Modellierung und Analyse von

Otto–Friedrich–Universität Bamberg
96045 Bamberg
3. Dezember 2007
Professur für Informatik
Dr. rer. nat. Werner Sandmann
Modellierung und Analyse von
Kommunikationsnetzen und Verteilten Systemen
Übung, Wintersemester 2007/08
Blatt 2, Besprechung: Montag, 10. Dezember 2007
Aufgabe 1
a) Beweisen Sie für diskrete Zufallsvariablen X und Y mit Wertemengen W (X) = W (Y ) = N0 ,
Verteilungen (i, pi ) bzw. (i, qi ) und erzeugenden Funktionen GX bzw. GY :
• X und Y haben die selbe Verteilung, genau dann, wenn GX (z) = GY (z).
1 di GX (z) • Für alle i ∈ N0 gilt P (X = i) = pi = ·
.
i!
dz i
z=0
• E[X] = G0X (1),
E[X 2 ] = G00X (1) + G0 (1),
VAR[X] = G00 (1) + G0 (1) − (G0 (1))2 .
• Falls X und Y unabhängig, dann gilt GX+Y (z) = GX (z) · GY (z).
Aufgabe 2
a) Gegeben seien eine positive Zahl a ∈ R und Zufallsvariablen X bzw. Y mit den Dichten
cX · x2
für 0 ≤ x ≤ a,
cY · (a2 − y 2 )
für 0 ≤ y ≤ a,
fY (y) =
fX (x) =
0
sonst;
0
sonst.
Skizzieren Sie diese Dichten und die dazugehörigen Verteilungsfunktionen, und berechnen
Sie die Konstanten cX und cY sowie die Erwartungswerte von X und Y .
b) Gegeben seien eine positive Zahl c ∈ R und eine Zufallsvariable X. Berechnen Sie den Wert
von a in der folgenden Dichte von X:

c

für −a ≤ x ≤ a,
|x|
+
1
f (x) =

0
sonst.
c) Berechnen Sie c und den Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariable X mit der Dichte
f (x) =
c
,
(|x| + 1)2
x ∈ R.
Aufgabe 3
a) Gegeben seien zwei stetige Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte f. Zeigen Sie
für das Produkt von X und Y :
 ∞

Z ZZ
Zz
v
1

f
FX·Y (z) = P (X · Y ≤ z) =
f (x, y)dxdy = · · · =
,y ·
dy  dv
y
|y|
x·y≤z
−∞
ZZ
Zz
−∞
bzw.
FX·Y (z) = P (X · Y ≤ z) =
f (x, y)dydx = · · · =
x·y≤z

Z∞ z
1

f x,
·
dx du,
x
|x|

−∞
−∞
d.h. führen Sie jeweils die notwendigen Umformungen in “= · · · =“ durch.
Hinweis: Geeignete Substitution von x bzw. y.
b) Gegeben seien die stetigen Zufallsvariablen X und Y mit gemeinsamer Dichte f (x, y) = 4·x·y
für 0 ≤ x, y ≤ 1 und f (x, y) = 0 sonst.
Berechnen Sie die Randdichten, die Randverteilungen und die gemeinsame Verteilungsfunktion. Prüfen Sie dann , ob X und Y unabhängig sind, und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit
P (0.5 ≤ X ≤ 1 , 0.5 ≤ Y ≤ 1).
Aufgabe 4
a) Beweisen Sie, daß die folgenden Definitionen der Gedächtnislosigkeit für stetige Zufallsvariablen X äquivalent sind, und diskutieren Sie, ob das auch für diskrete Zufallsvariablen X
gilt:
(i) P (X > s + t|X > s) = P (X > t),
(ii) P (X ≤ s + t|X > s) = P (0 ≤ X ≤ t).
b) Beweisen Sie, daß die Exponentialverteilung die einzige stetige Verteilung mit der Eigenschaft
der Gedächtnislosigkeit ist.
c) Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und exponentialverteilt mit Parametern λ
bzw. µ. Berechnen Sie durch Faltung die Dichte der Zufallsvariablen X + Y und X − Y .
d) Zeigen Sie für exponentialverteilte Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn mit Parametern λ1 , . . . , λn
P (min(X1 , . . . , Xn ) = Xi ) =
λi
λ 1 + · · · + λn
für 1 ≤ i ≤ n.
e) Finden Sie eine möglichst einfache Formel für den Erwartungswert des Maximums zweier
exponentialverteilter Zufallsvariablen. Wie sehen die Dichte und die Verteilungsfunktion des
Maximums zweier exponentialverteilter Zufallsvariablen aus?