Mathematik für Informatiker I

Mathematik für Informatiker I
Mitschrift zur Vorlesung vom 23.11.2004
Wiederholung der Halbordnung
Beispiel: ⊆ N30 “Kisten” (Abmessungen)
n
o
N = (1, 2, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (3, 3, 3), (7, 5, 3), (1, 2, 12), (8, 1, 1)
Wir wollen untersuchen, ob die Kisten ineinander passen, ohne sie zu drehen.
(Wandstärke der Kisten = 0).
n
o
S = ((a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 )) ∈ N 2 |a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 , a3 ≤ b3
(7,5,3)
(3,3,3)
@
@
(1,2,2)
(8,1,1)
(2,2,1)
@
@
(1,2,1)
Keine vollständige Ordnung
Für eine Menge M und einer Ordnungsrelation R auf M heißt ein Element x ∈ M
maximales Element, wenn für alle y ∈ M gilt x R y ⇒ x = y.
Analog minimales Element mit y R x.
Beispiel:
N mit den üblichen ≤
- hat kein maximales Element, da man zu jedem Element noch ein grösseres findet.
- hat genau ein minimales Element, die Null.
Bemerkung: Sei R ⊆ M × M eine Ordnungsrelation (Halbordnung) und N ⊆ M .
Dann ist S definiert als S = R ∩ (N × N ) eine Ordnungsrelation auf N .
- Reflexivität
- Transivität
- Antisymmetrie
Gilt für ein x ∈ M mit x R y für alle y ∈ N (M, N, S, R wie oben), so heißt x eine
obere Schranke von N . (Analog: untere Schranke.)
n
o
N = (1, 2, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (3, 3, 3), (7, 5, 3), (8, 1, 1)
3
M = N
n0
R
=
2
((a1 , a2 , a3 ), (b1 , b2 , b3 )) ∈ M : a1 ≤ b1 , a2 ≤ b2 , a3 ≤ b3
o
(8, 5, 12) ∈ N30 = M obere Schranke von N
(100, 100, 100) ebenfalls eine obere Schranke
(7,5,3)
(3,3,3)
@
@
(1,2,2)
(8,1,1)
(2,2,1)
@
@
(1,2,1)
Beispiel:
M = R, N = N0 , Ordnungsrelation ≤.
- hat keine obere Schranke, jedes x ∈ R mit x ≤ 0 ist die untere Schranke.
Ist eine obere Schranke x von N Element N , so heißt sie Maximum. (Analog:
Minimum.)
Bemerkung: Jedes Maximum ist maximales Element, aber nicht umgekehrt.
Beispiel:
Beispiel:
Das Minimum der Menge der oberen Schranke heißt Supremum. (Analog: Infinum.)
Bemerkung: Wenn ein Maximum in der ursprünglichen Menge N existiert, so ist
es gleich dem Supremum.
Beispiel :
N = {x ∈ R : x < 0}M = R
Supremum: Null
Für M = R\{0} = R? → Wenn man die Null ausschließt gibt es kein Supremum.
Inverse von Relationen
S R ⊆ A × B eine Relation. Dann heißt
n
o
R−1 = (b, a) ∈ B × A : (a, b) ∈ R
die Inverse von R.
Beispiel:
Relation: “ist Elternteil von”
Inverse: “ist Kind von”
R−1
a
1 *
2
3 - b
R
a H- 1
j
H
2
3
b
Zur Erinnerung:
Jede Funktion ist auch eine Relation. Daher gibt es zu jeder Funktion
f A → B eine inverse Relation f −1 . Wenn f −1 wieder eine Funktion
ist, so heißt f invertierbar und f −1 die inverse Funktion zu f .
a - 1
*
b
c - 2
Eine Funktion muss linksvollständig und rechtseindeutig sein.
Sei f : A → B eine Funktion. Wenn für alle a1 , a2 ∈ A gilt, dass f (a1 ) = f (a2 ) ⇒
a1 = a2 so heißt f injektiv.
D.h. a1 6= a2 → f (a1 ) 6= f (a2 ).
Sei f : A → B eine Funktion, so dass für jedes b ∈ B ein a ∈ A existiert, so dass
f (a) = b ist. Dann heißt f surjektiv.
Notation:
f : A → B, M ⊇ A
f (M ) = {f (a) ⊇ B : a ∈ M }
f (A) = imf “Bild von f ”
Bemerkung: f surjektiv gdw. imf = B.
Beispiel:
1.
a
b
- 1
2
nicht injektiv
nicht surjektiv
2.
3.
4.
a - 1
b H
*2
H
j
c H
3
injektiv
surjektiv
a - 1
b HH
j
c - 2
nicht injektiv
surjektiv
a
- 1
b
2
- 3
injektiv
nicht surjektiv
Eine Funktion heißt bijektiv, wenn sie sowohl surjektiv als auch injektiv ist (in
unserem Beispiel Nr. 2)
Satz: Eine Funktion ist genau dann invertierbar, wenn f bijektiv ist.
Seien R ⊆ A × B, S ⊆ B × C Relationen. Dann heißt die Relation
S ◦ R = {(a, c) ∈ A × C : es gibt ein b ∈ B mit (a, b) ∈ R und (b, c) ∈ S}
die Komposition von R und S.
Beispiel:
R “ist Schwester von”
S “ist Mutter von”
S ◦ R “ist die Tante mütterlicherseits von”
S ◦ S “ist Großmutter mütterlicherseits von”
Für f : A → B, g : B → C
ist g ◦ f eine Funktion A → C
g ◦ f : A → C, a → g(f (a))
-A
g◦f
a
A
A
@
R
@
b @ 2 @ B
@
@
R
@
R
@
c
3
C
A b A-B
A
AU
c
C
a
1
@
Assoziativ, d.h. h ◦ (f ◦ g) = (h ◦ g) ◦ f
Nicht kommutativ: f ◦ g g ◦ f
Beispiel:
x2 , x + 1
(x + 1)2 6= x2 + 1
Wenn f : A → B invertierbar, dann
f ◦ f −1 (b) = f (f −1 (b)) = b ∀ b ∈ B
f −1 ◦ f (a) = f −1 (f (a)) = a ∀ a ∈ A
Die Funktion A → A, a 7→ a heißt die Identität auf A, symbolisch id : A → A oder
idA . Bemerkung: idA ist ihre eigene Inverse.
Beispiel: f R → R
x 7→ 4x + 3
3
bijektiv, denn f −1 (y) = 14 (y − 3)
f −1 (f (x)) = 14 (f (x) − 3) = 14 (4x + 3 − 3) = x
Beispiel: f : N 7→ N, x 7→ 4x + 3 ist nicht surjektiv, da z.B. kein x ∈ N0 existiert
mit f (x) = 4.
11x
7x
3x
Beispiel: f : R → R x 7→ x2
Nicht surjektiv, d.h. keine negativen Elemente im Bild.
Nicht injektiv, da f (x) = f (−x) für alle x ∈ R.
+
2
−1
Beispiel: f : R+
(y) =
0 7→ R0 , x 7→ x ist bijektiv mit f
√
y.
Für positive reelle Zahlen
ist die Funktion invertierbar.
Bemerkung: Wenn f : M → M, M endlich ist, so gilt:
f surjektiv ⇔ f injektiv ⇔ f bijektiv
•H
•
•
•
HH
*
H
j
H
•
- •
•
- •
Gilt nicht für unendliche Mengen: z. B. f : N → N0 , n 7→ n + 1 ist injektiv, aber
nicht surjektiv.
Dirichletsche Schubfachprinzip
Sei f : A → B mit A, B endlich und |A| > |B|.
Dann gibt es a1 , a2 ∈ A mit a1 6= a2 und f (a1 ) = f (a2 ).
Allgemeiner: f : A → B mit A, B endlich und |A| > k · |B| mit k ∈ N. Dann gibt
es mindestens k + 1 Werte in A, die den gleichen Funktionswert annehmen.
Beispiel: Aus 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 werden 5 Zahlen gewählt. Dann gibt es darunter
zwei, die die Summe 9 ergeben.
n
o
{1, 8}, {2, 7}, {3, 6}, {5, 4} =: B
A sei die 5-elementige Teilmenge von {1 . . . 8} f : A → B derart, dass f (a) ≡ a
z.B. A(1) = {1, 8}m f (2) = {2, 7}
|A| = 5, |B| = 4, d.h. es gibt a1 , a2 < A mit a1 6= a2 und f (a1 ) = f (a2 ) = {c, d} ⊆
{a1 , a2 }.
Nach Definition c 6= d also
f (a1 ) = f (a2 ) = {a1 , a2 } also a1 + a2 = 9.