegruppe eines
regelmäßigen n-Ecks in der Ebene.
Bemerkung 7. Die Diedergruppe D2n besteht aus n Drehungen rk und n Spiegelungen sk , sie
hat also 2n Elemente. Die Verknüpfung in dieser Gruppe entspricht der Hintereinanderausführung
ihrer Elemente.
und ein Element sk ∈ D2n
Die Elemente rk ∈ D2n beschreiben Drehungen um den Winkel k ⋅ 2π
n
beschreibt eine Spiegelung über die Spiegelachse, die einen Winkel von k ⋅ nπ mit der x-Achse
einnimmt.
Beispiel 1. Es sei n = 4. Die Diedergruppe D8 entspricht der Isometriegruppe des Quadrats in
der Ebene. Wir haben hier 4 Drehungen um die Winkel 0○ , 90○ , 180○ und 270○ und ebenfalls 4
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Spiegelungen an Achsen durch zwei gegenüberliegende Ecken (2 Stück) und zwei gegenüberliegende Kantenmittelpunkte (2 Stück).
◇
Bemerkung 8. Alle Drehungen der Diedergruppe D2n lassen sich durch die Drehung um den
Winkel 2π
erzeugen. Nehmen wir noch eine beliebige Spiegelung dazu, erhalten wir die gesamte
n
Gruppe.
Die Diedergruppe D2n lässt sich ebenfalls durch zwei benachbarte Spiegelungen erzeugen:
Die Verknüpfung zweier Spiegelungen si , sj ∈ D2n lässt sich als Drehung um den Winkel 2α
auffassen, wobei α den Winkel zwischen den beiden Spiegelachsen beschreibt. Damit erzeugen
.
zwei benachbarte Spiegelungen die Drehung um den Winkel 2π
n
Wir können jede beliebige Spiegelung sk durch die Verknüpfung von rk und s0 darstellen: sk =
rk s0 für alle k.
Bemerkung 9. Die Drehungen / Spiegelungen der Diedergruppe D2n lassen sich als Permutationen auf den n Ecken des regelmäßigen n-Ecks interpretieren. Wir erhalten auf diese Weise
also eine Einbettung der D2n in die Sn .
Beispiel 2. Wir betrachten den Fall n = 5, also die Gruppe D10 .
◇
3 p-(Sylow)Gruppen
Definition 10. Es sei p eine Primzahl, G eine Gruppe. Wir nennen G eine p-Gruppe, falls
∣G∣ = pk für ein k ∈ N gilt.
In der Mathematik sind wir ständig auf der Suche nach Strukturen. Wir wollen nun die Struktur
einer Gruppe anhand ihrer Ordnung untersuchen. Dazu wollen wir ein geeignetes Konzept finden,
gewissen Untergruppen in ihr zu finden, aus denen wir dann die Gruppe „rekonstruieren“ können
(so wie wir ganze Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen könnnen). Diese Untergruppen werden
die p-Sylowgruppen sein:
Definition 11 (Allgemeine Version). Es sei G eine Gruppe. Eine p-Sylowuntergruppe (machmal
auch nur p-Sylowgruppe)) von G ist ein maximales Element der Menge aller p-Untergruppen von
G.
Diese Definition setzt nicht unbedingt voraus, dass die Gruppe G endlich ist. Häufig werden nur
p-Sylowgruppen von endlichen Gruppen betrachtet. In diesem Fall kann die Definition etwas
greifbarer vorgenommen werden:
Definition 12 (Endliche Version). Es sei G eine Gruppe, ∣G∣ = n ∈ N. Wir nennen H ⊆ G eine
p-Sylowuntergruppe von G, falls H eine Untergruppe von G ist und ∣H∣ = pk die größte p-Potenz
ist, die ∣G∣ teilt.
Dass die zweite Version der Definition im Fall dass G unendliche Ordnung hat keinen Sin ergibt,
ist hoffentlich klar. Dann würde jede p-Potenz die Gruppenordnung teilen und es gäbe partout
keine größte p-Potenz. Im Folgenden mal ein Beispiel für eine nicht-endliche Gruppe mit pUntergruppe:
Beispiel 1. Es sei p eine Primzahl und G ∶= (Z⊕Z/pZ, +), wobei die Addition komponentenweise
definiert ist. D.h. Elemente von G haben die Form (x, y) mit x ∈ Z und y ∈ Z/pZ, das neutrale
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Element ist (0, 0). Die Gruppenordnung ∣G∣ ist nicht endlich, da Z nicht endlich ist. Wir finden
trotzdem p-Untergruppen:
Das Element (0, 1) erzeugt in G eine Untergruppe H ∶= ⟨(0, 1)⟩ = {(0, y) ∈ G ∣ y ∈ Z/pZ} ⊆ G
mit ∣H∣ = p. Damit hat G eine p-Untergruppe und (da dies die einzige p-Untergruppe von G ist)
damit auch eine p-Sylowuntergruppe.
◇
Satz 3 (Sylowsätze). Es sei G eine endliche Gruppe und p ein Primteiler von ∣G∣. Dann gilt:
1. Es existiert eine p-Sylowuntergruppe von G.
2. Jede p-Untergruppe H von G ist in einer p-Sylowuntergruppe von G enthalten.
3. Alle p-Sylowuntergruppen von G sind konjugiert.
4. Die Anzahl der p-Sylowuntergruppen von G (bezeichnet mit Sp ) ist ein Teiler der Gruppenordnung und es gilt Sp ≡ 1 (mod p).
☀☀☀☀
Achtung: Die Aussagen des Satzes beziehen sich jeweils auf einen festen Primteiler p von ∣G∣.
Wir müssen diese Betrachtungen also für alle Primteiler unabhängig voneinander durchführen!
☀☀☀☀
Beispiel 2. Es sei G = A4 , damit ist ∣G∣ = 12 = 22 ⋅ 3. Damit können wir 2-Sylowgruppen und
3-Sylowgruppen in G finden. Die Ordnung der 2-Sylowgruppen ist 4, die der 3-Sylowgruppen
ist 3.
Die Anzahl an 2-Sylowgruppen in G ist entweder 1 oder 3 und die Anzahl an 3-Sylowgruppen
in G ist entweder 1 oder 4. Als Ergebnis erhalten wir, dass S2 = 1 und S3 = 4 ist (Details siehe
Übung).
◇
4 Zu Aufgabe 5.1
Versuch der Klärung der Aussage „In jeder G-Operatoin lassen sich die Bahnen mit G-Mengen
G/H identifizieren.“
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