Umkehrung und Winkel

Fachdidaktik Seminar –
Kernideen der Mathematik
Sommersemester 2009
Universität Mainz
Johanna Trinkhaus, Timo
Schweißguth
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Inhalt der Präsentation
Umkehrungen in Mathematikunterricht –
Was geht, was geht nicht?
Winkel um Mathematikunterricht
–
Wo kommen sie vor?
Unterrichtsplanung zum
Innenwinkelsummensatz von Dreiecken
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen – Satz des
Pythagoras
Satz des Pythagoras:
 Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges
Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt:
a ²  b²  c ²
Umkehrung:
 Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c
gegeben und es gelte a ²  b²  c ².
Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges
Dreieck mit AB  c als Hypotenuse.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen – Satz des
Pythagoras
Beweisidee:
 Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck
mit den Katheten a und b und zeigen, dass
dieses kongruent zum Dreieck aus der
Umkehrung ist.
Schüler sollen an diesem wichtigen und
bekannten Satz lernen, worauf es bei
Umkehrungen und Beweisen ankommt.
Dies ist dann eine gute Übung, um das
mathematische Argumentieren zu
trainieren. (Kompetenz K1)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen – Satz des Thales
Satz des Thales:
 Die freien Ecken C aller rechtwinkligen
Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse
AB liegen auf einem Kreis mit AB als
Durchmesser.
Umkehrung:
 Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf
einem Kreis liegen, dass eine Seite
Kreisdurchmesser ist, besitzt einen
rechten Winkel.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen – Satz des Thales
Beweis:
 Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu
einem Rechteck und Betrachtung der
beiden Diagonalen
Vorkenntnisse:
 Diagonalen eines Rechtecks sind gleich
lang
 Diagonalen eines Rechtecks halbieren
sich gegenseitig
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen - Strahlensätze
Strahlensätze
 1. Strahlensatz
 Merkregel:
 2. Strahlensatz
Umkehrung:
 Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der zweite
allerdings nicht.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen - Strahlensätze
Beweise/Begründungen
 Für den ersten Satz sollen die Schüler an
Beispielen erkennen, dass die Umkehrung
gilt
 Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein
einfaches Beispiel, dass die Umkehrung
nicht gilt. (Kreis um A mit r  AA' ergibt
weitere, nicht parallele, Strecke für die die
Behauptung gilt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Umkehrungen - Probleme
Häufig fällt es den Schülern schwer
Behauptung und Voraussetzung zu
trennen. So wird beim Beweisen vielleicht
ungültiges als Beweismittel eingesetzt.
Schüler müssen bei
Gleichungsumformungen darauf achten
ob die Umkehrung wirklich gelten kann.
(Umkehrung könnte /0 sein)
Trennung von Satz und Umkehrung
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Winkel - Höhenbestimmung
Problemstellung
Aufgabe
 Schüler gehen auf den Schulhof und sollen
die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen
und vorher eine Skizze anfertigen
 Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht
kommen
 Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Winkel - Höhenbestimmung
Vorkenntnisse:
 Umgang mit der Winkelmessung eines
Theodoliten (Einführung im Unterricht)
 Kenntnisse über trigonometrische
Funktionen
Probleme
 Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie
die Höhe des Gebäudes mit der eigenen
Größe vergleichen
 Zeichnungen allein helfen bei Messung
nicht, da der Realitätsbezug verloren geht
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Winkel – Ähnliche Dreiecke
Problem:
 Quadrat mit Seitenlänge
8cm
Aufgabe:
 Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind.
 Zeige an einem Dreieck, dass die
Seitenverhältnisse 5:4:3 sind.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Winkel – Ähnliche Dreiecke
Vorkenntnisse:
 Innenwinkelsummensatz von Dreiecken
 Definitionen von Stufen-, Wechsel- und
Nebenwinkeln
 Satz des Pythagoras
Probleme:
 Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele
 Anwendungsaufgabe
 Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Winkel – Grad- und Bogenmaß
Problem:
 Was ist b? Wie berechne ich b?
 Idee: Einheitskreis U  2
 Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil
von U ist
Aufgabestellung:
 Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins
Gradmaß umrechnen und umgekehrt
 Schüler sollen möglichst alleine allg.
Formeln aufstellen
 Was ist bei r  1 ?
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Winkel – Grad- und Bogenmaß
Vorkenntnisse:
 Berechnung vom Kreisumfang
 Umgang mit Winkeln im Bogenmaß
Probleme:
 Formale Abstraktion
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Einstiegsmöglichkeiten
Winkelsummensatz
Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen
und ausschneiden, Ecken abreißen und
zusammenlegen
Im Helf oder mit DynaGeo sollen die
Schüler versuchen ein Dreieck mit
möglichst großer Innenwinkelsumme zu
zeichnen
Abschreiten der Winkel
Formaler Ansatz für die besseren Schüler