Analysis II

Prof. Dr. H. Garcke, D. Depner
NWF I - Mathematik
Universität Regensburg
SS 09
07.05.2009
Analysis II
Nachtrag zum Begriff “relativ abgeschlossen”
Zur Sicherheit wird der Begriff “relativ abgeschlossen” und eine wichtige Eigenschaft erklärt.
In der Vorlesung wurde definiert:
Definition
Sei (X, T ) ein topologischer Raum und M ⊆ X eine Teilmenge. Dann heißt O0 ⊆ M relativ
offen (bzgl. M) :⇐⇒ ∃O ⊆ X offen, so dass O0 = O ∩ M .
Bezeichne dann T M := {O0 ⊆ M | O0 ist relativ offen}. Dann ist (M, T M ) ein topologischer
Raum. In diesem topologischen Raum kann man wie für beliebige topologische Räume den
Begriff “abgeschlossen” definieren und nennt ihn zur Verdeutlichung “relativ abgeschlossen”.
Genauer heißt das:
A0 ⊆ M heißt relativ abgeschlossen (bzgl. M)
:⇐⇒ A0 ⊆ M abgeschlossen bezüglich dem topologischen Raum (M, T M )
⇐⇒
∃O0 ∈ T M so dass A0 = M \O0 .
Bemerkung
Mit den obigen Bezeichnungen gilt:
A0 ⊆ M relativ abgeschlossen ⇐⇒ ∃A ⊂ X abgeschlossen (bzgl. X), so dass A0 = A ∩ M .
Beweis:
“⇒”: Sei also A0 = M \O0 für ein O0 ⊆ M relativ offen. Dann ist O0 = O ∩ M für ein O ⊂ X
offen (bzgl. X) und wir berechnen:
A0 = M \(M ∩O) = M ∩(M ∩O)c = M ∩(M c ∪Oc ) = (M ∩M c )∪(M ∩Oc ) = M ∩(X\O) = M ∩A,
wobei hier A := X\O ⊆ X abgeschlossen (bzgl. X) definiert wurde.
“⇐”: Falls nun A0 = A ∩ M , setze O := X\A. Dann ist A = X\O und wir berechnen:
A0 = M ∩ (X\O) = M ∩ Oc = M ∩ (Oc ∪ M c ) = M ∩ (O ∩ M )c = M ∩ (O0 )c = M \O0 ,
wobei hier O0 := O ∩ M ⊂ M relativ offen definiert wurde.
Diese Bemerkung darf insbesondere in der Aufgabe 10 von Übungsblatt 3 verwendet werden.
Beachten Sie außerdem, dass es Mengen gibt, die gleichzeitig offen und abgeschlossen sind. Diese
beiden Eigenschaften müssen also in der Übungsaufgabe beide überprüft werden.
Aufgabe 10
Sei R versehen mit der üblichen Topologie und sei M = (0, 1] ∪ {2}. Entscheiden Sie, ob die
folgenden Mengen relativ offen bzw. relativ abgeschlossen sind bezüglich M und beweisen Sie
Ihre Antwort.
(2) N2 = [ 21 , 1), (3) N3 = ( 21 , 1],
(1) N1 = (0, 12 ],
(4) N4 = (0, 1) ∪ {2}, (5) N5 = (0, 1], (6) N6 = {2}.