Mathematik für Geowissenschaftler

Mathematik für Geowissenschaftler
Thorsten Wörmann
27. Januar 2012
Inhaltsverzeichnis
1
Vorlesung
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
F2 ,
5
der Körper mit zwei Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.1.1
Drei Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2
One Time Pad
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.3
RAID-5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.1.4
Fehler korrigierende Codes
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2.1
Erste Folgerungen aus den Körperaxiomen . . . . . . . . . .
11
1.2.2
Die binomischen Formeln
1.2.3
Die Regeln der Bruchrechnung
1.2.4
Umformungen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.2.5
Potenzen in Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Die Körperaxiome und ihre Folgen
Ordnung muÿ sein
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
13
13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.1
Angeordnete Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
1.3.2
Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen
. . . . . . . . . .
16
1.3.3
Die Betragsfunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.4
Das Supremumsaxiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
1.3.5
Archimedizität
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.6
Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Aussagenlogik und Mengenlehre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4.1
Mengenlehre
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.4.2
Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Funktionen und Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
1.5.1
Flächen
28
1.5.2
Trigonometrische Funktionen
1.5.3
Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.5.4
Der natürliche Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.6
Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D . . . . . . . . . . . . . . . .
35
1.7
Polynome I
43
1.8
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.7.1
Denition und Eigenschaften von Polynomen
. . . . . . . .
43
1.7.2
Tangenten an Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.8.1
Polynome II: Die Ableitungsregeln
Konstante Faktoren Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.8.2
Summenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.8.3
Produktregel
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
1.8.4
Allgemeine Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
3
1.8.5
1.9
Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Polynome III: Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.9.1
Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.9.2
Zwischenwertsatz für Polynome . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.9.3
Satz von Rolle für Polynome
. . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.9.4
Mittelwertsatz für Polynome
. . . . . . . . . . . . . . . . .
57
1.10 Integration Teil I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
1.10.1 Ein Integralbegri (nicht nur für Polynome) . . . . . . . . .
60
1.10.2 Die Integrationsregeln
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10.3 Beispiele für Integrationstechniken
. . . . . . . . . . . . . .
1.10.4 Tangenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11 Jenseits der Polynome
66
68
73
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
1.11.1 Grundlegende Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
1.11.2 Die Ableitungen und Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.11.3 Potenzreihenentwicklungen von Funktionen
87
1.11.4 Formale Potenzreihen und Konvergenz . . . . . . . . . . . .
92
1.12 Anhang A: Eigenschaften von streng monotonen Funktionen . . . .
1.13 Anhang B: Eigenschaften von Flächenfunktionen
2
84
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
Ergänzungen
97
100
103
2.0.1
E: Das Nim Spiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
104
2.0.2
E: Die reellen Zahlen als Dezimalzahlen
108
2.0.3
. . . . . . . . . . .
2.0.2.1
Der Wert von Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . .
111
2.0.2.2
Probleme mit Dezimalzahlen . . . . . . . . . . . .
111
E:Kombinatorik, die Kunst des gepegten Zählens
. . . . .
113
. . . . . . . . . . . . . . . .
113
2.0.3.1
Einfache Zählformeln
2.0.3.2
Teilmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
2.0.4
E: Komplexe Zahlen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
2.0.5
E: Der Haupsatz der Mineralogie . . . . . . . . . . . . . . .
123
2.0.6
GPS und Verwandte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
2.0.6.1
2.0.7
2.0.8
2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
E: Einführung in das Computeralgebrasystem Maxima . . .
133
2.0.7.1
Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
2.0.7.2
Rechnen mit Maxima
. . . . . . . . . . . . . . . .
138
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
151
E: Stetigkeit
1 Vorlesung
5
Mathematik für Geowissenschaftler
1.1
F2 ,
der Körper mit zwei Elementen
Wir betrachten eine Menge bestehend aus zwei Objekten:
M := {, O}
Wir denieren zwei Operationen auf dieser Menge:
⊕
⊕=
⊕O=O
O⊕=O
O⊕O=
=
O=
O=
OO=O
Bei einer Operation wird also jeder möglichen Kombination von Elementen der
Menge ein Ergebnis, also wieder ein Element der Menge zugewiesen. Wir wollen
nun die Eigenschaften dieser Operationen untersuchen.
Zunächst einmal stellen wir fest, daÿ die Operationen unabhängig von der Reihenfolge sind: Beide Operationen sind kommutativ. Deshalb können wir die Verknüpfungen auch kürzer in den folgenden beiden Tabellen beschreiben:
⊕
O
O
O
O
O
O
O
Die Kommutativität können wir auch wie folgt ausdrücken:
ab=ba
und
a⊕b=b⊕a
für alle
a, b ∈ M.
Weiter stellen wir fest, daÿ beide Operationen ein Neutralelement haben, also ein
Element, dessen Verknüpfung nichts bewirkt:
a⊕=a
und
Es gilt das Assoziativgesetz für
a
O
O
O
O
b
O
O
O
O
c
O
O
O
O
(a ⊕ b) ⊕ c
⊕ = ⊕O=O
O⊕=O
O⊕O=
O⊕=O
O⊕O=
⊕=
⊕O=O
aO=a
⊕:
a ⊕ (b ⊕ c)
⊕=
⊕O=O
⊕O=O
⊕=
O⊕=O
O⊕O=
O⊕O=
O⊕=O
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für alle
a ∈ M.
Mathematik für Geowissenschaftler
Man sieht also :
(a ⊕ b) ⊕ c = a ⊕ (b ⊕ c)
für alle
a, b, c ∈ M
Das alles Nachzurechnen ist etwas langatmig. Um die Assoziativität von
sehen, versuchen wir mit etwas weniger Arbeit auszukommen.
Behauptung: (a b) c = a (b c)
Grund: Man sieht
a=
für alle
für alle
a ∈ M.
einzu-
a, b, c ∈ M
1.Fall:
a = : Dann ist (a b) c = ( b) c = c = und (b c) = .
2.Fall:
a = O:
Dann ist
(a b) c = b c
a (b c) = b c
und
Behauptung: a (b ⊕ c) = (a b) ⊕ (a c)
Grund: 1.Fall: a = . Dann sind beide Seiten .
2. Fall:
a = O:
Dann sind beide Seiten
b ⊕ c.
Als besonders nützlich wird sich die folgende Eigenschaft erweisen:
a⊕a=
für alle
a∈M
Grund: O ⊕ O = , ⊕ = Folgerung: (a ⊕ b) ⊕ a = b
Grund: (a ⊕ b) ⊕ a = a ⊕ (a ⊕ b) = (a ⊕ a) ⊕ b = ⊕ b = b
1.1.1 Drei Anwendungen
Wir betrachten jetzt statt der einzelnen Zeichen
und
O
Zeichenketten gleicher
Länge aus diesen Symbolen. Zwei Zeichenketten werden stellenweise mit
verknüpft. Diese Verknüpfungen bezeichnen wir wieder mit
Beispiel:
und
.
⊕
bzw.
OO
⊕OO
= OO
Wie oben gilt auch für Zeichenketten
x⊕x=
⊕
x, y : x ⊕ y = y ⊕ x, (x ⊕ y) ⊕ z = x ⊕ (y ⊕ z),
besteht), x ⊕ = x.
(Die Zeichenkette die nur aus lauter
1.1.2 One Time Pad
Alice möchte Bob eine verschlüsselte Botschaft schicken, die nur Bob entschlüsseln
kann. Die Nachricht nennen wir
x.
Alice generiert einen gleich langen Schlüssel
den Sie Bob auf sicherem Wege zukommen läÿt. Nun berechnet Sie
m=x⊕s
Seite 7
s,
Mathematik für Geowissenschaftler
m
kann Sie nun über einen unsicheren Kanal (z.B. das Internet) an Bob ver-
schicken. Bob berechnet nach Erhalt der Nachricht:
m⊕s
Er erhält
m ⊕ s = (x ⊕ s) ⊕ s = x ⊕ (s ⊕ s) = x ⊕ = x
also die unverschlüsselte Nachricht.
Beispiel:
Alice
Bob
x = OO, s = OO
m = OO
m = OO, s = OO
m ⊕ s = OO = x
Bemerkung: Dieses Verfahren ist das einzig mathematisch beweisbar sichere Verschlüsselungsverfahren.
1.1.3 RAID-5
Wir stellen uns zwei Festplatten gleicher Gröÿe vor, die beide mit Daten bestehend
aus Zeichenketten von
und
O
bestehen. Wie können wir uns dagegen absichern,
daÿ eine Festplatte defekt wird und die Daten verloren gehen? Dazu nehmen wir
noch eine dritte Festplatte und bezeichnen den Inhalt der ersten beiden Platten
mit
x
und
y.
Auf der dritten Festplatte speichern wir
Platte mit Inhalt
x
aus, so berechnen wir:
z = x⊕y
ab. Fällt jetzt die
y ⊕ z = y ⊕ (x + y) = y ⊕ (y ⊕ x) = (y ⊕ y) ⊕ x = ⊕ x = x
Damit ist der Platteninhalt
der Platte mit Inhalt
y
x
wieder hergestellt. Analog geht man beim Ausfall
vor. Fällt
z
aus, so kann dies einfach wieder als
berechnet werden.
x⊕y
1.1.4 Fehler korrigierende Codes
Wir wollen eine Nachricht über einen störungsanfälligen Kanal schicken. Wie kann
der Empfänger erkennen, ob eine Nachricht einen Fehler enthält und diesen gegebenenfalls korrigieren? Eine Möglichkeit wäre, die Nachricht dreimal abzuschicken
und der Empfänger macht eine Mehrheitsentscheidung. Zum einen verdreifacht das
das Datenaufkommen, zum anderen weiÿ der Empfänger nicht, ob an der gleichen
Stelle zweimal ein Fehler aufgetreten ist.
Ein clevereres Verfahren ist das folgende. Wir nehmen an, daÿ wir die Symbole
m1 , m2 , m3 , m4 ∈ M
übertragen wollen. Weiter nehmen wir an, daÿ bei dieser
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Mathematik für Geowissenschaftler
Übertragung maximal ein Fehler auftritt. Wir generieren
jedem Kreis gerade viele
O
p1 , p2 und p3
so, daÿ in
stehen:
K2
K1
m1
p2
m3
p1
m4
m2
p3
K3
Also:
p1 = m1 ⊕ m2 ⊕ m4
p2 = m1 ⊕ m3 ⊕ m4
p3 = m2 ⊕ m3 ⊕ m4
Nun werden
m1 , · · · , m4 , p1 , · · · , p3
überragen. Der Empfänger ordnet die empfan-
genen Symbole wieder in die obigen Kreise ein.
Nun kann der Empfänger überprüfen, ob die Kreise eine gerade Anzahl von
O
enthalten. Wir sehen uns nun einmal an, was passiert, wenn bei dieser Übertragung
maximal ein Fehler auftritt.
Fehler in
K1
K2
K3
m1
m2
m3
m4
p1
p2
p2
falsch
falsch
korrekt
kein Fehler
falsch
korrekt
falsch
korrekt
falsch
falsch
falsch
falsch
falsch
falsch
korrekt
korrekt
korrekt
falsch
korrekt
korrekt
korrekt
falsch
korrekt
korrekt
korrekt
Damit kann der Empfänger erkennen, ob ein Fehler aufgetreten ist und wenn ja,
an welcher Stelle.
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Mathematik für Geowissenschaftler
1.2 Die Körperaxiome und ihre Folgen
Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles übrige ist Menschenwerk, Leopold
Kronecker.
Denition: N := {1, 2, 3, . . .}
N0 := {0, 1, 2, 3, . . .}
Z := {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Zunächst wollen wir uns überlegen was vernünftige Zahlen ausmachen soll. Wir
möchten sicherlich, daÿ wir zwei Operationen unbeschränkt ausführen können:
Eine Addition und eine Multiplikation.
+
A+ :
(a + b) + c =
a + (b + c)
N+ :
a+0=a
·
A· :
a·(b·c) = (a·b)·c
N· :
a·1=a
Existenz des
K+ :
a+b=b+a
I+ :
zu a gibt es −a,
K· :
a·b=b·a
I· :
zu a 6= 0 gibt
a−1 , mit:
a · a−1 = 1
Kommuta-
mit:
a + (−a) = 0
Assoziativität
Neutralelements
tivität
Existenz des
es
Inversen
Des weiteren haben wir
D : a · (b + c) = a · b + a · c
N T : 1 6= 0
Distributivität
Nichttrivialität
Bemerkung: Wir sind es gewohnt, Formeln von links nach rechts zu lesen.
Deshalb lesen wir
a + b + c als (a + b) + c . Die Kommutativität der Addition liefert
dann:
a + b + c = b + c + a = (b + c) + a = a + (b + c).
Es sieht so aus, als benötige man die Assoziativität gar nicht. Beachten Sie aber
bitte, daÿ wir
a+b+c
noch gar nicht deniert haben. Tun wir das zum Beispiel
durch
a + b + c := (a + b) + c,
so liefert uns die Kommutativität lediglich
a + b + c = (b + a) + c = c + (b + a) = c + (a + b),
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Mathematik für Geowissenschaftler
aber nicht
a + b + c = a + (b + c).
Beispiele: 1) Die Menge F2 = {0, 1}
2)
Q=
p
q
r
s
+
n
=
o
p
p r
q | p ∈ Z und q ∈ N mit der Multiplikation q · s
p·s+r·q
(Genaueres dazu weiter unten).
q·s
p·r
q·s und der Addition
=
Nichtbeispiele: 1) N0 (mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation) da es
im allgemeinen keine additiven Inversen gibt.
2)
Z
(mit der gewöhnlichen Addition und Multiplikation) da es im allgemeinen
keine multiplikativen Inversen gibt.
1.2.1 Erste Folgerungen aus den Körperaxiomen
F1) Neutralelemente sind eindeutig bestimmt
denn: Seien
00
und
10
weitere Neutralelemente (NE). Dann ist
0 + 00 = 00 ,
da
0 + 00 = 0
Also ist
0
0
0 = 0+0 = 0.
0
,da
Neutralelement ist, und
00
Neutralelement ist.
Analog sieht man, daÿ multiplikative Neutralelemente
eindeutig sind.
F2) a + 0 · a = a
Grund:
N·
D
N·
N+
a + 0 · a = 1 · a + 0 · a = (1 + 0) · a = 1 · a = a
F3) a · 0 = 0
Grund:
I+
F 2)
K+
0 = a + (−a) = (a + 0 · a) + (−a) =
I+
N+
a + (−a) + 0 · a = 0 + 0 · a = 0 · a
F4) Ist a · b = 0, so ist a = 0 oder b = 0 (oder beide).
denn: Ist
a 6= 0
und
b 6= 0
, dann gibt es
a−1
und
b−1
, mit
F 3)
(b−1 · a−1 ) · (a · b) = (b−1 · a−1 ) · 0 = 0.
Aber auch:
A·
I·
(b−1 · a−1 ) · (a · b) = b−1 · (a−1 · a) · b =
Seite 11
Mathematik für Geowissenschaftler
N·
I·
b−1 · 1 · b = b−1 · b = 1.
Also wäre
1 = 0.
F5) Inverse sind eindeutig und es gilt:−(−a) = a und (a−1 )−1 = a für a 6= 0.
Grund:
a + (−a) = 0
, also ist
a
daher
additives Inverses zu
(−a),
a = −(−a).
Den zweiten Teil sieht man analog.
F6) (−1) · a = −a
Grund:
N·
D
I+
F 3)
a + (−1) · a = 1 · a + (−1) · a = (1 + (−1)) · a = 0 · a = 0
also mit
F5
die Behauptung.
F7) (−1) · (−1) = 1
Grund:
(−1) · (−1) + (−1) = (−1) · (−1) + 1 · (−1) =
((−1) + 1) · (−1) = 0 · (−1) = 0
(−1) · (−1)
F 5).
Damit ist
(nach
das additive Inverse von
(−1),
also
(−1) · (−1) = −(−1) = 1
F8) (−a) · (−a) = a · a =: a2
Grund:
(−a) · (−a) = (−1) · a · (−1) · a = (−1) · (−1) · a · a =
1 · a · a = a · a = a2
F9) −(a + b) = (−a) + (−b) und (a · b)−1 = a−1 · b−1
Grund:
(−a) + (−b) + a + b = (−a) + a + (−b) + b = 0 + 0 = 0
und
a−1 · b−1 · a · b = a−1 · a · b−1 · b = 1 · 1 = 1
Einschub: Warum gibt es kein multiplikatives Inverses von 0?
Seite 12
Mathematik für Geowissenschaftler
Wir hätten:
nach
F 3.
0·0−1 = 1 nach Denition des multiplikativen Inversen und 0−1 ·0 = 0
Denition:
a − b := a + (−b)
a
= a · b−1
b
falls,
b 6= 0
1.2.2 Die binomischen Formeln
D
D
K+
B1) (a+b)2 = (a+b)·(a+b) = a·(a+b)+b·(a+b) = a2 +a·b+b·a+b2 = a2 +2·a·b+b2
B1
B2) (a − b)2 = (a + (−b))2 = a2 + 2 · a · (−b) + (−b)2 = a2 + 2 · a · (−1) · b + b2 =
a2 − 2 · a · b + b2
B3) (a − b) · (a + b) = (a + (−b)) · (a + b) = a · (a + b) + (−b) · (a + b) =
a2 + a · b + (−1) · b · a + (−1) · b2 = a2 − b2
1.2.3 Die Regeln der Bruchrechnung
Im folgenden seien alle auftretenden Nenner
Br1) =
Grund:
a
b
a
b
d
d
d , speziell: d
·
6= 0.
=1
a
a d Def.
·
= (a · b−1 ) · (d · d−1 ) = a · b−1 · 1 = a · b−1 =
b d
b
Br2) ab · dc = a·c
b·d
Grund:
a
b
·
c Def.
a·c
= (a · b−1 ) · (c · d−1 ) = (a · c) · (b · d)−1 =
d
b·d
Br3) ac + cb = a+b
c
Grund:
a b
a+b
D
+ = (a · c−1 ) + (b · c−1 ) = (a + b) · c−1 =
c
c
c
Br4) ac + db = a·d+b·c
c·d
Grund:
b Br1 a d
b c Br2 a · d
b · c Br3 a · d + b · c
a
+
=
· + · =
+
=
c
d
c d d c
c·d
c·d
c·d
Br5)
a
b
c
d
=
a·d
b·c
Seite 13
Mathematik für Geowissenschaftler
Grund:
a
b
c
d
=
a c −1
·
= (a · b−1 ) · (c · d−1 )−1 = a · b−1 · c−1 · d =
b
d
(a · d) · (b · c)−1 =
a·d
b·c
1.2.4 Umformungen von Gleichungen
Klar ist: Gilt
a = b,
so auch
a+c=b+c
a + c = b + c, so können wir auf beiden
a + c + (−c) = b + c + (−c), also a = b.
Ist umgekehrt:
erhalten:
Für die Multiplikation gilt klarerweise: Ist
a · c = b · c, so
also c 6= 0 ist.
ist
a · c · c−1 = b · c · c−1
Seiten
(−c)
addieren und
a = b, so auch a · c = b · c. Ist umgekehrt
a = b, falls c−1 existiert, falls
und mithin
1.2.5 Potenzen in Körpern
Denition: Potenzen
Sei
n
eine natürliche Zahl. Wir denieren für
an := |a · .{z
. . · a}, a0 = 1
und für
n−mal
00
n∈N:
a 6= 0, a−n := (a−1 )n
lassen wir undeniert.
Aus der Denition sieht man sofort die Potenzrechenregeln für
n, m ∈ Z:
an · am = an+m
und
(an )
m
= an·m
Satz (endliche geometrische Reihe):
xn − 1 = (x − 1) · (1 + x + . . . + xn−1 ) = (x − 1)
n−1
X
k=0
Grund: Die rechte Seite ergibt ausmultipliziert
x
n−1
X
k=0
xk −
n−1
X
k=0
xk =
n−1
X
k=0
xk+1 − xk = xn − 1
Seite 14
xk
Mathematik für Geowissenschaftler
Folgerung:
n
n
x − y = (x − y)
n−1
X
xk y n−k−1
k=0
Grund: Ist y 6= 0 so folgt mit der endlichen geometrischen Reihe
xn − y n = y n
n
n−1
X x k
x
x
− 1 = y( − 1)y n−1
=
y
y
y
k=0
(x − y) ·
n−1
X
xk y n−k−1
k=0
Seite 15
Mathematik für Geowissenschaftler
1.3 Ordnung muÿ sein
1.3.1 Angeordnete Körper
Wir nehmen einmal an, daÿ es in einem Körper Elemente gibt, die wir positiv
nennen. Welche Eigenschaften sollen diese haben?
O1) Wenn x und y positiv sind, dann auch x + y und x · y
O2) Für jede Zahl x6= 0 ist entweder x positiv oder −x positiv (aber nicht beides)
O3) 0 ist nicht positiv
Denition: Besitzt ein Körper positive Elemente mit den Eigenschaften O1-O3,
so heiÿt der Körper angeordnet.
Denition:
x<y
bedeutet
y−x
y>x
bedeutet
x<y
x≤y
bedeutet
x<y
y≥x
bedeutet
x≤y
Kurzschreibweise:
ist positiv
oder
x=y
x≤y≤z
heiÿt
x≤y
und
y≤z
1.3.2 Folgerungen aus den Anordnungsaxiomen
OF1) Für beliebige Zahlen
a, b
gilt: Genau eine der folgenden drei Dinge gilt:
a < b, b < a, a = b
Grund: Sei x := b − a. Nach O2 gilt genau eines der drei folgenden: x > 0, x <
0, x = 0.
Das entspricht der Behauptung.
OF2) Wenn a < b und b < c, dann a < c
Grund: a < b bedeutet b − a > 0 und b < c bedeutet c − b > 0. Also
ist
(b − a) + (c − b) > 0.
Und damit
c−a>0
also
a < c.
OF3) Wenn a < b, dann a + c < b + c
Grund: Sei x := a + c, y := b + c. Dann ist y − x = b − a > 0, also y > x.
OF4) Wenn a < b und c > 0, dann ist a · c < b · c
Grund: a < b bedeutet b − a > 0. Dann ist für c > 0 : c · (b − a) = c · b − c · a > 0
OF5) Wenn a 6= 0, dann ist a2 > 0
Seite 16
Mathematik für Geowissenschaftler
Grund: Ist a > 0, so ist a2 > 0. Ist a < 0, dann ist (−a) > 0 also (−a) · (−a) =
(−1) · (−1) · a · a = a2 > 0.
OF6) 1 > 0
Grund: Voriger Satz mit a = 1
OF7) Wenn a < b und c < 0, dann a · c > b · c
Grund: a < b bedeutet b − a > 0 und c < 0 bedeutet (−c) > 0. Also ist
(−c) · (b − a) > 0.
Somit
a · c − b · c > 0.
OF8) Wenn a < b, dann −a > −b. Speziell: Wenn a < 0, dann (−a) > 0
Grund: Folgt aus vorigem Satz durch c = −1
OF9) Ist a · b > 0, dann sind entweder a und b beide positiv oder a und b beide
negativ.
Grund: Sei z.B a > 0 und b < 0. Dann wäre a · (−b) = −a · b > 0
OF10) Wenn a < c und b < d, dann a + b < c + d
Grund: Mit c − a > 0 und d − b > 0 ist c − a + d − b = (c + d) − (a + b) > 0
OF11) Wichtige Tatsache :
Es ist
a = b = 0.
a2 ≥ 0
für alle
a.
Ist
a2 + b2 = 0,
so gilt
Grund: Für a 6= 0 ist a2 > 0 und 02 = 0, also a2 ≥ 0. Daher ist a2 + b2 ≥ 0 für
alle
a, b.
Ist nun
a 6= 0
oder
b 6= 0,
so ist
a2 + b2 > 0.
OF12) Es gibt, in einem angeordneten Körper, keine Zahl i mit i2 = −1
denn
i2 + 1 2 = 0
OF13) Ist 0 < a < b, so gilt 0 < an < bn und umgekehrt.
Grund: Es ist bn − an = (b − a)(bn−1 + bn−2 a + . . . + ban−2 + an−1 ).
Da die
Ausdrücke der zweiten Klammer alle positiv sind, ist das Vorzeichen der rechten
Seite identisch mit dem Vorzeichen von
wegen
a>0
b − a > 0,
also
bn − an > 0. an > 0
ist
klar. Die Umkehrung folgt ebenso aus der Tatsache, daÿ die beiden
Seiten der obigen Gleichung dasselbe Vorzeichen haben.
Bemerkung:
auch
OF11 sichert, daÿ
−1 − 1 6= 0, −1 − 1 − 1 6= 0
1 + 1 6= 0, 1 + 1 + 1 6= 0
usw. Damit ist aber
usw. Damit liegen die ganzen Zahlen
Z
in jedem
p
q mit
in jedem angeordneten Körper liegen. Für F2 ist das oenbar
angeordneten Körper. Weiter sieht man daÿ damit die rationalen Zahlen
p∈Z
und
q ∈N
1 + 1 = 0.
falsch, denn
Beispiel: Der Körper Q = { pq
gilt:
|p∈Z
und
q ∈ N}
p
>0 ⇔ p>0
q
Seite 17
ist ein angeordneter Körper. Es
Mathematik für Geowissenschaftler
und damit
p
r
p r
p·s−r·q
>
⇔
− >0 ⇔
>0 ⇔ p·s−r·q >0 ⇔ p·s>r·q
q
s
q
s
q·s
Denition (Intervalle):i) Für einen angeordneten Körper mit Elementen a ≤ b
denieren wir:
(a, b) := {x | a < x < b}
(a, b] := {x | a < x ≤ b}
[a, b) := {x | a ≤ x < b}
[a, b] := {x | a ≤ x ≤ b}
dabei heiÿt
(a, b)
[a, ∞) := {x | a ≤ x}
(a, ∞) := {x | a < x}
(−∞, b] := {x | x ≤ b}
(−∞, b) := {x | a < x}
[a, b]
oenes Intervall und
abgeschlossenes Intervall. Die anderen
beiden Intervalltypen heiÿen halboen.
Übungen:
1) Die Summe zweier negativer Zahlen ist Negativ
2) Wenn
a>0
, dann
1
a
> 0;
wenn
a < 0,
−1
−1
3) Wenn
0 < a < b,
dann
0<b
4) Wenn
a≤b
und
b ≤ c,
dann
5) Wenn
a≤b
und
b≤c
und
dann
1
a
<0
<a
a≤c
a = c,
dann
b=c
1.3.3 Die Betragsfunktion
In einem angeordneten Körper können wir den Betrag eines Elementes wie folgt
denieren:


x
|x| := 0


−x
falls
falls
falls
Kürzer geht das durch (s.u.)
|x| :=
x positiv ist
x=0
x negativ ist
√
x2
Denition: Der Abstand zweier Zahlen x, y ist |x − y|.
Satz:
|x · y| = |x| · |y|
Grund Wenn x und y gleiches Vorzeichen haben, ist x·y positiv, also |x·y| = x·y.
|x| · |y| = (−x) · (−y) = x · y = |x · y|. Sind beide
|x| · |y| = x · y = |x · y|. Ist x negativ und y positiv, so gilt:
|x| · |y| = x · (−y) = −x · y = |x · y| , da dann das Produkt negativ ist. Analog geht
Wenn beide negativ sind ist
positiv, so gilt:
der letzte verbliebene Fall.
Seite 18
Mathematik für Geowissenschaftler
Satz (Dreiecksungleichung):
|x + y| ≤ |x| + |y|
Grund:
Für
x gilt x ≤ |x| und für y gilt y ≤ |y|. Also folgt x + y ≤ |x| + |y|.
−x ≤ |x| und −y ≤ |y| und somit −x + (−y) = −(x + y) ≤ |x| + |y|.
Auÿerdem gilt
Insgesamt also die Behauptung.
1.3.4 Das Supremumsaxiom
Bei
Q
handelt es sich zwar um einen angeordneten Körper, er hat aber noch
Lücken. Die Zahl
1
√
2, als die Länge der Diagonale eines Quadrates mit Seitenlänge
ist keine rationale Zahl.
√
Grund: Wir nehmen an:
und nach Quadrieren:
2=
2q 2 = p2 .
p
q mit teilerfremden
p
und
q.
Dann folgt
√
q 2=p
Dann ist aber die rechte Seite ein Quadrat. Dann
p durch 2 teilbar sein, also p = 2k , für ein k ∈ N. Dann ist aber 2q 2 = 4k 2
2
2
mithin q = 2k . Mit dem gleichen Argument wie oben ist dann aber auch q eine
gerade Zahl und p und q haben den gemeinsamen Teiler 2. muÿ aber
Denition: Sei S eine Menge von Zahlen eines angeordneten Körpers. Eine Zahl
s
heiÿt obere Schranke vom
eine obere Schranke für
S,
Denition Supremum:
einer Menge
i)
s0
S 6= ∅,
S,
falls für ALLE Zahlen
so heiÿt
S
Eine Zahl
a
in
S
nach oben beschränkt.
s0
gilt
a ≤ s.
Gibt es
ist kleinste obere Schranke (Supremum)
wenn gilt:
ist obere Schranke für
ii) Keine Zahl kleiner als
s0
S
ist obere Schranke für
S.
Bemerkung: i) Wenn Sie sich einen Pegelstandsanzeiger am Rhein ansehen, sehen
Sie lauter obere Schranken für den tatsächlichen Pegelstand. Dieser tatsächliche
Pegelstand ist das Supremum dieser.
ii) Analog zum Supremum ist das Inmum die gröÿte untere Schranke einer nicht
leeren, nach unten beschränkten Menge. Die Eigenschaften von Suprema gelten
sinngemäÿ auch für Inma.
Satz: Suprema und Inma sind eindeutig.
Grund: Wir nehmen an, daÿ s0 und s1 beide Suprema der nach oben beschränkten
Menge
S
s0 kleinste obere Schranke ist, gilt s0 ≤ s1 . Da s1 kleinste obere
s1 ≤ s0 . Also insgesamt s0 = s1
sind. Weil
Schranke ist, gilt:
Bemerkung:
Wir betrachten in einem angeordneten Körper für ein Element
die Mengen
S0 := {x | x ≤ a}
und
S1 := {x | x < a}
Seite 19
a
Mathematik für Geowissenschaftler
Oenbar sind beide Mengen nicht leer, da z.B.
Mengen sind verschieden (a
a.
∈ S0
und
a∈
/ S1 )
x−1
in beiden liegt. Die beiden
haben aber das gleiche Supremum
Im ersten Falle nennt man das Supremum auch Maximum.
Lemma: Ist sup A = s, so gibt es zu jedem m ∈ N ein x ∈ A, mit s − m1 < x ≤ s.
Grund: Es ist A = A\(s − m1 , s] ∪ (s − m1 , s] ∩ A . Jedes Element x der ersten
1
m . Wäre die zweite Menge leer, so wäre
kleinere obere Schranke von A.
Menge erfüllt also
Denition:
.
x ≤ s−
s−
1
m eine
Ein angeordneter Körper erfüllt das Supremumsaxiom, wenn jede
nach oben beschränkte, nicht leere Teilmenge ein Supremum hat.
Satz: Die reellen Zahlen R sind ein angeordneter Körper der das Supremunsaxiom
erfüllt.
Bemerkung:
Die reellen Zahlen sind sogar, in einem vernünftigen Sinne, der
einzige angeordnete Körper mit Supremumsaxiom.
1.3.5 Archimedizität
In diesem Abschnitt sei
K
ein angeordneter Körper, der das Supremumsaxiom
erfüllt.
Satz: Die Menge der natürlichen Zahlen 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . .ist in K nach oben
unbeschränkt. D.h. , daÿ es zu jedem
x∈K
ein
n∈N
gibt, mit
x < n.
Grund: Wäre N beschränkt, so gäbe es nach dem Supremumsaxiom s = sup N.
Nun ist
Also ist
s − 1 < s keine obere Schranke für N. Also gibt es ein n ∈ N, mit n > s − 1.
n + 1 > s im Widerspruch dazu, daÿ s obere Schranke vom N ist.
Folgerung: Ist
x∈K
und
x > 0,
dann existiert ein
n ∈ N,
Grund: Nach vorangehendem Satz gibt es ein n ∈
Folgerung: Ist 0 ≤ x < n1 für alle n ∈ N, so ist x = 0.
mit
N, mit x1
1
n
< x.
< n,
also
x>
1
n
1.3.6 Wurzeln
Sei
K
ein angeordneter Körper, der das Supremumsaxiom erfüllt.
Satz: Sei a > 0. Dann gibt es zu jedem n ∈ N genau ein positives Element b, mit
bn = a .
Grund:
Ist
0 < y < z,
so gilt
können also potenziert mit
n
0 < yn < zn .
a > 1. Wir betrachten die Menge S = {x > 0|xn ≤ a}.
1 = 1 < a, also 1 ∈ S und somit ist S nicht leer.
(*) Existenz: Sei zunächst
Zunächst gilt
Zwei verschiedene positive Zahlen
nicht gleich werden. Dies zeigt die Eindeutigkeit.
n
Seite 20
Mathematik für Geowissenschaftler
x ∈ S : xn < a < an und somit an − xn > 0.
Menge S ist also durch a beschränkt.
Weiter gilt für
x < a.
Die
Damit ist nach OF13)
s = sup S in K. Wegen 1 ∈ S
m ∈ N mit m ≥ 2 gilt:
Nach dem Supremumsaxiom gibt es also
Wegen
s−
1
m
<s<s+
1
m für alle
1
m
s−
n
< sn <
s
Wegen der Supremumseigenschaft vom
mit
s−
1
m
< b.
s+
1
m
und wegen
Dann gilt aber
s+
1
m
> s,
ist
s+
1
m
∈
/
s+
also
1
m
s−
n
Daher ist
|bn − a| <
=
Wegen
0<s−
1
m
2
m
<s+
1 n
m
> a.
s−
1
m
<s
gibt es ein
Insgesamt gilt also:
n
1
n
<b ≤a< s+
m
s+
1
m
n
n
1
− s−
m
n−1
k n−k−1 !
X
1
1
s+
s−
m
m
1
m
k=0
<s+1
ist dieser Ausdruck kleiner als
1
2n(s + 1)n−1
m
wird also beliebig klein. Daher gilt
Ist nun
a < 1,
Denition: a
so gibt es ein
1
n
=
√
n
b,
a = b, a
n
m
mit
bn = a.
bn =
= (an )
1
m
1
1
a . Dann ist bn
.
Seite 21
s ≥ 1.
n
n
1
s−
< bn ≤ a
m
Da
ist
=
1 n
b
= a.
b∈S
Mathematik für Geowissenschaftler
1.4 Aussagenlogik und Mengenlehre
1.4.1 Mengenlehre
Denition (Georg Cantor): Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohl unterschiedenen Objekten (m) unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die Elemente von M genannt werden) zu einem
Ganzen.
Notation: Wir beschreiben eine Menge durch Auistung in geschweiften Klammern, wenn das Bildungsgesetz klar ist. Wir schreiben
der Menge ist, andernfalls
Beispiel:
∅
N = {1, 2, 3, . . .}
x∈
/ M.
x∈M
falls
x
ein Element
die leere Menge
die Menge aller
natürlichen Zahlen (ohne
0)
N0 = {0, 1, 2, 3. . . .}
die Menge der natürlichen
Z = {0, ±1, ±2, ±3, . . .}
die Menge der ganzen
A
die Menge aller Autos
Zahlen (mit
0)
Zahlen
Denition: Zwei Mengen sind gleich, wenn sie dieselben Objekte/Elemente enthalten.
Bemerkung:
In einer Menge treten Elemente nicht mehrfach auf und die Rei-
henfolge ist gleichgültig. Also gilt z.B.
{1} =
6 {{1}}.
Denition:
{1, 2, 3} = {1, 2, 2, 3} = {3, 1, 1, 2},
aber
1) Eine Aussage ist ein sprachliches Konstrukt, welchem eindeutig
entweder der Wahrheitswert wahr oder der Wahrheitswert falsch zugeordnet
werden kann.
2) Eine Aussageform ist ein sprachliches Konstrukt mit Variable(n), aus dem nach
Einsetzen in die Variable(n) (in jedes Vorkommen der Variablen gleichen Namens
mit dem gleichen Wert) aus einer Grundmenge
U
(dem Universum) eine Aussage
wird.
Somit haben wir eine weitere Möglichkeit Teilmengen von
lich diejenigen Elemente von
U
U
zu beschreiben, näm-
für die eine Aussageform wahr ist:
{x ∈ U|A(x)}
gelesen als: Die Menge aller Elemente in
Beispiel:
U,
Seite 22
für die
A(x)
wahr ist.
Mathematik für Geowissenschaftler
U = N, 1 = 2
U = Z, 1 < 3
falsche Aussage
wahre Aussage
wie geht es?
U = N, x
keine Aussage
ist eine
Aussageform
gerade Zahl
x
ist grün
keine Aussageform
(Universum fehlt)
Bemerkung:
A(x)
Nun gibt es Elemente des Universums, für die eine Aussageform
wahr und Elemente für die
A(x)
falsch ist.
Zeichnerisch stellen wir die Situation wie folgt dar. Unser Universum
wir als weiÿes Rechteck ein. Die Elemente von
U,
für die
A(x)
U
zeichnen
wahr ist, werden
M
eingefärbt und meist durch das Innere eines Kreises symbolisiert:
Für eine Aussage(form)
(nicht
wenn
A(x)). ¬A(x)
A(x) wahr ist.
A(x)
bezeichnen wir die gegenteilige Aussage mit
ist also genau dann wahr, wenn
A(x)
U
¬A(x)
falsch ist und falsch,
Entsprechungen von Mengenlehre und Aussagenlogik
Mengen-
Aus-
lehre
sagen
logik
M
U
Die All-
W (x)
menge
Die universell
wahre Aussageform
M
U
∅
Menge
x∈M
F (x)
die leere
M=
{x ∈ U|A(x)}
Die univers. falsche
Menge
Aussageform
M
U
Das
Kom-
x∈
/M
plement
Mc =
{x ∈ U|¬A(x)}
Mc
Haben wir nun zwei Aussageformen
A(x)
und
neuen Aussageform verknüpfen:
Seite 23
B(x)
, so können wir diese zu einer
Mathematik für Geowissenschaftler
A(x) ∧ B(x) (A(x)
und
B(x))
ist genau dann wahr, wenn
A(x) ∨ B(x) (A(x)
oder
B(x))
ist genau falsch, wenn
A(x)
und
B(x)
beide
wahr sind.
A(x)
und
B(x)
beide falsch
sind.
A(x) ∧ B(x)
A(x) ∨ B(x)
f
f
w
f
f
w
f
w
w
f
f
f
f
w
A(x)
B(x)
w
w
w
w
¬A(x)
w
f
Zeichnerisch sieht das wie folgt aus: Die linke Menge sei
die rechte Menge
N = {x ∈ U | B(x)}.
Mengen-
M = {x ∈ U | A(x)}
und
Aussagenlogik
lehre
M N
U
M ∩N
= {x ∈ U|A(x) ∧ B(x)}
U
M ∪N
= {x ∈ U|A(x) ∨ B(x)}
M N
Ist
M =N
A(x) und B(x)
B(x) heiÿen dann
, so stimmen die Wahrheitswerte von
überein, die beiden Aussageformen
A(x)
und
in jedem
x∈U
äquivalent und wir schreiben:
A(x) ⇔ B(x)
Wie können die beiden Mengen
M
N
und
in
U
nun verschieden sein? Es gibt vier
verschiedene Fälle:
M
N
N
M
U
N ⊂M
M N
M
U
U
M ⊂N
U
M ∩N =∅
N
M ∩ N 6= ∅
In den ersten beiden Fällen schreiben wir auch:
B(x) ⇒ A(x)
in
U
Seite 24
(oben links)
Mathematik für Geowissenschaftler
(Der Wahrheitsbereich von B(x)
{x ∈ U|B(x)} ⊂ {x ∈ U|A(x)})
liegt komplett im Wahrheitsbereich von
A(x) ⇒ B(x)
(Der Wahrheitsbereich von
U|A(x)} ⊂ {x ∈ U|B(x)})
in
U
(oben rechts)
A(x) liegt komplett im Wahrheitsbereich von B(x),{x ∈
Wenn aus dem Kontext klar ist, welches Universum
in
U
A(x),
auch wegfallen.
U
gemeint ist, läÿt man das
Beispiel:
N
M
U
N grau eingezeichnet. Liegt nun M komplett in
N (M ⊂ N ) , so ist das Komplement von M gröÿer als das Komplement von N .
c
c
Es gilt also N ⊂ M oder anders gesagt:
Im Bild ist das Komplement von
¬B(x) ⇒ ¬A(x)
Umgekehrt gilt das natürlich auch. Also haben wir:
[A(x) ⇒ B(x)] ⇔ [¬B(x) ⇒ ¬A(x)]
1.4.2 Quantoren
Sei
M ⊂U
A(x)
wahr ist
x∈M
gibt, so
. Wenn wir ausdrücken wollen, daÿ eine Aussageform
für (ausnahmslos) alle Elemente von
M
wahr ist, so schreiben wir:
∀x ∈ M : A(x)
Die Verneinung hiervon ist die Tatsache, daÿ es (mindestens) ein
daÿ
A(x)
falsch ist:
∃x ∈ M : ¬A(x)
Beispiel: Statt
A(x) ⇒ B(x)
in
U
können wir auch schreiben:
∀x ∈ U : A(x) → B(x)
Dabei ist
A(x) → B(x)
durch die folgende Wahrheitstabelle gegeben:
Seite 25
Mathematik für Geowissenschaftler
A(x) → B(x)
A(x)
B(x)
w
w
w
f
f
f
f
w
f
f
w
w
A(x) ⇒ B(x)
Das kann man nun wie folgt einsehen:
gibt, so daÿ
A(a)
wahr und
B(a)
falsch ist:
in
U
ist falsch, wenn es ein
a
∃a : A(a) ∧ ¬B(a)
Die Verneinung hiervon ist:
∀a : ¬(A(a) ∧ ¬B(a))
→
so
ordnet jedem Element des Denitionsbereiches
D
Wenn man sich die Wahrheitstabelle ansieht, erkennt man, warum man
deniert:
A(a) ∧ ¬B(a)
¬(A(a) ∧ ¬B(a))
A(a)
B(a)
w
w
w
f
w
f
f
w
f
w
f
f
f
w
f
w
Funktionen
Denition:
Eine Funktion
f
genau ein Element des Wertebereiches
W
zu, dabei sind Denitions- und Werte-
bereiche Mengen (hier meist Teilmengen von
R).
Schreibweise:
f :D→W
x 7→ f (x)
Denition: Für eine Funktion f
mit Denitionsbereich
D
und Wertebereich
W
heiÿt:
Bild(f )
:= {w ∈ W | ∃x ∈ D : f (x) = D} ⊂ W
Graph(f )
Für eine Teilmenge
U ⊂U
:= {(x, y) | y = f (x)}
heiÿt
f −1 (U ) := {x ∈ D | ∃y ∈ W : f (x) = y}
Das Urbild von
V →W
U
unter
f.
Für jede Teilmenge
die Einschränkung von
f
auf
V , f|D .
Seite 26
V ⊂D
heiÿt die Abbildung
f :
Mathematik für Geowissenschaftler
Denition: Zwei Funktionen f1 : D1 → W1 und f2 : D2 → W2 sind gleich, wenn
D1 = D2
und
W1 = W2
und für alle
Denition: Sei f : D → W
f
ist injektiv :⇔
f
gilt:
∀x1 , x2 ∈ D : f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2
ist bijektiv
:⇔ ∀y ∈ W ∃x ∈ D : y = f (x)
:⇔ f
ist surjektiv und injektiv
Beispiel: Die Funktion f : R6=0 → R6=0 , x 7→ x1
f (x1 ) = f (x2 ),
liefert: x1 = x2
1) injektiv: Ist
Inversen
ist
f (a
)=
1
a−1
so ist
a ∈ R6=0 gibt
= (a ) = a.
2) surjektiv: Zu jedem
−1
1
x1
=
1
x2 . Eindeutigkeit der multiplikativen
es das multiplikative Inverse
:D→W
injektiv, so ist
Abbildungen besitzen eine Umkehrabbildung
f (x)
Ist
ist bijektiv,
−1 −1
Bemerkung: Ist f
Denition:
f1 (x) = f2 (x).
eine Funktion. Dann gilt:
ist surjektiv
f
x ∈ D1
K
ein angeordneter Körper und
bzw.
f (x) ≥ (>)f (x2 ).
D ⊂ K , so ist f : D → K
x1 , x2 ∈ D mit x1 < x2 gilt:
(Siehe Anhang A).
Seite 27
1
a . Dann
f : D → Bild(f ) bijektiv. Bijektive
f −1 : W → D, f −1 (y) = x :⇔ y =
(streng) monoton steigend/fallend, wenn für alle
f (x1 ) ≤ (<)f (x2 )
a−1 =
Mathematik für Geowissenschaftler
1.5 Funktionen und Flächen
1.5.1 Flächen
Denition:
Die Ebene
R2
ist deniert als Menge aller geordneten Paare von
reellen Zahlen:
R2 = {(x1 , x2 )|x1 , x2 ∈ R}
x−Koordinate und der zweite y−Koordinate.
(x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 ist der Abstand deniert als:
p
d((x1 , y1 ), (x2 , y2 )) := (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Der erste Eintrag heiÿt dann auch
Für zwei Punkte
Denition: Ein Kreis mit Mittelpunkt a = (x0 , y0 ) ∈ R2
und Radius
die Menge:
r ∈R
ist
Ka,r := {(x, y) ∈ R2 |(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2 }
Analog ist die Kreisscheibe
Ba,r := {(x, y) ∈ R2 |(x − x0 )2 + (y − y0 )2 ≤ r2 }
(B für Ball). Speziell ist der Einheitskreis die Menge
{(x, y) ∈ R2 |x2 + y 2 = 12 = 1}
dito Einheitskreisscheibe.
Die Flächenaxiome: Sei D ⊂ R2
sicher, daÿ
D
begrenzt ist).
D
und
D ⊂ Ba,r
für einen Ball
Ba,r
(dies stellt
wird eine nicht negative reelle Zahl zugeordnet, die
Fläche. Es gelten die folgenden Axiome:
i) Kongruenzen (Drehungen, Spiegelungen, Verschiebungen) ändern die Fläche von
D
nicht.
ii) Wird
von
D
iii) Ist
D in endlich viele, nicht überlappende Bereiche aufgeteilt, so ist die Fläche
die Summe der Teilächen.
E ⊂ D,
so ist die Fläche von
E
höchstens so groÿ wie die von
D.
iii) Ein Quadrat der Seitenlänge 1 hat die Fläche 1.
Denition (Flächeninhalt) Sei D ⊂ R2 und es existiere Ba,r mit D ⊂ Ba,r (d.h.,
D beschränkt ist). Es sei M := {∆ ⊂ R2 | ∆ ist nichtüberlappend aus Drei- und
Die Elemente von M haben also eine Fläche, die die Summe der Flächen der Dreiecke/Rechtecke sind, aus denen sie sich zusammensetzen. Wir betrachten U =
{Fläche von ∆ ∈ M | ∆ ⊂ D} und O := {Fläche von ∆ ∈ M | D ⊂ ∆}. Existieren sup U und inf U und gilt sup U = inf O , dann ist dieser Wert der Flächeninhalt
von D.
daÿ
Seite 28
Rechtecken zusammen
Mathematik für Geowissenschaftler
Beispiel:
(±1, ±1),
Der Einheitskreis liegt komplett im Quadrat mit den 4 Eckpunkten
welches den Flächeninhalt
4
hat. Wählt man nun beliebig viele Punkte
auf dem Einheitsheitskreis und bildet aus zwei benachbarten Punkten und dem
Mittelpunkt Dreiecke, so ist die Summe dieser Dreiecksächen sicher kleiner als
die Fläche des Einheitskreises. Das Supremum all dieser ist die Fläche des Einheitskreises und heiÿt
π
(und ist gleich dem Inmum aller Flächen, in denen der
Kreis enthalten ist).
Denition: Zu einem auf dem Einheitskreis gegebenen Punkt betrachten wir das
Kreissegment, das von der Verbindungslinie von Punkt und Mittelpunkt und der
positiven
x− Achse gebildet wird. Das Zweifache von dessen Fläche ist der Winkel
2π .
des Punktes. Insbesondere ist also der Vollwinkel
1.5.2 Trigonometrische Funktionen
Denition Für den Punkt (x, y) auf dem Einheitskreis mit Winkel φ ∈ [0, 2π) ist:
cos(φ) := x
sin(φ) := y
Diese seien
2π−periodisch fortgesetzt durch sin(φ+2π) = sin(φ) und cos(φ+2π) =
cos(φ).
Folgerungen:
−1 ≤ cos(x), sin(x) ≤ 1
cos(φ)2 + sin(φ)2 = 1
sin(φ) =
p
1 − cos(φ)2
für alle
φ
mit
sin(φ) ≥ 0
sin(−φ) = − sin(φ)
cos(−φ) = cos(φ)
Durch einfache geometrische Überlegungen erhält man auch die folgende Wertetabelle:
0
π
2
π
4
π
[− π2 , π2 ]
π π
arcsin:[−1, 1] → [− , ]
2 2
Der Sinus ist auf
Analog: arccos:[−1, 1]
cos
1
0
√
2
−1
sin
0
1
√
2
0
streng monoton steigend. Die Umkehrfunktion heiÿt
→ [0, π]
Seite 29
Mathematik für Geowissenschaftler
Satz (Additionstheoreme):
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
sin(α + β) = sin(β) · cos(α) + sin(α) · cos(β)
Grund: Wird bei den komplexen Zahlen gegeben.
Folgerungen:
cos
π
sin
π
π
sin(x) − sin
sin(x) = − sin(x)
+ x = cos
2
2
2
π
π
sin(x) + sin
cos(x) = cos(x)
+ x = cos
2
2
2
π
1.5.3 Eigenschaften von Funktionen
f : R → R, x →
x2 + 5. Es gibt aber auch andere Möglichkeiten eine Funktion zu beschreiben, z.B.
Häug sind Funktionen durch eine Abbildungsvorschrift deniert:
durch Flächen. Dazu das folgende
Beispiel:
Geraden
Sei
f (x)
f : R → R, f (x) = mx. F (a) sei die Fläche unter zwischen der
x−Achse und den Geraden x = a und x = 0. Also F (a) =
und der
1
2
2 ma .
f (x) = m · x
1
ma2
2
a
Beachten Sie: Für
2y(y − x).
x < y gilt 2x < x+y < 2y und daher 2x(y−x) < (y+x)(y−x) <
Wir haben insgesamt:
(y − x)x <
1 2 1 2
y − x < (y − x)y
2
2
Seite 30
Mathematik für Geowissenschaftler
Ist also
f (x) = x
und
F (x) = x2 ,
so gilt:
(y − x)f (x) < F (y) − F (x) < (y − x)f (y)
Klappt das auch bei krummlinig begrenzten Flächen?
Beispiel: Es sei f (x) := x2 . Für alle 0 < x < y gilt:
x2 + x2 + x2 < x2 + xy + y 2 < y 2 + y 2 + y 2
Mulitiplikation mit
y−x
liefert:
x2 (y − x) <
1 3 1 3
y − x < y 2 (x − y)
3
3
also wieder obige Doppelungleichung, diesmal mit
Satz:
Sei
f : [a, b] → R
streng monoton und
existiert die Fläche zwischen
x = a, x = b
f (x) = x2
f (x) ≥ 0
und
F (x) = 31 x3 .
x ∈ [a, b].
f.
für alle
und dem Graph von
Dann
Grund: Wir betrachten den Fall monoton steigend. Wir unterteilen das Intervall
b−a
= a+i b−a
n . Dann ist a = t0 < t1 < . . . < tn = b und ti+1 −ti = n .
Dann liegt der Graph von f auf dem Intervall [ti , ti+1 ] überall oberhalb von f (ti )
und unterhalb von f (ti+1 ). Die Dierenz dieser Flächen ist (ti+1 − ti )(f (ti+1 ) −
f (ti )) = b−a
n (f (ti+1 ) − f (ti )). Aufsummieren liefert:
wie folgt: Sei ti
n−1
b−a
b−a X
(f (ti+1 ) − f (ti )) =
(f (b) − f (a))
n i=0
n
Dieser Ausdruck wird für genügend groÿe
n
X
i=0
wenn
und
I
S
n
beliebig klein und es gilt:
f (ti )(ti+1 − ti ) ≤ S ≤ I ≤
n−1
X
f (ti+1 )
i=0
das Supremum aller meÿbaren Flächen unterhalb des Graphen von
f
ist
das Inmum aller meÿbaren Flächen, die die Graphenäche enthalten. Somit
ist die Fläche
I = S.
Beispiel:i) f
: R>0 → R>0 , x 7→ x1 ist streng monoton fallend, denn für x2 > x1
1
1
gilt:
x2 < x1 . Wie wir schon gesehen hatten ist f (x) sogar bijektiv, da jedes x 6= 0
−1
ein multiplikatives Inverses x
= x1 hat.
Ist
f
f (a) − x streng
[a, b] ist dann
streng monoton fallend, so ist
zwischen dem Graph von
f
und
monoton steigend. Die Fläche
(b − a)(f (b) − f (a)) − F
Seite 31
Mathematik für Geowissenschaftler
Dabei ist
F
die Fläche zwischen dem Graphen von
f (a) − x
und
[a, b].
Denition: Sei f : [a, b] → R eine streng monoton steigende Funktion und f (x) ≥
0
für alle
x ∈ [a, b].
Gibt es eine Funktion
F : [a, b] → R,
mit
F (a) = 0
und
(y − x)f (x) < F (y) − F (x) < (y − x)f (y)
für alle
x, y ∈ [a, b] mit x < y , so ist die Funktion F
mit dieser Eigenschaft eindeutig
bestimmt (siehe Anhang B). Eine solche (eindeutig bestimmte) Funktion nennen
wir die Flächenfunktion von
f
(auf dem Intervall
[a, b]).
f (x)
(y − x) · f (y)
(y − x) · f (x)
y
x
Satz: Eine solche Flächenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt. Weiter ist
die Flächenfunktion
F : [a, b] → [0, F (b)]
einer nicht negativen, streng monotonen
Funktion, streng monoton steigend und bijektiv auf ihr Bild.
Grund: Anhang B
1.5.4 Der natürliche Logarithmus
Denition:
Für eine Zahl
senkrechten Geraden
Für
0<a<1
x=1
a > 1 ist ln(a) deniert als die Fläche zwischen den
1
und x = a und der x−Achse und der Kurve y =
x.
wird die Fläche negativ gezählt.
y
2, 5
2
1
1, 5
1
f (x) =
0, 5
1
x
x
1
1, 5
y
f (x) = ln(x)
2
2, 5
−0, 5
x
1
1, 5
2
2, 5
−1
Seite 32
Mathematik für Geowissenschaftler
Eigenschaften: 1) ln(x) ist streng monoton steigend (als Flächenfunktion).
2)
ln(1) = 0
3)
1
1
(y − x) < ln(y) − ln(x) < (y − x)
y
x
für alle
y > x ≥ 1.
Speziell gilt für
1−
Folgerung:
x=1:
1
< ln(y) < y − 1
y
ln(c · x) = ln(c) + ln(x)
Grund: Wir betrachten die für festes c > 1 die Funktionen L1 (x) := ln(c·x)−ln(c).
Dann ist
L1 (1) = ln(c) − ln(c) = 0
L1 (y) − L1 (x) = ln(c · y) − ln(c · x). Es ist aber auch 1 ≤ c · x < c · y
x < y . Wir ersetzen in den obigen Ungleichungen alle x durch c · x und dito y
durch c · y und erhalten:
Dann gilt:
für
1
(cy − xc) < ln(cy) − ln(cx) =
cy
ln(cy) − ln(c) − ln(cx) + ln(c) <
also
1
(cy − cx)
cx
1
1
(y − x) < L1 (y) − L1 (x) < (y − x)
y
x
L1 (1) = ln(c · 1) − ln(c) = 0. Wegen der Eindeutigkeit gilt
L1 (x) = ln(x) also ln(cx) − ln(c) = ln(x) und damit ln(cx) = ln(c) + ln(x).
Folgerung: ln xy = ln(x) − ln(y) für y 6= 0. Speziell: ln x1 = − ln(x).
Grund: ln xy + ln(y) = ln xy y = ln(x), also die Behauptung
Es ist auch
aber:
Folgerung: ln(x) nimmt beliebig groÿe (und kleine negative) Werte an.
Grund: Es ist ln 2 > 0 und ln(2n ) = ln(2 · . . . · 2) = ln(2) + . . . + ln(2) = n · ln(2)
und
ln(2−n ) = −n ln(2)
Denition:
Die Abbildung
exp : R → R>0
Rechenregeln:i) eln(x)
exp
und
ln
ln : R>0 → R
ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung
ist die Exponentialabbildung. Schreibweise
=x
für alle
x ∈ R>0
und
Umkehrfunktionen voneinander sind.
Seite 33
ex := exp(x).
ln(ex ) = x
für alle
x ∈ R,
da
Mathematik für Geowissenschaftler
ii) Ist
a = ln(x)
(d.h.
ea = x)
und
b = ln(y)
(d.h.
eb = y )
, so gilt:
ea+b = eln(x)+ln(y) = eln(x·y) = x · y = ea · eb
Denition: Für a ∈ R>0 und x ∈ R denieren wir:
ax := ex ln a
Die Potenzregeln: i) ax · ay = ax+y
ii)
(ax )y = axy
Grund: i) ax+y = e(x+y) ln a = ex ln a+y ln a = ex ln a ey ln a = ax ay
ii)
y
(ax ) = ex ln a
y
ey(x ln a) = e(xy) ln a = axy
Seite 34
Mathematik für Geowissenschaftler
1.6 Vektoren, Vektorräume, Abstände: 2D
Denition: Die Menge aller (geordneten Paare) reeller Zahlen (oder allgemeiner:
Elemente eines beliebigen Körpers), als Spalten geschrieben, bezeichnen wir als
Vektoren:
2
R =
Die Elemente von
R
a
b
|a, b ∈ R
bezeichnet man, zur Unterscheidung von Vektoren, auch als
Skalare. Vektorvariablen schreiben wir mit einem Pfeil, z.B.
~x.
Variable für Ska-
lare sind üblicherweise (aber nicht immer) griechische Buchstaben. Als Paare sind
Vektoren genau dann gleich, wenn ihre Komponenten gleich sind:
a
b
=
c
d
⇔ a=c∧b=d
Auf ihnen ist natürlicherweise eine Addition und eine Multiplikation mit Skalaren
deniert:
a
b
+
λ·
a
b
c
d
:=
:=
a+c
b+d
λ·a
λ·b
Die Axiome für einen Vektorraum lauten:
Die Vektorraumaxiome
Sei
V 6= ∅
K ein Körper. Weiter sei + : V × V → V eine innere
· : K × V → V eine äuÿere Veknüpfung von Elementen
ein Vektorraum über K, wenn für alle ~
u, ~v , w
~ ∈ V und alle
eine Menge und
Veknüpfung von
V
K und V . V
α, β ∈ K gilt:
heiÿt
aus
und
V1)
~v + w
~ =w
~ + ~v
V2)
(~v + w)
~ + ~u = ~v + (w
~ + ~u)
V3)
∃~0 ∈ V : ~0 + ~v = ~v
V4) zu
~v
ex.
−~v
mit
~v + (−~v ) = ~0
V5)
(α + β) · ~v = α · ~v + β · ~v
V6)
(αβ) · ~v = α(β · ~v )
V7)
α · (~v + w)
~ = α · ~v + α · w
~
V8)
1 · ~v = ~v
Seite 35
Mathematik für Geowissenschaftler
Eigenschaften:
a
b
=
kurz:
~0 :=
0
0
ist das Neutralelement der Addition:
0
0
a
b
+
a
b
~0 + ~x = ~x.
Die Addition von Vektoren ist kommutativ:
a
b
Das additive Inverse eines Vektors
~x + ~y = ~y + ~x
ist der Vektor
−a
−b
= (−1) ·
Die Vektoraddition ist assoziativ:
z1
x1 + y1
z1
+
+
=
+
z2
x2 + y2
z2
(x1 + y1 ) + z1
x1 + (y1 + z1 )
=
=
=
(x2 + y2 ) + z2
x2 + (y2 + z2 )
x1
y1 + z1
x1
y1
z1
+
=
+
+
x2
y2 + z2
x2
y2
z2
x1
x2
y1
y2
Weiter gilt:
x1
x2
+
y1
y2
=λ·
x1 + y1
x2 + y2
λ(x1 + y1 )
λx1 + λy1
=
=
=
λ(x2 + y2 )
λx2 + λy2
λx1
λy1
x1
y1
+
=λ
+λ
λx2
λy2
x2
y2
Übung: Beweisen Sie die restlichen Vektorraumaxiome
Bemerkung:1.) Sei ~v 6= ~0. Dann ist
{~a + t~v | t ∈ R} = {a − tv | t~∈ R}
~a in Richtung ~v .
a
läÿt sich eindeutig schreiben als
b
a
1
0
=a·
+b·
b
0
1
die Gerade durch
2) Jeder Vektor
Die Vektoren
von
e~1
und
e~2
heiÿen auch die kanonischen (natürlichen) Basisvektoren
R2 .
Seite 36
Mathematik für Geowissenschaftler
Denition: 1.) Die Länge eines Vektors ~x =
|~x| :=
2.) Der Abstand zweier Vektoren
~x
q
x1
x2
ist deniert als:
x21 + x22 ∈ R≥0
und
~y
ist deniert als
|~x − ~y |
3.) Ein Vektor
~x
mit
|~x| = 1
heiÿt Einheitsvektor
Unmittelbare
Ergebnisse:
√
p
λ2 (x21 + x22 ) =
Für
~x 6= ~0
ist
~x = ~0 ⇔ |~x| = 0, |λ~x| =
2
λ |~x| = |λ||~x|.
~
x
|~
x| ein Einheitsvektor, denn
| |~~xx| | = | |~x1| ~x| =
p
(λx1 )2 + (λx2 )2 =
1
x|
|~
x| |~
=1
y
Bemerkung : Für Vektoren ~x und ~y ist ~x+~
2 der Mittelpunkt
y
x
~
x−~
y
~
x−~
y
~
x+~
y
Grund: | ~x+~
x| = | ~y−~
y|
2 −~
2 |=|− 2 |=| 2 |=| 2 −~
Bemerkung: Wir betrachten für ~x 6= ~0 den Ausdruck |~y − t · ~x|2 :
|~y − t~x|2 = (y1 − tx1 )2 + (y2 − ty2 )2
Seite 37
Mathematik für Geowissenschaftler
x1 y1 + x2 y2
= |~x| · t −
|~x|2
2
2
+
|~x|2 |~y |2 − (x1 y1 + x2 y2 )2
|~x|2
Übung: Nachrechnen
Diese Gleichung zeigt uns:
1) Der Ausdruck wird minimal für
2) Es ist
|~
x|2 |~
y |2 −(x1 y1 +x2 y2 )2
|~
x|2
≥ 0,
t0 =
x1 y1 +x2 y2
|~
x|
also
|~x|2 |~y |2 − (x1 y1 + x2 y2 )2 = |~x|2 |~y |2 − |x1 y1 + x2 y2 |2
= {|~x||~y | − |x1 y1 + x2 y2 |} · {|~x||~y | + |x1 y1 + x2 y2 |} ≥ 0
Daher ist
|~x||~y | − |x1 y1 + x2 y2 | ≥ 0 ⇒ |~x||~y | ≥ |x1 y1 + x2 y2 |
und schlieÿlich:
x1 y1 + x2 y2 ≤ |x1 y1 + x2 y2 | ≤ |~x||~y |
Satz: Dreiecksungleichung:
Grund:
|~x + ~y | ≤ |~x| + |~y |
|~x + ~y |2 = (x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 =
x21 + x22 + y12 + y22 + 2(x1 y1 + x2 y2 )
= |~x|2 + |~y |2 + 2(x1 y1 + x2 y2 ) ≤
|~x|2 + |~y |2 + 2|~x||~y | = (|~x| + |~y |)2
Denition: Für zwei Vektoren ~x =
x1
x2
, ~y =
y1
y2
ist das Skalarprodukt
deniert als:
~x · ~y := x1 y1 + x2 y2
1
2
·1=
1
2
aber
1
·
2 1
1
1
1
·
·
=3·
=
2
1
0
0
Warnung: Für Vektoren ~x, ~y, ~z gilt nicht: ~x·(~y·~z) = (~x·~y)·~z:
Bemerkung: Ist |~x|, |~y| = 1, so gilt (siehe Zeichnung):
~x · ~y = cos φ
Seite 38
1
1
·
=
1 0
3
0
Mathematik für Geowissenschaftler
Insgesamt also:
cos φ =
und also für
|~x| = 1
~x
~y
~x · ~y
·
=
∈ [0, π]
|~x| |~y |
|~x| · |~y |
cos φ|~y | = ~x · ~y
oder anders gesagt: Das Skalarprodukt ist die Länge der Projektion von
falls
~x
~y
auf
~x,
ein Einheitsvektor ist.
Folgerung:1) Ist einer der beiden am Skalarprodukt beteiligten Vektoren ein Einheitsvektor, so ist das Skalarprodukt die Länge der Projektion auf den Einheitsvektor.
2)
~x ⊥ ~y ⇔ ~x · ~y = 0
Denition: Für a, b, c, d ∈ R ist eine 2 × 2−Matrix ein quadratisches Schema der
Form
a
c
b
d
R2 → R2 durch
b
x
ax + by
·
:=
d
y
cx + dy
Eine solche Matrix deniert eine Abbildung
a
c
a11
a21
a12
a22
2×2−Matrizen bezeichnen wir mit M2 (R). Zwei Matrizen
b11 b12
und b =
sind dann und nur dann gleich, wenn aij = bij gilt.
b21 b22
0
Beispiel:i) Die Matrix 10 −1
beschreibt die Spiegelung an der x−Achse,
1 0
x
x
denn
·
=
.
0 −1
y
−y
1 0
ii) Die Matrix
beschreibt eine Streckung in y Richtung um den Faktor
0 2
1 0
x
x
2, denn
·
=
.
0 2
y
2y
cos ϕ − sin ϕ
iii) Die Matrix
beschreibt eine Drehung um den Winkel ϕ
sin ϕ cos ϕ
Die Menge aller
gegen den Uhrzeigersinn um den Urpsrung.
Grund:
tor
x
y
cos ϕ − sin ϕ
sin ϕ cos ϕ
mit der positiven
x
y
=
x−Achse
x
y
x cos ϕ − y sin ϕ
x sin ϕ + y cos ϕ
den Winkel
=r
cos ψ
sin ψ
Seite 39
ψ
. Schlieÿt nun der Vek-
ein, so gilt:
Mathematik für Geowissenschaftler
mit
r=
p
x2 + y 2 , ψ ∈ [0, 2π). Also gilt:
cos ϕ − sin ϕ
x
=
sin ϕ cos ϕ
y
cos ϕ − sin ϕ
r cos ψ
=
sin ϕ cos ϕ
r sin ψ
r (cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ)
r (sin ϕ cos ψ + cos ϕ sin ψ)
Wegen der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus ist das gleich
r
also der Vektor, mit derselben Länge wie
den Winkel
ϕ+ψ
cos(ϕ + ψ)
sin(ϕ + ψ)
x
y
, der mit der positiven
einschlieÿt.
Satz: Seien ~x, ~y ∈ R2 ,
λ ∈ R, A ∈ M2 (R),
so gilt:
A(~x + ~y ) = A~x + A~y
A(λ~x) = λ (A~x)
Grund: Sei ~x =
x1
x2
, ~y =
y1
y2
A(~x + ~y ) =
, A=
a
c
b
d
b
d
x1 + y1
x2 + y2
a
c
, so ist
=
a(x1 + y1 ) + b(x2 + y2 )
=
c(x1 + y1 ) + d(x2 + y2 )
ax1 + bx2
ay1 + by2
+
= A~x + A~y
cx1 + dx2
cy1 + dy2
und
A(λ~x) =
a
c
b
d
λ (ax1 + bx2 )
λ (cx1 + dx2 )
λx1
λx2
=
.
Seite 40
= λ (A~x)
x−Achse
Mathematik für Geowissenschaftler
Denition (Addition von Matrizen):
a
c
b
d
e
g
+
f
h
=
a+e b+f
c+g d+h
oder anders gesagt: Die Addition von Matrizen erfolgt komponentenweise.
Bemerkung:
Matrizen sind unmittelbar
Einige Eigenschaften der Addition von klar:
0 0
0 0
Inverse zu
−a
−c
ist das Neutralelement der Addition,
a
c
b
d
. Für
−b
−d
das additive
A, B, C ∈ M2 (R) gilt: A+B = B +A und A+(B +C) =
(A + B) + C
Denition (Multiplikation von Matrizen mit Skalaren):
a
c
λ
b
d
λa
λc
:=
λb
λd
Bemerkung: Auch hier sind einige Eigenschaften wieder unmittelbar klar:
λ(A + B) = λA + λB, (λ + µ)A = λA + µA, (λµ)A = λ(µA)
Denition: Für eine 2 × 2−Matrix A = ac db denieren
Spur(A)
wir
:= a + d
det(A) = ad − bc
Bemerkung:
Für Vektoren
die Fläche des von
~x
x1
x2
~x =
, ~y =
y1
y2
ist
x1
x2
| det
y1
y2
~y aufgespannten Parallelogramms. Insbesondere ist die
0, wenn ~x und ~y auf einer Geraden liegen.
a b
e f
2 × 2−Matrizen A =
, B=
ist das
c d
g h
und
Determinante genau dann
Denition: i) Für zwei
Matrizenprodukt deniert als


  
f 
ae + bg
e
=

,A ·
A · B = A ·

h
ce + dg
g
| {z } | {z }
1. Spalte
ii) Für die Matrix
A
|
af + bh
cf + dh
2. Spalte
denieren wir:
A
−1
:=
Seite 41
1
det(A)
d −b
−c a
, falls
det A 6= 0.
Mathematik für Geowissenschaftler
Bemerkung:
i) Das Matrizenprodukt ist assoziativ. Neutralelement ist die Matrix
1
0
E2 =
Für
A−1
0
1
gilt:
. Für die Matrizenoperationen
+
·
und
gilt das Distributivgesetz.
A−1 · A = A · A−1 = E2 .
ii) Zwei für Körper gültige Dinge gelten für Matrizen nicht: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ:
Nicht jede Matrix
on:
A 6=
1
0
0
2
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
1
1
0
0
2
1
0
1
2
1
0
2
2
=
=
hat ein Inverses bzgl. der Matrizenmultiplikati-
1 0
a b
a b
·
=
0 0
c d
0 0
1 0
6
=
, für alle a, b, c, d ∈ R.
0 1
Beispiel: Multiplizieren wir zwei Drehmatrizen miteinander
=
cos(φ) − sin(φ)
sin(φ) cos(φ)
cos(ψ)
·
sin(ψ)
cos(φ) cos(ψ) − sin(φ) sin(ψ) − (cos(φ) sin(ψ) + sin(φ) cos(ψ))
sin(φ) cos(ψ) + cos(φ) sin(ψ) − sin(φ) sin(ψ) + cos(φ) cos(ψ)
cos(φ + ψ) − sin(φ + ψ)
=
,
sin(φ + ψ) cos(φ + ψ)
so erhalten wir die Drehmatrix für den Winkel
Satz: Für Matrizen A und B
Spur(B
sin(−ψ)
cos(ψ)
gilt:
· A)
φ + ψ.
det(A · B) = det(A) · det(B),
Spur(A
Grund: Nachrechnen
1
Folgerung: det(A−1 ) = det(A)
Grund: 1 = det(E2 ) = det(A−1 · A) = det(A−1 ) · det(A)
Beispiel: Für A =
det
a
c
b
d
a−x
c
ist
b
d−x
= x2 − Spur(A)x + det(A)
Diesen Ausdruck nennt man auch das charakteristische Polynom von
Seite 42
A.
· B) =
Mathematik für Geowissenschaftler
1.7 Polynome I
1.7.1 Denition und Eigenschaften von Polynomen
Denition: Ein Polynom über einem Körper K
ist eine Ausdruck der Form
a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn =
n
X
ak xk
k=0
mit
ai ∈ K . Ist an 6= 0
−∞.
, so heiÿt
n
der Grad des Polynoms. Das Nullpolynom hat
den Grad
Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle ihre Koezienten gleich sind
(Koezientenvergleich).
Denition: Seien f =
Pn
k=0
ak xk
f (x)g(x) :=
und
n+m
X
g(x) =
Pm
k=0 bk x
ck xk , ck =
k
X
k=0
und ist
n = m,
k
Polynome. Dann ist
al bk−l
l=0
so gilt:
f (x) + g(x) :=
n
X
(ak + bk )xk
k=0
Ist
λ ∈ K,
so ist
λf (x) :=
n
X
λck xk
k=0
Bemerkung: Polynome bilden mit der hier denierten Addition und Multiplikation mit Skalaren einen Vektorraum. Neutralelement der Addition ist das Nullpolynom. Die Multiplikation ist assoziativ und kommutativ, für die Addition und
die Multiplikation gilt das Distributivgesetz. Oder anders gesagt: Die Polynome
erfüllen alle Körperaxiome, bis auf die allgemeine Existenz multiplikativer Inverse.
Denition: Es gibt für Polynome noch zwei weitere Operationen:
i) Für
n∈N
ist
f (x)n := f (x) · . . . · f (x)
{z
}
|
n-mal
ii) Für das Polynom
g(x) =
Pn
k=0 bk x
k
ist
f (g(x)) :=
n
X
k=0
Seite 43
bk f (x)k
Mathematik für Geowissenschaftler
Grund: Nachrechnen
Folgerung:
Grad(f (x)
Grad(f (x)
· g(x)) = Grad(f (x)) + Grad(g(x))
+ g(x)) ≤ max{Grad(f (x)), Grad(g(x))}
= Gradf (x) · Gradg(x)
Grad(f (g(x))
Bemerkung: Zu jedem Polynom f (x) gehört eine Polynomfunktion (durch Ein-
fˆ : K → K, c 7→ f (c) . Hat der Körper K unendlich viele Elemente, so
f (x) = g(x) (als Polynome) ist gleichbedeutend mit: f (c) = g(c) für alle c ∈ K
setzen):
gilt
(also Gleichheit als Funktionen). Der Grund ndet sich in den Übungen: Sind zwei
Polynome an mehr als Grad-vielen Stellen gleich, so sind sie gleich als Polynome.
F2 z.B. ist das falsch: x und x2 sind
1 = 12 also als Funktionen gleich.
In
als Polynome verschieden, aber
0 = 02
und
Denition: Ein Polynom g(x) vom Grad ≥ 1 heiÿt Teiler/Faktor eines Polynoms
f (x),
wenn es ein Polynom
h(x)
gibt, mit
f (x) = g(x)h(x)
Lemma: i) Ist f (x) · g(x) = 0, so ist f (x) = 0 oder g(x) = 0
ii) (Kürzungsregel) Ist
Grund:i)
Ist
h(x) · f (x) = h(x) · g(x)
und
h(x) 6= 0,
so ist
f (x) = g(x)
f (x), g(x) 6= 0 dann haben f (x) und g(x) die Grade n, m ∈ N0 .
· g(x)) = n + m ≥ 0 > −∞. Also ist f (x) · g(x) nicht
Dann gilt aber Grad(f (x)
das Nullpolynom. Die Kontraposition hiervon ist die Behauptung.
ii) Gilt die Voraussetzung, so ist
also
f (x) − g(x) = 0
gelten.
Lemma: Für jedes c ∈ K
Grund:
h(x) · (f (x) − g(x)) = 0.
und jedes
k∈N
ist
x−c
Wegen
Faktor von
h(x) 6= 0
muÿ
x k − ck .
(x − c) · (xk−1 + c · xk−2 + . . . + ck−2 · x + ck−1 ) =
xk + c · xk−1 + . . . + ck−2 · x2 + ck−1 · x
−c · xk−1 − c2 · xk−2 − . . . − ck−1 · x − ck
Satz:Sei
= xk − ck
f (x) 6= 0
n
k ∈ K,
ein Polynom vom Grad
eindeutig bestimmtes Polynom
q(x)
und
und
mit
f (x) = (x − c) · q(x) + k
Seite 44
c ∈ K . Dann existiert
grad(q(x)) < n, so daÿ
ein
Mathematik für Geowissenschaftler
Grund: 1) Existenz: Sei f (x) = am · xm + . . . + a0 . Dann ist
f (x) − f (c) = am · (xm − cm ) + . . . + a1 (x − c)
x − c ein Faktor jedes Summanden der rechten Seite, also
f (x) − f (c) :
Nach obigem Lemma ist
auch ein Faktor von
f (x) − f (c) = (x − c) · q(x)
für ein Polynom
q(x).
Also
f (x) = (x − c) · q(x) + f (c)
f (x) = (x − c) · q1 (x) + k1 = (x − c) · q2 (x) + k2 . Dann ist
f (c) = k1 = k2 also folgt (x − c) · q1 (x) = (x − c) · q2 (x) und die Division auf beiden
Seiten durch x − c liefert die Behauptung.
2) Eindeutigkeit: Sei
Denition: Eine Zahl c ∈ K ist eine Nullstelle eines Polynoms f (x) genau dann,
wenn gilt
f (c) = 0.
Korollar: c ∈ R ist genau dann eine Nullstelle von p(x), wenn (x − c) ein Faktor
von
p(x)
ist.
Grund: Ist p(c) = 0, so gilt:
p(x) = (x − c) · q(x) + p(c) = (x − c)q(x)
Ist
p(x) = (x − c)q(x),
so gilt
p(c) = 0.
Korollar: 1)Ein Polynom vom Grad n ≥ 1 hat höchstens n Nullstellen
2) Stimmen zwei Polynome vom Grad
n
n+1
an
(oder mehr) Stellen überein, so
sind sie gleich.
Grund: 1) Jede Nullstelle kann man als Linearfaktor abspalten. Dabei sinkt der
Grad um
1.
2) Für zwei Polynome
Grad
Satz:
≤ n.
f (x), g(x)
vom Grad
Pn
k
f (x) =
k=0 ak x
qi (x) vom Grad i, mit
Für ein Polynom
bestimmte Polynome
f (x) =
n
X
k=0
Grund: Ist
(Division mit Rest von
n
ist
f (x) − g(x)
ein Polynom vom
c
gibt es eindeutig
und eine Zahl
qi (c)(x − c)k
f (x) = (x − c) · q1 (x) + p(c)
f (x)
durch
(x − c))
und ist
q1 (x) = (x − c) · q2 (x) + q1 (c)
Seite 45
Mathematik für Geowissenschaftler
(Division mit Rest von
q1 (x)
durch
(x − c))
so gilt:
f (x) = (x − c) · ((x − c) · q2 (x) + q1 (c)) + p(c) =
(x − c)2 · q2 (x) + q1 (c) · (x − c) + p(c)
allgemein gilt also mit
q0 (x) = p(x):
p(x) =
n
X
k=0
mit eindeutig bestimmten Zahlen
qi (c) · (x − c)k
qi (c).
Denition: Die obige Darstellung von f (x) heiÿt Taylorentwicklung von f (x) im
Punkt
c.
Denition:
Polynom
Eine Zahl
g(x)
c
ist zweifache Nullstelle des Polynoms
f (x),
falls es ein
gibt, mit:
f (x) = (x − a)2 g(x)
(*)
Polynomdivision:
stimmte Polynome
r(x)
Zu Polynomen
f (x) und g(x) 6= 0 gibt es eindeutig
< Grad(g(x))und q(x), mit:
be-
mit Grad(r(x))
f (x) = q(x)g(x) + r(x)
Grund:
Existenz: Die Menge
{f (x) − q(x)g(x) | q(x) ist ein Polynom}
r(x) bezeichnen.
hat ein
bzgl. des Grades kleinstes Element, welches wir mit
r(x) = f (x) − q(x)g(x)
r(x) = 0,
q(x)g(x).
Ist
Sei also
so ist
r(x) 6= 0.
−∞ =
Grad(r(x))
<
Grad(g(x)), da
Wir nehmen an, daÿ Grad(r(x))
schreiben:
r(x) = rn xn + · · · + r0
g(x) = bm xm + . . . + b0
und es ist
n ≥ m.
Wir betrachten
r(x) −
rn n−m
x
g(x)
bm
Für die höchsten Koezientengilt:
rn xn −
rn n−m
x
bm xm = 0
bm
Seite 46
≥
g(x) 6= 0
und
f (x) =
Grad(g(x)) gälte. Wir
Mathematik für Geowissenschaftler
Da sich die Leitkoezienten wegheben, haben wir ein bzgl. des Grades kleineres
Polynom gefunden.
Andererseits gilt:
r(x) −
rn n−m
rn n−m
x
g(x) = f (x) − q(x)g(x) −
x
g(x) =
bm
bm
rn n−m
f (x) − g(x) q(x) +
x
gm
Letzteres ist aber Element der Menge. Das widerspricht der Annahmen, daÿ
gradkleinstes Element der Menge ist, also ist Grad(r(x))
r(x)
< Grad(g(x)).
Eindeutigkeit: Ist
f (x) = q1 (x)g(x) + r1 (x)
f (x) = q2 (x)g(x) + r2 (x)
so gilt:
(q1 (x) − q2 (x))g = r1 (x) − r2 (x)
Nun hat die rechte Seite aber einen Grad kleiner als Grad(g(x)). Ist
, so kann diese Gleichung aus Gradgründen nicht gelten. Also ist
und daher auch
q1 (x) 6= q2 (x)
q1 (x) = q2 (x)
r1 (x) = r2 (x).
1.7.2 Tangenten an Polynome
Beispiel: Wir betrachten das Polynom p(x) = x2 . Für beliebiges a gilt:
x2 = ((x − a) + a)2 = (x − a)2 + 2a(x − a) + a2
Analog lautet die Taylorentwicklung (s.u.) von
xn = ((x − a) + a)n =
xn
n X
n
k=0
k
im Punkt
an−k (x − a)k
Denition: Ist p(x) ein Polynom und ist
p(x) =
n
X
k=0
pk (a)(x − a)k =
p(a) + p1 (a)(x − a) +
n
X
k=2
Seite 47
a:
pk (a)(x − a)k
Mathematik für Geowissenschaftler
die Taylorentwicklung im Punkt
a,
so ist
ta (x) := p(a) + p1 (a)(x − a)
die Tangente an
p(x) im Punkte a. p1 (a) ist die Steigung der Tangenten und heiÿt
p(x) in a. Schreibweise:
die Ableitung von
p0 (a) = p1 (a)
Bemerkung: Die Intention dieser Denition ist die folgende: Sind wir in R oder
Q
und ist
|x − a|
klein, so sind sind die höheren Potenzen
sehr viel kleiner. Also ist die Tangente für
x
nahe bei
a
|x − a|n
für
n≥2
noch
eine gute Näherung von
p(x). Man spricht auch von der Tangente als Linearisierung des Polynoms p(x) bei
a.
Seite 48
Mathematik für Geowissenschaftler
1.8 Polynome II: Die Ableitungsregeln
1.8.1 Konstante Faktoren Regel
Sei
p(x)
ein Polynom und
c
eine Zahl. Dann gilt:
(cf )0 (x) = c · f 0 (x)
Grund:
Für eine Zahl
a
ist
0
p(x) = p(a) + p (x)(x − a) +
Für eindeutig bestimmte
b2 , . . . , bn .
n
X
k=2
bk (x − a)k
Die Tangente an
p(x)
im Punkte
tp(x)
(x) = p(a) + p0 (a)(x − a)
a
Es ist
0
cp(x) = c p(a) + p (a)(x − a) +
= cp(a) + cp0 (a)(x − a) +
n
X
k=2
n
X
k=2
!
bk (x − a)
cbk (x − a)k
Die Tangente hier ist:
t˜a (x) = cp(a) + cp0 (a)(x − a)
Also gilt:
(cp)0 (a) = cp0 (a)
1.8.2 Summenregel
Seien
p(x)und q(x)
Polynome. Dann gilt
(p(x) + q(x))0 := p0 (x) + q 0 (x)
Grund:
Es ist
p(x) = p(a) + p0 (a)(x − a) +
Seite 49
n
X
k=2
k
bk (x − a)k
a
ist:
Mathematik für Geowissenschaftler
und
0
q(x) = q(a) + p (a)(x − a) +
n
X
k=2
ck (x − a)k
(sind die Grade unterschiedlich ist ensprechend mit Nullen aufzufüllen).
ist:
p(x) + q(x) =
0
0
(p(a) + q(a)) + (p (a) + q (a))(x − a) +
n
X
(bk + ck )(x − a)k
k=2
Daher gilt für die Tangenten:
tp(x)
(x) + taq(x) (x) = tap(x)+q(x)
a
1.8.3 Produktregel
Es seien
p(x)
und
q(x)
wie beider Summenregel. Dann gilt:
(p(x)q(x))0 = p0 (x)q(x) + p(x)q 0 (x)
p(x)q(x) =
[p(a) + p0 (a)(x − a)] +
[q(a) + q 0 (a)(x − a)] +
n
X
k=2
n
X
k=2
!
bk (x − a)k
·
!
ck (x − a)k
= p(a)q(a) + (p0 (a)q(a) + p(a)q 0 (a)) (x − a)+
2n
X
k=2
dk (x − a)k
Also ist
tp(x)q(x)
(x) = p(a)q(a) + (p0 (a)q(a) + p(a)q 0 (a)) (x − a)
a
Seite 50
Damit
Mathematik für Geowissenschaftler
1.8.4 Allgemeine Produktregel
Sind
p1 (x), . . . , pm (x)
Polynome, so gilt:
"
#0
m
Y
pk (x)
=
k=1
p01 (x)p2 · . . . · pm (x) + p1 (x)p02 (x)p3 (x) · . . . · pm (x) + p1 (x)p2 (x) · . . . · p0m (x)
Grund:
Nach der Produktregel gilt
0
p1 (x) [p2 (x) · . . . · pm (x)]
. Es ist aber
0
Qm
[ k=1 pk (x)] = p01 (x) [p2 (x) · . . . · pm (x)] +
0
[p2 (x) · p3 (x) · . . . · pm (x)] =
0
p02 (x) [p3 (x) · . . . · pm (x)] + p2 (x) [p3 (x) · . . . · pm (x)]
usf.
Potenzregel
Sei
p(x)
wie oben,
n ∈ N.
Dann ist
0
[p(x)n ] = np(x)n−1 p0 (x)
Grund:
Es ist
p(x)n = p(x) · . . . · p(x).
Nach der Produktregel gilt:
n
0 X
0
[p(x)n ] = p0 (x)p(x)n−1 + p(x) p(x)n−1 =
p0 (x)p(x)n−1 = np(x)n−1 p0 (x)
k=1
Speziell für p(x) = xn :
0
(xn ) = nxn−1
Daher haben wir für die allgemeine Ableitung eines Polynoms
"
n
X
#0
ak x
k
p(x) =
Pn
0
= a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an−1 xn−1 + an xn =
k=0
a1 + 2a2 x + . . . + (n − 1)an−1 xn−2 nan xn−1 =
n
X
kak xk−1
k=1
Seite 51
k=0
ak xk :
Mathematik für Geowissenschaftler
1.8.5 Kettenregel
Seien
p(x)
und
q(x)
Polynome. Dann ist
0
[q(p(x)] = q 0 (p(x))p0 (x)
Grund:
Sei
q(x) =
Pn
k
k=0 bk x . Dann gilt:
"
q(p(x))0 =
n
X
#0
bk p(x)k
=
k=0
n
X
n
X
0
bk p(x)k =
k=0
bk kp(x)k−1 p0 (x) = p0 (x)
k=1
n
X
bk kp(x)k−1 = p0 (x)q 0 (p(x))
k=1
Denition (Höhere Ableitungen):
Sei
p(x) ein Polynom.
Dann denieren wir:
p(x)(1) := p0 (x)
p(x)(2) := (p(x)0 )0
und allgemein
Bemerkung:
0
p(x)(n) := p(x)(n−1)
Ist
p(x) =
n
X
ak xk
k=0
dann ist
0
p (x) =
n
X
kak xk−1
k=1
und
00
p (x) =
n
X
k=2
Allgemein gilt für die
j−te
p(j) (x) =
k(k − 1)ak xk−2
Ableitung:
n
X
k=j
k(k − 1) · . . . · (k − j + 1)ak xk−j
Wir betrachten nun die Taylorentwicklung
p(x) =
n
X
k=0
bk (x − a)k
Seite 52
Mathematik für Geowissenschaftler
Dann gilt:
p(j) (x) =
n
X
k=j
k(k − 1) · . . . · (k − j + 1)bk (x − a)k−j
Also ist
p(j) (a) = j! · bj
Daher:
bj =
p(j) (a)
j!
Und damit ergibt sich die Taylorentwicklung zu:
p(x) =
n
X
p(k) (a)
k=0
Beispiel:
k!
(x − a)k
Wir bestimmen die Taylorentwicklung von
p(x) = (1 + x)n
Es ist
p(k) (x) = n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)(1 + x)n−k
also ist
p(k) (0) =
n!
(n−k)! . Damit gilt für die Taylorentwicklung:
n
(1 + x) =
n
X
k=0
mit
n X
n k
n!
k
x =
x
(n − k)!k!
k
k=0
n
n!
=
(n − k)!k!
k
Erinnerung:
Folgerung:
n! := n(n − 1)(n − 2) · . . . · 2 · 1, 0! := 1
Allgemeiner binomischer Satz
(x + y)n =
n X
n
k=0
Grund:
Sei
y 6= 0.
k
xk y n−k
Dann ist
y n (1 +
x n
) = (x + y)n
y
Auÿerdem gilt:
y n (1 +
n k
n X
X
n
x
n k n−k
x n
) = yn
=
x y
y
k
y
k
k=0
k=0
Der allgemeine binomische Satz ist aber auch richtig für
Seite 53
y = 0.
in
a = 0.
Mathematik für Geowissenschaftler
1.9 Polynome III: Analysis
Denition: Eine Eigenschaft A(x) gilt nahe bei a ∈ R, falls es ein δ > 0 gibt mit
A(x)
gilt für alle
x ∈ (a − δ, a + δ)\{a} =: Uδ (a)
Beispiele: x2 ≤ 5 nahe bei 0 (richtig).
>0
Allgemeiner: sei
bei
eine beliebige positive reelle Zahl. Dann gilt
x2 < nahe
0.
−x2 ≥ 0
2
nahe bei
0
(falsch)
x >0
nahe bei
0
(richtig)
x2 > 1
nahe bei
0
(falsch)
1.9.1 Fundamentalsatz der Algebra
Ein Polynom
f (x) hat r ≤ Grad(f (x)) viele verschiedene reelle Nullstellen λ1 , . . . , λr .
Dann läÿt sich
f (x)
darstellen als:
f (x) = (x − λ1 ) · . . . · (x − λr )·
(a1 · (x + b1 )2 + c1 ) · . . . · (al · (x + bl )2 + cl )
mit
aj , bj , cj ∈ R
Die Faktoren
Nullstellen.
mit
aj · cj > 0
aj · (x + bj )2 + cj
entsprechen den Paaren konjugiert komplexer
Beispiel: Das Polynom f (x) = x3 − 1 hat oensichtlich in x = 1 eine Nullstelle.
Division mit Rest liefert:
((x + 21 )2 + 34 )
x3 − 1 = (x − 1) · (x2 + x + 1).
Dabei ist
(x2 + x + 1) =
Lemma: Ein Ausdruck der Form
a(x + b)2 + c
mit
a·c>0
hat überall ein konstantes Vorzeichen.
Grund: Sind a, b > 0 so ist der Ausdruck gleich (
√
√ 2
a(x+b))2 + c . Eine Folgerung
aus den Ordnungsaxiomen war aber, daÿ eine Summe von Quadraten, von denen
eines echt positiv ist, selbst positiv sein muÿ. Analog schlieÿt man für
Lemma:
a, c < 0.
Sind λj und λj+1 zwei direkt nebeneinander liegende Nullstellen von
λj < λj+1 , dann hat f (x) auf allen x ∈ (λj , λj+1 ) dasselbe Vorzeichen.
Auÿerdem hat f (x) auf (−∞, λ1 ) und (λr , ∞) jeweils konstantes Vorzeichen.
f (x)
mit
Seite 54
Mathematik für Geowissenschaftler
Grund: Es ist x − λk > 0 für k = 1 . . . j und x − λk < 0 für k = j + 1 . . . r für jedes
x ∈ (λj , λj+1 ). Die Faktoren a · (b + x)2 + c haben auf ganz R dasselbe Vorzeichen.
Folgerung: Gilt für ein Polynom f (x) an der Stelle a f (a) > 0 (bzw. f (a) < 0) ,
so gilt auch
Grund:
f (x) > 0
f (a) > 0
(bzw.
f (x) < 0)
a
bedeutet, daÿ
für
x
nahe bei
a.
zwischen zwei Nullstellen oder jenseits der
gröÿten bzw. kleinsten Nullstelle liegt.
Wähle
δ
wie folgt:
δ := min{a − λj , λj+1 − a}
Dann ist
f (x) > 0
für alle
, falls
λj < a < λj+1
δ := a − λr ,
falls
a > λr
δ := λ1 − a,
falls
a < λ1
x ∈ (a − δ, a + δ),
also
f (x) > 0
für
x
nahe bei
a.
Zwischenwertsatz 1.Form (für Polynome): Ist f (a) · f (b) < 0 für a < b, so
gibt es ein
x ∈ (a, b)
mit
f (x) = 0.
Grund: Wir nehmen an, es läge keine Nullstelle vom f (x) im Intervall (a, b). Dann
gilt nach dem Fundamentalsatz der Algebra:
λ0 := −∞ < λ1 ≤ λ2 ≤ . . . ≤ λk < a <
b < λk+1 ≤ . . . ≤ λr < λr+1 := +∞
(wegen
f (a) · f (b) < 0
sind
a
und
Nach obiger Folgerung hat aber
auch auf
b
keine Nullstellen von
f (x)
auf
(λk , λk+1 )
f (x)).
konstantes Vorzeichen, also
[a, b] ⊂ (λk , λk+1 )
Insbesondere kann nicht
f (a) · f (b) < 0
gelten.
1.9.2 Zwischenwertsatz für Polynome
Zwischenwertsatz 2. Form:
f (a) 6= f (b)).
Dann gibt es ein
Es sei c ein Wert zwischen f (a)
x ∈ (a, b) mit f (x) = c.
Grund: Es gibt die beiden Fälle f (a) < f (b) und f (b) < f (a).
In beiden Fällen gilt:
f (a) < c < f (b) ⇒ f (a) − c < 0 < f (b) − c
f (b) < c < f (a) ⇒ f (b) − c < 0 < f (a) − c
Seite 55
und
f (b),
(mit
Mathematik für Geowissenschaftler
Somit haben
x ∈ (a, b),
f (a) − c und f (b) − c verschiedenes
f (x) − c = 0 oder f (x) = c.
Vorzeichen. Deswegen gibt es ein
mit
Beispiel: f (x) = x3 − 1
f (0) = −1, f (1) = 0.
q
3 3
für c =
2.
Es ist
gilt
D.h. es muÿ ein
c ∈ (0, 1)
geben, mit
f (c) = − 12 .
Dies
Bemerkung: Insbesondere haben also Polynome keine Sprungstellen.
1.9.3 Satz von Rolle für Polynome
Satz (von Rolle):
Ist
f (a) = f (b)
für
a < b,
dann gibt es ein
f 0 (x) = 0
x ∈ (a, b),
mit
Grund: Sei O.E. (=ohne Einschränkung) : f (b) = f (a) = 0 (sonst betrachtet man
f (x) − c,
mit
c = f (a) = f (b)).
a, b benachbarte Nullstellen sind, mit a < b (bendet sich
(a, b), so betrachten wir eines der kleineren Intervalle
hat f (x) auf (a, b) konstantes Vorzeichen. Es sei
Wir nehmen O.E. an, daÿ
eine weitere Nullstelle
(a, c)
oder
(c, b))
c
in
. Dann
f (x) = (x − a)k · (x − b)l · r(x)
mit
(x − a), (x − b)
teilen
r(x)
nicht.
r(a)
und
r(b)
haben nun dasselbe Vorzeichen
(hätten sie verschiedene Vorzeichen, gäbe es nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle von
r(x)
sieht man, daÿ
r(x)
dazwischen, also auch eine von
r(x)
und
r(a)
hat also auf dem gesamten Intervall
sondere haben
r(a)
und
r(b)
f (x)).
Mit dem gleichen Argument
das gleiche Vorzeichen haben.
[a, b]
ein konstantes Vorzeichen (Insbe-
dasselbe Vorzeichen). Nach der Produktregel ist
f 0 (x) = k · (x − a)k−1 · (x − b)l · r(x)+
(x − a)k · l · (x − b)l−1 · r(x) + (x − a)k · (x − b)l · r0 (x)
= (x − a)k−1 · (x − b)l−1 ·
[k · (x − b) · r(x) + l · (x − a) · r(x) + (x − a) · (X − b) · r0 (x)]
Setze
h(x) := k · (x − b) · r(x) + l · (x − a) · r(x)+
(x − a) · (X − b) · r0 (x)
h(a) = k ·(a−b)·r(a) und h(b) = l ·(b−a)·r(b). Da r(a) und r(b) dasselbe
h(a) und h(b) verschiedene Vorzeichen haben. Also gibt
z ∈ (a, b) mit h(z) = 0. Daher gilt : f 0 (z) = (z − a)k−1 · (z − b)l−1 · h(z) = 0.
Dann ist
Vorzeichen haben, müssen
es ein
Seite 56
Mathematik für Geowissenschaftler
1.9.4 Mittelwertsatz für Polynome
(Mittelwert-) Satz: Für a < b gibt es ein x ∈ (a, b) mit
f (b) − f (a)
b−a
f 0 (x) =
Grund: Wir betrachten die Hilfsfunktion
F (x) := f (x) − f (a) −
F (a) = F (b) = 0.
F 0 (z) = 0.
Dann ist
mit
f (b) − f (a)
· (x − a)
b−a
Daher existiert nach dem Satz von Rolle ein
Es ist aber
F 0 (x) = f 0 (x) −
also
z ∈ (a, b)
f (b) − f (a)
b−a
f (b) − f (a)
b−a
f 0 (z) =
Beispiel: Für das Polynom f (x) = x3 − 1 gilt: f (0) = −1 und f (1) = 0.
Die Steigung der Sekante durch die beiden Punkte ist:
f (1)−f (0)
= 11 = 1. Die
1−0
hat die beiden Lösungen
f 0 (x) = 3 · x2 . Die Gleichung 3 · x2 = 1
1
ζ = ± √3 . D.h. die Tangente durch den Punkt ζ = √12 hat die gleiche Steigung wie
die Sekante durch die Punkte (0, f (0)) und (1, f (1)).
Ableitung ist
Lemma:
Ist
f 0 (a) 6= 0,
so ist
f
auf einem Intervall
streng monoton.
(a − δ, a + δ)
für ein
δ >0
Grund: Da auch f 0 (x) ein Polynom ist, gilt nach obiger Folgerung: f 0 (ζ) 6= 0 für
δ > 0 und alle ζ ∈ (a − δ, a + δ).
x1 , x2 ∈ (a − δ, a + δ) mit x1 < x2 :
ein
Nach dem Mittelwertsatz gilt aber für alle
f (x2 ) = f (x1 ) + f 0 (ζ)(x2 − x1 )
ζ ∈ (x1 , x2 ) ⊂ (a − δ, a + δ).
(a − δ, a + δ).
für ein
auf
Denition: Eine Funktion f
mum, falls gilt
Also hat
:D⊂R
f (x2 ) − f (x1 )
hat in
a∈D
konstantes Vorzeichen
ein (striktes) globales Mini-
f (x)(>) ≥ f (a) (∗)
für alle
x∈D
x ∈ D. f hat
a.
nahe bei
in
a∈D
ein (striktes) lokales Minimum falls (*) gilt für alle
Seite 57
Mathematik für Geowissenschaftler
(D.h. es gibt ein
δ > 0,
mit
f (x)(>) ≥ 0
für alle
x ∈ (a − δ, a + δ)\{a}) ∩ D.
Für ein Maximum gilt die sinngemäÿe Denition. Maxima und Minima heiÿen
zusammengefaÿt auch Extrema.
Satz: Hat ein Polynom f (x) in einem Punkt a ∈ R ein Extremum, so gilt: f 0 (a) =
0.
Grund: Wir nehmen an, daÿ f 0 (a) > 0. Dann ist nach obiger Folgerung f 0 (ζ) > 0
ζ nahe bei a. D.h. f 0 (ζ) > 0 für alle ζ ∈ (a − δ, a + δ)
x ∈ (a − δ, a + δ). Nach dem Mittelwertsatz gilt
für
für ein
δ > 0.
Sei nun
f (x) = f (a) + f 0 (ζ) · (x − a)
a und x. Dann ist ζ ∈ (a − δ, a + δ) und somit f 0 (ζ)>0. Ist
f (x) > f (a) und ist x < a, dann ist f (x) < f (a). Also kann a kein
von f (x) sein.
für ein
ζ
x > a,
so ist
zwischen
Extremum
Achtung: Die Umkehrung dieser Folgerung gilt nicht. f (x) = x3
(sogar überall) streng monoton steigend, aber
ist nahe bei
0
f 0 (0) = 0.
Fazit:i) Polynome sind stückweise streng monoton.
ii) Die Monotoniewechselstellen sind genau die (strengen,lokalen) Minima und Maxima.
Grund: i) Es sei f (x) ein Polynom und −∞ =: λ0 < λ1 < . . . < λr < λr+1 :=
+∞ die verschiedenen Nullstellen von f 0 (x). Dann hat f 0 (x) auf dem Intervall
(λj , λj+1 ) konstantes Vorzeichen. Seien nun x1 , x2 ∈ (λj , λj+1 ) und x1 < x2 dann
0
ist f (x2 ) = f (x1 ) + f (ζ)(x2 − x1 ) für ein ζ ∈ (x1 , x2 ) ⊂ (λj , λj+1 ). Also ist f (x)
auf dem Intervall (λj , λj+1 ) streng monoton steigend oder fallend, abhängig von
0
dem Vorzeichen von f (x) in diesem Intervall.
f (x) beispielsweise ein Maximum in a, mit f (a) > 0, so gibt es ein δ > 0,
f (x) > 0 und f (a) > f (x) auf (a − δ, a + δ). Auÿerdem ist nach dem obigen
0
Satz in einem Extremum die Ableitung f (a) = 0. Da f (x) zwischen den Nullstellen
0
von f (x) konstantes Monotonieverhalten hat, so kann f (x) nur streng monoton
steigend auf (a − δ, a] und streng monoton fallend auf [a, a + δ). Hat umgekehrt f
in a einen Monotoniewechsel, also ist f z.B. auf (a − δ, a] streng monoton steigen
und auf [a, a + δ) streng monoton fallend, So ist f (a) der gröÿte Wert auf beiden
ii) Hat
mit
Teilintervallen, also ein Maximum.
Erinnerung: Eigenschaften der Betragsfunktion
|a| ≤ |b| ⇒ |a|n ≤ |b|n
für alle
n∈N
|a + b| ≤ |a| + |b|
|a − b| ≥ |a| − |b|
Beispiel :
auf [−2, 1]
Gesucht ist eine obere Schranke von
Seite 58
|f (x)|
für
f (x) = x7 − 6 · x4 + x
Mathematik für Geowissenschaftler
Lösung: Auf [−2, 1] gilt: |x| ≤ 2
|x7 − 6 · x4 + x| ≤ |x7 | + | − 6 · x4 | + |x| = |x7 | + |6 · x4 | + |x|
= |x|7 + 6 · |x|4 + |x| ≤ 27 + 6 · 24 + 2 = 226
Lemma: Auf einem Intervall [a, b] gilt für ein Polynom f (x) =
gibt eine Zahl
M,
mit :
|f (x)| ≤ M
für alle
x ∈ [a, b].
Pn
k=0
ak · xk :
Es
Genauere Überlegung: Ein Polynom f (x) hat in einem Intervall [a, b] seine abf 0 (x) oder in den Endpunkten
f (c) = m und d ∈ [a, b] das absolute
soluten Maxima und Minima in den Nullstellen von
a, b.
Sei
c ∈ [a, b] das absolute Minimum mit
f (d) = M . Dann gilt mit dem
Maximum mit
Zwischenwertsatz:
f ([a, b]) = [m, M ]
Seite 59
Mathematik für Geowissenschaftler
1.10 Integration Teil I
1.10.1 Ein Integralbegri (nicht nur für Polynome)
Denition: Sei f : [a, b] → R, mit a < b.
f (x) = c ∈ R
i) Ist
für alle
x ∈ [a, b],
ˆ
so denieren wir:
[a,b]
ii) Ist
f (x) ≥ 0
c = c(b − a)
x ∈ [a, b] (kurz: f|[a,b] ≥ 0, analog: ≤, <, >) und f auf [a, b]
f|[a,b] ↑,analog ↓), und ist F (x) die Flächenfunktion
F (a) = 0, so ist
ˆ
f := F (b)
für alle
streng monoton steigend (kurz:
von
f
auf
[a, b],
mit
[a,b]
Ist
F (a) > 0,
G(x) := F (x) − F (a) eine Flächenfunktion
f = G(b) = F (b) − F (a).
[a,b]
so ist
es ist und es ist
Satz:i) Für f, g
gilt:
´
: [a, b] → R
ˆ
f, g ↑, ≥ 0 oder
ˆ
ˆ
f +g =
f+
und
[a,b]
und für
c ≥ 0:
[a,b]
ˆ
mit
G(a) = 0
und
einer von beiden konstant, so
g
[a,b]
ˆ
cf = c
[a,b]
f
[a,b]
Grund: Sei beispielsweise g = c. Aus
(y − x)f (x) < F (y) − F (x) < (y − x)f (y)
erhält man durch Addition von
c(y − x):
(y − x)(f + c)(x) < (F + c)(y) − (F + c)(x) < (y − x)(f + c)(y)
Sind
f
und
g ≥ 0, ↑
mit Flächenfunktionen
F
und
G,
so liefert eine Addition der
beiden Doppelungleichungen:
(y − x)(f (x) + g(x)) < (F (y) + G(y)) − (F (x) − G(x)) < (y − x)(f (y) + g(y))
Wegen der Eindeutigkeit ist also
F (x) + G(x) die Flächenfunktion von f (x) + g(x).
c liefert die letzte Behauptung.
Multiplikation der Doppelungleichung mit
Seite 60
Mathematik für Geowissenschaftler
Bemerkung: Analoge Aussagen gelten für f, g
↓ ., ≤ 0,
da dann
|f |, |g| ↑, ≥ 0.
Denition: In diesem Falle denieren wir:
ˆ
ˆ
[a,b]
f := −
[a,b]
−f
Satz: Für c ∈ [a, b] gilt:
ˆ
ˆ
ˆ
f=
f+
[a,b]
Grund:
´
[a,c]
f+
´
[c,b]
Denition: Seien f, g
[a,c]
f
[c,b]
f = F (c) − F (a) + F (b) − F (c) = F (b) − F (a) =
: [a, b] → R
´
[a,b]
f
streng monoton und von konstantem Vorzei-
chen. Dann denieren wir
ˆ
ˆ
[a.b]
Es ist
f − g :=
ˆ
ˆ
[a,b]
f−
[b,a]
f := −
g
[a,b]
ˆ
f := 0
ˆ
und
[a,a]
f
[a,b]
Bemerkung: Wir haben nun einen Integralbegri u.a. für stückweise streng monotone oder konstante Funktionen, die stückweise konstantes Vorzeichen haben,
also insbesondere für Polynome.
Bemerkung:
Sei
Integral
f : [a, b] ⊂ R → R
eine Funktion. Dann ist das bestimmte
ˆ
f
[a,b]
die Fläche zwischen der Kurve
x−Achse
y = f (x)
und dem Intervall
[a, b].
Oberhalb der
gelegene Flächen werden dabei positiv gezählt, unterhalb der
gelegene negativ.
Seite 61
x−Achse
Mathematik für Geowissenschaftler
Beispiel:
Man erhält sofort für Funktionen
I1)
´
[a,b]
f +g =
´
[a,b]
f+
´
[a,b]
f, g : [a, b] → R
g
Seite 62
und
λ ∈ R:
Mathematik für Geowissenschaftler
Bemerkung:
An dieser Stelle sehen wir, warum wir negativ gezählte Flächen
´
0 = 0. Dann ist aber wegen 0 = c + (−c) für c ∈ R>0
´
´
0 = [a,b] c + [a,b] −c = 0, also [a,b] −c = − [a,b] c
zulassen: Sicher ist
´
I2)
´
[a,b]
´
λ·f =λ·
[a,b]
´
I3) Für c ∈ [a, b] ist
[a,b]
f
´
[a,b]
, speziell für
f=
´
[a,c]
f+
λ = −1:
´
[c,b]
f
Seite 63
´
[a,b]
−f = −
´
[a,b]
f
auch
Mathematik für Geowissenschaftler
I4) |
´
[a,b]
f| ≤
´
[a,b]
|f |
Denition: Man schreibt auch:
ˆ
ˆ
b
f (x)dx =
a
Bemerkung: Die Zeichen
´b
a
und
f
[a,b]
dx
sind wie Klammern zu lesen. Statt des
Seite 64
dx
Mathematik für Geowissenschaftler
kann auch jede andere Variable verwendet werden, also
´b
a
´b
a
f (τ )dτ =
´b
a
f (y)dy =
f (x)dx
I6) Translationsinvarianz: Für alle s ∈ R gilt:
ˆ
ˆ
b−s
b
f (x)dx
f (x + s)dx =
a
a−s
Beispiel 1: f (x) = x2 ist auf R≥0 streng monoton steigend. Wegen:
y3
x3
x2 + x · y + y 2
−
= (y − x) · (
)
3
3
3
gilt für
(y − x) ·
x, y ≥ 0
und
x<y:
x2 + x2 + x2
y2 + y2 + y2
y 3 x3
= (y − x) · x2 <
−
< (y − x) ·
= (y − x) · y 2
3
3
3
3
wegen der Eindeutigkeit haben wir:
ˆ
x
t2 dt =
F (x) =
0
Man beachte:
F 0 (x) =
Allgemein gilt für
x3
3
0
x3
3
= x2 = f (x).
0 ≤ x < y:
(y − x) · (xn + xn−1 · y + xn−2 · y 2 + . . . + x · y n−1 + y n ) =
y n+1 − xn+1
Deswegen gilt:
(y − x) ·
also ist
F (x) =
(n + 1) · xn
y n+1
xn+1
(n + 1) · y n
<
−
< (y − x) ·
n+1
n+1 n+1
n+1
xn+1
n+1 die Flächenfunktion für
f (x) = xn
Bemerkung:i) Es ist F (x) =
xn+1
0
n
n+1 und damit : F (x) = x . Also sieht man, daÿ
Flächenfunktionen bilden und Ableiten Umkehrungen voneinander sind
(jedenfalls für Polynome der Form
ii) Ist
F (a) 6= 0,
so ist
f (x) = xn ).
F (x) − F (a) = 0
und es gilt:
(y − x)f (x) < F (y) − F (x) =
Seite 65
Mathematik für Geowissenschaftler
(F (y) − F (a)) − ((F (x) − F (a)) < (y − x)f (y)
Insbesondere bedeutet dies, daÿ Flächenfunktionen (wenn man nicht
F (a) = 0
fordert) nur bis auf additive Konstante eindeutig bestimmt sind.
Satz: Für ein allgemeines Polynom f (x) =
ˆ
n
X
[a,b] k=0
Pn
k=0
ak xk
gilt:
ak xk = F (b) − F (a)
mit
F (x) =
n
X
ak k+1
x
k+1
k=0
1.10.2 Die Integrationsregeln
Satz: Für Polynome f, g gilt:
´
´
´
f ± g = [a,b] f ± [a,b] g
´
λf = λ [a,b] f
[a,b]
´
´
0
f · g = f (b)g(b) − f (a)g(a) − [a,b] f 0 · g
[a,b]
´b
´ g(b)
f (g(x)) · g 0 (x)dx = g(a) f (y)dy
a
[a,b] ´
Grund: Wir haben gesehen: Ist F 0 = f , so ist
´b
f (x)dx = F (b) − F (a).
´b
´b
0
0
i) Aus (F · g) = f · g + F · g folgt F (b)g(b) − F (a)g(a) =
f (x) · g(x)dx + a F (x) ·
a
g 0 (x). Also gilt
ˆ
oder, wenn wir
f
ˆ
b
a
f (x)g(x) = F (x)g(x)|ba −
durch
ˆ
a
a
f0
b
F (x)g 0 (x)dx
a
ersetzen :
ˆ
b
f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x)|ba −
f (x)g 0 (x)dx
´ g(b)
F (x) eine Flächenfunktion von f (x) auf [g(a), g(b)], also ist g(a) f (y)dy =
´
F (g(b)) − F (g(a)). Weiter gilt F (g(x))0 = f (g(x)) · g 0 (x), also [a,b] f (g(x)) · g 0 (x) =
F (g(b)) − F (g(a)).
ii) Sei
Seite 66
Mathematik für Geowissenschaftler
Denition:
f
Sei
f : [a, b] → R
und
x0 := a < x1 < . . . < xn < xn+1 := b und
x ∈ [xi , xi+1 ]. Dann
auf allen Teilintervallen streng monoton oder konstant. Sei
denieren wir:
ˆ
x
:=
a
i−1 ˆ
X
k=0
ˆ
xk+1
x
f (t)dt
f (t)dt +
xi
xk
Bemerkung: Alles in diesem Kapitel gesagte gilt, da es in diesem Falle für alle
für alle Teilintervalle gilt, auch für diese Integrale.
Seite 67
Mathematik für Geowissenschaftler
1.10.3 Beispiele für Integrationstechniken
f (φ(x))0 = f 0 (φ(x)) · φ0 (x)
f (φ(x)) ist. D.h.
Aus der Kettenregel
Stammfunktion von
folgt, daÿ
f 0 (φ(x)) · φ0 (x)
eine
ˆ
f (φ(x)) · φ0 (x)dx = F (φ(x)) + C
wenn
F (x)
eine Stammfunktion von
onsregel.
Beispiel 1:
Wir wählen
´
f (x)
ist. Dies ist die sogenannte Substituti-
3
x2 · ex dx
φ(x) := x3 . Es ist φ0 (x) = 3x2 . Also ist
ˆ
ˆ
ˆ
1
1
0
φ(x)
2
x3
φ (x) · e
dx =
eu du =
x ·e =
3
3
1 u
1 3
e + C = ex + C
3
e
Kurzschreibweise:
u = x3
du = 3x2 dx
dx =
ˆ
ˆ
3
x2 · ex dx =
Probe:
h
1 x3
3e
Beispiel 2:
Wähle
+C
´
i0
x2 · eu
3
du
3x2
1
du
=
3x2
3
= 13 ex · 3x2 = x2·e
x3
√
2√ x
dx
x
u = φ(x) =
√
x.
Dann ist
φ0 (x) =
u=
1
√
.
2 x
√
x
1
du = √ dx
2 x
√
dx = 2 xdu
Seite 68
ˆ
eu du =
1 x3
e +C
3
Mathematik für Geowissenschaftler
ˆ
Stammfunktion für
√
2 x
√ dx =
x
ˆ
2u √
√ 2 xdu = 2
x
ˆ
2u du
2x :
2x = ex ln 2
ˆ
ex ln 2 =
Daher gilt:
ˆ
√
h
√
2
x+1
ln 2
2√ x
x
Beispiel 3:
´
+C
i0
=
h
√
2u+1
2 x+1
2 du =
+C =
+C
ln 2
ln 2
u
2
Probe:
2x
ex ln 2
+C =
+C
ln 2
ln 2
i0
√
1 ( x+1)·ln(2)
ln 2 e
=
√
1
1
( x+1)·ln(2)
·ln(2)· 2√
ln(2) e
x
√
=
x
2√
·2
2 x
cos(x)e2·sin(x) dx
u = 2 · sin(x)
du = 2 cos(x)dx
dx =
ˆ
ˆ
cos(x)e2·sin(x) dx =
cos(x)eu
1
du
2 cos(x)
1
1
du =
2 cos(x)
2
ˆ
eu du =
1 2 sin(x)
e
+C
2
[f (x) · g(x)]0 = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x) folgt:
ˆ
f (x) · g(x) = f 0 (x)g(x) + f (x)g 0 (x)dx
Aus der Produktregel
ˆ
oder
ˆ
0
f (x) · g(x)dx = f (x)g(x) −
Beispiel 4:
´
f (x)g 0 (x)dx
sin(x)2 dx
Wir setzen:
f 0 (x) = sin(x) ⇒ f (x) = − cos(x)
und
g(x) = sin(x) ⇒ g 0 (x) = cos(x)
Seite 69
=
Mathematik für Geowissenschaftler
ˆ
Also
sin(x)2 dx = − cos(x) sin(x)+
ˆ
ˆ
cos(x)2 dx = cos(x) sin(x) + 1 − sin(x)2 dx
ˆ
Daher gilt:
sin(x)2 dx =
Beispiel 5:
Die Funktion
Umkehrfunktion
tan(x) =
1
[x − cos(x) sin(x)]
2
sin(x)
cos(X) hat auf dem Intervall
arctan(x).
Die Ableitung von
tan(x)
ist nach der Quotientenregel:
cos(x)2 + sin(x)2
= 1 + tan(x)2
cos(x)2
tan(x)0 =
Mit der Kettenregel folgt aus
tan(arctan(x)) = x
die Ableitung von
arctan(x):
(1 + tan(arctan(x))2 ) · arctan(x)0 = 1
als
arctan(x)0 =
Damit berechnen wir
ˆ
1
1 + x2
ˆ
arctan(x)dx =
1 · arctan(x)dx
Wir setzen
f 0 (x) = 1 ⇒ f (x) = x
g(x) = arctan(x) ⇒ g 0 (x) =
Daher ist
ˆ
1
1 + x2
ˆ
1 · arctan(x)dx = x · arctan(x) −
x
dx
1 + x2
Das letzte Integral können wir wieder über Substitution lösen:
ˆ
x
dx
1 + x2
Seite 70
(− π2 , π2 )
die
Mathematik für Geowissenschaftler
u := 1 + x2
du = 2xdx
ˆ
x
dx =
1 + x2
ˆ
x 1
1
·
du =
u 2x
2
ˆ
1
du =
u
1
1
ln(u) + C = ln(x2 + 1) + C
2
2
Insgesamt also
ˆ
arctan(x)dx = x · arctan(x) −
x · arctan(x) −
arctan(x)
Probe:
1
2
ln(x2 + 1) + C
0
1
ln(x2 + 1) + C
2
1
1 1
= 1 · arctan(x) + x · 1+x
2 − 2 1+x2 · 2x =
Bemerkung: Durch dieses Beispiel wissen wir auch:
ˆ
Beispiel 6:
´
1
= arctan(x) + C
1 + x2
ln(x)dx
Der gleiche Trick wie bei
arctan(x) liefert:
ˆ
1 · ln(x)dx
f 0 (x) = 1 ⇒ f (x) = x
g(x) = ln(x) ⇒ g 0 (x) =
ˆ
ˆ
1 · ln(x)dx = x · ln(x) −
x·
0
1
x
1
dx = x · ln(x) − x + C
x
[x · ln(x) − x + C] = 1 · ln(x) + x · x1 − 1 = ln(x)
h
i
1
1
1
1
= a−b
· x−a
− x−b
Beispiel 7: Es ist (x−a)(x−b)
Probe:
Daher gilt:
Seite 71
Mathematik für Geowissenschaftler
ˆ
1
1
dx =
ln
(x − a)(x − b)
a−b
x−a
x−b
+C
Hinweis: In Maxima lautet der Befehl für die Integration: integrate(Ausdruck,Variable)
Beispiele:
integrate(1/((x − a) ∗ (x − b)), x)
=
log (x − b) log (x − a)
−
b−a
b−a
Die Auswertung von bestimmten Integralen geschieht durch den Befehl integrate(Ausdruck,Variable,untere Grenze,obere Grenze)
Beispiel:
integrate(1/x, x, 1, 2)
Seite 72
=
log(2)
Mathematik für Geowissenschaftler
1.10.4 Tangenten
Erinnerung: Gilt eine Eigenschaft A(x) einer Zahl x ∈ R für alle x ∈ (a − δ, a +
δ)\{a}
mit einem
δ > 0,
so sagen wir:
A(x)
gilt (für
x)
nahe bei
a.
Beispiel: x2 ≥ 0 nahe bei 0 (wahr),
x2 < 1
nahe bei
x2 > 0.1
nahe bei
Anwendung:
A2 (x)
0
nahe bei
(wahr),
0
(falsch)
A1 (x) nahe bei a
A1 (x) ∧ A2 (x) nahe bei a.
Gilt eine Eigenschaft
a,
so gilt
und gilt eine Eigenschaft
Grund: A1 (x) gilt für alle x ∈ (a − δ1 , a + δ1 )\{a} und A2 (x) gilt für alle x ∈
(a − δ2 , a + δ2 )\{a}
min(δ 1 , δ2 )\{a}.
Beispiel: x2
nahe bei
0
≥0
Denition: Sei f
dann gilt
nahe bei
0
A1 (x) ∧ A2 (x)
und
x2 ≤ 0.1
für alle
nahe bei
x ∈ (a − min(δ 1 , δ2 ), a +
0,
dann auch
0 ≤ x2 ≤ 0.1
: X → Y , X, Y ⊂ R eine Funktion. f heiÿt im Punkt x0 ∈ X
> 0 gilt: Für x ∈ X ist |f (x) − f (x0 )| < für x nahe bei
stetig, wenn für jedes
x0 .
Oder anders formuliert:
∀ > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < f : I ⊂ R → R, I ein oenes Intervall, a ∈ I .
(a, f (a)) ist eine Funktion der Form:
Sei
Eine Gerade durch den Punkt
L(x) = f (a) + m · (x − a)
Die Gerade beschrieben durch
wenn für jede Funktion
L
(*)
T (x) = f (a) + t · (x − a)
heiÿt Tangente an
f
in
a,
vom Typ (*) gilt:
|f (x) − T (x)| ≤ |f (x) − L(x)|
für
x
nahe bei
a
Bemerkung: Geraden sind ihre eigenen Tangenten (an jeden Punkt) insbesondere
sind Tangenten von Geraden eindeutig.
Satz: Tangenten sind, falls sie existieren, eindeutig.
Grund: Seien T1 und T2 zwei Tangenten an f im Punkte a. mit T1 6= T2 , d.h. es
gibt ein
x∈R
mit
in dem einen Punkt
T1 (x) 6= T2 (x). Insbesondere schneiden sich T1 und T2 genau
(a, f (a)). Da beide Tangenten sind, gibt es δ1 und δ2 mit
|f (x) − T1 (x)| ≤ |f (x) − T2 (x)|
für
x ∈ (a − δ1 , a + δ1 )
|f (x) − T2 (x)| ≤ |f (x) − T1 (x)|
für
x ∈ (a − δ2 , a + δ2 )
Seite 73
Mathematik für Geowissenschaftler
also gilt:
|f (x) − T1 (x)| = |f (x) − T2 (x)|
mit
für
x ∈ (a − δ, a + δ)
δ := min(δ1 , δ2 ).
Kurz: Ist
T1 (x)|
|f (x) − T1 (x)| ≤ |f (x) − T2 (x)| nahe bei a und |f (x) − T2 (x)| ≤ |f (x) −
a, so ist |f (x) − T1 (x)| = |f (x) − T2 (x)| nahe bei a.
nahe bei
Dann gilt aber für diese
f (x) =
Dann ist aber
f
lokal um
a
eine Gerade und für diese sind Tangenten eindeutig.
Denition: Eine Funktion f
an
f
1
(T1 (x) + T2 (x))
2
heiÿt in
a
dierenzierbar, wenn eine Tangente in
existiert. Die Steigung dieser Tangente ist die Ableitung vom
Beispiel: Ist die Funktion
(
x2 sin
f (x) :=
0
in
0
1
x
für
für
dierenzierbar?
Zunächst einmal stellen wir fest, daÿ wegen
−1 ≤ sin
1
≤1
x
folgt, daÿ
−x2 ≤ f (x) ≤ x2
Seite 74
x 6= 0
x=0
f
in
a: f 0 (a)
a
Mathematik für Geowissenschaftler
Wir hatten aber früher gesehen, daÿ die
x2
nen
−x2
und
x−Achse
die Tangente an beide Funktio-
im Ursprung ist. Also gilt für eine beliebige Gerade
K(x)
durch
den Ursprung:
|x2 − (0 · x + 0)| ≤ |x2 − K(x)| ∧
| − x2 − (0 · x + 0)| ≤ | − x2 − K(x)|
für
x
0.
nahe bei
x
zwischen
2
und
Es sind also
−x
2
x2
und
−x2
näher an
liegt, ist es auch näher an
0
0
als
als an
K(x).
K(x).
Da aber
f (x)
Also gilt:
|f (x) − (0 · x + 0)| ≤ |f (x) − K(x)|
Da aber
K(x)beliebig
war, ist die
x−Achse
also Tangente an
f (x)
im Punkt
0.
Lemma: Für Zahlen a, b, f ∈ R gilt:
|a − f | ≤
Grund: Es gilt: |a − f | ≤
1
2 |a
− f| ≤
1
2 |b
1
|a − b| ⇒ |a − f | ≤ |b − f |
2
1
2 |a
− b| = 12 |a − f + f − b| ≤ 12 |a − f | + 12 |b − f | ⇒
− f | ⇒ |a − f | ≤ |b − f |.
Denition: x liegt zwischen a und b :⇔
min(a, b) < x < max(a, b)
Folgerung: Liegt x zwischen a und b , dann liegt xy ay und by für y 6= 0.
Satz: Für eine Funktion f : (c, d) → R sind äquivalent:
i)
f
ist dierenzierbar in
a ∈ (c, d)
mit Ableitung
ii) (Caratheodory) Es gibt eine Funktion
m
ω : (c, d) → R,
mit
f (x) = f (a) + ω(x)(x − a)
die stetig ist in
a
und
ω(a) = m.
Grund: i) ⇒ ii) Sei T (x) = f (a)+m(x−a) Tangente an f in a. Für ein beliebiges
ε>0
betrachten wir die beiden folgenden Graden durch den Punkt
(a, f (a)):
L1 (x) := f (a) + (m + ε)(x − a) = f (a) + m(x − a) + ε(x − a)
L2 (x) := f (a) + (m − ε)(x − a) = f (a) + m(x − a) − ε(x − a)
m zwischen m − ε und m + ε. Also liegt m(x − a) zwischen (m − ε)(x − a)
(m + ε)(x − a). Durch Addition von f (a) folgt, daÿ T (x) zwischen L1 (x) und
L2 (x) liegt. Für x nahe bei a ist aber f (x) näher an T (x) als L1 (x) und L2 (x).
Also liegt insbesondere f (x) zwischen L1 (x) und L2 (x).
Nun liegt
und
Seite 75
Mathematik für Geowissenschaftler
Wir setzen:
(
ω(x) :=
Also ist
f (x) = f (a) + ω(x)(x − a)
f (x)−f (a)
x−a
für
m
für
für alle
Dann gilt nach Abzug der Tangenten :
und
−ε(x − a).
x 6= a
x=a
x 6= a.
(ω(x) − m)(x − a) liegt zwischen ε(x − a)
x − a 6= 0: |ω(x) − m| < ε.
Und schlieÿlich nach Division durch
⇒ i)” Sei f (x) = f (a) + ω(x)(x − a), mit ω stetig in a. Wir müssen
T (x) = f (a) + ω(a)(x − a) ist Tangente. Sei K(x) := f (a) + r(x − a).
ii)
zeigen:
Es gilt:
|f (x) − T (x)| = |ω(x) − ω(a)| · |x − a|
Da
ω
in
a
|ω(x) − ω(a)| < 21 |ω(a) − r|
|x − a| < 1:
stetig ist, gilt
Speziell also für
|f (x) − T (x)| <
für
x
genügend nahe bei
a.
1
1
|ω(a) − r| · |x − a| = |T (x) − K(x)|
2
2
Nach obigem Lemma gilt:
|f (x) − T (x)| ≤ |f (x) − K(x)|
Beispiel: Es sei f (x) ein Polynom und
f (x) = b0 +
n
X
k=1
f (a) + (
n
X
k=1
bk (x − a)k =
bk (x − a)k−1 )(x − a)
a. Wir wollen nun einsehen, daÿ die Gerade
T (x) = b0 +b1 (x−a), die wir bei Polynomen als Tangente deniert
in
Pn hatten, auchk−1
unserem neuen Sinne Tangente ist. Es ist oensichtlich ω(x) =
k=1 bk (x − a)
stetig (siehe Ergänzungen) mit ω(a) = b1 .
seine Taylorentwicklung im Punkt
Beispiel: Die Ableitung von f (x) = x1
Es ist für
a, x > 0
1
1
1
1
1
1
= −
(x − a) = − 2 (x − a) + 2 (x − a)2
x
a ax
a a
a x
1
a2 x (x − a) . Dann ist
1
tionen wieder stetig und es gilt ω(a) = − 2 .
a
Wir setzen
ω(x) := − a12 +
Seite 76
ω als Kompositum stetiger Funk-
Mathematik für Geowissenschaftler
Also gilt für
x 6= 0:
0
1
1
=− 2
x
x
Satz: Ist f in a dierenzierbar, so ist f in a stetig.
Grund: Es ist f (x) = f (a) + ω(x)(x − a) und ω ist in a stetig. Dann ist f (x) als
Summe und Produkt stetiger Funktionen ebenfalls in
a
stetig.
Ableitungen von Flächenfunktionen
Wir haben schon gesehen, daÿ eine auf einem abgeschlossenen Intervall
streng monotone Funktion
f
F hat, wenn auf diesem Intervall
(y − x)f (x) und (y − x)f (y).
chenfunktion
zwischen
I = [c, d]
eine eindeutige (bis auf additive Konstanten) Fläfür alle
x, y
gilt:
F (y) − F (x)
liegt
a ∈ I fest und x ∈ I , mit x > a. Dann gilt: F (x) − F (a) liegt zwischen
(a)
zwischen f (a) und f (x).
(x − a)f (a) und (x − a)f (x). Für x 6= a liegt F (x)−F
x−a
Sei
Ist
f
nun stetig in
a,
so gilt:
(
ω(x) =
ist stetig in
a.
Denn: Wegen
F (x)−F (a)
x−a
für
f (a)
für
f (x) <
F (x)−f (a)
x−a
x 6= a
x=a
< f (a)
wird
|f (x) − f (a)|
für
x
F (x)−F (a)
−
nahe bei a beliebig klein. Also wird wegen f (x) − f (a) <
x−a
ω(x) − f (a) < 0, also 0 < |ω − f (a)| < |f (x) − f (a)| der Ausdruck |ω(x)
beliebig klein und ist wegen der Archimedizität von
R
gleich
0.
Der
f (a) =
− f (a)|
Fall x < a
verläuft analog.
Wir haben also gezeigt:
Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung:
(a, b)
stetig und ist
F (x)
eine Flächenfunktion von
f
auf
Ist
[a, b],
f : [a, b] → R
auf
so gilt :
F 0 (x) = f (x)
oder
ˆ
a
x
0
0
f (t)dt = [F (x) − F (a)] = f (x)
Kurz gesagt: Flächenfunktionen sind Stammfunktionen.
Beispiel: Wir hatten früher den Logarithmus als Flächenfunktion von
ˆ
deniert:
x
ln(x) =
1
Seite 77
1
dt
t
1
x
=: f (x)
Mathematik für Geowissenschaftler
Wir behaupten nun
|x| >
f (x)
ist stetig in
a
2 . Dann ist
a 6= 0:
Sei
|1/x − 1/a| = |x − a|/|a||x| <
und die rechte Seite wird nahe bei
a
a ∈ R > 0
und
x ∈ R>0
mit
2
|x − a|
a2
beliebig klein. Oder kürzer:
f (x)
ist als
Quotient stetiger Funktionen stetig (siehe Ergänzungen).
Folgerung: Für x > 0 ist
ln(x)0 =
Bemerkung: Die Rechenregeln
1
x
für die Ableitungen, die wir bei Polynomen ge-
sehen haben gelten sinngemäÿ weiter für dierenzierbare Funktionen: Sind
I → R Funktionen, deniert
a ∈ I , so gilt: f ± g und c · f ,
auf dem oenen Intervall
sind dierenzierbar in
I
f, g :
und dierenzierbar in
a
und es gilt:
(c · f )0 (a) = c · f 0 (a)
(f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a)
(f · g)0 (a) = f 0 (a)g(a) + f (a)g 0 (a)
Grund: Exemplarisch für die Produktregel: Es ist
f (x) = f (a) + ω(x)(x − a)
und
g(x) = g(a) + δ(x)(x − a)
mit in
a
stetigen Funktionen
ω
und
δ und
mit
ω(a) = f 0 (a)
und
δ(a) = g 0 (a).
Dann gilt:
f (x) · g(x) =
f (a)g(a) + (f (a)δ(x) + ω(x)g(a) + ω(x)δ(x)(x − a))(x − a)
Also ist
f (x) · g(x) = f (a)g(a) + κ(x)(x − a)
mit
κ(x) := f (a)δ(x) + ω(x)g(a) + ω(x)δ(x)(x − a), welches als Kompositum
a ist und κ(a) = f (a)g 0 (a) + f 0 (a)g(a).
stetigen Funktionen stetig in
Seite 78
von
Mathematik für Geowissenschaftler
Satz (Kettenregel): Sei g in a ∈ I1
zierbar (I1,2 oene Intervalle,
und
dierenzierbar und
g(I1 ) ⊂ g(I2 )),
so gilt
f ◦g
f
in
g(a) ∈ I2 dierena dierenzierbar
ist in
(f ◦ g)0 (a) = f 0 (g(a)) · g 0 (a)
Grund: Da g in a dierenzierbar ist, gibt es ϕ, mit
g(x) − g(a) = ϕ(x)(x − a)
und
Sei
ϕ(a) = g 0 (a).
b := g(a).
Dann ist
f (x) − f (b) = ψ(x)(x − b)
und
ψ(b) = f 0 (b) = f 0 (g(a)).
Daher gilt:
f (g(x)) − f (g(a)) = ψ(g(x))(g(x) − g(a)) =
ψ(g(x))ϕ(x)(x − a)
Dabei ist
Stelle
a
ψ(g(x))ϕ(x) stetig
f 0 (g(a))g 0 (a).
für
x=a
(siehe Ergänzungen) und der Wert an der
ist
Anwendung: Ist f
eine Funktion mit Umkehrfunktion
f −1 ,
so folgt mit der Ket-
tenregel aus
f (f −1 (x)) = x
die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion:
f 0 (f −1 (x)) · (f −1 )0 (x) = 1
Also
(f −1 )0 (x) =
Also ist die Funktion
ex
1
f 0 (f −1 (x))
ihre eigene Stammfunktion.
Anwendung: Quotientenregel: Ist f (x) in a dierenzierbar und f (a) 6= 0, so folgt
mit der Kettenregel
0
1
1
(a) = −
· f 0 (a)
f
f (a)2
Mit Hilfe der Produktregel erhalten wir
0
0
0
1
1
f
0
(a) = f ·
(a) = f (a)g(a) + f (a)
(a) =
g
g
g
Seite 79
Mathematik für Geowissenschaftler
f 0 (a)
0
g (a)
1
=
+ f (a) −
g(a)
g(a)2
f 0 (a)g(a) − f (a)g 0 (a)
g(a)2
Beispiel: Zu f (x) = ln(x) ist f −1 (x) = ex die Umkehrfunktion. Daher gilt:
(ex )0 =
1
1
ex
= ex
Seite 80
Mathematik für Geowissenschaftler
1.11 Jenseits der Polynome
1.11.1 Grundlegende Eigenschaften
Bemerkung: Wir hatten gesehen, daÿ Flächenfunktionen von streng monotonen
Funktionen ohne Sprungstellen Stammfunktionen sind. In diesem Abschnitt wollen
wir uns mit der Umkehrung beschäftigen.
Erinnerung: i) Für ε > 0 gilt: |x − a| < ε
2)
f : [a, b] → R
⇔ x ∈ (a − ε, a + ε)
ist ohne Sprungpunkt, wenn es zu jedem
ε>0
ein
δ>0
gibt, so
daÿ gilt:
|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)|
Bemerkung: Ist f : [a, b] → R ohne Sprungpunkte (oSP), so ist f
stetig in jedem
c ∈ [a, b]
Grund: Sei c ∈ [a, b] dann gibt es zu jedem > 0 ein δ > 0, mit |a − x| < δ ⇒
|f (x) − f (a)| < . Das ist aber die Denition der Stetigkeit im Punkt c.
Lemma: Ist f
ist auch
: [a, b] → R ↑,oSP . Dann gilt:
f (c1 ) > 0 für c1 ∈ [a, b] nahe bei c
Grund: Wir wählen ε =
x ∈ (c − δ, c + δ),
f (c)
2 . Dann gibt es
Ist
f (c) > 0
δ > 0,
mit
also
0 < f (c) −
Zwischenwertsatz:
Sei
für ein
c ∈ [a, b]
|f (x) − f (c)| <
dann
f (c)
2 für
f (c)
f (c)
=
< f (x)
2
2
f : [a, b] → [f (a), f (b)] eine streng monoton steigende
u ∈ [f (a), f (b)] ein x0 ∈ [a, b], mit
f (a) < u < f (b), so gibt es ein x0 , mit a < x0 < b und
Funktion ohne Sprungstellen. Dann gibt es zu
f (x0 ) = u.
f (x0 ) = u.
Genauer: Ist
Grund: 1.) Ist u = f (a), f (b) so ist x0 = a, b.
2) Sei
u ∈ (f (a), f (b)),
Wir betrachten
S := {x ∈ [a, b] | f (x) ≤ u}
Die Menge ist nicht leer, da
Wert von
f ).
a ∈ S
(Wegen der Monotonie ist
Auÿerdem ist die Menge durch
b
Also existiert nach dem Supremumsaxiom
c := sup S
Wir behaupten
f (c) = u.
Seite 81
f (a)
nach oben beschränkt.
der kleinste
Mathematik für Geowissenschaftler
Wäre nämlich
f (c) < u, so gälte u − f (c) > 0.
ε > 0:
f
Da
keine Sprungstellen hat, gilt
aber für ein beliebiges
|f (x) − f (c)| < ε
für
x
nahe bei
c.
Speziell also für
ε = u − f (c):
|f (x) − f (c)| < u − f (c)
Dies bedeutet aber:
(f (x) − (u − f (x)) <)f (x) < u − f (c) + f (c) = u
für
von
x nahe
S ist.
bei und rechts von
Wäre andererseits
f (c) > u,
c.
Das bedeutet aber, daÿ
c
keine obere Schranke
so gälte
|f (x) − f (c)| < f (c) − u
für
x
nahe bei (und links von)
c.
Dies bedeutet:
f (c) − (f (c) − u) = u < f (x)
Speziell gibt es also ein
c1 ,
mit
c1 < c
und für alle
x∈S
gilt:
f (x) ≤ u < f (c1 )
Wegen der Monotonie ist
c1
obere Schranke von
S
mit
c1 < c,
womit
c
nicht die
kleinste obere Schranke wäre.
Die Ergänzung folgt, da das Minimum
f (b)
nur an der Stelle
Satz:
b
f (a) nur an der Stelle a und das Maximum
angenommen wird.
f : [a, b] → R streng monoton und stetig. Ist F : [a, b] → R eine
f (d.h. F 0 = f auf (a, b) und ist F stetig in a und b , so ist F
Flächenfunktion für f .
Sei
Stammfunktion von
eine
Grund: Wir müssen zeigen: Für alle a ≤ x < y ≤ b gilt:
(y − x)f (x) < F (y) − F (x) < (y − x)f (y)
oder äquivalent dazu:
f (x) <
F (y) − F (x)
< f (y)
y−x
Seite 82
Mathematik für Geowissenschaftler
f aber keine Sprungstellen hat,
f (y) angenommen, insbesondere der
Da nun
wir jeder beliebige Wert zwischen
und
Wert
f (x)
F (y) − F (x)
= f (c)
y−x
für ein
c
mit
x < c < y.
Wegen der Monotonie von
f
gilt aber
f (x) < f (c) < f (y)
und damit also
f (x) <
F (y) − F (x)
< f (y)
y−x
Damit folgt für diese Funktionen der Haupsatz der Dierential- und Integralrechnung:
Satz:Ist F
f
eine Stammfunktion von
ˆ
auf
[a, b],
dann gilt
b
f (x)dx = F (b) − F (a)
a
Grund: Für Flächenfunktionen hatten wir das bereits gesehen. Nun sind aber in
der hiesigen Situation Stammfunktionen auch Flächenfunktionen.
Auÿerdem zeigt die obige Überlegung den Mittelwertsatz der Integralrechnung:
Satz: Ist a < b, so gilt
ˆ
b
a
für ein
c,
mit
f (x)dx = f (c)(b − a)
a < c < b.
(a)
Grund: Es ist f (c) = F (b)−F
b−a
ˆ
a
für ein
c ∈ (a, b).
Also ist
b
f (x)dx = F (b) − F (a) =
F (b) − F (a)
(b − a) = f (c)(b − a)
b−a
Hieraus wiederum erhalten wir den Mittelwertsatz der Dierentialrechnung:
Satz:Ist f
dierenzierbar, so ist
f
f (b) − f (a) =
für ein
c,
mit
eine Stammfunktion vom
ˆ
f0
und wir haben
b
a
f 0 (x)dx = f 0 (c)(b − a)
a < c < b.
bf Bemerkung: Da das Bilden der Stammfunktion die Umkehrung der Ableitung
ist, gelten auch weiterhin die Rechenregeln für Integrale, die sich ja aus den Rechenregeln für Ableitungen herleiten.
Seite 83
Mathematik für Geowissenschaftler
1.11.2 Die Ableitungen und Stammfunktionen der
trigonometrischen Funktionen
Erinnerung:
Ist
F
die Fläche des Kreissektors
(D, 0, A)
so ist der Winkel
α
deniert als:
α=2·F
Daher gilt wegen der Flächenformel für Dreiecke:
1
1
1
sin(α) cos(α) + (1 − cos(α)) sin(α) < F < tan(α)
2
2
2
und daher
sin(α) < α < tan(α)
Seite 84
Mathematik für Geowissenschaftler
Bemerkung: Der Kosinus ist im Intervall [0, π2 ] streng monoton fallend, da ein
(D, 0, A)
Punkt, der eine gröÿere Fläche als den Kreissektor
A
Einheitskreis links (und oberhalb) des Punktes
Bild des Kosinus das gesamte Intervall
√
(x, 1 − x2 ) auf dem Einheitskreis
[0, π2 ] keine Sprungstellen.
[0, 1],
einschlieÿt, auf dem
liegen muÿ. Auÿerdem ist das
da zu jedem
x ∈ [0, 1]
der Punkt
liegt. Insbesondere hat also der Kosinus auf
Erinnerung (Die Additionstheoreme):
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y)
Aus dem ersten Additionstheorem erhalten wir mit
−y
y:
statt
sin(x − y) = sin(x) cos(y) − cos(x) sin(y)
Subtraktion der beiden Gleichungen liefert:
sin(x + y) − sin(x − y) = 2 cos(x) sin(y)
a := x + y, b := x − y (also x = a+b
2 , y =
a−b
a+b
sin
sin(a) − sin(b) = 2 cos
2
2
Daraus ergibt sich mit
a−b
2 ):
Bemerkung: Auf analoge Weise erhält man
cos(a) + cos(b) = 2 cos
Wählen wir nun
x
und
y
im Intervall
[0, π2 ]
a+b
2
mit
cos
x<y
a−b
2
und
h := y − x > 0,
so ist
sin(y) − sin(x) = sin(x + h) − sin(x) =
2x + h
h
h
h
2 cos
sin
= 2 cos x +
sin
2
2
2
2
Da der Kosinus im Intervall
cos(x),
[0, π2 ]
cos x +
sin h2 < h2 .
streng monoton fallend ist , gilt
und die Abschätzung am Anfang des Kapitels ergibt
Insgesamt haben wir also:
sin(x + h) − sin(x) < cos(x)(y − x)
Umgekehrt folgt aus
x < tan(x) =
sin(x)
cos(x) wegen
cos(x) > 0
x cos(x) < sin(x)
Seite 85
auf
[0, π2 ):
h
2
<
Mathematik für Geowissenschaftler
und damit:
2 sin
h
h
h
h
> 2 · cos
= h · cos
2
2
2
2
Schlieÿlich haben wir:
h
2 cos x +
2
h
h
h
sin
> h · cos
· cos x +
=
2
2
2
h·
h·
1
· [cos(x + h) + cos(x)] >
2
1
· [2 · cos(x + h)] = (y − x) cos(y)
2
Dabei folgt die letzte Ungleichung aus der Monotonie des Kosinus:
cos(x) > cos(x+
h).
Insgesamt haben wir also:
(y − x) · cos(y) < sin(y) − sin(x) < (y − x) · cos(x)
Also ist
sin(x)
die Flächenfunktion von
cos(x).
Da, wie wir gesehen haben für
stetige Funktionen Stammfunktionen und Flächenfunktionen identische Begrie
sind, gilt:
sin(x)0 = cos(x)
auf
(0, π2 )
Hiermit erhalten wir aus der Beziehung
cos(x)2 + sin(x)2 = 1
mit Hilfe der Produktregel:
2 · cos(x) · cos(x)0 + 2 · sin(x) · cos(x) = 0
und die Ableitung des Kosinus (für
cos(x) 6= 0,
also
x 6=
π
2 ) als
cos(x)0 = − sin(x)
Bemerkung: Wir werden im nächsten Abschnitt sehen, daÿ die Gleichung auch
für
x = 0, π2
gilt.
Seite 86
Mathematik für Geowissenschaftler
1.11.3 Potenzreihenentwicklungen von Funktionen
Motivation:
P
n
k=1
f 0 (x) =
Pn
k
f (x) =
und wegen
k=0 ak x gilt f (0) = a0 P
n
0
(j)
ist f (0) = 1·a1 und allgemein liefert f
(x) = k=j k(k−
Für ein Polynom
kak xk−1
1) · . . . · (k − j + 1)ak xk−j ,
Pn f (k) (0) k
k=0
k! x .
daÿ
f (j) (0) = j!aj
oder
ak =
f (k) (0)
k! . Also ist
f (x) =
In diesem Abschnitt stellen wir uns der Frage, ob etwas ähnliches auch für beliebige
Funktionen durchführbar ist.
Denition: Ein Ausdruck der Form
∞
X
ak xk
k=0
heiÿt McLaurin Reihe oder Potenzreihe.
Wir wollen untersuchen inwieweit sich von uns bisher untersuchten Funktionen als
Potenzreihe darstellen lassen.
1
Beispiel: Sei f (x) = 1−x
für
x 6= 1.
Dann ist
x
1
−1=
=x
1−x
1−x
Also ist:
1
=1+x
1−x
1
1−x
1
1−x
1
=1+x 1+x
1−x
1
1 + x + x2
1−x
Allgemein gilt also für beliebiges
=
n ∈ N0 :
n−1
X
1
1
=
xk + xn
1−x
1−x
k=0
Man könnte nun versucht sein anzunehmen, daÿ
∞
X
1
=
xk
1−x
k=0
P∞
k
k=0 2 ist sicherlich
kein endlicher Wert. Man muÿ sich also noch überzeugen, daÿ der Fehler
für alle
x∈R
gilt. Aber z.B. für
x=2
gilt
f (x) = −1
n−1
Rn (x) :=
und
X
xn
1
−
xk =
1−x
1−x
k=0
Seite 87
Mathematik für Geowissenschaftler
n beliebig klein wird. In unserem Beispiel wird
|x|n
|Rn (x)| = 1−x
beliebig klein. Wir haben also insgesamt:
für genügend groÿe
Ausdruck
für
|x| < 1
der
∞
X
1
=
xk
1−x
für
k=0
Beispiel: Es ist
|x| < 1
k
∞ X
1
10
1
=
=
1.1̄ =
10
1 − 10
9
k=0
Beispiel: ln Aus
n−1
X
1
tn
=
tk +
1−t
1−t
k=0
folgt:
ˆ
ln(1 − x) =
x
1
1
dt =
1−t
n−1
X
=
k=0
x
1
tn
dt ≤
1−t
ˆ
x
1
Wie im obigen Beispiel wird
|x| < 1
ist. Analoges gilt für
x n−1
X
1
tn
für
xn
dt = xn
1−t
|xn · ln(x)|
0 < x < 1.
ˆ
x
1
t≥1
ˆ x
1
1
x
tn
dt
1−t
tn
dt
1−t
gilt
1
dt = xn · ln(1 − x)
1−t
beliebig klein für genügend groÿe
Das ergibt insgesamt:
∞
X
xk
ln(1 − x) =
ˆ
tk dt +
k=0
xk+1 + 1
+
k+1
Wegen der strengen Monotonie von
ˆ
ˆ
k=1
k
für
|x| < 1
Beispiel: e-Funktion: Sei x ∈ R6=0 fest.
Wir betrachten
ˆ
1
tn e−xt dt
En :=
0
Partielle Integration liefert für
ˆ
1
n −xt
t e
0
n>0
dt =
1
−tn e−xt |10
x
Seite 88
n
+
x
ˆ
1
tn−1 e−xt dt
0
n,
wenn
Mathematik für Geowissenschaftler
also
En = −e−x
1 n
+ En−1
x x
bzw.
xEn = −e−x + nEn−1
oder
xn ex En−1
xn
xn+1 ex En
=
+
(n − 1)!
n!
n!
Direkte Integration von
E0 =
´1
0
e−xt dt
liefert
− x1 e−xt |10 = − x1 e−x +
1
x . also;
xex E0 + 1 = ex
Wir erhalten insgesamt
ex = 1 +
x1 ex E1−1
x1
x2 ex E2
=1+
+
(1 − 1)!
1!
2!
Setzt man das fort, so erhalten wir
ex =
n
X
xk
k=0
Wir denieren
Rn :=
k!
+
xn+1 ex En
n!
xn+1 ex En
.
n!
tn e−xt auf dem Intervall [0, 1] beschränkt: Für x > 0 ist
t´n ↑ und e−xt ↓, also ist tn durch 1 begrenzt, e−xt durch e. Für positive x gilt also
1 n −xt
t e dt ≤ e. Ist x < 0, so ist e−xt streng monoton steigend und somit durch
0
−x
e begrenzt. Halten wir nun x fest und lassen n gegen unendlich gehen, so sehen
wir, daÿ
n
x X xk e −
<ε
k! Sicher sind die Funktion
k=0
für jedes
>0
und genügend groÿes
Fazit:
ex =
∞
X
xk
k=0
denn für
n.
k!
für alle
x∈R
x = 0 ist diese Gleichung mit der Konvention 00 = 1 trivialerweise richtig.
Spezialfall:
e = e1 =
∞
X
1
= 2.718281828459 . . .
k!
k=0
Seite 89
Mathematik für Geowissenschaftler
Taylorentwiclung von sin und cos: Sei zunächst einmal x 6= 0.
Wir betrachten
ˆ
ˆ
1
n
Sn =
0
(1 − t) cos(xt)dt
Partielle Integration liefert für
Sn = (1 − t)n
xSn = nCn−1 .
sin(x) = xS0 .
also
analog erhält man
und
Cn =
0
n ≥ 1:
1
n
sin(xt)|10 +
x
x
ˆ
xCn = 1 − nSn−1
und
xSn = nCn−1 =
(1 − t)n sin(xt)dt
1
0
Direkte Integration liefert
beiden Formeln, so erhalten wir:
1
(1 − t)n−1 sin(xt)dt
S0 =
1
x
sin(xt)|10 =
cos(x) = 1 − xC0 .
1
x
sin(x),
Kombinieren wir diese
1
[n − n(n − 1)Sn−2 ] ⇒
x
x2 Sn = n − n(n − 1)Sn−2
und
xCn = 1 − nSn−1 = 1 − n ·
1
· (n − 1)Cn−2 ⇒
x
x2 Cn = x − n(n − 1)Cn−2
Diese beiden Gleichungen können auf die folgende Formen gebracht werden:
xn−1 Sn−2
xn−1
xn+1 Sn
=
−
(n − 2)!
(n − 1)!
n!
und
xn
xn+1 Cn
xn−1 Cn−2
=
−
(n − 2)!
n!
n!
Damit erhalten wir:
sin(x) = xS0 =
x2−1 S2−2
x3
= x − S3
(2 − 2)!
3!
setzt man das fort, so erhält man
sin(x) =
x
x3
x5
x7
−
+
−
+ ...
1!
3!
5!
7!
Seite 90
also
Mathematik für Geowissenschaftler
+(−1)n−1
x2n−1
x2n+1
+ (−1)n+1
S2n+1
(2n − 1)!
(2n + 1)!
Wir betrachten den Betrag des Fehlers
´1
2n+1
2n+1
x
R2n−1 (x) := (−1)n+1 (2n+1)!
S2n+1 :
Da
2n+1
S2n+1 = 0 (1−t)
cos(xt)dt und (1−t)
und cos(xt) beide auf dem Intervall
[0, 1] nach oben durch 1 (und nach unten durch 0und -1) beschränkt sind, gilt
|x|2n+1
|S2n+1 | beliebig klein für genügend groÿes n.
|S2n+1 | < 1. Ist x ∈ R, so wir (2n+1)!
Also gilt:
sin(x) =
∞
X
(−1)k
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
für alle
Diese Gleichung gilt aber oensichtlich auch für
x ∈ R6=0
x = 0.
Analog erhält man für den Kosinus:
cos(x) =
∞
X
(−1)k
k=0
x2k
(2k)!
für alle
x∈R
Bemerkung: Oensichtlich ist die Tangente an den Sinus in 0 : 0 + 1(x − 0), der
1. Weiter ist wegen cos π2 + x
π
de Kosinus im Punkt
2 die Steigung −1. Analog sieht man, daÿ
des Kosinus in 0 ist.
Sinus hat also in
0
die Ableitung
= − sin(x) hat
0 die Steigung
Man kann nun leicht überprüfen, daÿ für alle in diesem Kapitel behandelten Funktionen gilt:
f (x) =
∞
X
f (k) (0)
k=0
k!
xk
0
1
−1
f (x) = 1−x
tun. Es ist (1 − x)
=
0
2
−2
−3
(1 − x)
= −2(1 − x) (−1) = (1−x)3 und
Wir wollen das hier nur exemplarisch für
−(1 − x)−2 · (−1) =
allgemein
f (k) (x) =
1
(1−x)2 und
k!
. Damit ist also
(1−x)k
f (k) (0) = k!,
hauptung.
Seite 91
also ergibt sich die Be-
Mathematik für Geowissenschaftler
1.11.4 Formale Potenzreihen und Konvergenz
Erinnerung: Ein Ausdruck der Form
∞
X
ak xk
∞
X
oder
k=0
k=0
ak (x − a)k
ak ∈ R heiÿt formale Potenzreihe oder unendlich langes Polynom.
P∞
P∞
k
k
Seien a =
k=0 ak x und b =
k=0 bk x zwei Potenzreihen. Wir denieren
mit
a = b :⇔ ak = bk
∞
X
a + b :=
für alle
k ∈ N0
(ak + bk )xk
k=0
und
a · b :=
∞
X
ck x k
mit
ck :=
k
X
aj bk−j
j=0
k=0
sowie
λa :=
∞
X
λak xk
k=0
Wir rechnen also mit Potenzreihen im wesentlichen wie gewohnt.
Bemerkung: Trotz des zuletzt gesagten können wir aber in eine formale Potenzreihe nicht mehr beliebig Einsetzen und erwarten, daÿ ein eindeutiger (endlicher)
Wert geliefert wird.
Denition:1) Eine Potenzreihe
falls
P∞
k=0
∞
X
k=0
ak xk
heiÿt absolut konvergent in
x0 ∈ R ,
|ak x0 |k < ∞
x0 absolut konvergent, so existiert der Grenzwert
S := {|a0 |, |a0 | + |a1 x0 |, |a0 | + |a1 x0 | + |a2 x20 |, . . .} ist dann
2) Ist die obige Potenzreihe in
der Reihe: Die Menge
nach oben beschränkt und das Supremum
∞
X
k=0
|ak x0 |k := sup S
existiert.
Bemerkung: Leider werden eine Potenzreihe und ihr Grenzwert mit demselben
Symbol bezeichnet. Daher muÿ dem Kontext entnommen werden, welche der beiden Bedeutungen jeweils gemeint ist.
Seite 92
Mathematik für Geowissenschaftler
Beispiele: 1) Die geometrische Reihe ausgewertet an der Stelle x0 = 101 ist absolut
konvergent
k
∞ X
1
= 1.111 . . . < ∞
10
k=0
Es ist
k
∞ X
1
1
10
=
=
1
10
9
1 − 10
k=0
2) Die geometrische Reihe
P∞
k=0
xk ist
P∞
absolut konvergent für
Bemerkung: Ist die Potenzreihe
|x| < 1.
k
konvergent, so läÿt sich
k=0 ak x in x absolut
P∞
k
der Potenzreihe ein eindeutiger Wert zuordnen: Ist L :=
k=0 |ak x |, so ist, wegen
P∞
k
k
k
0 ≤ ak x + |ak x | ≤ 2|ak x |, 0 ≤ k=0 ak + |ak | ≤ 2L. Daher ist
∞
X
ak xk :=
k=0
∞
X
k=0
ak xk + |ak xk | −
∞
X
k=0
|ak xk |
Dabei sind die beiden Potenzreihen auf der rechten Seite absolut konvergent.
Bemerkung: Wir hatten bei Polynomen festgestellt, daÿ f (X) =
f (k) (a)
k=0
k! (x−
a)k (Taylorentwicklung) gilt. Ist nun nun f eine beliebige Funktion, die unendlich
P∞ f (k) (a)
k
oft dierenzierbar ist, so kann man den Ausdruck
k=0
k! (x − a) bilden. Die
P∞ f (k) (a)
k
Honung ist nun, daÿ f (x) =
k=0
k! (x − a) gilt. Dies kann allerdings so
nicht allgemein richtig sein, wie das obige Beispiel der geometrischen Reihe zeigt:
P∞ k
1
Für |x| > 1 ist
k=0 x .
1−x 6=
Haupsatz über formale Potenzreihen:
R, a + R), R ∈ [0, ∞]
∞
X
k=0
mit:
ak (x − a)k
Zu
a ∈ R
konvergiert absolut für alle
Pn
gibt es ein Intervall
(a −
x ∈ (a − R, a + R)
Über das Verhalten in den Randpunkten kann keine allgemeine Aussage gemacht
werden.
Wir begründen das hier nur für zwei wichtige Spezialfälle
Quotientenkriterium: Ist für alle k ∈ N0
dann ist die Potenzreihe in dem Intervall
Grund: Es sei die Potenzreihe
und ein
0 ≤ q < 1,
∞
X
k=0
so gilt;
(a
P∞
|ak |
|ak−1 |
− 1q , a
< q für ein q , mit 0 ≤ q < 1,
+ 1q ) absolut konvergent.
ak xk gegeben.
|ak | ≤ q |a0 |. Damit gilt:
|ak (x − a)k | ≤
∞
X
k=0
k=0
k
Ist
|a0 |q k |(x − a)k | = a0
Seite 93
|ak | ≤ q|ak−1 |
∞
X
k=0
|q · (x − a)|k
für alle
k
Mathematik für Geowissenschaftler
Die rechte Seite ist
(a −
1
q,a
+
1
a0 1−|q·(x−a)|
für
1
q ).
|q(x − a)| < 1
Bemerkung: Es genügt, daÿ die Bedingung
ist für
|ak |
|ak−1 |
bzw.
<q
für alle
b0 := an0 , . . . , bk := an0 +k
∞
X
k=0
|ak (x − a)k | =
nX
0 −1
|ak (x − a)k | + |x − a|n0
k=0
Dann gilt also die obige Abschätzung für die Potenzreihe
|ak |
sogar
|ak−1 | < ε für jedes beliebige ε > 0 ab einem
radius ∞, also das Konvergenzintervall R.
Wurzelkriterium: Ist
in dem Intervall
Grund: Es gilt:
∞
X
k=0
1
q , also
k ≥ n0
x ∈
gilt. Dann
|bk (x − a)|k
P∞
k=0
|bk (x − a)n0 |. Wird
nε ∈ N0 , so ist der Konvergenz-
p
k
|ak | < q für ein q , mit 0 ≤ q < 1, dann ist die Potenzreihe
(a − 1q , a + 1q ) absolut konvergent.
∞
X
k=0
für
|x − a| <
|q(x − a)| < 1,
|ak (x − a)k | ≤
also
∞
X
k=0
|q(x − a)|k =
1
1 − |q · (x − a)|
1
q.
|x − a| <
Bemerkung: Es gilt sinngemäÿ die gleiche Bemerkung, wie die im Anschluÿ an
das Quotientenkriterium.
Bemerkung: 1) Achtung: Der Konvergenzradius R kann 0 sein. Pech gehabt.
2) Selbst wenn die Potenzreihe im Hauptsatz absolut konvergiert, muÿ kein Zusammenhang zur Funktion bestehen.
Satz: Eine Potenzreihe ist in jedem Punkt, in dem sie absolut konvergiert, dierenzierbar. Das Konvergenzintervall der abgeleiteten Potenzreihe ist identisch mit
dem Intervall der Potenzreihe.
Grund: Sei f (x) :=
f (x) =
P∞
∞
X
k=0
=
∞
X
k=0
k
ak a +
k=0
a k xk .
ak ((x − a) + a)k =
∞
X
∞
X
ak
k=0
!
k−1
kak a
k=0
(x − a) +
k X
k
(x − a)l ak−l
l
l=0
∞ X
k X
k
(x − a)l ak−l
l
k=0 l=2
P∞
k−1
f (a) +
(x − a), also f 0 (a) =
k=0 kak a
k−1
. Ist nun |ak | < q|ak−1 |, so gilt mit dem Quotientenkriterium für die
k=0 kak a
Wie bei Polynomen ist die Tangente
P∞
Seite 94
Mathematik für Geowissenschaftler
Reihe
letzte
k−1
P∞
k|ak ||x−a|
k|ak ||x−a|
k
< q|x − a| k−1
.
kak (x − a)k−1 : (k−1)|a
k−2 = (k−1)|a
k−1 |
k−1 ||x−a|
1
Ausdruck wird < 1 für alle k , genau dann wenn |x − a| < .
q
k=0
Der
Bemerkung: Formal gibt es also zu jedem Punkt eine Tangente, allerdings macht
es wenig Sinn von der Steigung einer Funktion zu sprechen, die an dieser Stelle
gar nicht deniert ist.
Folgerung: Sei f (x) =
P∞
k=0
ak xk
für
G(x) :=
|x| < r.
Wir denieren
∞
X
ak k+1
x
k+1
k=0
Dann hat
G(x)
f (x) und G ist
G0 (x) = f (x) für |x| < r.
dasselbe Konvergenzintervall wie
vall eine Stammfunktion von
Grund: G hat irgendein
Konvergenzintervall und
f,
also
auf diesem Inter-
Konvergenzintervall. Nach obigem Satz hat
f
dasselbe
G0 (x) = f (x).
Satz (Taylorentwicklung): Ist f : I ⊂ R → R eine unendlich oft dierenzierbare
und
a ∈ I,
so lautet die Potenzreihenentwicklung von
∞
X
f (k) (a)
f (x) =
k!
k=0
f
in
a:
(x − a)k
Grund:
Sei f (x) =
P
P∞
k
0
=
k=0 ak (x−a) für |x| < r . Dann ist f (a)
P=∞a0 . Es ist f (x)k−2
∞
k−1
0
00
für |x| < r , also f (a) = a1 und f (x) =
k=1 kak (x−a)
k=2 k(k −1)ak x
00
(k)
also f (a) = 2 · 1 · a2 und allgemein f
(a) = k!ak oder eben
ak =
f (k) (a)
k!
Beispiel: 1) Für die geometrische Reihe gilt:
∞
X
1
xk
=
1−x
für alle
x
mit
k=0
Wegen
1
ln(1 − x)0 = − 1−x
=
ln(1 − x) = −
P∞
k=0
∞
X
k=0
xk
|x| < 1
für
|x| < 1
gilt:
∞
X xk
1
xk+1 = −
k+1
k
k=1
bzw.
ln(1 + x) =
∞
X
(−1)k+1
k=1
Seite 95
xk
=
k
für
|x| < 1
Mathematik für Geowissenschaftler
x2
x3
x4
+
−
± ...
2
3
4
x−
2) Wegen
(ex )0 = ex
gilt für
ex =
3) Wegen
sin(x)
gilt mit
|x| < 1
a=0:
∞
X
e0
k=0
für
k!
∞
X
xk
(x − 0)k =
k=0
k!
für alle
x∈R
sin(x)0 = cos(x), sin(x)(2) = − sin(x), sin(x)(3) = − cos(x) und sin(x)(4) =
a=0:
sin(x) =
∞
X
sin(x)(k) (0)
k!
k=0
Genauso erhält man
cos(x) =
(x − 0)k =
∞
X
(−1)k
k=0
beides gilt für alle
∞
X
(−1)k
k=0
x2k+1
(2k + 1)!
x2k
(2k)!
x ∈ R.
4) Es ist
∞
X
1
1
=
=
(−x2 )k =
1 + x2
1 − (−x2 )
k=0
∞
X
(−1)k x2k
für
k=0
|x| < 1
sin(x)
1
1+x2 , denn tan(x) = cos(x) und mit der Quotientenregel
cos(x)2 +sin(x)2
= 1 + tan(x)2 . Mit der Formel für die Ableitung der
ist tan(x) =
cos(x)2
P∞
1
1
0
2 k
Umkehrfunktion ergibt sich: arctan(x) =
k=0 (−x ) =
1+x2 = 1−(−x2 ) =
P∞
k 2k
für |x| < 1. Termweise Integration liefert:
k=0 (−1) x
Nun ist
arctan(x)0 =
arctan(x) =
∞
X
k=0
5) Es ist
arctan(1) =
(−1)k
x2k+1
2k + 1
für
|x| < 1
π
4 also gilt:
∞
π X (−1)k
1 1 1
=
= 1 − + − ± ...
4
2k + 1
3 5 7
k=0
Seite 96
Mathematik für Geowissenschaftler
1.12 Anhang A: Eigenschaften von streng
monotonen Funktionen
Beispiele:
i) Sei
(0, 0).
m ∈ R.Der
Graph der Funktion
f : R → R, x 7→ m · x
m 6= 0.
ist eine Gerade durch
Die Funktion ist genau dann bijektiv, wenn
Grund: Ist x1 < x2 , so gilt f (x1 ) = m · x1 und f (x2 ) = m · x2 . Nun gilt aber für
m > 0 : x1 < x2 ⇒ m · x1 < m · x2 bzw. für m < 0 : x1 < x2 ⇒ m · x1 > m · x2 .
y
x
. Damit ist f (y) = m
x := m
m = x.
√
ii) Die Funktion f : R≥0 → R≥0 , x 7→
x ist streng monoton steigend:
√
√
√
√
0 ≤ x1 < x2 , so folgte aus x1 ≥ x2 ≥ 0 sofort x1 2 = x1 ≥ x2 2 = x2 .
Surjektivität: Ist
y ∈ R,
so denieren wir
Die Funktion ist surjektiv, da jedes Element von
iii) Die Funktion
bijektiv.
f : [0, 1] → [0, 1], x 7→
√
1 − x2
R≥0
Ist
eine Wurzel besitzt.
ist streng monoton fallend und
Satz: Ist f : I → I 0 eine streng monotone und bijektive Funktion, so existiert die
Umkehrabbildung
f −1 : I 0 → I, f −1 (y) = x ⇔ y = f (x)
und
f −1
ist wieder streng monoton und bijektiv.
Grund: Seien y1 , y2 ∈ I 0 , mit y1 < y2 . OE sei f
streng monoton steigend. Da f
x1 , x2 ∈ I , mit y1 = f (x1 ), y2 = f (x2 ). Wäre x1 ≥ x2 , so
−1
folgte mit der Monotonie von f : y1 = f (x1 ) ≥ f (x2 ) = y2 . Damit ist f
streng
monoton steigend und somit injektiv. Für x ∈ I betrachten wir y = f (x), also
x = f −1 (y), also ist f −1 surjektiv.
surjektiv ist, gibt es
Lemma: Ein streng monotone Funktion f : [a, b] → R ist beschränkt.
Grund: Für alle x ∈ [a, b] gilt a ≤ x ≤ b
Ist
K
ein angeordneter Körper und
⇒ f (a) ≤ f (x) ≤ f (b)
f : D → W,
mit
D, W ⊂ K,
Bemerkung: Ist K ein angeordneter Körper, und f
so heiÿt
: D → W , mit D, W ⊂ K,
x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (streng monoton
steigend) bzw. x1 < x2 ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) (streng monoton fallend). Eine streng
monotone Funktion ist injektiv (x1 < x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) in beiden Fällen). Die
so heiÿt
f
streng monoton, falls gilt:
Umkehrung gilt nicht.
Beispiel:
Seite 97
Mathematik für Geowissenschaftler
y
1
y
0, 5
1
x
0, 5
1
x
1
−0, 5
1, 5
−0, 5
−1
−1
bijektiv, nicht streng monoton
streng monoton (also injektiv), nicht surjektiv.
Bemerkung: Beide Beispiele oben haben einen Sprungpunkt, d.h., daÿ ein komplettes Intervall im Zielbereich fehlt. wir wollen daÿ präzisieren.
Denition: Sei f : [a,b] → R eine streng monotone Funktion. Dann hat f
keinen Sprungpunkt, falls es zu jedem
ε>0
ein
δ>0
in
[a, b]
gibt, so daÿ
|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < gilt. Diese Eigenschaft von
f
nennt man auch gleichmäÿige Stetigkeit.
Lemma: Gilt für zwei nicht leere Mengen S1 , S2 : jedes Element von S1 ist kleiner
als jedes Element von
S2 ,
so gilt:
sup S1 ≤ inf S2 .
Grund: Jedes Element von S2 ist obere Schranke von S1 und jedes Element von
S1
S2 . Das obige Supremum und Inmum existieren also.
sup S1 > inf S2 . Dann gibt es ein x0 , mit sup S1 > x0 > inf S2 . x0
ist also keine obere Schranke für S1 und keine untere Schranke für S2 . Also gibt
es Punkte x1 ∈ S1 und x2 ∈ S2 , mit: x1 > x0 und x2 < x0 , also x2 < x0 < x1 , was
ist untere Schranke von
Wir nehmen an:
aber nicht sein kann.
Folgerung: Eine streng monoton steigende Funktionf
punkte ist bijektiv.
: [a, b] → R
ohne Sprung-
Grund: Als streng monotone Funktion auf dem Intervall [a, b] ist f
nun ein
y ∈ [f (a), f (b)],
mit
y∈
/ Bild(f ).
injektiv. Sei
Wir betrachten nun die Mengen
Uy = {f (x)|f (x) < y}, Oy = {f (x)|f (x) > y} und Ux = {x|f (x) < y}, Ox =
{x|f (x) > y} . Sicher gilt für x1 ∈ Ux und x2 ∈ Ox : f (x1 ) < y < f (x2 ) woraus
wegen der strengen Monotonie x1 < x2 folgt. Weiter gilt Uy < Oy . Damit haben wir
sup Ux ≤ inf Ox . Wäre sup Ux < inf Ox , so gäbe es x0 , mit sup Ux < x0 < inf Ox .
Da f aber eine Funktion ist, muÿ f (x0 ) existieren. Für x0 gilt nun f (x0 ) < y oder
f (x0 ) > y , d.h. x0 ∈ Ux oder x0 ∈ Ux . Zwischen sup Ux und inf Ox liegen aber
keine Punkte von Ux oder Ox : Punkte aus Ux sind kleiner oder gleich sup Ux und
Punkte aus Ox sind gröÿer oder gleich inf Ox .
Fazit:
sup Ux = inf Ox =: x0
Seite 98
Mathematik für Geowissenschaftler
sup Uy ≤ f (x0 ) ≤ inf Oy (Wäre z.B. f (x0 ) < sup Uy , So wäre f (x0 )
Uy , es gäbe also f (x1 ) ∈ Uy , mit f (x1 ) ≥ f (x0 ), also
x1 ≥ x0 . Damit wäre also x1 ≥ inf Ox . Damit ist x1 keine untere Schranke für Ox
und es gibt x2 ∈ Ox , mit x2 < x1 . Daher ist f (x2 ) > y und f (x2 ) < f (x1 ) < y ,
Sicher ist
keine obere Schranke von
was nicht sein kann).
sup Uy = inf Oy = f (x0 ) = y, was wegen y ∈
/ Bildf nicht sein kann. Daher
sup Uy < inf Oy . Dann hat f aber in [a, b] einen Sprungpunkt. Also lautet die
Kontraposition: f ohne Sprungpunkte =⇒ f surjektiv.
Ist nun
ist
Seite 99
Mathematik für Geowissenschaftler
1.13 Anhang B: Eigenschaften von
Flächenfunktionen
Satz:
Sei f : [a, b] → R
x, y ∈ [a, b]:
f (x) ≥ 0.
streng monoton steigend und
Gilt für alle
(y − x)f (x) < F (y) − F (x) < (y − x)f (y)
und ist
F (a) = 0,
so ist
F
eindeutig bestimmt.
F
heiÿt dann Flächenfunktion von
f.
Grund: Wir betrachten den folgenden Fall:
Sei
f : [a, b] → R
streng monoton steigend und
f (x) ≥ 0
für alle
Lemma: a < c < b ∧ a < d < b ⇒ |c − d| < b − a
Grund: Nehmen wir an es gäbe eine eine weitere Funktion F̄
obige Ungleichungen erfüllt. Dann ist
Setze:
xk := a + k ·
Dann ist
xk − xk−1 =
c−a
n ,
F (c) 6= F̄ (c)
c−a
n
für
für ein
c
x0 = a, xn = c.
Die obigen Ungleichungen lauten:
(xk − xk−1 ) · f (xk−1 ) < F (xk ) − F (xk−1 ) <
(xk − xk−1 ) · f (xk )
Seite 100
F̄ (a) = 0,
a < c ≤ b.
mit
mit
k = 0, 1, . . . , n
x ∈ [a, b]
die
Mathematik für Geowissenschaftler
bzw.:
c−a
c−a
· f (xk−1 ) < F (xk ) − F (xk−1 ) <
· f (xk )
n
n
Summation über
k = 1, . . . , n
liefert:
n−1
n
X
c−a X
·
f (xk ) <
F (xk ) − F (xk−1 ) =
n
k=0
k=1
F (c) − F (a) <
n
c−a X
·
f (xk )
n
k=1
Genauso erhält man:
n−1
n
X
c−a X
·
f (xk ) <
F̄ (xk ) − F̄ (xk−1 ) =
n
k=0
k=1
F̄ (c) − F̄ (a) <
n
c−a X
·
f (xk )
n
k=1
Daher gilt nach obigem Lemma:
|F̄ (c) − F (c)| <
#
n
c−a
c−a X
·
f (xk ) − f (xk−1 ) =
· [f (c) − f (a)]
n
n
"
k=1
Und daher:
n<
für alle natürlichen Zahlen
(c − a) · [f (c) − f (a)]
|F̄ (c) − F (c)|
n. Das kann aber wegen der Archimedizität von R nicht
stimmen.
Bemerkung: . Ist f (x) streng monoton fallend und nicht negativ gelten die obigen Ungleichungen mit
>
statt
<.
Für nicht positive Funktionen ergibt sich die
Gültigkeit der analogen Ungleichungen aus:
⇔ −f (x)
f (x)
streng monoton steigend/fallend
streng monoton fallend/steigend.
Satz: Flächenfunktionen wie im obigen Satz sind streng monoton steigend.
Grund: Seien x1 , x2 ∈ [a, b] und x1 < x2 und F die zu f gehörende Flächenfunk-
tion. Dann gilt wegen der Monotonie:
f (x1 ) < f (x2 )
und
0 < (x2 − x1 )f (x1 ) < F (x2 ) − F (x1 )
also
F (x2 ) > F (x1 ).
Seite 101
Mathematik für Geowissenschaftler
y ∈ [F (a), F (b)] taucht als Wert
F : [a, b] → [0, F (b)] ist also surjektiv.
bf Satz: Jede Zahl
funktion
einer Fläche auf, die Flächen-
bf Grund: Sei y ∈ (0, F (b)). Wir betrachten U := {x ∈ [a, b] | F (x) ≤ y} und
O := {x ∈ [a, b] | F (x) ≥ y}. Wegen 0 = F (a) ≤ y ≤ b gilt a ∈ U und b ∈ O, also
sind beide Mengen nicht leer. Auÿerdem sind U nach unten durch a und O nach
oben durch b beschränkt. Es gibt also sup U und inf O . Es gilt sup U ≤ inf O , denn
jedes Element aus O ist obere Schranke von U : Ist x ∈ U , also F (x) ≤ y ≤ F (s)
für alle s ∈ O . Wegen der Monotonie von F ist also x ≤ s für alle s ∈ O . Genauso
sind alle Elemente von U untere Schranken von O. Da F aber Flächenfunktion
einer Funktion f ist, gilt für alle u ∈ U und o ∈ O : F (u) ≤ y ≤ F (o) und
f (a)(o − u) < f (u)(o − u) < F (o) − F (u) <
f (o)(o − u) < f (b)(o − u)
Seite 102
2 Ergänzungen
103
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.1 E: Das Nim Spiel
Es gibt
n
Haufen von Streichhölzern mit den Anzahlen
x1 , . . . , x n .
Der Spieler,
der am Zug ist darf beliebig viele (aber mindestens eins) Streichhölzer aus einem
(und nur einem Haufen) wegnehmen. Derjenige, der das letzte Streichholz nimmt
hat gewonnen.
Denition:
Die Nimsumme zweier Zahlen x, y ∈ N0
P
P
ist wie folgt deniert: Seien
n
n
i
i
b
·
2
,
a
,
b
∈
{0,
1}
die Binärentwicklungen der
a
·
2
und
x
=
i
i
i
i
i=0
i=0
beiden Zahlen (die kürzere mit führenden Nullen aufgefüllt, so daÿ beide gleich
x=
lang sind). Wir denieren die folgende Verknüpfung von Nullen und Einsen:
⊕
0
1
0
0
1
1
1
0
und
x ⊕ y :=
Pn
i=1 (ai
⊕ bi ) · 2i .
Dezimal
Binär
5
5
101
7
7
111
5⊕7
2
010
Beispiel:
Satz (Eigenschaften von ⊕):
Seien
x, y, z
natürliche Zahlen (inklusive Null), und
x=
n
X
i=0
i
ai · 2 , y =
n
X
i=0
i
bi · 2 , z =
n
X
i=0
ci · 2i
die Binärentwicklungen.
Denition: Für x und y in der Binärentwicklung heiÿt
x ⊕ y :=
n
X
(ai + bi )2i
i=0
0 1
0 1 die Nimsumme von x und y .
1 0
Pn
Pn
i
i
1) x ⊕ y =
i=0 (ai + bi ) · 2 =
i=0 (bi + ai ) · 2 = y ⊕ x (⊕ ist kommutativ)
Pn
Pn
i
i
2)(x ⊕ y) ⊕ z =
i=0 [(ai + bi ) + ci ] · 2 =
i=0 [ai + (bi + ci )] · 2 = x ⊕ (y ⊕ z)
mit
+
0
1
(⊕ ist assoziativ)
3)
x⊕x=
Pn
i=0 (ai
⊕ ai ) · 2i =
Pn
i=0
0 · 2i = 0
Seite 104
Mathematik für Geowissenschaftler
3)
0
ist Neutralelement:
x1, , . . . , xn
Seien nun
Pn
0⊕x=
i=0 (0
+ ai ) · 2i = x
die Anzahlen vor dem Zug und
y1 , . . . , y n
die Anzahlen nach
dem Zug. Weiter seien
s = x1 ⊕ . . . ⊕ xn
und
t = y1 ⊕ . . . ⊕ yn
die Nimsummen der Anzahlen. Wenn der Zug im Haufen
k
erfolgt ist, gilt:
t=0⊕t=s⊕s⊕t
= s ⊕ (x1 ⊕ . . . ⊕ xn ) ⊕ (y1 ⊕ . . . ⊕ yn )
= s ⊕ (x1 ⊕ y1 ) ⊕ . . . ⊕ (xn ⊕ yn )
= s ⊕ 0 ⊕ . . . ⊕ 0 ⊕ (xk ⊕ yk ) ⊕ 0 ⊕ . . . ⊕ 0
= s ⊕ xk ⊕ yk
Also
t = s ⊕ xk ⊕ yk
(*).
Lemma 1: Ist s = 0, so ist t 6= 0 unabhängig von der Art des Zuges
Grund: t = 0 ⊕ xk ⊕ yk = xk ⊕ yk und xk 6= yk
Lemma 2: Ist s 6= 0, dann gibt es einen Zug mit t = 0
Grund: Sei d die Position des höchsten Bits 6= 0 von s.
Wähle
k,
So ein
xk
so daÿ das
Bit von
existiert: Wären alle
Nimsumme
Setze:
d−te
xk
d−ten
ebenfalls
Bits der
6= 0
ist .
xi = 0 ,
so auch das
d−te
Bit der
s.
yk := s ⊕ xk
(**). Da
xk
die Anzahl der Hölzer vor dem Zug und
yk
die
nach dem Zug ist, muÿ noch sichergestellt werden,
daÿ der Spieler
yk
erreichen kann.
Behauptung: yk < xk
Grund: Alle oberhalb
Nimsumme
0
der Stelle
d
in
xk
und
yk
sind gleich, da diese Bits der
sind.
d verringert sich von 1
d−te Bit von yk 0 sein).
Bit
auf
0
(das
d−te
Bit von
und
2d verkleinert. Die restlichen
P
d−1 i
i=0 2 aus. Nun gilt
Hierdurch wird die Zahl um
mal einen Unterschied von
xk
s
ist
1,
also muÿ das
Bits machen aber maxi-
(2 − 1)(1 + 2 + . . . + 2d−1 ) = (2 + . . . + 2d ) − (1 + 2 + . . . + 2d−1 ) = 2d − 1
Daher gilt
Pd−1
i=0
2i =
2d −1
2−1
= 2d − 1 < 2d .
Seite 105
Mathematik für Geowissenschaftler
Also gilt die Behauptung.
Der Spieler am Zuge kann also
Dann gilt:
t = s ⊕ xk ⊕ yk
= s ⊕ xk ⊕ (s ⊕ xk )
xk − yk
Streichhölzer wegnehmen.
(wegen (*))
(wegen(**))
= (s ⊕ xk ) ⊕ (s ⊕ xk ) = 0
Fazit:
Stellungen mit Nimsumme
0
sind für den Spieler, der an der Reihe ist,
Verluststellungen.
Grund: Verloren hat der Spieler, der, wenn er an der Reihe ist, ein leeres Spielfeld
(Nimsumme
0)
vorndet.
Sein Gegner kann in allen vorherigen Spielzügen ihm immer eine Situation mit
Nimsumme
0
Nimsumme
6= 0
Beispiel:
präsentieren, da er immer eine
vorndet.
Das klassische Nimspiel startet mit 3 Haufen mit jeweils 3, 5 und 7
Streichhölzern
Analyse des ersten Zuges: Startnimsumme
2 010
5 101
7 111
⊕ 000
3 011
4 100
7 111
⊕ 000
3 011
5 101
6 110
⊕ 000
1 001
5 101
7 111
⊕ 011
3 011
3 011
7 111
⊕ 111
3 011
5 101
5 101
⊕ 011
0
5
7
⊕
3
2
7
⊕
3
5
4
⊕
000
101
111
010
011
010
111
110
011
101
010
100
011 ⊕ 101 ⊕ 111 = 001 6= 0
3 011
1 001
7 111
⊕ 101
3 011
5 101
3 011
⊕ 101
3 011
0 000
7 111
⊕ 100
3 011
5 101
2 010
⊕ 100
3
5
1
⊕
011
101
001
111
3 011
5 101
0 000
⊕ 110
Für den ersten Spieler ist es also möglich, durch wegnehmen eines einzigen Streichholzes aus einem der drei Haufen, seinem Gegner eine Nimsumme
0 zu präsentieren.
Der der anfängt, gewinnt also (wenn er richtig spielt). Zum praktischen Spiel ist es
nützlich zu wissen, daÿ folgende Konstellationen Nimsumme
0 haben: zwei gleiche
Reihen, 1-2-3, genau einer fehlt (unabhängig von der Reihenfolge). Sind das alle?
Wir betrachten die Nimsumme von drei Zahlen:
0
b1
c1
a2
b2
c2
a3
b3
c3
Seite 106
Mathematik für Geowissenschaftler
b1 = c1 sein.Ist a = 0,
b1 = c1 , b2 6= c2 , b3 6= c3 . Dies liefert
b = c
so muÿ
muÿ
die Zahlentripel (3,3,0),(3,1,2) und
so
a = 2, erhalten wir
a = 1, erhalten wir schlieÿlich (1,1,0),(1,2,3),(1,5,4).
(3,4,7),(3,5,6), welche unter die beschriebenen Fälle fallen. Ist
(2,3,1),(2,0,2),(2,7,5),(2,4,6). Ist
sein. Ist
a = 3,
In jedem Fall muÿ
Es fehlten also noch die Fälle (2,4,6) und (1,5,4).
Seite 107
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.2 E: Die reellen Zahlen als Dezimalzahlen
Denition: Eine abbrechende Dezimalzahl ist ein Bruch der Form
n
10k
mit
n∈Z
k ∈ N.
und
Man beachte, daÿ die Division durch
10k
nur eine Verschie-
bung des Dezimalpunktes (-kommas) ist. Wir bezeichnen die Gesamtheit dieser
Zahlen mit
Da .
Wir haben eine Addition und eine Multiplikation gegeben durch
n2
10k2 n1 + 10k1 n2
n1
+
=
k
k
10 1
10 2
10k1 +k2
und
n1
n2
n1 n2
·
= k1 +k2
10k1 10k2
10
Bemerkung:i) Es gelten alle Rechengesetze eines Körpers (da sie in Q gelten).
Die einzige Ausnahme ist die Existenz von multiplikativen Inversen:
n −1
10k
=
∈
/ Da
k
10
n
ii) Abbrechende Dezimalzahlen haben die Darstellung
±a0 .a1 a2 . . . an
mit
a0 ∈ N0 , a1, . . . an ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}
Bemerkung:
i) Auf
Da
haben wir die lexikographische Ordnung (Telefonbuch-
ordnung) für nicht negative Elemente:
a0 .a1 a2 . . . an < b0 .b1 b2 . . . bm :⇔ Für
Für negative Elemente
ii) Ist
l=
Pn
Denition:
k=0
ak 10
k
a, b
gilt
ein
i
gilt:a0
= b0 , . . . , ai−1 = bi−1 und ai < bi
a < b ⇔ −a > −b.
Pn
= k=0 ak 10k−j
l
, so ist
10j
Eine nicht abbrechende Dezimalzahl im Intervall
[0, 1]
ist ein Aus-
druck der Form
0.a1 a2 a3 . . .
mit
ai ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Auf den Dezimalzahlen hat man auch die lexikographische Ordnung:
0.a1 a2 . . . ≤ 0.b1 b2 . . . :⇔
Zu jeder Dezimalzahl
es existiert ein
0.a1 a2 . . .
n ∈ N,
mit
a1 = b1 , . . . , an = bn , an+1 < bn+1
betrachten wir die Menge
S := {0, 0.a1 , 0.a1 a2 , . . .} = {0,
Seite 108
a1 a1 a2
,
, . . .} ⊂ Q
10 100
Mathematik für Geowissenschaftler
Die Elemente dieser Menge sind nach oben durch
1 beschränkt, besitzen also nach
dem Supremumsaxiom eine kleinste obere Schranke.
a := sup S
ist also eine reelle Zahl. Sie heiÿt die durch die Dezimalentwicklung beschriebene
reelle Zahl.
Bemerkung: Die lexikographische Ordnung stimmt mit der Ordnung von R fast
überein:
Beispielsweise ist
0.357 < 0.36
in beiden Ordnungen. Aber ist
0.9̄ < 1
als reelle
Zahlen?
S = {0, 0.9, 0.99, . . .}
Nein, denn das Supremum der Menge
ist gleich
1.
Grund: Sei s < 1. Dann ist 1 − s > 0. Auÿerdem ist 1 − 0. 9| .{z. . 9} = 10−k , wird
k
also beliebig klein. Also gilt irgendwann
1 − s > 1 − 0. 9| .{z
. . 9} = 10−k
k
oder
s < 0. 9| .{z
. . 9}
k
Damit kann
s
keine obere Schranke von
S
sein.
Ein zweites Argument: Nach obiger Denition ist
0.3̄
eine Zahl. Wenn wir uns
erlauben wie gewohnt zu rechnen gilt:
3 · 0.3̄ = 0.3̄ + 0.3̄ + 0.3̄ = 0.9̄
Nun ist aber
0.3̄ =
1
3 , also
1
3
3 · 0.3̄ = 3 ·
Folglich gilt in den reellen Zahlen
=1
0.9̄ = 1.
1 − 0.9̄ > 0, also insbesondere 6= 0.
1
6 0 ein multiplikatives Inverses, d.h. 1−0.
=
.
9̄
S = {0, 10, 100, 1000, . . .} ist aber unbeschränkt, kann also
Ein drittes Argument: Wäre
0.9̄ < 1,
so gälte
In einem Körper haben aber Elemente
Die zugehörige Menge
keine reelle Zahl als Supremum haben.
Wir werden also von nun an die Zahlen
0.49̄
und
0.5
(und ähnlich gelagerte Fälle)
miteinander identizieren. Darüber hinaus lassen wir bei Zahlen, die in lauter
Nullen enden diese einfach weg, also
0.50̄ = 0.5.
Daÿ wir nun für ein und dieselbe
Zahl verschiedene Symbole haben, sollte uns nicht stören (schlieÿlich ist ja auch
1
2
=
2
4 ).
Seite 109
Mathematik für Geowissenschaftler
Fazit:
1
2
= = 0.50̄ = 0.5 = 0.49̄
2
4
Eine beliebige reelle Zahl als Dezimalzahl erhalten wir durch:
natürliche Zahl+Dezimalzahl zwischen 0 und 1
Negative Dezimalzahlen sind dann einfach die additiven Inversen von positiven
Dezimalzahlen.
Denition: Eine beliebige nichtnegative Dezimalzahl ist ein Ausdruck der Form
a0 + 0.a1 a2 . . .
mit
a0 ∈ N
und
a1 , a2 , . . . ∈ {0, 1, . . . , 9}.
Wir ersetzen eine Dezimalzahl, die in
a0 .a1 ....an 9̄
einer unendlichen Folge von Neunen endet, also der Form
durch die Dezimalzahl
mit
an < 9
a0 .a1 a2 . . . an−1 (an + 1)0̄.
Satz: Die nicht negativen Dezimalzahlen erfüllen das Supremumsaxiom.
Grund: Sei S eine nicht leere Teilmenge von Dezimalzahlen, welche nach
beschränkt ist. Wir sammeln alle Vorkommastellen
a0 ∈ N.
Diese sind, da
oben
S
be-
schränkt ist ebenfalls beschränkt. Eine nach oben beschränkte Menge von natürlichen Zahlen hat aber ein gröÿtes Element. Dieses nennen wir
der Dezimalzahlen in
in
S0 )
S , die mit b0
anfängt. Jede Zahl in
ist daher kleiner als jede Zahl in
S\S0
b0 . Sei S0 die Menge
(also in S und nicht
S0 .
Als nächstes betrachten wir die Menge aller Dezimalzahlen mit derselben höchsten
Dezimalstelle
b0 .b1
b1
und nennen diese
. Wiederum ist jede Zahl in
S1 .
S
S1 beginnen mit
S1 . Setzt man dies fort,
D.h. alle Dezimalzahlen in
kleiner als jede Zahl in
so erhält man eine Sequenz von Mengen
S ⊃ S0 ⊃ S1 ⊃ S2 ⊃ . . . ⊃ Sn ⊃ . . .
Man beachte, daÿ alle diese Mengen nicht leer sind und daÿ alle Zahlen in
kleiner kleiner als alle Zahlen in
Sn
S\Sn
sind. Der ganze Prozess beschreibt also nun
die Dezimalentwicklung einer eindeutig bestimmten Zahl
b = b0 .b1 b2 . . . bn bn+1 . . .
b und b0 , so müÿten Sichel an einer Stelle
0
unterscheiden bn 6= bn . Dann wäre aber eine von beiden kleiner, also im n − ten
Schritt aussortiert worden). Wir zeigen nun, daÿ dieses b das Supremum von S
(Gäbe es zwei verschiedene Zahlen
ist. Zunächst einmal ist
a0 < b0 ,
so ist
a < b.
b
eine obere Schranke für
Ansonsten ist
a0 = b0
S:
Sei
a = a0 .a1 a2 . . . ∈ S .
Ist
und wir vergleichen die ersten beiden
Seite 110
Mathematik für Geowissenschaftler
Nachkommastellen. Entweder ist
a1 < b1
(und damit
a < b)
oder
a1 = b1 und
a < b oder
wir untersuchen die zweiten Nachkommastellen usw. Insgesamt ist also
a = b,
also ist
b
S.
eine obere Schranke für
Um zu zeigen, daÿ
b
die kleinste obere Schranke von
Dann unterscheidet sich
t
an irgendeiner Stelle
n
von
S ist, wählen
b, also
wir ein
t < b.
t = b0 .b1 . . . bn−1 tn tn+1 . . .
und
tn < bn .
Aber dann liegt
t
nicht in
Sn
und
Sn
enthält Zahlen gröÿer als
t.
2.0.2.1 Der Wert von Dezimalzahlen
Wir betrachten die Dezimalzahl
a = 0.a1 a2 . . .
. Natürlich haben wir immer die
folgende Interpretation vor Augen:
a=
∞
X
k=1
ak · 10−k
Nun ist dies eine unendliche Summe. Wie kann dadurch ein endlicher Wert deniert
werden? Dazu betrachten wir allgemeiner die folgenden Ausdrücke:
∞
X
ak xk
k=1
So etwas nennt man auch eine Potenzreihe. Oensichtlich kann man nicht erwarten,
x ein
endliches Ergebnis liefert. Wählen wir z.B.
P∞
k=1 1. Unendlich oft die 1 aufaddiert liefert
aber sicherlich keine endliche Zahl. Erst recht natürlich nicht für x > 1. Wir müssen
also für ak , x ≥ 0 fordern:
∞
X
ak xk < ∞
daÿ die für beliebige Werte von
ak = 1
und
x = 1,
so erhalten wir
k=1
2.0.2.2 Probleme mit Dezimalzahlen
Geben Sie einmal folgendes in Ihren Taschenrechner ein:
√
2 · 10−100 − 10−100
Jeder moderne Taschenrechner wird Ihnen mit
”0”
antworten. Schauen wir uns
mal die Konsequenzen an:
√
√
2 · 10−100 − 10−100 = ( 2 − 1) · 10−100 = 0
Seite 111
Mathematik für Geowissenschaftler
Division von
10−100
auf beiden Seiten liefert:
√
2 − 1 = 0, also
√
2=1
was natürlich völliger Unfug ist. Was ist nun aber
ist wohl:
√
2
, also die positive Zahl, die quadriert
die positive Nullstelle des Polynoms
Die Antwort
2
√
x2 − 2.
√
2
2
ergibt. Oder noch deutlicher:
? Die beste Antwort darauf
2 = 1.41421356 ist falsch, denn 1.414213562 = 1.999999993287874 6=
Seite 112
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.3 E:Kombinatorik, die Kunst des gepegten Zählens
In diesem Abschnitt werden wir ausschlieÿlich Mengen mit endlich vielen Elementen betrachten. Wir bezeichnen mit
#A
die Anzahl der Elemente der Menge
A.
2.0.3.1 Einfache Zählformeln
Satz: Für zwei Mengen A und B gilt:
#(A ∪ B) = #A + #B − #(A ∩ B)
Grund:
Die Menge
A∪B
setzt sich aus den drei disjunkten (d.h. mit leerem
A\(A ∩ B), A ∩ B, B\(A ∩ B)
Schnitt) Mengen zusammen:
. Es ist ;
#(A ∪ B) = #(A\(A ∩ B)) + #(A ∩ B) + #(B\(A ∩ B)) =
#A − #(A ∩ B) + #(A ∩ B) + #B − #(A ∩ B) =
#A + #B − #(A ∩ B)
Denition: i) Für zwei Mengen (auch unendlich groÿe) M und N ist das Kreuzprodukt
aus
M
M ×N
deniert als Menge aller Paare, deren erster Eintrag ein Element
ist und deren zweiter Eintrag ein Element aus
ii) Für Mengen
M1 , . . . , M n
N
ist
M1 × . . . × Mn := {(m1 , . . . , mn )|mi ∈ Mi
die Menge aller
n−Tupel
iii) Für eine Menge
M
ist.
mit dem Eintrag an der
füri
i−ten
= 1 . . . n}
Stelle in
Mi .
ist
M n := M × . . . × M
|
{z
}
n−mal
Beispiel: Ist A = {1, 2, 3}und B = {x, y}, so ist
A × B = {(1, x), (2, x), (3, x), (1, y), (2, y), (3, y)}
Satz: #(A × B) = #A · #B
Grund: Wählt man Element
aus
A
an der ersten Stelle, so hat man
#B
viele
Möglichkeiten für die zweite Stelle. Da man das für jedes Element an der ersten
#A · #B
Qn
#(M1 × . . . × Mn ) = k=1 #Mi
Stelle machen kann, hat man
Satz:
viele Möglichkeiten.
Seite 113
Mathematik für Geowissenschaftler
Beispiel:
Die PIN einer EC-Karte besteht aus vier Ziern
10 · 10 · 10 · 10 = 10000
0 . . . 9.
Es gibt also
PINs.
Denition:Sei B:={0,1}. Eine binäres n−Tupel ist eine Element aus B n .
Bemerkung: Binäre n−Tupel lassen sich leicht zählen. Es ist #B n = 2n .
Satz: n Objekte lassen sich auf n! viele Weisen anordnen
Grund: Für die erste Position bestehen n Möglichkeiten, für die zweite n − 1 etc.
Für die letzte Position besteht nur eine Möglichkeit.
Insgesamt also
n · (n − 1) · . . . · 1 = n!
2.0.3.2 Teilmengen
Denition: Die Menge aller Teilmengen einer Menge A wird mit P(A) bezeichnet
A.
und heiÿt Potenzmenge von
bf Beispiel: Ist
A = {a, b, c}, so ist P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {c, b}, {a, b, c}}
Satz: Jede n−elementige Menge hat genau 2n Teilmengen.
Grund: Wir nummerieren die Elemente der Menge M beliebig: M = {m1 , m2 , . . . , mn }
Sei
M0
eine Teilmenge von
n−Tupel
M.
Wir ordnen der Teilmenge
wie folgt ein binäre
zu:
(b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ B n
mit
(
bi =
1
0
falls
falls
Umkehrt bestimmt so auch jedes binäre
binäre
M0
n−Tupel
M
Die Anzahl der
menten wird mit
n−Tupel
eine Teilmenge von
M.
Zwei
sind genau dann gleich, wenn die so zugeordneten Teilmengen
gleich sind. Teilmengen von
Denition:
mi ∈ M 0
mi ∈
/ M0
gibt es aber
2n
k−elementigen
n
k
viele.
Teilmengen einer Menge mit
n
Ele-
bezeichnet und heiÿt Binomialkoezient.
Satz:
(1 + x)n =
n X
n
xk
k
k=0
Grund: Es ist (1 + x)n = (1 + x)(1 + x) · . . . · (1 + x). Zum Ausmultiplizieren wählt
man aus jedem Faktor einmal eine
1
oder ein
Seite 114
x.
Wir betrachten wieder das binäre
Mathematik für Geowissenschaftler
n−Tupel (b1 , b2 , . . . , bn ) ∈ B n mit
(
1 falls im i − ten
bi =
0 falls im i − ten
Um also
xk
Faktor
Faktor
k−mal x
zu erhalten, muÿ man also genau
muÿ das binäre
n−Tupel
k
genau
xgewählt wurde
1gewählt wurde
ausgewählt haben. Also
Einsen haben. Dies entspricht aber (s.o.) einer
k−elementigen
Teilmenge einer
n−elementigen
Menge. Also gibt es
n
k
viele.
Allgemeiner binomischer Satz:
(x + y)n =
n X
n
k=0
Grund: Für y 6= 0 gilt yn (1 + xy )n
Ist
y = 0,
= yn
k
xk y n−k
Pn
n
k=0 k
so ist die Gleichung trivialerweise richtig.
Satz:
n
k
=
x k
y
=
Pn
k=0
n
k
xk y n−k
.
n!
(n − k)!k!
Grund: Es sei M 0 ⊂ M eine k−elementige Teilmenge einer n−elementigen Menge.
Wir ordnen die Elemente von
M0
beliebig an:
M 0 = {m1 , . . . , mk }
m1 n Möglichm2 (n−1) Möglichkeiten und schlieÿlich für mk (n−k+1) Möglichkeiten.
Da Elemente in einer Menge nicht mehrfach vorkommen, gibt es für
keiten, für
Insgesamt also
n · (n − 1) · . . . · (n − k + 1) =
n!
(n − k)!
Da bei Mengen die Reihenfolge irrelevant ist, ergibt sich
n
k
=
n!
(n−k)!
k!
=
n!
(n − k)!k!
Beispiel: Beim Samstagslotto werden 6 Kugeln aus 49 gezogen. Die Kugeln werden
nicht zurückgelegt, die Reihenfolge ist irrelevant. Es wird also eine
Teilmenge aus einer
49−elementigen gezogen. Davon
49
= 13983816
6
Seite 115
gibt es
6−elementige
Mathematik für Geowissenschaftler
1
viele. Die Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige ist also ca.
zu
14
Millionen.
Satz: Die Anzahl der ungeordneten Auswahlen mit Wiederholung von k Objekten
aus einer Menge von
n
Objekten ist
n+k−1
k
Grund: Wir konstruieren eine eineindeutige Zuordnung (d.h. eine bijektive Abbildung) zwischen
i) allen ungeordneten Auswahlen mit Wiederholung von
ii) der Menge aller binären
(n + k − 1)−Tupel
mit genau
Wir hatten gesehen, daÿ die Anzahl aller binären
n
k
k
Objekten
k
Einsen
n−Tupel
mit genau
k
Einsen
ist.
Die Anzahl aller binären
(n+k−1)−Tupel mit genau k Einsen ist also
n+k−1
k
M = {m1 , m2 , . . . , mn }. Wir betrachten k−Tupel in
M k . In diesem k−Tupel sortieren wir die Objekte m1 nach ganz vorne, m2 dahinter
usw. Zwischen die einzelnen Typen setzen wir jeweils eine 0 (gewissermaÿen als
Nun zur Zuordnung. Es sei
Trennzeichen).
Beispiel:
(m1 , m1 , 0, m2 , m2 , m2 , 0, 0, m4 ) ∈ {m1 , m2 , m3 , m4 }9
Nun ersetzen wir die Objekte durch Einsen, im Beispiel ergibt sich also:
(1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1)
d.h. also Blöcke von Einsen entsprechen Objekten desselben Typs
Nullen entsprechen Trennzeichen zwischen Objekten verschiedenen Typs
n − 1 Trennzeichen braucht um n Objekte zu trennen, hat jedes solche
n − 1 Nullen. Da k Objekte ausgewählt werde, hat dieses Tupel genau
k Einsen. Speziell handelt es sich also um ein n + k − 1−Tupel. Wir zählen also
die Anzahl der n + k − 1−Tupel mit genau k Einsen.
Da man
Tupel genau
Die Ergebnisse werden häug in der folgenden Form tabellarisch zusammengefaÿt:
ohne Ber. der
Reihenfolge
ohne Zurückl.
mit Zurückl.
n
k
n+k−1
k
mit Ber. der
Reihenfolge
n!
(n−k)!
=
nk
Seite 116
n
k
· k!
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.4 E: Komplexe Zahlen
Wir betrachten Zahlenpaare
eine Multiplikation wie folgt:
(a, b), (c, d) ∈ R2
und denieren eine Addition und
(a, b) + (c, d) := (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) := (a · c − b · d, a · d + b · c)
Satz: R2 mit dieser Addition und Multiplikation erfüllt alle Körperaxiome. Dabei
ist
(0, 0) das additive Neutralelement und (1, 0) das multiplikative Neutralelement.
(a, b) ist (−a, −b) und das multiplikative Inverse zu (a, b) 6=
Das additive Inverse zu
(0, 0)
ist
a
−b
a2 +b2 , a2 +b2
.
Denition: Den obigen Körper der komplexen Zahlen nennen wir C.
Bemerkung: Wir nden die reellen Zahlen in den komplexen Zahlen
wieder: Wir betrachten die komplexen Zahlen
(a, 0)
und
(b, 0)
mit
ist mit der komplexen Addition und Multiplikation:
(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0)
Wenn wir
und
wie folgt
a, b ∈ R.
Dann
(a, 0) · (b, 0) = (a · b − 0 · 0, a · 0 + 0 · b) = (a · b, 0)
1 = (1, 0) und i = (0, 1) denieren, so läÿt sich jedes Paar (a, b) eindeutig
schreiben als
(a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1) = a · 1 + b · i = a + b · i
Es ist
i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1.
In dieser Schreibweise erhalten wir für die Addition und Multiplikation:
a + b · i + c + d · i = a + c + (b + d) · i
(a + b · i) · (c + d · i) = a · c − b · d + (a · d + b · c) · i
Fazit: Wir können mit komplexen Zahlen im wesentlichen so rechnen, wie wir es
gewohnt sind (unter Berücksichtigung von
i2 = −1).
Bemerkung: Der Körper der komplexen Zahlen kann nicht angeordnet werden.
In einem angeordneten Körper gilt
2
2
i +1 =0
und
Denition:
i, 1 6= 0.
Für eine komplexe Zahl
die konjugiert komplexe Zahl
Imaginärteil
Lemma :
a2 + b2 = 0 ⇒ a = b = 0.
Im(z) := b ∈ R,
Sei
z, z1 , z2 ∈ C.
z =a+b·i∈C
mit
In
C
gilt allerdings
a, b ∈ R
denieren wir
z̄ := a − b · i, den
√ Realteil Re(z) := a ∈ R,
|z| := a2 + b2
den Betrag
Dann gilt:
z1 + z2 = z1 + z2 . z1 · z2 = z1 · z2
Seite 117
den
Mathematik für Geowissenschaftler
z∈R ⇔ z=z
z=z
Grund:
Ist
z1 = a + bi, z2 = c + di,
so ist
z1 + z2 = a + bi + c + di = a + c + (b + d)i = a + c − (b + d)i = a − bi + c − di =
z1 + z2
und
z1 · z2 = (a − bi) · (c − di) = ac − bd − (ad + bc)i = z1 · z2 .
Die beiden restlichen Aussagen sind klar.
Folgerung: Ist f (x) =
und ist
z∈C
Pn
k
k=0 ak · x ein Polynom mit reellen Koezienten
eine Nullstelle von f (x), also f (z) = 0, so gilt:
0 = f (z) = f (z) =
n
X
k=0
Also ist mit
z
auch
z
ak · z k =
eine Nullstelle von
n
X
k=0
f (x).
ak · z k =
n
X
k=0
ak ∈ R
ak · z k
Komplexe Nullstellen von reellen
Polynomen treten also immer paarweise auf.
Lemma: Sei z = a + b · i, z1 , z2 ∈ C. Dann gilt:
|z| =
√
z · z, |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |. |z|2 = a2 + b2
Re(z) =
z+z
z−z
, Im(z) =
2
2i
Grund: Für z = a + bi ist z · z = (a + bi) · (a − bi) = a2 + b2
und
|z1 · z2 | =
(∗)Satz:
√
z1 · z2 · z1 · z2 =
Jedes Element von
C
√
z1 · z1 · z2 · z2 = |z1 | · |z2 |
ist ein Quadrat.
Grund: 1.Fall: Ist z = a ∈ R, so ist
Ist
z = a + b · i ∈ C, b 6= 0,
√
2
a =a
für
z ≥ 0, (i ·
|z| = 1 = a2 + b2 , so
s
√
a + a2 + b2
ζ :=
2
mit
s
η := sgn(b)
−a +
a)2 = a
denieren wir:
√
a2 + b2
2
Dann ist
(ζ + η · i)2 = ζ 2 − η 2 + 2 · ζ · η · i
Seite 118
√
für
a<0
.
Mathematik für Geowissenschaftler
=
a+
√
r
√
a 2 + b2
−a + a2 + b2
b2
−
+ 2 · sgn(b)
· i = a + sgn(b)|b|i
2
2
4
=a+b·i
Weiter unten werden wir sehen, daÿ sich jede komplexe Zahl
z =r·z
r ∈ R≥0
mit
und
|z 0 | = 1.
z
schreiben läÿt als
0
Dann ist aber
√
( r · (ζ + ηi))2 = a + bi
Warum diese Multiplikation?
R2
Wenn wir fordern, daÿ
mit einer Multiplikation zu einem Körper wird und
|z1 · z2 | = |z1 | · |z2 | für alle z1 , z2 ∈ R2 gilt. dann erhalten wir:
√
√
|1| = |1 + 0 · i| = 12 + 02 = 1 und |i| = |0 + 1 · i| = 02 + 12 = 1
√
√
Weiter ist |1 ± i| = |1 ± 1 · i| =
12 + 12 = 2
Nun ist:
Wegen
i2 = a + b · i
|i2 | = |i| · |i| = 1 · 1 = 1
ist
a2 + b2 = 1
Wegen der Körperaxiome gilt aber:
(1 − i) · (1 + i) = 12 − i2 = 1 − a − b · i = (1 − a) − b · i
Norm bilden auf beiden Seiten liefert:
√
2·
also
√
√
2=
2=
sich zieht.
p
√
(1 − a)2 + b2 =
1 − a,
mithin
√
1 − 2 · a + a2 + b2 =
a = −1,
√
2−2·a
was wiederum, wegen
Damit haben wir folgende Multiplikationstabelle:
·
e
i
e
e
i
a2 + b2 = 1, b = 0
nach
i
i
−e
Für die Multiplikation ergibt sich daher:
(a·e+b·i)·(c·e+d·i) = a·c·e2 +a·d·e·i+b·c·i·e+b·d·i2 = (a·c−b·d)·e+(a·d+b·c)·i
(*)
Matrizenrealisierung: Wir können komplexe Zahlen auch als 2×2−Matrizen
darstellen:
z =a+b·i≈
Dann ist
und
a
−b
a
−b
b
a
b
a
+
c
−d
c
·
−d
d
c
d
c
=
a
−b
=
Seite 119
b
a
a+c
b+d
−(b + c) a + c
ac − bd
ad + bc
−(ad + bc) ac − bd
Mathematik für Geowissenschaftler
Polarkoordinaten
z = a+bi kann
√ man als Punkt der Ebene betrachten. Dann hat
r := a2 + b2 = |z| zum Nullpunkt und schlieÿt einen
Winkel ϕ ∈ [0, 2π) mit der positiven x−Achse ein. Es ist aus elemtargeometrischen
Gründen: a = r · cos(ϕ) und b = r · sin(ϕ). Wir haben also insgesamt:
Jede komplexe Zahl
diese Punkt den Abstand
z = |z| · (cos(ϕ) + sin(ϕ) · i)
Die Gröÿen
|z|
und
ϕ
Kurzschreibweise:
sind die Polarkoordinaten von
z.
ei·ϕ := cos(ϕ) + sin(ϕ) · i
Additionstheoreme für sin und cos:
cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
sin(α + β) = sin(β) · cos(α) + sin(α) · cos(β)
Grund: Wir betrachten die folgende Konstruktion
U = (cos(α + β), sin(α + β))
P = (cos(α), sin(α))
β
α
T = (1, 0)
−β
R = (cos(−β), sin(−β))
Mit den folgenden Bezeichnungen gilt dann
cos(α) =: p, sin(α) =: q
cos(α + β) =: u, sin(α + β) =: v
cos(−β) =: r, sin(−β) =: s
Seite 120
p2 + q 2 = 1
u2 + v 2 = 1
r2 + s2 = 1
Mathematik für Geowissenschaftler
Es gilt (Drehung um den Winkel
β):
2
UT = PR
2
⇔ (u − 1)2 + v 2 = (p − r)2 + (q − s)2
⇔ u2 − 2u + 1 + v 2 = p2 − 2pr + r2 + q 2 − 2qs − s2
⇔ −2u + 2 = 2 − 2pr − 2qs
⇔ u = pr + qs
⇔ cos(α + β) = cos(α) · cos(β) − sin(α) · sin(β)
Die andere Beziehung erhält man aus
sin(α + β) = cos
π
2
− (α + β)
Aus den Additionstheoremen erhält man:
eiϕ · eiψ =
(cos(ϕ) + i sin(ϕ)) · (cos(ψ) + i sin(ψ)
= cos(ϕ) · cos(ψ) − sin(ϕ) · sin(ψ)+
i(cos(ϕ) · sin(ψ) + sin(ϕ) · cos(ψ)
= cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)
= ei(ϕ+ψ)
Beispiel n-te Einheitswurzeln: Sei ζn := e
(ζnk )n
für
=
ζnkn
k·2πi
=e
2π
n i.
Dann gilt:
= cos(k2π) + i sin(k2π) = 1
k = 1, . . . , n.
Fundamentalsatz der Algebra: Sei f (x) =
Koezienten
ak ∈ R.
Dann läÿt sich
f (x)
Pn
k
k=0 ak x ein Polynom mit reellen
darstellen als:
f (x) = (x − λ1 ) · . . . · (x − λk )·
(a1 · (x + b1 )2 + c1 ) · . . . · (al · (x + bl )2 + cl )
mit
λj ∈ R
Dabei sind
und
aj , bj , cj ∈ R
λ1 , . . . , λ k
mit
aj · cj > 0
die reellen Nullstellen von
f (x). Die Faktoren aj ·(x+bj )2 +cj
entsprechen den Paaren konjugiert komplexer Nullstellen.
Beispiel: Das Polynom f (x) = x3 − 1 hat oensichtlich in x = 1 eine Nullstelle.
Division mit Rest liefert:
((x +
1 2
2)
+
3
4)
x3 − 1 = (x − 1) · (x2 + x + 1).
Seite 121
Dabei ist
(x2 + x + 1) =
Mathematik für Geowissenschaftler
Seite 122
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.5 E: Der Haupsatz der Mineralogie
Satz: In einem Kristall gibt es nur 1,2,3,4 und 6-zählige Symmetrien.
Denition: Seien ~u, ~v 6= ~0 zwei Vektoren, die nicht auf einer Geraden liegen. Die
Menge
G := {p · ~u + q · ~v | p, q ∈ Z}
heiÿt Gitter.
Satz:Die
folgende Transformation
φ
gegen den Uhrzeigersinn
Winkel
T
Grund: Sei
x
y
T
x
y
T : R2 → R2
:=
cos(φ)x − sin(φ)y
sin(φ)x + cos(φ)y
p
cos(ψ)
x2 + y 2 . Dann ist
, mit r =
sin(ψ)
r cos(ψ)
cos(φ) cos(ψ) − sin(φ) sin(ψ)
=r
r sin(ψ)
sin(φ) cos(ψ) + cos(φ) sin(ψ)
und dem Winkel
φ+ψ
r
cos(φ + ψ)
sin(φ + ψ)
mit der positiven
Der ursprüngliche Vektor ist also um den Winkel
φ
, also ein Vektor mit
x−Achse.
gedreht worden.
Die Umkehrung hiervon ist oensichtlich die Drehung um den Winkel
T
−1
x
y
cos(−φ)x − sin(−φ)y
:=
sin(−φ)x + cos(−φ)y
cos(φ)x + sin(φ)y
− sin(φ)x + cos(φ)y
Denition: Seien A, B 2 × 2−Matrizen, A =
a
c
b
d
a
c
b
d
e
·
g
a
c
b
d
f
h


:= 

ae + bg
ce + gd
| {z }


e 
=A
g
Seite 123
−φ :
=
, B=
e
g
x1
ax1 + bx2
·
=
x2
cx1 + dx2

um den
r
~x
=r
Das letzte ist nach den Additionstheoremen
derselben Länge
dreht einen Vektor
af + bh
cf + dh
| {z }


f 
=A
h





f
h
Mathematik für Geowissenschaftler
Für
λ∈R
ist
λ·
a
c
b
d
λa
λc
=
λb
λd
Die Spur eine Matrix ist deniert als:
Spur(
a
c
b
d
)=a+d
Bemerkung: i) Mit der oben denierten Addition und Multiplikation mit Skalaren
2 × 2−Matrizen ein Vektorraum.
1 0
2) Die Einheitsmatrix E2 :=
ist Neutralelement
0 1
kation: A · E2 = E2 · A = A für alle 2 × 2−Matrizen A.
ist die Menge der
der Matrizenmultipli-
Satz: Das Matrizenprodukt ist assoziativ, d.h. für 2 × 2−Matrizen A, B, C
A(BC) = (AB)C
Grund: Nachrechnen
Achtung: Das Matrizenprodukt ist nicht kommutativ:
1
0
0
2
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
0
2
1
0
1
2
1
0
2
2
=
=
Allerdings sind die Spuren gleich. Es gilt:
a
c
b
d
e
·
g
f
h
) = ae + bg + cf + dh
e
Spur(
g
f
h
a
·
c
b
d
) = ea + f c + gb + hd
Spur(
Weiter gilt:
a
c
b
d
d −b
ad − bc
0
=
=
−c a
0
ad − bc
d −b
a b
·
−c a
c d
Seite 124
gilt:
Mathematik für Geowissenschaftler
Denition:
a
c
b
d
−1
1
:=
ad − bc
d −b
−c a
Bemerkung: Es egibt sich mit dem oben gesagten:
A · A−1 = A−1 A = E
Mit der Matrizenschreibweise gilt:
T
x
y
=
− sin φ
cos φ
cos φ
sin φ
x
y
Denition Eine (Dreh)-Symmetrie eines Gitters ist eine Drehung, die Gitterpunkte wieder auf das Gitter abbildet.
Es muÿ also für eine Symmetrie des Gitters gelten: Für alle
mit:
p, q ∈ R gibt es r, s ∈ Z,
T (p · ~u + q · ~v ) = r · ~u + s · ~v
Speziell gelte:
T (~u) = r1 ~u + s1~v
T (~v ) = r2 ~u + s2~v
Es ist:
=
cos φ
sin φ
cos φ
sin φ
− sin φ
cos φ
− sin φ
u1
·
cos φ
v1
u1
v1
u2
v2
cos φ
sin φ
− sin φ
cos φ
u2
v2
= (T (~u)|T (~v )) = (r1 ~u + s1~v |r2 ~u + s2~v )
=
r1 u1 + s1 v1
r1 u2 + s1 v2
r2 u1 + s2 v1
r2 u2 + s2 v2
=
u1
u2
v1
v2
r1
s1
r2
s2
Multiplizieren wir den ersten und den letzten Ausdruck von links mit
u1
u2
v1
v2
so erhalten wir:
1
u1 v2 − v1 u2
v2
−u2
−v1
u1
cos φ − sin φ
u1
·
sin φ cos φ
u2
Wir müssen allerdings noch sicherstellen, daÿ
Seite 125
v1
v2
u1 v2 − v1 u2 6= 0
=
ist.
r1
s1
r2
s2
,
Mathematik für Geowissenschaftler
u1 v2 − v1 u2 = 0
Wäre
, ist im Falle
v1 , u1 6= 0.
v2
u2
=
v1
u1
die durch
zeigt
~v
~u
und
Geraden liegen.
für
~v
v1 = 0, so
u1 6= 0, da ~u und ~v nicht auf einer
~v = ~0. Eine analoge Argumentation gilt
beschriebenen Geraden haben dieselbe Steigung. Ist
y−Achse. Dann
Daher folgt v2 = 0,
parallel zur
ist aber
also
~u.
Nun gilt mit
A :=
u1
v1
u2
v2
, B :=
cos φ
−1
Spur det A
B
sin φ
= Spur
= Spur
Aber die Spur der Matrix
r1
s1
− sin φ
cos φ
r2
s2
und
det A−1 :=
1
u1 v2 −v1 u2 :
− sin φ
·A
cos φ
− sin φ
−1
det A BA
cos φ
cos φ
sin φ
cos φ
sin φ
−v1
u1
v2
−u2
1
0
0
1
= 2 cos φ
r1 + s2 ∈ Z.
ist
Da gilt
−1 ≤ cos φ ≤ 1
ist
−2 ≤ 2 cos φ ≤ 2
Die ganzen Zahlen in diesem Bereich sind:
{−2, −1, 0, 1, 2}
Wir benötigen also die Winkel für
(x, y). der auf dem
(1, 0) den Abstand 1
es genau einen Punkt
liegt und vom Punkt
cos φ ∈ {0, ± 21 , ±1}.
Zum Punkt
(1, 0) gibt
x−Achse
Einheitskreis oberhalb der
hat. Diese beiden Punkte bilden, zu-
1. Also hal[0, 1]. Somit gilt
x = cos(φ) = 21 . Der Punkt (− 21 , y) hat vom Punkt (x, y) ebenfalls den Abstand 1.
1 2
2
2
2
Es gilt (− ) +(y −0) = x +y = 1. Wir haben also in den oberen Halbkreis drei
2
sammen mit dem Ursprung ein gleichseitiges Dreieck der Seitenlänge
biert die Projektion des Punktes auf die
x−Achse
das Intervall
solche Dreiecken eingeschrieben, was für den Vollkreis sechs Dreiecke bedeutet. Der
π
φ ist also 2π
6 = 3 (6-fache Symmetrie) . Eine ähnlich Konstruktion vom
(−1, 0) aus liefert für cos φ = − 12 den Winkel φ = 2π
3 (3-fache Symmetrie)
Winkel
Punkt
Seite 126
Mathematik für Geowissenschaftler
3π
cos(φ) = 0 liefert die Winkel π2 = 2π
4 (4-fache Symmetrie) und φ = 2 (zu
cos(φ) = ±1 gibt noch die Winkel φ = 0 und φ = π (2-fache Symmetrie).
.
Seite 127
groÿ).
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.6 GPS und Verwandte
2.0.6.1 2D
x und y . Zwei Signale gehen von
(x, y) mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 zum Zeitpunkt t1 und t2 aus.
An den Orten (x1 , y1 ) und (x2 , y2 ) kommen Sie zu den Zeitpunkten t1 + ∆t1 und
t2 + ∆t2 an. Symmetrisch dazu ist die Situation, daÿ die Signale von (x1 , y1 ) und
(x2 , y2 ) ausgehen und bei (x, y) ankommen.
p
(x − x2 )2 + (y − y2 )2 .
Die Entfernung von (x, y) zu (xi , yi ) ist
Die eigenen (zu ermittelnden) Koordinaten seien
dem Ort
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = (∆t1 · v1 )2
∧ (x − x2 )2 + (y − y2 )2 = (∆t2 · v2 )2
Dies sind also zwei Kreise in der Ebene, die sich schneiden müssen. Die Aufgabe
ist es also ein Gleichungssystem der Form
(x − x1 )2 + (y − y1 )2 = b1 ∧ (x − x2 )2 + (y − y2 )2 = b2 (∗).
zu lösen. Nun ist es schwierig, ein nicht lineares Gleichungssystem zu lösen (das
ist Gegenstand aktueller Forschung). Glücklicherweise hat das Gleichungssystem
(*) eine spezielle Gestalt, die wir ausnutzen können. Ausmultipliziert lautet es:
x2 − 2xx1 + x21 + y 2 − 2yy1 + y12 = b1 ∧
x2 − 2xx2 + x22 + y 2 − 2yy2 + y22 = b2
Lemma:
Ist
chungssystem
f (x, y) = b1 , g(x, y) = b2 ein Gleichungssystem, so hat das Gleif (x, y) = b1 , f (x, y) − g(x, y) = b1 − b2 die gleiche Lösungsmenge.
Grund: Sei (a, b) eine Lösung des ersten System, dann ist auch sicher eine Lösung
(a, b) eine Lösung des zweiten Systems, so gilt
f (a, b) = b1 und f (a, b) − (f (a, b) − g(a, b)) = b1 − (b1 − g(a, b)) = g(a, b) und
f (a, b) − (f (a, b) − g(a, b)) = f (a, b) − (b1 − b2 ). also ist g(a, b) = b1 − (b1 − b2 ) = b2 ,
womit (a, b) auch das zweite Gleichungssystem löst.
des zweiten Systems. Ist umgekehrt
Angewandt auf das Gleichungssystem (*) bekommen wir:
(x − x1 )2 + (y − y2 )2 = b1 ∧
2(x2 − x1 )x + 2(y2 − y1 )y + x21 − x22 + y12 − y22 = b1 − b2
ax+by = c, also ohne höhere
x oder y . Wir können nun diese zweite Gleichung nach y auösen
(fallsy2 − y1 =
6 0), wobei wir zur Abkürzung ∆y := y2 − y1 , ∆x := x2 − x1 ,
Die zweite Gleichung ist also eine Gleichung des Typs
Potenzen von
Seite 128
Mathematik für Geowissenschaftler
∆b = b1 − b2 = (∆t1 v1 )2 − (∆t2 v2 )2
ist
y=
und
∆ := x21 − x22 + y12 − y22
verwenden). Dann
∆b − ∆
∆x
−x
2∆y
∆y
Wir nehmen die neuen Abkürzungen
c=
∆b−∆
2∆y und
Einsetzen in die erste Gleichung liefert:
d = − ∆x
∆y ,
also ist
y = c + dx.
(x − x1 )2 + ((c + dx) − y1 )2 = b1
also
x1 2 − 2 x x1 + d2 x2 + x2 + 2 c d x − 2 y1 d x + c2 − 2 y1 c + y12 = b1 .
Dies ist eine quadratische Gleichung in
p
x=−
p
x=
x, läÿt sich also mit der p, q−Formel lösen:
−y1 2 + (2 d x1 + 2 c) y1 − d2 x1 2 − 2 c d x1 + b1 d2 − c2 + b1 − d y1 − x1 + c d
d2 + 1
−y1 2 + (2 d x1 + 2 c) y1 − d2 x1 2 − 2 c d x1 + b1 d2 − c2 + b1 + d y1 + x1 − c d
d2 + 1
Das sieht kompliziert aus, läÿt sich aber von einer Maschine leicht berechnen.
Allgemein gilt, daÿ man hier zwei Lösungen bekommt. In der Praxis spielt das
jedoch u.U. keine Rolle (s.u.).
1. Anwendung: Blitz und Donner Bei einem Blitz breiten sich zwei Signale
nämlich Licht und Schall mit sehr unterschiedlichen Geschwindigkeiten aus. In
unserem obigen Problem ist also
(x1 , y1 ) = (x2 , y2 ). Wir wollen normalerweise auch
d. Da sich
nicht den genauen Ort des Blitzes wissen, sondern nur seine Entfernung
in guter Näherung Lichtsignale von Blitzen unendlich schnell ausbreiten, können
wir die Anzahl der Sekunden zählen, die nach dem Blitz vergehen bis der Donner
zu hören ist. Der Abstand ist also
ist.
d = ∆t · v ,
wobei
2. Anwendung: Epizentrumsbestimmung:
S−Wellen
v
die Schallgeschwindigkeit
P − und
vp und vS aus(x, y) muÿ gelten:
Ein Erdbeben schickt
aus, die sich mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten
breiten. Für die Koordinaten eines oberächennahen Bebens
(x − xi )2 + (y − yi )2 =
(∆tp,i · vP )2 , (x − xi )2 + (y − yi )2 = (∆tS,i vS )2
Dabei sind
∆tS,i
(xi , yi )
die Koordinaten von seismologischen Stationen und
die Laufzeit der
P−
uns
S−Wellen
∆tP,i
und
zu den Stationen. Das Problem hierbei
ist, daÿ wir nur die Dierenz der Laufzeiten
∆tP,i −∆tS,i
kennen (die Seismometer
zeigen ja nur den Antrezeitpunkt t0 +∆t auf, wobei t0 der Zeitpunkt der Eruption
Seite 129
Mathematik für Geowissenschaftler
ist), nicht aber die Laufzeiten selbst. Nun müssen aber die Wellen beim Antreen
den gleichen Weg zurückgelegt haben, also gilt:
∆tP,i · vp = ∆tS,i · vS (∗)
also
1−
Daher haben wir
∆tP,i
vS
=1−
∆tS,i
vP
vS
∆tS,i − ∆tP,i = ∆tS,i 1 −
vP
und schlieÿlich
∆tS,i =
∆tS,i − ∆tP,i
1 − vvPS
P − uns S−Wellen weltweit
vS
ist sehr ähnlich und bekannt. Auf der rechten
vP
Seite der Gleichung stehen also nur bekannte Gröÿen. Allerdings kann man bei
Zwar unterscheiden sich die Geschwindigkeiten der
erheblich, aber das Verhältnis
zwei Stationen auch
vS
und
vP
direkt bestimmen: Aus den beiden Gleichungen
(*) folgt:
vP =
∆tS,1 − ∆tS,2
vS
∆tP,1 − ∆tP,2
Setzt man das in die erste Gleichung ein, so erhält man :
∆tS,1 · vS ,
woraus man
vS
berechnen kann.
∆tP,1 ·
∆tS,1 −∆tS,2
∆tP,1 −∆tP,2 vS
=
Insgesamt erhalten wir:
(x − xi )2 + (y − yi )2 = (∆tS,i vS )2
Dieses Gleichungssystem läÿt sich wieder wie oben lösen. Häug wird klar sein,
welche dieser beiden Lösungen die gesuchte ist, z.B. weil der zweite Punkt nicht
in einem Erdbebengebiet liegt. Will man Sicherheit haben, so nimmt man eine
(x3 , y3 ) hinzu. Man berechnet die Entfernung
(x3 , y3 ) und berechnet, welche der Lösungen besser mit
Laufzeit zu (x3 , y3 ) übereinstimmt.
dritte seismologische Station
der
beiden Lösungen zu
der
beobachteten
3. Anwendung: Ortsbestimmung mit Mobilfunkstationen:
Zur Ortsbe-
stimmung mit dem Handy wird das folgende Verfahren benutzt. Jede Funkzelle
hat einen gewissen Durchmesser und eine eindeutige Kennung. Das Handy kennt
also die ungefähre Entfernung zu einem Mobilfunkmasten, deren Positionen in einer Datenbank abgelegt sind. Zur genaueren Positionsangabe kann das Handy die
Feldstärke und damit den Abstand zu Mobilfunkmasten messen. Das entsprechende Gleichungssystem wird (wie oben) gelöst und das Handy kann seinen Standort
Seite 130
Mathematik für Geowissenschaftler
ermitteln. Diese Methode ist allerdings recht ungenau. In den letzten Jahren sind
die Handybetreiber (und auch Apple und Google) für die Ortsbestimmung die
Position von WLAN-Netzen zu bestimmen und in einer Datenbank zu speichern,
was eine genauere Ortsbestimmung erlaubt (wegen der geringeren Reichweite von
WLAN).
4. Anwendung: Ortsbestimmung auf der Erde und GPS: Wir machen uns
zunächst einmal klar, wie man prinzipiell seine Position auf der Welt ermitteln
kann. Zunächst einmal steht am Nordhimmel der Polarstern ziemlich genau im
Norden. Man kann nun den Winkel zwischen Horizont und Polarstern messen.
Nimmt die Entfernung des Sterns von der Erde als unendlich an (Was beim Vergleich von Erdumfang und Sternentfernung eine ziemlich gute Näherung darstellt).
So würde der Polarstern vom Äquator aus gesehen genau am Horizont sein und
vom Nordpol aus gesehen im Zenit. Die geographische Breite ist also gleich diesem
Winkel. Die geographische Länge ist schwieriger zu bestimmen. Die Erde dreht
sich einmal in
24
Stunden um
360o ,
also pro Stunde um
15o .
Hat man nun eine
Uhr, die die genaue Zeit in Greenich bei London anzeigt (Position des Nullten
Längengrads), so kann man den genauen Zeitpunkt des Mittags nach dieser Uhr
ermitteln. Der lokale Mittag ist der Zeitpunkt des Höchstandes der Sonne. Tritt
zum Beispiel der lokale Mittag 6 Stunden vor dem Mittag in Greenich ein, so bendet man sich in
auch die
6
6 · 15 = 75
Grad westlicher geographischer Länge, was übrigens
Stunden Zeitunterschied zur amerikanischen Ostküste erklärt.
Bei GPS wird folgendes gemacht. Jeder Satellit strahlt in regelmäÿigen Abständen
ein Signal aus, welches die folgenden Daten enthält: Seine Position
(xi , yi , zi )
und
den genauen Zeitpunkt der Austrahlung ti . Ein GPS Empfänger kann nun mit der
Formel
2
d2i = (x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 = ((tE
i − ti ) · c)
E
vom Satelliten bestimmen, dabei ist ti der Zeitpunkt des Eintreens des Signals und c die Lichtgeschwindigkeit. Der GPS Empfänger sendet
seine Entfernung
di
also kein eigenes Signal aus. Nun ist die Lichtgeschwindigkeit sehr schnell, so daÿ
die Zeitmessung von
t
und
ti
sehr genau sein muÿ. In den Satelliten sind dafür
Atomuhren untergebracht. Nun kann man aber nicht in jedem GPS-Empfänger
eine Atomuhr unterbringen. Dabei hilft der folgende Trick. Die Uhr im GPSEmpfänger geht falsch um die Zeit
∆t,
es wird also nicht
t
gemessen, sondern
t + ∆t.
Wir betrachten das folgende Gleichungssystem mit den Unbekannten
∆t
x, y, z
und
für i=1,2,3,4:
(x − xi )2 + (y − yi )2 + (z − zi )2 = tE
i + ∆t − ti
2
c2
Ziehen wir die erste Gleichung von den anderen drei Gleichungen ab, so erhalten
wir exemplarisch für die zweite Gleichung:
x22 − x21 + y22 − y12 + z22 − z12 +
Seite 131
Mathematik für Geowissenschaftler
2 [x(x2 − x1 ) + y(y2 − y1 ) + z(z2 − z1 )] =
E
2
2
E
E
= (t2 − t2 )2 − (tE
1 − t1 ) + 2∆t((t2 + t2 ) − (t1 + t2 )) c
2
E
2
−A2 := x22 − x21 + y22 − y12 + z22 − z12 − (tE
2 − t2 ) − (t1 − t1 ) ,
+ ti :
Setzen wir
Ti :=
tE
i
so gilt mit
2 [x(x2 − x1 ) + y(y2 − y1 ) + z(z2 − z1 )] =
2∆t(T2 − T1 )c2 + A2
Machen wir das für die anderen Gleichungen, so bekommen wir
2 [x(x2 − x1 ) + y(y2 − y1 ) + z(z2 − z1 )] = 2∆t(T2 − T1 )c2 + A2
2 [x(x3 − x1 ) + y(y3 − y1 ) + z(z3 − z1 )] = 2∆t(T3 − T1 )c2 + A3
2 [x(x4 − x1 ) + y(y2 − y1 ) + z(z4 − z1 )] = 2∆t(T4 − T1 )c2 + A4
Anleihe aus der Theorie linearer
system
3 × 3−
Systeme: Das lineare Gleichungs-
ai x + bi y + ci z = di
i = 1, 2, 3 hat die eindeutige Lösung



d1 b1 c1
a1
1
1
x=
det  d2 b2 c2  , y =
det  a2
D
D
d3 b3 c3
a3
für

a1
mit D = det  a2
a3
d1
d2
d3


c1
a1
1
c2  , z =
det  a2
D
c3
a3
b1
b2
b3

c1
c2 , falls D 6= 0. Dabei ist der Betrag der Determinante
c3
b1
b2
b3
das Volumen des von den drei Spaltenvektoren aufgespannten Parallelepipeds.
Sie ist also genau dann
0,
wenn sich die drei Spaltenvektoren in einer Ebene be-
nden.
Damit können wir
x, y
und
z
durch Ausdrücke ersetzen, die nur noch
∆t enthalten
(neben bekannter Gröÿen). Die können wir wieder in die erste Gleichung einsetzen
und erhalten einen quadratische Gleichung für
∆t. D 6= 0
ist bei GPS durch die
Wahl der Satellitenorbits sichergestellt: Niemals benden sich vier in Sichweite
bendlichen Satelliten in einer Ebene. Denn

2 (x2 − x1 ) 2 (y2 − y1 ) 2 (z2 − z1 )
det  2 (x3 − x1 ) 2 (y3 − y1 ) 2 (z3 − z1 ) 
2 (x4 − x1 ) 2 (y4 − y1 ) 2 (z4 − z1 )

ist genau dann Null, die Verbindungvektoren von Satellit
1
und den anderen drei
Satelliten alle in einer Ebene liegen, also wenn alle vier Satelliten in einer Ebene
liegen.
Seite 132

d1
d2 
d3
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.7 E: Einführung in das Computeralgebrasystem Maxima
Hinweise: Copyright (C) Robert Glöckner (unter GP-Lizenz)
2.0.7.1 Einführung
Maxima ist ein in Lisp geschriebenes freies Computer-
Starten von Maxima
Algebra System ( http://maxima.sourceforge.net/index.shtml ). Es ist auf verschiedenen Betriebssystemen lauähig. Es gibt mehrere Möglichkeiten das Programm zu verwenden:
auf der Konsole (hierzu maxima, bzw. maxima.bat starten) eine rudimentäre grasche Oberäche bietet xmaxima (mitgeliefert) eine grasche Formelausgabe bietet
wxmaxima für Leute die LaTex benutzen ist texmax und emaxima interessant für
Emacs-verrückte gibt es einen mitgelieferten maxima und emaxima Modus (Start
im Emacs mit M-x maxima oder Önen einer .max Datei)
Startet man Maxima (auf der Konsole) so erhält man folgende Meldung:
Maxima
Using
5.10.0
Distributed
Dedicated
This
h t t p : / / maxima . s o u r c e f o r g e . n e t
L i s p GNU Common L i s p
is
provides
a
to
under
the
memory
development
bug
(GCL) GCL
t h e GNU P u b l i c
reporting
of
William
version
of
2.6.8
License .
( a k a GCL)
See
the
file
COPYING .
Schelter .
Maxima .
The
function
bug_report ( )
information .
(% i 1 )
Es erscheint eine Meldung über die freie Lizenz, die Widmung an Prof. W. Schelter
(ihm haben wir die freie Version von Maxima zu verdanken) und ein sog. Label
(%i1). Jede Eingabe wird mit einer Marke (Label) gekennzeichnet. Marken, welche
mit einem i beginnen kennzeichnen Benutzereingaben, o-Markierungen kennzeichnen Ausgaben des Programms. Der Benutzer sollte dies bei der Namensgebung
eigener Variablen oder Funktionen berücksichtigen, um Verwechslungen zu vermeiden.
Kommandoeingabe
Kommandos werden entweder mit einem Semikolon ; oder
einem Dollarzeichen $ abgeschlossen. Es reicht nicht Return oder Enter zu drücken.
Maxima wartet auf eines der beiden o.g. Zeichen, sont beginnt Maxima nicht mit
der Auswertung der Eingabe. Ist das letzte Zeichen ein Semikolon, so wird das Ergebnis der Verarbeitung angezeigt, im Falle eines Dollarzeichens wird die Anzeige
unterdrückt. Dies kann bei sehr langen Ergebnissen sinnvoll sein, um die Wartezeit zu reduzieren und die Übersicht zu wahren. Maxima unterscheidet Groÿ- und
Kleinschreibung. Alle eingebauten Funktionen und Konstanten sind klein geschrieben (simp, solve, ode2, sin, cos, %e, %pi, inf etc). sImP oder SIMP werden von
Seite 133
Mathematik für Geowissenschaftler
Maxima nicht den eingebauten Funktionen zugeordnet. Benutzerfunktionen und
-variablen können klein und/oder groÿ geschrieben werden. Auf vorherige Ergebnisse und Ausdrücke kann mittels % zugegrien werden. % bezeichnet das letzte
Ergebnis, %i13 die 13. Eingabe und %o27 das 27. Ergebnis, %i42 wiederholt die
Berechnung der 42. Eingabe, %th(2) ist das vorletzte Ergebnis.
Zuweisungen
Ausdrücke werden mit : einem Symbol zugewiesen. Funktionen
werden mit := einem Symbol zugewiesen. Makro(expansions)funktionen werden
mit ::= deniert.
(% i 1 5 1 )
value
:
3;
(% o 1 5 1 )
(% i 1 5 2 )
3
equation
:
a + 2 = b;
(% o 1 5 2 )
(% i 1 5 3 )
a + 2 = b
function (x)
:=
x + 3;
(% o 1 5 3 )
(% i 1 5 4 )
function (x)
(% o 1 5 4 )
(% i 1 5 5 )
'( print
(%156)
x + 3
6
function (b ) ;
(% o 1 5 5 )
(% i 1 5 6 )
:=
function (3);
b + 3
printq1
(x)
("(2)
is
x
printq1 (x)
'( print ("(2)
x
is
::=
equal
::=
block
to " ,
( print
("(1)
block ( print ("(1)
equal
to " ,
x
is
equal
to " ,
x) ,
x)));
x
is
equal
to " ,
x) ,
x)))
Zuweisungen werden mit kill einzeln oder auch insgesamt gelöscht.
(% i 1 5 0 )
k i l l ( equation ) ;
(% o 1 5 0 )
(% i 1 5 1 )
done
equation ;
(% o 1 5 1 )
(% i 1 5 2 )
equation
function (3);
(% o 1 5 2 )
(% i 1 5 3 )
6
kill ( all );
(% o 1 5 4 )
(% i 1 5 5 )
done
function (3);
(% o 1 5 5 )
Beenden von Maxima
function (3)
Zum Abbrechen eines Kommandos drückt man die Ta-
stenkombination Strg-C oder Strg-G. Meldet sich der Debugger, so beendet man
diesen durch Eingabe von Q. Zum Beenden von Maxima gibt man quit(); ein
(Bemerkung: unter xmaxima das Menue benutzen).
Seite 134
Mathematik für Geowissenschaftler
(% i 3 )
apropos ( ' p l o t ) ;
(%o3 )
[ plot ,
plotheight ,
(% i 4 )
plot2d ,
plot2dopen ,
plotmode , p l o t t i n g ,
plot2d_ps ,
plot3d ,
plot_format ,
plot_options ]
d e s c r i b e (" p lo t " ) ;
Manchmal fragt describe auch nach, welcher Teilbereich beschrieben werden soll
(hier nur ein kleiner Ausschnitt der angezeigten Informationen):
0:
( maxima . i n f o ) P l o t t i n g .
1:
Definitions
for
Plotting .
2 : OPENPLOT_CURVES : D e f i n i t i o n s
3:
PLOT2D
: Definitions
4:
PLOT2D_PS
5:
PLOT3D
: Definitions
: Definitions
6 : PLOT_OPTIONS
Info
n,
all ,
from
for
for
or
Plotting .
Plotting .
Plotting .
for
: Definitions
none ,
file
for
Plotting .
: Definitions
7 : SET_PLOT_OPTION
Enter
for
Plotting .
for
multiple
Plotting .
choices
eg
1
3
:
5
/ u s r / s h a r e / i n f o / maxima . i n f o :
PLOT3D ( e x p r , x r a n g e , y r a n g e , . . . , o p t i o n s , . . )
−−
Function :
PLOT3D
( [ expr1 , expr2 , expr3 ] , xrange , yrange , . . . , o p t i o n s , . . )
p l o t 3 d (2^( − u^2+v ^ 2 ) , [ u ,
would
[
−7 ,7]
plot
respectively ,
An e x a m p l e
−5 ,5] ,[v , −7 ,7]);
z = 2^( − u^2+v ^ 2 )
of
the
and
second
with
with
u
u
and
v
varying
on
the
x
axis ,
pattern
of
arguments
in
and
[
v
−5 ,5]
on
and
the
y
axis .
is
p l o t 3 d ( [ c o s ( x )∗(3+ y∗ c o s ( x / 2 ) ) , s i n ( x )∗(3+ y∗ c o s ( x / 2 ) ) , y∗ s i n ( x / 2 ) ] ,
[ x,−% p i ,% p i ] , [ y ,
which
will
given
as
argument
direction
plot
the
a
moebius
first
y
band ,
argument
[ grid , 5 0 , 1 5 ]
and
−1 ,1] ,[ ' grid
gives
to
,50 ,15])
parametrized
plot3d .
the
grid
An
by
the
3
additional
number
of
expressions
optional
rectangles
in
the
direction .
Mit der Funktion example können Beispiele zu einigen Funktionen von Maxima
angezeigt werden (hier gekürzt):
(% i 3 )
example ( i n t e g r a t e ) ;
(% i 4 )
t e s t ( f ):= b l o c k ( [ u ] , u : i n t e g r a t e ( f , x ) , ratsimp ( f−d i f f ( u , x ) ) )
(%o4 )
test ( f )
:=
ratsimp ( f
(% i 5 )
−
block ( [ u ] ,
d i f f (u ,
u
:
integrate ( f ,
x)))
test ( sin (x))
(%o5 )
(% i 6 )
0
t e s t ( 1 / ( x +1))
(%o6 )
(% i 7 )
0
t e s t ( 1 / ( x ^2+1))
(%o7 )
(% i 8 )
0
i n t e g r a t e ( s i n ( x )^3 , x )
Seite 135
x) ,
x
Mathematik für Geowissenschaftler
3
cos
(%o8 )
(x)
−−−−−−− −
cos (x)
3
...
Darstellung der Ergebnisse
Die Darstellung der Ergebnisse von Maxima, ist im
Wesentlichen von der verwendeten Oberäche abhängig. Während die Ausgabe
auf der Konsole und im einfachen Emacs-Modus auf die Darstellung von ASCII
Zeichen begrenzt ist, zeigen der erweiterete Emacs-Modus, Imaxima, TexMacs und
WxMaxima die Ergebnisse in grascher Form an. D. h. es werden entsprechende
Symbole für Pi, Integral, Summe usw. verwendet. Allgemein zeichnen sich die
Ausgaben von Maxima durch exakte (rationale) Arithmetik aus:
(% i 3 8 )
1/11 + 9 / 1 1 ;
10
−−
(% o 3 8 )
11
Irrationale Zahlen werden in ihrer symbolischen Form beibehalten (mit % wurde
auf das Ergebnis der letzten Berechnung zugegrien):
(% i 3 9 )
( sqrt (3)
−
1)^4;
4
(% o 3 9 )
(% i 4 0 )
( sqrt (3)
expand ( % ) ;
(% o 4 0 )
28
−
16
−
1)
sqrt (3)
Mit ev(Ausdruck, numer); oder kurz: Ausdruck, numer; oder oat(Ausdruck) kann
eine Dezimaldarstellung erzwungen werden (beachten Sie hier die Referenz auf das
vorangegangene Ergebnis Nr. 40 via %o40):
(% i 4 1 ) %o40 ,
numer ;
(% o 4 1 )
(% i 5 )
(%o5 )
0.28718707889796
f l o a t (% e ) ;
2.718281828459045
Die Voreinstellung der Genauigkeit bei Flieÿkommazahlen beträgt 16 Stellen, wobei die letzte Stelle unsicher ist. Die Genauigkeit kann beliebig eingestellt werden,
wenn der Zahlentyp boat verwendet wird. Die Anzahl der angezeigten Stellen
wird mit fpprec gesteuert. Man kann dazu fpprec nur für die Auswertung einer
Zeile setzen, wie dies in Zeile %i46 geschieht, oder für alle folgenden Berechnungen setzen, wie dies in Zeile %i48 geschieht:
Seite 136
Mathematik für Geowissenschaftler
(% i 4 5 )
b f l o a t (% o 4 0 ) ;
2 . 8 7 1 8 7 0 7 8 8 9 7 9 6 3 1 B−1
(% o 4 5 )
(% i 4 6 )
b f l o a t (% o 4 0 ) ,
f p p r e c =100;
(% o 4 6 )
2.8718707889796330356085853590#
60421289151159390339099511070883287690717#
2 9 4 5 9 1 9 9 4 0 6 7 0 1 6 6 1 0 1 1 8 8 4 0 2 2 7 8 9 1B−1
(% i 4 7 )
fpprec ;
(% o 4 7 )
(% i 4 8 )
16
fpprec
:
20;
(% o 4 8 )
(% i 4 9 )
20
b f l o a t (% o 4 0 ) ;
2 . 8 7 1 8 7 0 7 8 8 9 7 9 6 3 3 0 3 5 8 B−1
(% o 4 9 )
(% i 5 0 )
b f l o a t (% o 4 0 ) ,
f p p r e c =100;
(% o 5 0 )
2.871870788979633035608585#
359060421289151159390339099511070883287690717#
2 9 4 5 9 1 9 9 4 0 6 7 0 1 6 6 1 0 1 1 8 8 4 0 2 2 7 8 9 1B−1
Die Eingabe von bestimmten Konstanten (e, i, pi, ...) erfolgt mit vorangestelltem
% (%e, %i, %pi...). Die Darstellung von bestimmten Konstanten (e, i, pi, ...), Operatoren (Summe, Integral, Ableitungen, ...) und anderen Symbolen (Klammern,
Brüche, ...) ist abhängig von der gewählten Oberäche. Im Textmodus, der von
der Konsole, dem einfachen Emacs-Modus und der mitgelieferten xmaxima Oberäche geboten wird, werden Konstanten mit einem % vorangestellt (%e, %i, %pi,
...), Operatoren werden in ASCII-Grak dargestellt, Klammern werden nicht in
der Gröÿe expandiert und Brüche mit Hilfe von - dargestellt:
(% i 5 1 )
(% o 5 1 )
(% i 5 2 )
s q r t ( −3);
exp ( 5
∗
s q r t ( 3 ) %i
a);
5
(% o 5 2 )
(% i 5 4 )
a
%e
integrate (
f (x)
,
x,
0,
inf );
inf
/
[
(% o 5 4 )
I
f (x)
dx
]
/
0
Die Darstellung im erweiterten Emacs-Modus, in Imaxima und in TexMax ist
grasch, d. h. für %pi, %e, Integrale, Summen, ... werden entsprechende Symbole verwendet. Maxima kann natürlich auch Funktionen plotten. Die Funktion
plot2d([Funktionsliste], [X-Var, Min, Max], [Y-Var, Min, Max]); kann eine Gruppe von Funktionen plotten. Hierzu gibt man die Liste von Funktionen in eckigen
Seite 137
Mathematik für Geowissenschaftler
Klammern und durch Kommas getrennt als ersten Parameter an. Es folgt eine Liste, welche die abhängige Variable und den Plotbereich (x-Achse) angibt. Es gibt
noch viele andere Plotmöglichkeiten (apropos('plot), describe(plot))
(% i 5 5 )
plot2d ( [ sin (x ) ,
(% i 5 8 )
apropos ( ' p l o t ) ;
(% o 5 8 )
[ plot ,
plotheight ,
(% i 5 9 )
0:
plot2d ,
cos (x ) ] ,
plot2dopen ,
plotmode , p l o t t i n g ,
[x,
0,
5]);
plot2d_ps ,
plot_format ,
plot3d ,
plot_options ]
describe ( plot ) ;
( maxima . i n f o ) P l o t t i n g .
1:
Definitions
2:
openplot_curves
for
3:
plot2d
4:
plot2d_ps
5:
plot3d
: Definitions
: Definitions
for
plot_options
7:
set_plot_option
for
for
Plotting .
Plotting .
Plotting .
: Definitions
for
: Definitions
s p a c e −s e p a r a t e d
for
Plotting .
: Definitions
: Definitions
6:
Enter
Plotting .
numbers ,
Plotting .
for
` all '
Plotting .
or
` none ' :
none
2.0.7.2 Rechnen mit Maxima
Operatoren
Die üblichen arithmetischen Operatoren stehen zur Verfügung:
+ Addition,
- Subtraktion,
* skalare Multiplikation,
. Skalarmultiplikation von Vektoren und Matrix-Multiplikation, / Division,
** oder ^ Potenzfunktion,
sqrt() Wurzelfunktion,
exp() Exponentialfunktion,
log() natürliche Logarithmusfunktion
...
Algebra
Niemand ist vor Flüchtigkeitsfehlern bei der Umformung, Transforma-
tion usw. von algebraischen Ausdrucken gefeit. Hier eignet sich Maxima hervorragend bei der Untersützung analytischer Berechnungen. Hier ein einfaches Beispiel
für die Behandlung von Polynomen. Zunächst wird via expand expandiert, anschlieÿend eine Ersetzung vorgenommen, danach mittels ratsimp ein gemeinsamer
Nenner gesucht und anschlieÿend via factor faktorisiert:
Seite 138
Mathematik für Geowissenschaftler
(% i 7 2 )
( 5 ∗ a + 3∗ a ∗b
)^3;
3
(% o 7 2 )
(% i 7 3 )
(3
b + 5
a)
+ 225
a
expand ( % ) ;
3
(% o 7 3 )
(% i 7 4 )
a
27
%,
a
3
3
b
+ 135
a
2
3
b
a
a=1/x ;
3
27
2
b
135
−−−−−
(% o 7 4 )
+
3
b
225
−−−−−−
+
3
x
(% i 7 5 )
3
b + 125
b
−−−−−
125
+
3
x
−−−
3
x
x
ratsimp (%);
3
27
b
2
+ 135
b
+ 225
b + 125
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(% o 7 5 )
3
x
(% i 7 6 )
f a c t o r (%);
3
(3
b + 5)
−−−−−−−−−−
(% o 7 6 )
3
x
Funktionen zur Vereinfachung von Ausdrücken
Es gibt keinen globalgalakti-
schen simplify Befehl. Für verschiedene Gebiete stehen spezische Vereinfachungsfunktionen zur Verfügung. Hier eine Auswahl. Im Abschnitt "Wichtige Maxima
Funktionen" sind Kurzbeschreibungen dieser Befehle verfügbar.
fullratsimp, ratsimp, radcan, grind, trigsimp, trigreduce, trigexpand, foursimp,
atensimp, vectorsimp.
Es gibt zusätzlich Befehle zur benutzerdenierten Vereinfachung.
%i 7 7 )
eq1 :
a + b + c = 6;
(% o 7 7 )
(% i 7 8 )
c + b + a = 6
a
eq3 :
a + b
(% o 7 8 )
(% i 7 9 )
∗
eq2 :
(% o 7 9 )
(% i 9 3 )
(% o 9 3 )
s:
b + c = 5;
c + a
∗
s o l v e ( [ eq1 ,
[[a = 1,
b = 5
c = 7;
b
eq2 ,
b = 3,
eq3 ] ,
c = 2] ,
[a,
c + a = 7
b,
[a = 1,
Seite 139
c ]);
b = 2,
c =
3]]
Mathematik für Geowissenschaftler
Die Lösung wird in Form einer Liste, welche mit eckigen Klammern umschlossen ist, dargestellt. Im Folgenden wird gezeigt, wie auf die Elemente einer Liste
zugegrien wird und wie man Lösungen in Gleichungen einsetzt.
(% i 9 4 )
s [1];
(% o 9 4 )
(% i 9 5 )
[a = 1,
(% o 9 5 )
(% i 9 8 )
[a = 1,
eq4 :
∗
a
a + 2
∗
b
∗
b + c
(% o 9 8 )
(% i 9 9 )
2
c
eq4 ,
∗
c = 2]
b = 2,
c = 3]
c;
2
+ 2
2
b
+ a
s [1];
(% o 9 9 )
(% i 1 0 0 )
b = 3,
s [2];
23
eq4 ,
s [2];
(% o 1 0 0 )
18
Trigonometrische Funktionen
Es stehen u.a. tan, sin, cos, tanh, sinh, cosh und
deren Umkehrfunktionen zur Verfügung.
%i 1 0 2 )
(% i 1 0 3 )
example ( t r i g ) ;
t a n (% p i /6)+ s i n (% p i / 1 2 )
(% o 1 0 3 )
%p i
1
s i n (−−−) +
−−−−−−−
12
(% i 1 0 4 )
(% o 1 0 4 )
(% i 1 0 5 )
0.83616931429214658
sin (1)
(% o 1 0 5 )
(% i 1 0 6 )
sin (1)
e v ( s i n ( 1 ) , numer )
(% o 1 0 6 )
(% i 1 0 7 )
0.8414709848078965
beta (1/2 ,2/5)
1
beta (−,
(% o 1 0 7 )
2
(% i 1 0 8 )
2
−)
5
e v (% , numer )
(% o 1 0 8 )
(% i 1 0 9 )
sqrt (3)
e v (% , numer )
3.6790939804058804
d i f f ( atanh ( s q r t ( x ) ) , x )
1
(% o 1 0 9 )
(% i 1 1 0 )
fpprec :25
(% i 1 1 1 )
s i n ( 5 . 0 B− 1)
−−−−−−−−−−−−−−−−−
2 (1 − x ) s q r t ( x )
Seite 140
Mathematik für Geowissenschaftler
(% o 1 1 1 )
(% i 1 1 2 )
c o s ( x)^2 − s i n ( x ) ^ 2
4 . 7 9 4 2 5 5 3 8 6 0 4 2 0 3 0 0 0 2 7 3 2 8 7 9 B−1
2
(% o 1 1 2 )
(% i 1 1 3 )
cos
2
(x)
e v (% , x:% p i / 3 )
−
sin
(x)
1
− −
(% o 1 1 3 )
2
(% i 1 1 4 )
d i f f (% t h ( 2 ) , x )
−
(% o 1 1 4 )
(% i 1 1 5 )
i n t e g r a t e (% t h ( 3 ) , x )
s i n (2
4
cos (x)
sin (x)
x)
−−−−−−−−
s i n (2
+ x
x
2
2
−−−−−−−−−−−− − −−−−−−−−−−−−
(% o 1 1 5 )
2
(% i 1 1 6 )
x)
− −−−−−−−−
2
expand (%)
s i n (2
x)
−−−−−−−−
(% o 1 1 6 )
2
Trigonometrische Ausdrücke lassen sich in Maxima leicht manipulieren. Die Funktion trigexpand benutzt die Summe-der-Winkel-Funktion, um Argumente innerhalb jeder trigonometrischen Funktion so stark wie möglich zu vereinfachen.
s i n (2
x)
−−−−−−−−
(% o 1 1 6 )
2
(% i 1 1 7 )
t r i g e x p a n d (%)
(% o 1 1 7 )
cos (x)
sin (x)
Die Funktion trigreduce konvertiert einen Ausdruck in eine Summe von Einzeltermen, bestehend aus jeweils einer sin- oder cos- Funktion.
(% o 1 1 7 )
(% i 1 1 8 )
cos (x)
sin (x)
t r i g r e d u c e (%)
s i n (2
x)
−−−−−−−−
(% o 1 1 8 )
2
(% i 1 1 9 )
s e c h ( x ) ^ 2 ∗ t a n h ( x ) / c o t h ( x)^2+ c o s h ( x ) ^ 2 ∗ s e c h ( x ) ^ 2 ∗ t a n h ( x ) / c o t h ( x ) ^ 2
+s e c h ( x ) ^ 2 ∗ s i n h ( x ) ∗ t a n h ( x ) / c o t h ( x ) ^ 2
2
sech
(% o 1 1 9 )
2
(x)
sinh (x)
tanh ( x )
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2
Seite 141
cosh
+
2
(x)
sech
(x)
tanh ( x )
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
2
Mathematik für Geowissenschaftler
coth
(x)
coth
(x)
2
sech
+
(x)
tanh ( x )
−−−−−−−−−−−−−−−−
2
coth ( x )
sech() ist eine hyperbolische Sekantenfunktion. trigsimp ist eine Vereinfachungsroutine, welche verschiedene trigonometrische Funktionen in sin und cos Equivalente umwandelt.
(% i 1 2 0 )
t r i g s i m p (%)
5
sinh
4
(x) + sinh
3
(x) + 2
sinh
(x)
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
(% o 1 2 0 )
5
cosh
(x)
exponentialize() transformiert trigonometrische Funktionen in ihre komplexen Exponentialfunktioen.
(% i 1 2 1 )
ev ( s i n ( x ) , e x p o n e n t i a l i z e )
− %i x
− %e
)
− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
%i
%i
(% o 1 2 1 )
x
(% e
2
taylor(Funktion, Variable, Entwicklungspunkt, Grad); Generiert eine Taylorreihenentwicklung der angegebenen Funktion nach einer Variable um den Entwicklungspunkt bis einschlieÿlich des angegebenen Grades.
(% i 1 2 2 )
t a y l o r ( s i n ( x )/x , x , 0 , 4 )
2
4
x
(% o 1 2 2 ) /T/
1
x
− −−
+
6
(% i 1 2 3 )
−−−
+
.
.
.
120
e v ( c o s ( x)^2 − s i n ( x ) ^ 2 , s i n ( x ) ^ 2 = 1− c o s ( x ) ^ 2 )
2
(% o 1 2 3 )
2
cos
(% o 1 2 3 )
Komplexe Zahlen
(x)
done
−
1
Die Funktionen realpart und imagpart geben den Real- bzw.
Imaginärteil eines komplexen Ausdruckes zurück
Seite 142
Mathematik für Geowissenschaftler
(% i 1 4 4 )
z:
a + b
(% o 1 4 4 )
(% i 1 4 5 )
∗
%i ;
%i
b + a
z ^2;
2
(% o 1 4 5 )
(% i 1 4 6 )
(% i
b + a)
exp ( z ) ;
%i
(% o 1 4 6 )
b + a
%e
trigrat() transformiert (komplexe) Exponentialfunktionen in entsprechende sin()
und cos() Funktionen um.
(% i 1 4 8 )
t r i g r a t ( exp ( z ) ) ;
a
(% o 1 4 8 )
%i %e
a
s i n ( b ) + %e
cos (b)
Komplexe Zahlen lassen sich mit imagpart() und realpart() in die entsprechenden
Real- und Imaginärteile aufspalten:
(% i 1 4 9 )
imagpart (%);
a
(% o 1 4 9 )
(% i 1 5 0 )
%e
sin (b)
r e a l p a r t (% t h ( 2 ) ) ;
Ableitungen, Grenzwerte, Integrale
Mit Maxima lassen sich u. a. Ableitungen,
Integrale, Taylorentwicklungen, Grenzwerte, exakte Lösungen gewöhnlicher Dierentialgleichungen berechnen. Zunächst denieren wir ein Symbol f als Funktion
von x auf 2 Arten. Beachten Sie die Unterschiede bei der Auswertung der Ableitung.
(% i 1 2 9 )
f
:
x ^3;
3
(% o 1 2 9 )
(% i 1 3 0 )
x
diff (f ,x);
2
(% o 1 3 0 )
(% i 1 3 1 )
3
kill ( f );
(% o 1 3 1 )
(% i 1 3 2 )
x
done
f (x)
:=
x ^3;
3
(% o 1 3 2 )
(% i 1 3 3 )
f (x)
:=
diff (f ,x);
(% o 1 3 3 )
0
Seite 143
x
Mathematik für Geowissenschaftler
(% i 1 3 4 )
d i f f ( f (x) ,x );
2
(% o 1 3 4 )
3
x
Ein Beispiel für eine Taylorreihenentwicklung und eine Grenzwertberechnung:
(% i 1 4 0 )
f (x)
:=
sin (x)
/
x;
sin (x)
(% o 1 4 0 )
f (x)
:=
−−−−−−
x
(% i 1 4 1 )
taylor ( f (x) ,x ,0 ,5);
2
4
x
(% o 1 4 1 ) /T/
1
x
− −−
+
6
(% i 1 4 2 )
−−−
+
.
.
.
120
limit ( f (x) ,x , 0 ) ;
(% o 1 4 2 )
1
Integrale lassen sich, sofern möglich, bestimmt und unbestimmt berechnen:
(% i 1 0 9 )
i n t e g r a t e (% e ^x/(2+% e ^x ) , x )
x
(% o 1 0 9 )
(% i 1 1 6 )
l o g (% e
+ 2)
i n t e g r a t e ( x ^(5/4)/(1+ x ) ^ ( 5 / 2 ) , x , 0 , i n f )
9
4
(% i 9 )
1
beta (−,
(% o 1 1 6 )
' diff
(y ,
−)
4
x);
dy
−−
(%o9 )
dx
(% i 1 0 )
diff
(y ,
x);
(% o 1 0 )
0
Zum Lösen von gewöhnlichen Dierentialgleichungen stehen folgende Funktionen
zur Verfügung: ode2, ic1, ic2, bc1, bc2. ic1, ic2 sind auf Anfangswertaufgaben
1. bzw. 2. Ordnung spezialisiert. bc1, bc2 sind auf Randwertaufgaben 1. bzw. 2.
Ordnung spezialisiert.
(% i 2 3 )
dgl1 :
−' d i f f ( y , x ) ∗
sin (x) + y
∗
cos (x) = 1;
dy
(% o 2 3 )
cos (x)
Seite 144
y
−
sin (x)
−−
= 1
Mathematik für Geowissenschaftler
dx
(% i 2 4 )
ode2 (
dgl1 ,
y,
x);
1
y = s i n ( x ) (−−−−−− + %c )
(% o 2 4 )
tan ( x )
(% i 2 5 )
trigsimp (%);
(% o 2 5 )
y = %c
sin (x) + cos (x)
Anfangswertaufgabe: Harmonische Schwingungen z.B. eines Pendels werden durch
folgende Dierentialgleichung beschrieben und mittels ode2 und ic2 gelöst:
(% i 3 8 )
dgl2 :
' d i f f (y , x ,2)
+ y = 0;
2
d y
−−−
(% o 3 8 )
+ y = 0
2
dx
(% i 3 9 )
ode2 ( dgl2 ,
y,
x);
(% o 3 9 )
(% i 4 0 )
y = %k1
i c 2 (% ,
x =0 ,
y=y0 ,
s i n ( x ) + %k2
cos (x)
' d i f f (y , x )=0);
(% o 4 0 )
y = cos (x)
y0
Randwertaufgabe: Bei gleichmäÿiger Belastung lässt sich die Biegelinie eines auf 2
Sützen ruhenden Balkens unter bestimmten Umständen durch folgende Dierentialgleichung beschreiben und mittels ode2 und bc2 lösen:
(% i 4 1 )
dgl3 :
' d i f f (y , x ,2)
= x
−
x ^2;
2
d y
2
−−−
(% o 4 1 )
= x
2
−
x
dx
(% i 4 2 )
ode2 ( dgl3 ,
y,
x);
4
3
− 2 x
− −−−−−−−−−
x
(% o 4 2 )
y =
+ %k2
x + %k1
12
(% i 4 3 )
b c 2 (% ,
x =0 ,
y =0 ,
x =1 ,
y =0);
4
3
− 2 x
x
− −−−−−−−−− − −−
x
(% o 4 3 )
y =
12
(% i 4 5 )
12
expand ( % ) ;
4
Seite 145
3
Mathematik für Geowissenschaftler
x
(% o 4 5 )
x
− −−
y =
+
12
Matrizenrechnung
x
−− − −−
6
12
Mit Maxima lassen sich allgemeine Matrizenoperationen durch-
führen.
(% i 7 9 ) m: m a t r i x ( [ a , 0 ] , [ b , 1 ] )
[
(% o 7 9 )
a
0
b
1
]
[
]
[
]
(% i 8 0 ) m^2
[
2
[
(% o 8 0 )
]
a
0
]
[
]
[
2
[
]
b
1
]
(% i 8 1 ) m . m
[
(% o 8 1 )
2
[
]
a
0
b + b
1
]
[
]
[
a
(% i 8 2 ) m[ 1 , 1 ] ∗ m
[
(% o 8 2 )
2
[
]
a
0
]
[
]
[
(% i 8 3 ) 1−%t h (2)+%
]
1
]
]
1
(% o 8 4 )
−
[
1
[
−
[
b
a
[x,y]
]
]
0
a
]
]
[
]
[
b
[
− −
[
(% i 8 6 )
a
1
[
(% o 8 5 )
b
[
(% i 8 4 ) m^^( − 1)
(% i 8 5 )
a
[
(% o 8 3 )
]
]
1
a
]
]
. m
[
b y + a
matrix ( [ a , b , c ] , [ d , e , f ] , [ g , h , i ] )
Seite 146
x
y
]
Mathematik für Geowissenschaftler
[
a
b
c
]
d
e
f
]
g
h
i
[
(% o 8 6 )
[
]
[
[
(% i 8 7 )
]
]
%^^2
[
2
]
[
c
g + b d + a
c
h + b
e + a
b
c
i
+ b
f + a
c
]
f
i
+ e
f + c
d
]
[
]
(% o 8 7 )
[
2
]
[
f
g + d
e + a
d
f
h + e
+ b d
[
]
[
2
]
[
g
i
+ d h + a
g
h
i
+ e
h + b
g
i
+ f
h + c
g
]
(% o 8 7 )
done
Auÿerdem lassen sich u. a. die Determinante, die Inverse, die Eigenwerte und
-vektoren einer Matrix berechnen. Die Matrix darf dabei auch symbolische Ausdrücke enthalten. eigenvalues(m) ergibt als Ergebnis eine Liste, bestehend aus 2
Unterlisten. Die erste Unterliste enthält die Eigenwerte, die zweite Unterliste die
entsprechenden Multipliktaroren.
%i 6 0 ) m :
matrix (
[1 ,
0,
0] ,
[0 ,
2,
[
0] ,
[0 ,
0
0
]
0
2
0
]
0
0
3
]
[
(% o 6 0 )
[
(% i 6 1 )
3]);
]
[
[
0,
1
]
e i g e n v a l u e s (m) ;
(% o 6 1 )
[[1 ,
2,
3] ,
[1 ,
1,
1]]
Die Funktion eigenvectors berechnet Eigenwerte, deren Multiplikatoren sowie die
Eigenvektoren der gegebenen Matrix. Die Ergebnisse werden in Listen bzw. Unterlisten zusammengefasst. Es gibt verschiedene Möglichkeiten die Auswertung zu
beeinussen nondiagonalizable, hermitianmatrix, knowneigvals. Diese werden mit
describe(eigenvectors); beschrieben.
(% i 6 2 )
(% o 6 2 )
(% i 7 1 )
e i g e n v e c t o r s (m) ;
[[[1 ,
part (
%,
2,
3] ,
[1 ,
1,
1]] ,
2);
Seite 147
[1 ,
0,
0] ,
[0 ,
1,
0] ,
[0 ,
0,
1]]
Mathematik für Geowissenschaftler
(% o 7 1 )
[1 ,
0,
0]
Weiterhin gibt es Funktionen zur Transponierung (transpose), Berechnung der
Determinante (determinant), Berechnung des charakteristischen Polynomes charpoly(Matrix, Variable), Berechnung der Inversen (invert), etc. Das Schlüsselwort
detout faktorisiert dabei die Determinante aus der Inversen.
Wichtige Maxima-Funktionen
allroots(a) Findet alle (allgemein komplexen) Wur-
zeln einer Polynomialgleichung.
append(a,b) Fügt Liste b an a an.
apropos(a); Liefert zu einem Stichwort mögliche Befehle/Funktionen.
assume(a1, a2, ...); Annahmen über Symbole, welche Vereinfachungen und Auösen von Gleichungen beeinussen. Beispiel: assume( x >= 0); -> solve( x^2 = 4);
-> x = 2. Ohne die Annahme [x = 2, x = -2]
atensimp(a>) Vereinfacht algebraische Tensorausdrücke.
batch(a) Lädt und startet Programm/File a.
bc1, bc2 ( DGL, x=x0, y=y0, x=x1, y=y1) Lösung einer Randwertaufgabe einer
DGL nach Behandlung mit ode2.
charpoly(Matrix, Variable) Berechnet das charakteristische Polynom einer Matrix
bzgl. der gegebenen Variable.
coe(a,b,c) Koezienten von b der Potenz C in Ausdruck a.
concat(a,b) Generiert ein Symbol ab.
cons(a,b) Fügt a in Liste b als erstes Element ein.
demoivre(a) Transformiert alle komplexen Exponentialterme in trigonometrische.
denom(a) Nenner von a.
depends(a,b) Erklärt a als Funktion von b (nützlich für Dierentialgleichungen).
desolve(a,b) Versucht ein lineares System a von gew. DGLs nach unbekannten b
mittels Laplace-Transformation zu lösen.
describe(a) Beschreibt einen Befehl oder eine Funktion näher. Evtl. wird nachgefragt, welcher Aspekt eines Befehls oder einer Befehlsgruppe näher beschrieben
werden soll.
determinant(a) Determinante
di(a,b1,c1,b2,c2,...,bn,cn) Gemischte partielle Ableitung von a nach bi der Stufe
ci.
eigenvalues(a) Berechnet die Eigenwerte und ihre Multiplikatoren.
Seite 148
Mathematik für Geowissenschaftler
eigenvectors(a) Berechnet Eigenvektoren, Eigenwerte und Multiplikatoren.
entermatrix(a,b) Matrixeingabe
ev(a,b1,b2,...,bn) Berechnet Ausdruck a unter Annahmen bi (Gleichungen, Zuweisungen, Schlüsselwörter (numer - Zahlenwerte, detout - Matrixinverse ohne Determinante, di - alle Ableitungen werden ausgeführt). NUR bei direkter Eingabe
kann ev weggelassen werden. example(a) Zeigt Beispiele für die Verwendung eines
Befehls oder einer Funktion an. Nicht für jede Funktion sind Beispiele vorhanden.
expand(a) Algebraische Expansion (Distribution).
exponentialize(a) Transformiert trigonometrische Funktionen in ihre komplexen
Exponentialfunktioen. factor(a) Faktorisiert a. fortran(a) Konvertiert einen Ausdruck in einen Fortran-Ausdruck, soweit möglich.
foursimp(a) Vereinfacht trigonometrische Funktionen, welche (ganzzahlige) Vielfache von Pi enthalten in Abhängigkeit verschiedener Flags.
freeof(a,b) Ergibt wahr, wenn b nicht a enthält.
fullratsimp(a) Wiederholte Ausführung von ratsimp, gefolgt von nicht-rationalen
Vereinfachungen bis keine weitere Veränderung auftritt. grind(a) Darstellung einer
Variable oder Funktion in einer kompakten eindimensionalen Form.
ic1, ic2 ( dgl, x=x0, y=y0, dy0/dx = y1) Lösung einer Anfangswertaufgabe einer
DGL (nach Behandlung mit ode2).
ident(a) Einheitsmatrix a x a.
imagpart(a) Imaginärteil von a.
integrate(a,b) Berechnungsversuch des unbestimmten Integrals a nach b.
integrate(a,b,c,d) Berechnung des Integrals a nach b in den Grenzen b=c und b=d.
invert(a) Inverse der Matrix a.
kill(a) Vernichtet Variable/Symbol a oder alle Variablen/Symbole (all).
limit(a,b,c) Grenzwertbestimmung des Ausdrucks a für b gegen c.
lhs(a) Linke Seite eines Ausdrucks.
loadle(a) Lädt eine Datei a und führt sie aus.
makelist(a,b,c,d) Generiert eine Liste von a(b) mit b=c bis b=d.
map(a,b) Wendet a auf b an.
matrix(a1,a2,...,an) Generiert eine Matrix aus Zeilenvektoren.
num(a) Zähler von a.
ode2(a,b,c) Löst gewöhnliche Dierentialgleichungen 1. und 2. Ordnung a für b als
Funktion von c.
Seite 149
Mathematik für Geowissenschaftler
part(a,b1,..,bn) Extrahiert aus a die Teile bi.
playback(a) Zeigt die a letzten Labels an, wird a weggelassen, so werden alle Zeilen
zurückgespielt.
print( a1, a2, a3, ... ) Zeigt die Auswertung der Ausdrücke an.
rat(a) Umwandlung von a in eine kanonische rationale Form.
ratsimp(a) Vereinfacht a und gibt einen Quotienten zweier Polynome zurück.
radcan(a) Vereinfacht Ausdrücke für log-, exp, Radikale in eine kanonische oder
eine reguläre Form. Die Dierenz gleicher Ausdrücke verschieden Aussehens kann
so zu NULL vereinfacht werden.
realpart(a) Realteil von a
rhs(a) Rechte Seite einer Gleichung a.
save(a,b1,..., bn) Generiert eine Datei a (im Standardverzeichnis), welche Variablen, Funktionen oder Arrays bi enthält. So generierte Dateien lassen sich mit
loadle zurückspielen. Wenn b1 all ist, wird alles bis auf die Labels gespeichert.
solve(a,b) Algebraischer Lösungsversuch für ein Gleichungssystem oder eine Gleichung a für eine Variable oder eine Liste von Variablen b. Gleichungen können =0
abkürzen.
string(a) Konvertiert einen Ausdruck in Maximas lineare Notation.
stringout(a,b1,..bn) Generiert eine Datei a im Standardverzeichnis, bestehend aus
Symbolen bi. Die Datei ist im Textformat und nicht dazu geeignet von Maxima
geladen zu werden. Die Ausdrücke können aber genutzt werden, um sie in Fortran,
Basic oder C-Programmen zu verwenden.
subst(a,b,c) Ersetzt a für b in c.
taylor(a,b,c,d) Taylorreihenentwicklung von a nach b in Punkt c bis zur Ordnung
d.
translate_le(lename) Übersetzt ein Maxima-File in ein LISP-File (Abschnitt
Inx-Prex Konversion).
transpose(a) Transponiert Matrix a.
trigexpand(a) Eine Vereinfachungsroutine, welche trigonometrische Winkelsummen nutzt, um einen Ausdruck zu vereinfachen.
trigreduce(a) Eine Vereinfachungsroutine für trigonometrische Produkte und Potenzen.
trigsimp(a) Eine Vereinfachungsroutine, welche verschiedene trigonometrische Funktionen in sin und cos Equivalente umwandelt.
vectorsimp(a) Wendet Vereinfachungen und Expansionen bzgl. Vektoroperationen
in Abhängigkeit verschiedener globaler Flags an.
with_stdout( Datei, Ausdrücke); Leitet die Ausgabe der Ausdrücke in die angegebene Datei um. Hiebei kann kein variabler Dateinamen angegeben werden.
Seite 150
Mathematik für Geowissenschaftler
2.0.8 E: Stetigkeit
Erinnerung: f : X → R , X ⊂ R ist in x0 ∈ X
stetig, wenn gilt:
∀ > 0∃δ > 0∀x ∈ X : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < δ
f
ist stetig (schlechthin), wenn
f
x0 ∈ X
in jedem
stetig ist.
Beispiele: i) Die Funktion f : R → R. x 7→ x ist überall stetig
Grund: Sei > 0. Wähle δ = . Ist nun |x − x0 | < δ = , so ist |f (x) − f (x0 )| =
|x − x0 | < √
ii)
· : R≥0 → R
ist überall stetig
Grund: Sei > 0. Wähle δ :=
√
√
2
√
√
x≥
x
. Dann gilt:
x
−
x
= x−2 xx0 +x0 ≤
+x√
0
0
0 = x−x0 .
√
√
√ x−2x
√
√ 0
Daher ist
x−
x
≤
x
−
x
. Ist also |x−x0 | ≤ δ , so ist
x−
x
≤
x − x0 ≤
0
0
0
√
δ = .
1. Fall:
Der 2. Fall verläuft analog.
iii) Die Funktion sgn(x) ist nicht stetig in
0,
da
|f (x) − f (0)| ≥ 1
für
x 6= 0.
iv) Die Funktion
(
f (x) =
ist in
0
sin
0
1
x
für
für
x 6= 0
x=0
nicht stetig.
v) Die Funktion
f : R → R, x 7→ xn
ist stetig
Grund: Sei 0 ≤ x ≤ x0 . Dann ist |xn − xn0 | = −(xn0 − xn ) = −(x0 − x)(x0n−1 +
xn−2
x + . . . + x0 xn−2 + xn−1 ) ≤ |x − x0 | · (n + 1) · xn−1
. Dieser Ausdruck wird
0
0
beliebig klein für x nahe bei x0 . Alle anderen Fälle gehen analog.
Grund: Wir betrachten die Punkte xn:= π2 + n · 2π. Es ist sin π2 = 1 und wegen
1
der 2π−Periodizität des Sinus gilt sin
= sin π2 = 1. Nun wird x1n beliebig
xn
1
klein. Also ndet man beliebig nahe bei 0 ein xn0 . Aber | sin
− sin(0)| = 1,
xn
0
wird also nicht beliebig klein.
Satz: Sind f, g : X
→R
stetige Funktionen,
eine stetige Funktion.
X ⊂ R,
so ist auch
f +g : X → R
Grund: Für alle > 0 gibt es δ1 , δ2 > 0 , so daÿ |x−x0 | < δ1 ⇒ |f (x)−f (x0 )| < 2
und
|x − x0 | < δ2 ⇒ |g(x) − g(x0 )| <
2 . Setze
δ := min(δ1 , δ2 ).
Dann gilt:
|(f + g)(x) − (f + g)(x0 )| = |f (x) − f (x0 ) + g(x) − g(x0 )|
Seite 151
Mathematik für Geowissenschaftler
≤ |f (x) − f (x0 )| + |g(x) − g(x0 )| < 2
=
2
Satz: Sei f wie im vorigen Satz, λ ∈ R. Dann ist λf stetig.
Grund: Ist λ = 0, so ist das trivialerweise richtig. Sei also λ 6= 0.
|λ| . Es ist also
> 0 existiert δ > 0, mit |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| <
|λf (x) − λf (x0 )| < |λ| |λ|
=
Zu
Bemerkung: Die letzten beiden Sätze zeigen, daÿ die stetigen Funktionen (mit
gemeinsamer Denitionsmenge) einen Vektorraum bilden.
Folgerung: Jedes Polynom deniert eine stetige Funktion.
Satz: Sind f, g : X → R stetige Funktionen, X ⊂ R, so auch f · g.
Grund: Es ist f (x)g(x) − f (x0 )g(x0 ) = f (x)g(x) − f (x0 )g(x) + f (x0 )g(x) −
f (x0 )g(x0 ) = g(x)(f (x) − f (x0 )) + f (x0 )(g(x) − g(x0 ))
(*)
δ1 > 0, so daÿ |f (x0 )(g(x) − g(x0 ))| < /2 (oder äquivalent dazu: |g(x) −
) für alle x ∈ X , mit |x − x0 | < δ1 . Weiter wählen wir δ2 > 0,
g(x0 )| < |2f (x
0 )|
so daÿ |g(x) − g(x0 )| < 1 ist für alle x ∈ X , mit |x − x0 | < δ2 . Folglich gilt:
|g(x)| < |g(x0 )| + 1 für alle x ∈ X , mit |x − x0 | < δ2 . Zum Schluÿ wählen wir δ3 ,
so daÿ |f (x) − f (x0 )| <
2|g(x0 )|+2 für alle x ∈ X . mit |x − x0 | < δ3 gilt. Insgesamt
Wähle
haben wir dann:
|(∗)| < (|g(x0 )| + 1) ·
für alle
x ∈ X,
Satz: Ist f
für
x
nahe
+ =
2(|g(x0 )| + 1) 2
|x − x0 | < min{δ1 , δ2 , δ3 }.
mit
: (a, b) → R
c.
stetig und ist
f (c) > 0
Grund: Sei d := f (c). Dann ist |f (x) − d| <
d−
d
2
< f (x) < d +
d
2.
für ein
d
2 für
x
c ∈ (a, b),
nahe bei
so ist
c.
Also
f (x) > 0
0<
d
2
=
Satz(Nullstellensatz von Bolzano): Ist f : [a, b] → R stetig und ist f (a) < 0 <
f (b),
so gibt es ein
c ∈ (a, b)
mit
f (c) = 0.
Grund: Wir betrachten A := {x ∈ [a, b] | f (x) ≤ 0}. Dann ist A oben beschränkt
a ∈ A ist A 6= ∅. Also existiert α = sup(A) ∈ R. Sicher
B ⊂ [a, b], da alle oberen Schranken für [a, b] auch obere
Schranken für B sind: sup B ≤ b. Also ist α ≤ b. Wäre f (α) > 0, so wäre auch
f (x) > 0 für ein Intervall (α − δ, α + δ). Sei x0 ∈ (α − δ, α). Dann ist aber x0 keine
obere Schranke von A mehr und es existierte x1 ∈ A, mit x1 > x0 . Also gälte
x0 < x1 < α, also x1 ∈ (α − δ, α), mithin f (x1 ) > 0 im Widerspruch zu x ∈ A.
Also ist f (α) ≤ 0. Wäre nun f (α) < 0 , so auch f (x) < 0 für x0 nahe bei α und
x0 > α, also x0 ∈ A und x0 > α und damit im Widerspruch dazu, daÿ α obere
Schranke von A ist. Also ist f (α) = 0, was wiederum α 6= a, b impliziert.
(durch
b)
und wegen
gilt für jede Teilmenge
Seite 152
Mathematik für Geowissenschaftler
Zwischenwertsatz: Sei f : [a, b] → R stetig. Dann wird jeder Wert zwischen f (a)
und
f (b)
angenommen.
Grund: Ist f (a) = f (b), so ist nichts zu zeigen. Sei also f (a) 6= f (b). Für y echt
f (x)−y
f (b)−f (a) . Dann hat g in a und b
verschiedenes Vorzeichen. Also gibt es eine Nullstelle von g zwischen a und b. Diese
zwischen
sei
c.
g(a)
Dann ist
und
g(b)
denieren wir
g(x) :=
f (c) = y .
Satz: Ist f : X → R stetig und f 6= 0 auf X , so ist
Grund: Sei f (a) > 0. Dann ist
1
f stetig auf
X
1
1 f (a) − f (x) f (x) − f (a) = f (x)f (a) Wählen wir nun
x
|f (x)| > |f (a)|
2 , so gilt :
f (a) − f (x) 2
f (x)f (a) < |f (x) − f (a)| |f (a)|2
nahe bei
a,
mit
was oensichtlich beliebig klein für
x
nahe bei
a
wird.
Satz: Ist f : X → Y surjektiv uns stetig und g : Y → R stetig, so auch g ◦ f .
Grund: g(b) und g(y) liegen beliebig nahe beieinander, wenn y nahe bei b ist. Nun
ist
y = f (x)
und
b = f (a) für x, a ∈ X . Diese
x genügend nahe bei a ist.
beieinander, wenn
Seite 153
liegen nun wiederum beliebig nahe