On a Product of Two Points Induced by Their Cevian Triangles

On a Product of Two Points Induced
by Their Cevian Triangles
Vortrag von Katharina Jochemko
und Andreas Wohlgemuth
16.05.2008
Gliederung:
I.
Motivation
II.
Grundlegendes
III. Satz von Ceva
IV. Verschiedene Sätze zum T (P0 , P1 ) Produkt
V.
Einbeschriebene Dreiecke, die ein gegebenes Anticeva Dreieck
umschreiben
I.
Motivation
Ein bekanntes Problem der Dreiecksgeometrie ist es zu zeigen, dass
die entsprechenden Seiten des Höhendreiecks, des Inkreisdreiecks und
des Ceva-Dreiecks des Inkreismittelpunkts sich in einem Punkt
schneiden.
II. Grundlegendes
Was ist ein Ceva Dreieck?
II. Grundlegendes
Was ist ein Ceva Dreieck?
II. Grundlegendes
Was ist ein Ceva Dreieck?
II. Grundlegendes
Was ist ein Ceva Dreieck?
II. Grundlegendes
Was ist ein Anti-Ceva Dreieck?
II. Grundlegendes
Was ist ein perspektivisches Dreieck?
Zwei Dreiecke ABC und A’B’C’ heißen perspektivisch bezüglich einem
Punkt P, wenn sich die Geraden AA’, BB’ und CC’ in P schneiden.
Spezialfall: ABC ist Ceva-/Anticevadreieck
von A’B’C’
III. Der Satz von Ceva
Die drei nicht parallelen Ecktransversalen AA', BB' und CC' des
Dreiecks ABC schneiden sich genau dann in einem Punkt, wenn
für die Teilverhältnisse auf den Dreiecksseiten gilt:
(AC' )/(C'B) × (BA' )/(A'C) × (CB' )/(B'A) = 1.
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
„Γ Vorausgesetzt sei, dass sich die Ecktransversalen in einem Punkt P
schneiden. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit dürfen wir annehmen,
dass P im Winkelraum BAC (ohne Rand) liegt. Wir ziehen die Parallele zu
AB durch C.
Dann gibt es drei Lagen von P:
1. Fall: Im Innern von Dreieck ABC
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
2. Fall: außerhalb von Dreieck ABC und "unterhalb" der Parallelen
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
3. Fall: Außerhalb von Dreieck ABC und "oberhalb" der Parallelen
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
Betrachten wir den ersten Fall!
Vier Paare ähnlicher Dreiecke sind zu erkennen. Wir schreiben die
Ähnlichkeitsbeziehung immer so auf, dass entsprechende Ecken in
derselben Reihenfolge stehen. Das erspart das mühsame Suchen, welche
Strecken einander entsprechen.
Es gilt ΔAC'P ~ ΔDCP und ΔC'BP ~
Längen der ungerichteten Seiten
ΔCEP. Daraus folgt für die
λ (AC')/ λ(C'P) = λ (DC)/λ (CP) und λ (C'P)/λ (C'B) = λ (CP)/λ (CE).
Die Multiplikation der beiden Gleichungen ergibt
(1) λ (AC')/λ (C'B) = λ (DC)/ λ(CE).
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
Weiter gilt Δ ABA' ~ ΔDCA'. Hieraus folgt
(2) λ (BA')/ λ(A'C) = λ (AB)/λ (DC).
Aus ΔABB' ~ ΔCEB' folgt
(3) λ (CB')/ λ(B'A) = λ (CE)/
λ(AB).
Bei Multiplikation von (1), (2) und (3) heben sich die Ausdrücke rechts auf, und
es ergibt sich
(4) λ (AC')/λ (C'B) × λ (BA')/ λ (A'C) × λ (CB')/ λ (B'A) = 1.
Die Teilpunkte liegen alle im Innern der Seiten, die Teilverhältnisse sind positiv.
Es gilt also wie behauptet:
(AC' )/(C'B) × (BA' )/(A'C) × (CB' )/(B'A) = 1.
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
In den zwei anderen Fällen ergibt sich analog die Beziehung (4). Die
Seiten AB und CA werden außen geteilt, die Seite BC innen. Also sind
zwei Teilverhältnisse negativ, eines ist positiv. Damit ist das Produkt
positiv, und es gilt wieder die Behauptung.
„Í“ Vorausgesetzt wird jetzt: Die drei (nicht parallelen) Ecktransversalen
teilen die Seiten so, dass
(5) (AC' )/(C'B) × (BA' )/(A'C) × (CB' )/(B'A) = 1.
Da die Ecktransversalen nicht parallel sein dürfen, schneiden sich
mindestens zwei von ihnen; ohne Beschränkung der Allgemeinheit seien
dies AA' und BB'. Ihr Schnittpunkt heiße P.
[ausgeschossen: P liegt auf der Parallelen zu AB durch C].
Wir ziehen die Ecktransversale von C durch P.
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
Es ist zu zeigen, dass sie mit der schon vorhandenen Ecktransversalen
CC' übereinstimmt. Sie schneidet AB in C*. Da sich AA', BB' und CC* in P
schneiden, gilt nach dem ersten Teil des Satzes
(AC*)/(C*B) × (BA' )/(A'C) × (CB' )/(B'A) = 1.
Wegen (AC' )/(C'B) × (BA' )/(A'C) × (CB' )/(B'A) = 1 folgt
(AC*)/(C*B) = (AC' )/(C'B).
Die Punkte C* und C' fallen also zusammen und damit auch CC* und CC'.
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
Zum Spezialfall: P liegt auf der Parallelen zu AB durch C
III. Der Satz von Ceva
Beweis:
Aus Dreieck ABA' ~ Dreieck PCA' folgt
aus Dreieck ABB' ~ Dreieck CPB' folgt
Multiplikation ergibt
λ(BA')/ λ(A'C) = λ(AB)/ λ(PC), und
λ(CB')/ λ(B'A) = λ(CP)/ λ(AB).
λ(BA')/ λ (A'C) × λ(CB')/ λ (B'A) = 1.
Die Seite BC wird innen, die Seite CA außen geteilt.
Damit gilt (BA')/(A'C) × (CB')/(B'A) = –1.
Mit der Voraussetzung (5) folgt (AC')/C'B) = –1.
Ein Teilverhältnis kann den Wert –1 aber nicht annehmen. Also kann P nicht
auf der Parallelen zu AB durch C liegen.
Anwendung: Der Gergonne Punkt
Der Gergonne-Punkt eines Dreiecks ist ein ausgezeichneter Punkt im Inneren
eines Dreiecks. Gergonne zeigte, dass sich die Verbindungsstrecken zwischen den
Ecken und den Berührpunkten des Inkreises mit den jeweils gegenüber liegenden
Seiten in einem Punkt – dem Gergonne-Punkt – schneiden.
Beweis: Dass sich diese Strecken in einem Punkt schneiden, folgt aus [AZ‘] = [AY‘]
usw. und dem Satz von Ceva.
IV. Verschiedene Sätze zum T
(P0 , P1 ) Produkt
Das Ceva Nest Theorem
Sei ABC ein beliebiges Dreieck, und A’B’C’ ein Cevadreieck bezüglich
ABC. Ist A’’B’’C’’ ein Cevadreieck bezüglich A’B’C’, so schneiden sich
AA’’, BB’’, CC’’ in einem Punkt.
Beweis: Mit Satz von Ceva.
Deshalb gilt: Das Dreieck X’Y’Z’ ist sowohl zu X0Y0Z0 als auch zu X1Y1Z1
perspektivisch.
Genauer gilt:
Satz 1
Das Dreieck X’Y’Z’ ist perspektivisch zum
(i) Dreieck X0Y0Z0 bezüglich dem Punkt
2
2
⎛ ⎛ v w ⎞2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
w
u
u
v
0
0
0
0
0
0
⎜
P0 /(T ( P0 , P1 )) = u0 ⎜⎜ − ⎟⎟ : v0 ⎜⎜ − ⎟⎟ : w0 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ v1 w1 ⎠
⎝ w1 u1 ⎠
⎝ u1 v1 ⎠ ⎟⎠
⎝
(ii) Dreieck X1Y1Z1 bezüglich dem Punkt
2
⎛ ⎛ v w ⎞2 ⎛ w u ⎞2
⎞
⎞
⎛
u
v
1
1
1
1
1
1
⎜
P1 /(T ( P0 , P1 )) = u1 ⎜⎜ − ⎟⎟ : v1 ⎜⎜ − ⎟⎟ : w1 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ v0 w0 ⎠
⎝ u0 v0 ⎠ ⎟⎠
⎝ w0 u0 ⎠
⎝
Wobei:
⎛ ⎛ q q
q ⎞ ⎛q q
q ⎞ ⎛q q
q ⎞⎞
P / Q := ⎜⎜ q1 ⎜⎜ − 1 + 2 + 3 ⎟⎟ : q2 ⎜⎜ 1 − 2 + 3 ⎟⎟ : q3 ⎜⎜ 1 + 2 − 3 ⎟⎟ ⎟⎟
⎝ ⎝ p1 p2 p3 ⎠ ⎝ p1 p2 p3 ⎠ ⎝ p1 p2 p3 ⎠ ⎠
der Cevaquotient von P und Q ist.
Satz 1:
Satz 1:
Beweis:
P0 = (u0 : v0 : w0 )
P1 = (u1 : v1 : w1 )
X 0 = (0 : v0 : w0 )
Y0 = (u0 : 0 : w0 )
Z 0 = (u0 : v0 : 0 )
X ' = (u0u1 (v0 w1 − w0 v1 ) :v0 v1 (u0 w1 − w0u1 ) : w0 w1 (v0u1 − u0 v1 ))
Y ' = (u0u1 (w0 v1 − v0 w1 ) :v0 v1 (w0u1 − u0 w1 ) : w0 w1 (v0u1 − u0 v1 ))
Z ' = (u0u1 (w0 v1 − v0 w1 ) :v0 v1 (u0 w1 − w0u1 ) : w0 w1 (u0 v1 − v0u1 ))
⎛ ⎛ v0 w0 ⎞ ⎛ w0 u0 ⎞
⎛ u0 v0 ⎞ ⎞
T ( P0 , P1 ) = ⎜⎜ u0 ⎜⎜ − ⎟⎟ : v0 ⎜⎜ − ⎟⎟ : w0 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟
⎝ u1 v1 ⎠ ⎠
⎝ ⎝ v1 w1 ⎠ ⎝ w1 u1 ⎠
⎛ ⎛ v1 w1 ⎞ ⎛ w1 u1 ⎞
⎛ u1 v1 ⎞ ⎞
⎜
= ⎜ u1 ⎜⎜ − ⎟⎟ : v1 ⎜⎜ − ⎟⎟ : w1 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟⎟
⎝ u0 v0 ⎠ ⎠
⎝ ⎝ v0 w0 ⎠ ⎝ w0 u0 ⎠
2
2
⎛ ⎛ v w ⎞2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
w
u
u
v
0
0
0
0
0
0
⎜
P0 /(T ( P0 , P1 )) = u0 ⎜⎜ − ⎟⎟ : v0 ⎜⎜ − ⎟⎟ : w0 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ v1 w1 ⎠
⎝ w1 u1 ⎠
⎝ u1 v1 ⎠ ⎟⎠
⎝
2
⎛ ⎛ v w ⎞2 ⎛ w u ⎞2
⎞
⎞
⎛
u
v
1
1
1
1
1
1
⎜
P1 /(T ( P0 , P1 )) = u1 ⎜⎜ − ⎟⎟ : v1 ⎜⎜ − ⎟⎟ : w1 ⎜⎜ − ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ v0 w0 ⎠
⎝ u0 v0 ⎠ ⎟⎠
⎝ w0 u0 ⎠
⎝
X 1 = (0 : v1 : w1 )
Y1 = (u1 : 0 : w1 )
Z1 = (u1 : v1 : 0)
Satz 1:
⎛
⎛
⎛ v0 w0 ⎞
⎛ w0 u0 ⎞
⎛ u0 v0 ⎞ ⎞
⎜
⎜ u0 ⎜ − ⎟ v0 ⎜ − ⎟ w0 ⎜ − ⎟ ⎟
⎜v w ⎟
⎜w u ⎟
⎜u v ⎟⎟
⎜ ⎛ v0 w0 ⎞⎜
1
1 ⎠
1
1 ⎠
1 ⎠
⎝
⎝
+
+ ⎝ 1
:
P0 /(T ( P0 , P1 )) = ⎜ u0 ⎜⎜ − ⎟⎟⎜ −
⎟
w0
v0
u0
⎜ ⎝ v1 w1 ⎠⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎝
⎠
⎝
⎛ ⎛ v0 w0 ⎞
⎛w u ⎞
⎛u v ⎞⎞
⎜ u0 ⎜⎜ − ⎟⎟ v0 ⎜⎜ 0 − 0 ⎟⎟ w0 ⎜⎜ 0 − 0 ⎟⎟ ⎟
v w1 ⎠
w1 u1 ⎠
u1 v1 ⎠ ⎟
⎛ w u ⎞⎜
⎝
⎝
v0 ⎜⎜ 0 − 0 ⎟⎟⎜ ⎝ 1
−
+
:
⎟
u0
v0
w0
⎝ w1 u1 ⎠⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛ ⎛ v0 w0 ⎞
⎛ w0 u0 ⎞
⎛ u0 v0 ⎞ ⎞ ⎞⎟
⎜ u0 ⎜ − ⎟ v0 ⎜ − ⎟ w0 ⎜ − ⎟ ⎟
⎜w u ⎟
⎜ u v ⎟ ⎟⎟
⎛ u0 v0 ⎞⎜ ⎜⎝ v1 w1 ⎟⎠
1 ⎠
1 ⎠
+ ⎝ 1
− ⎝ 1
w0 ⎜⎜ − ⎟⎟⎜
⎟⎟
w
v
u
u
v
0
0
0
1 ⎠⎜
⎝ 1
⎟⎟
⎜
⎟⎟
⎝
⎠⎠
Beweis:
2
2
⎛ ⎛ v w ⎞2
⎞
⎛
⎞
⎛
⎞
w
u
u
v
= ⎜ u0 ⎜⎜ 0 − 0 ⎟⎟ : v0 ⎜⎜ 0 − 0 ⎟⎟ : w0 ⎜⎜ 0 − 0 ⎟⎟ ⎟
⎜ ⎝ v1 w1 ⎠
w1 u1 ⎠
u1 v1 ⎠ ⎟
⎝
⎝
⎝
⎠
Satz 2:
Die Gerade durch P0 /(T ( P0 , P1 )) und P1 /(T ( P0 , P1 )) ist die trilineare Polare von
T (P0 , P1 )
bezüglich des Dreiecks ABC und ist außerdem die vierte
gemeinsame Tangente an die einbeschriebenen Elipsen mit den
Perspektivenpunkten P0 und P1
Definition (Trilineare Polare)
Zu P = (u : v : w) ist die Gerade mit Gleichung
x
y
z
+
+
= 0
u
v
w
die trilineare Polare zu P.
V. Einbeschriebene Dreiecke, die ein gegebenes Anticeva
Dreieck umschreiben
Satz 3
Sei P ein gegebener Punkt mit einem Anticeva Dreieck X’Y’Z’. Falls XYZ ein
einbeschriebenes Dreieck des Dreiecks ABC ist (mit X, Y, Z auf den Seiten
BC, CA, AB ), so dass X‘, Y‘, Z‘ jeweils auf den Geraden YZ, ZX, XY liegen,
d.h. X‘Y‘Z‘ ist ein einbeschriebenes Dreieck von XYZ, dann ist XYZ ein Ceva
Dreieck eines Punktes Q auf dem Kegelschnitt mit Perspektivenpunkt P.
Satz 4
Der Ort des Perspektivenpunktes des Aniceva Dreiecks von P und das Ceva
Dreieck eines Punktes Q auf dem Kegelschnitt mit Perspektivenpunkt P ist die
trilineare Polare von P.
VII. Brianchon-Poncelet Theorem
Für P0 = H, dem Höhenschnittpunkt, und P1 = X 7 , dem Gorgonne Punkt,
haben wir T P0 , P1 = X 650 . Der Kegelschnitt durch P0 und P ist:
(
)
1
a(b − c)(b + c − a) yz + b(c − a)(c + a − b) zx + c(a − b)(a + b − c) xy = 0
der Feuerbach Kegelschnitt, welche die isogonale Konjugierte der Strecke OI
ist, und als Zentrum den Feuerbachpunkt
X 11 = ((b − c) 2 (b + c − a) : (c − a ) 2 (c + a − b) : (a − b) 2 (a + b − c))
hat.