Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie

Aufgaben zur Einführung in die Geometrie und Topologie
Prof. Dr. C.-F. Bödigheimer, M. Sc. Felix Boes
Sommersemester 2016
Blatt 2
Abgabetermin: Donnerstag, den 28.04.16, 10:00 (vor der Vorlesung)
Felix Hausdorffs Definition des topologischen Raums; aus F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Seite 213.
Aufgabe 7 (Einseitiges Abschätzen)
Es seien auf X zwei Metriken d1 und d2 gegeben und wir nehmen an: es gibt eine Konstante C > 0, sodass für alle
x, y ∈ X die Abschätzung d2 (x, y) ≤ C d1 (x, y) gilt. Man zeige:
1. Die identische Abbildung idX : (X, d1 ) → (X, d2 ) ist gleichmäßig-stetig.
1
2. Jede Menge, die bzgl. d2 eine offene Menge ist, ist auch bzgl. d1 offen.
3. Jede Menge, die bzgl. d2 eine Umgebung eines Punktes a ∈ X ist, ist dies auch bzgl. d1 .
4. Jede bzgl. d1 konvergente Folge ist auch bzgl. d2 konvergent.
5. Jede Folge, die bzgl. d1 eine Cauchy-Folge ist, ist dies auch bzgl. d2 .
Nun seien (Y, d0 ) und (Z, d00 ) zwei weitere metrische Räume.
6. Ist f : (X, d2 ) → (Y, d0 ) stetig, so auch f : (X, d1 ) → (Y, d0 ).
7. Ist g : (Z, d00 ) → (X, d1 ) stetig, so auch g : (Z, d00 ) → (X, d2 ).
8. Folgt aus der obigen Abschätzung, dass die Räume (X, d1 ) und (X, d2 ) homöomorph sind? (Beweis oder
Gegenbeispiel).
Aufgabe 8 (Stetigkeitskriterum I)
Es sei f : X → Y eine Funktion zwischen topologischen Räumen. Dann sind äquivalent:
1. Die Funktion f ist stetig.
2. Für jedes B ⊂ Y gilt f −1 (B ◦ ) ⊂ f −1 (B)◦ .
3. Für jedes C ⊂ Y gilt f −1 (C) ⊂ f −1 (C).
Man zeige anhand der stetigen Funktion f : R → R, f (x) = exp(−x2 ), dass die Inklusionen in 2. und 3. im
Allgemeinen strikt sind.
Aufgabe 9 (Stetigkeitskriterium II)
S
Es sei Bi (i ∈ I) eine Familie von Unterräumen eines topologischen Raumes X, die X überdecken, d.h. Bi = X. Es
sei f : X → Y eine Funktion in einen weiteren topologischen Raum Y , und die Einschränkungen fi = f |Bi : Bi → Y
seien sämtlich stetig.
Man zeige, dass jede der folgenden Voraussetzungen für die Stetigkeit von f hinreichend ist.
1. Alle Bi sind offen.
2. Alle Bi sind abgeschlossen und I ist endlich.
Man zeige durch ein Gegenbeispiel, dass man die Endlichkeitsbedingung in 2. nicht weglassen darf; und durch ein
weiteres Gegenbeispiel, dass man offene und abgeschlossene Mengen nicht durcheinanderwerfen darf.
Aufgabe 10 (Topologie durch Umgebungsbasen)
Es sei X eine Menge und N : X → P(P(X)) erfülle die folgenden Eigenschaften.
1. Für alle x ∈ X ist N (x) 6= ∅.
2. Für alle N ∈ N (x) folgt x ∈ N .
3. Für alle N, M ∈ N (x) existiert P ∈ N (x) mit P ⊂ N ∩ M .
4. Für alle N ∈ N (x) existiert U ⊆ N mit x ∈ U , sodass es für alle y ∈ U ein My ∈ N (y) mit My ⊆ N gibt.
Zeigen Sie, dass es genau eine Topologie T auf X gibt, sodass die N (x) für jeden Punkt x ∈ X eine Umgebungsbasis
ist.
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Aufgabe 11 (Metrische Räume und Abzählbarkeitsaxiome)
1. Ein topologischer Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, wenn jeder Punkt x ∈ X eine abzählbare
Umgebungsbasis besitzt. Zeigen Sie, dass jeder metrische Raum X das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt.
2. Ein topologischer Raum X erfüllt das zweite Abzählbarkeitsaxiom, wenn seine Topologie eine abzählbare
Basis besitzt. Desweiteren heißt X separabel, wenn er eine abzählbare dichte Teilmenge besitzt. Zeigen Sie,
dass ein metrischer Raum X genau dann das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, wenn er separabel ist.
3. Entscheiden Sie, ob Rn mit der Standardtopologie separabel ist.
Aufgabe 12* (Vervollständigung durch Cauchy-Folgen)
Es sei X ein metrischer Raum mit Metrik d. Mit C(X, d) bezeichnen wir die Menge der Cauchy-Folgen; darauf
definieren wir
dC (x, y) = lim d(xn , yn )
−→
n
für zwei Cauchy-Folgen x = (xn ) und y = (yn ). Man beachte zunächst, dass der Limes rechts existiert, weil d(xn , yn )
eine Cauchy-Folge in R ist und R vollständig ist. Man zeige:
1. dC ist eine Pseudo-Metrik.
2. Die Relation x ∼ y ⇔ limn d(xn , yn ) = 0 ist eine Äquivalenzrelation.
−→
3. Auf X = C(X, d)/ ∼ ist
d([x], [y]) = dC (x, y) = lim d(xn , yn )
−→
n
wohldefiniert und eine Metrik.
4. Die Funktion c : X → X wobei c(x) = [x] mit x = (x, x, . . .) die konstante Folge ist eine isometrische Einbettung mit dichtem Bild; ist X vollständig, so ist c eine Isometrie (also insbesondere ein Homöomorphismus).
5. Der metrische Raum X ist vollständig.
6. (Universelle Eigenschaft) Zu jeder gleichmäßig-stetigen Abbildung f : X → Y in einen vollständigen, metrischen Raum Y gibt es genau eine Abbildung fˆ: X → Y mit c ◦ fˆ = f .
7. (Funktorialität) Zu jeder gleichmäßig-stetigen Abbildung f : (X1 , d1 ) → (X2 , d2 ) gibt es ein f : X1 → X2
mit f ◦ c1 = c2 ◦ f ; es ist f ◦ g = f ◦ g und id(X,d) = id(X,d) (wobei id(X,d) in dieser Kategorie natürlich
id : (X, d) → (X, d) ist).
8. Ist φ : (X1 , d1 ) → (X2 , d2 ) eine Isometrie, so auch φ : (X 1 , d1 ) → (X 2 , d2 ).
9. Finden Sie ein Beispiel für einen Homöomorphismus φ : (X1 , d1 ) → (X2 , d2 ), sodass (X 1 , d1 ) und (X 2 , d2 )
nicht homöomorph sind (geschweige denn isometrisch).
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