1. Rechenübung aus Statistischer Physik (Lösung)

1. Rechenübung aus Statistischer Physik (Lösung)
1. Aus der Grundgleichung der Thermodynamik
dS =
folgt:
1
=
T
P
µ
1
dE + dV − dN
T
T
T
dS(E, V, N )
dE
=
V,N
3
1
N kB .
2
E
Die Energie ist deshalb gegeben durch
E(T, V, N ) =
3
N kB T
2
und unabhängig von V .
In gleicher Weise, ist der Druck gegeben durch
P
N kB
dS(E, V, N )
=
.
=
T
dV
V
E,N
Deshalb,
P (V, T, N ) = N kB
T
V
2. (a) Bei konstantem V wird keine Arbeit von dem System verrichtet. Die
zugefügte Wärme ∆Q1 ist die Veränderung der inneren Energie ∆E1
∆Q1 = ∆E1 =
3
3
3
N kB T (P2 , V1 , N )− N kB T (P1 , V1 , N ) = (P2 V1 − P1 V1 )
2
2
2
Bei konstantem P ist die zugefügte Wärme ∆Q2 die Veränderung
der inneren Energie ∆E1 plus die Arbeit ∆W
∆Q2 = ∆E2 +∆W =
3
3
5
N kB T (P2 , V2 , N )− N kB T (P2 , V1 , N )+P2 (V2 −V1 ) = P2 (V2 − V1 )
2
2
2
Die gesamte zugefügte Wärme ist
∆Q = ∆Q1 + ∆Q2 =
5
3
(P2 − P1 ) V1 + P2 (V2 − V1 )
2
2
(b) Die zugefügte Wärme ∆Q2 ist die Veränderung der inneren Energie
∆E1 plus die Arbeit ∆W
∆Q =
=
=
=
=
3
3
N kB T (P2 , V2 , N ) − N kB T (P1 , V1 , N ) +
2
2
Z V2
3
V XdV
(P2 V2 − P1 V1 ) +
2
V1
1
3
(P2 V2 − P1 V1 ) + X V22 − V12
2
2
3
1 P2 2 1 P1 2
(P2 V2 − P1 V1 ) +
V −
V
2
2 V2 2
2 V1 1
2 (P2 V2 − P1 V1 )
∆E + ∆W =
Z
V2
P (X, V ) dV
V1
3. Die Entropie als Funktion von V , T und N :
3
3
S(V, T, N ) = N kB ln V + N kB ln E(V, T, N ) − N kB ln
2
2
3
= N kB ln V + N kB ln T
2
3
N kB
2
Für das Gas (a) mit Volumen Va , Temperatur T und Teilchenzahl N
3
Sa = N kB ln Va + N kB ln T
2
und für das Gas (b) mit Volumen Vb , Temperatur T und Teilchenzahl N
3
Sb = N kB ln Vb + N kB ln T
2
Gas (c) ist ein Gemisch von Gas (a) und Gas (b). Jedes hat Volumen
Vc = Va + Vb , Temperatur T und Teilchenzahl N .
3
3
Sc =
N kB ln (Va + Vb ) + N kB ln T + N kB ln (Va + Vb ) + N kB ln T
2
2
=
2
N kB ln (Va + Vb ) + 3N kB ln T
Die Änderung der Entropie ist
∆S
2
=
Sc − (Sa + Sb ) = N kB ln (Va + Vb ) − N kB ln (Va Vb )
=
N kB ln
2
(Va + Vb )
>0
Va Vb
(Va + Vb )2 /(Va Vb ) > 1 weil (Va + Vb )2 − Va Vb = Va2 + Vb2 + Va Vb > 0 .