Aufgabe T9.1 Aufgabe T9.2 - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik der Humboldt-Universität zu Berlin
Grundlagen der Numerischen Mathematik und Optimierung
C. Carstensen, S. Puttkammer
12. Juni 2017
Serie 9
Vergleich in den Übungen nach dem 19. Juni 2017
Die theoretischen Aufgaben (T?) sind in den Übungen vorzurechnen, die praktischen Aufgaben (P?) in Zweiergruppen zu bearbeiten und bis 19. Juni 2017, 11:00 Uhr abzugeben. Alle
notwendigen Informationen finden Sie unter Hinweise zu den Abgaben“ auf der Vorlesungs”
homepage.
Aufgabe T9.1
(a) Was ist eine Alternante? Erläutern Sie den Zusammenhang zu Bestapproximationen.
Sei p ∈ Pn−1 eine Approximation zu einer gegebenen Funktion v. Überlegen Sie sich
welche anschauliche Bedeutung die Zahl der Vorzeichenwechsel (≤ n oder > n) von p − v
für die Approximationsgüte hat.
(b) Bestimmen Sie die Bestapproximation bzgl. k • k∞
(i) in P0 von v1 : [0, 1] → R,
x 7→ 2x
(ii) in P1 von v2 : [−1, 1] → R,
x 7→ x2 +x
Zeigen Sie, dass es sich um die Bestapproximationen handelt.
(c*) Sei p ∈ Pn−1 die Bestapproximation von v ∈ C([a, b]) bzgl. k•k∞ in Pn−1 und sei q ∈ Pn−1 .
Zeigen Sie, dass p + q Bestapproximation von v + q ist.
(d*) Zeigen Sie, dass p = 0 genau dann die Bestapproximation bzgl. k • k∞ von v(x) = sin(3x)
mit x ∈ [0, 2π] in Pn−1 ist, wenn n ≤ 5.
(e*) Betrachten Sie noch einmal Aufgabe T4.1 und erläutern Sie den Zusammenhang zum
Alternantensatz von Čebyšev.
Aufgabe T9.2
Gegeben sei eine positive Gewichtungsfunktion ρ(x) ∈ L∞ (a, b). Für alle Polynome f ∈
P2n−1 [a, b] mit n ∈ N gilt die Quadraturformel mit Gewichten A1 , . . . , An ∈ R und Knoten
x1 , . . . , x n
Zb
ρ(x)f (x) dx =
n
X
A` f (x` ).
`=1
a
P
(a) Charakterisieren Sie n`=1 A` .
(b) Zeigen Sie, dass das Polynom
ω(x) =
n
Y
(x − x` )
`=1
orthogonal auf dem Raum Pn−1 [a, b] steht bzgl. des Skalarproduktes
Zb
hf, gi :=
ρ(x)f (x)g(x) dx.
a
(1)
HU Berlin — Inst. f. Math. — Grundlagen der numer. Mathematik und Optimierung — Serie 9
2
(c) Beweisen Sie umgekehrt ω ⊥ Pn−1 [a, b] bzgl. h•, •i impliziert Gewichte A1 , . . . , An ∈ R, so
dass die Quadraturformel (1) für alle Polynome f in P2n−1 [a, b] exakt ist.
Aufgabe T9.3
Bestimmen Sie passende Gewichte A1 , A2 , A3 ∈ R und Knoten x1 , x2 , x3 ∈ [0, 1], so dass für
Polynome f ∈ P5 ([0, 1]) gilt
Z1
3
X
2
x f (x) dx =
A` f (x` ).
`=1
0
Aufgabe T9.4
(a) Gegeben seien die Stützstellen x1 = −1, x2 = 0, x3 = 1 bestimmen Sie Rdie Gewichte
P
ˆ ) := 1 x2 f (x) dx
A1 , A2 , A3 damit die Quadraturformel Q(f ) := 3j=1 Aj f (xj ) für I(f
−1
den größten algebraischen Exaktheitsgrad hat. Bestimmen Sie den Grad.
(b) Zeigen Sie, dass die folgende Kantenmittelpunktsformel
|T | X
f (mid(E))
QT f :=
3
E∈E(T )
quadratische Funktionen p(x) ∈ P2 (T ) auf einem beliebigen Dreieck T exakt integriert.
(c) Wie müssen Sie die Gewichte A1 , A2 , A3 wählen, damit die Quadraturformel
X
Q̃T f :=
AP f (P )
P ∈N (T )
möglichst großen algebraische Exaktheitsgrad für IT f :=
Grad.
R
T
f dx hat? Bestimmen Sie den
Aufgabe P9.5
(8 Punkte)
Implementieren Sie das Romberg-Verfahren mit
Q=RombergIntegration(f, a, b, h, m)
wobei Q der Wert der Quadraturformel ist, wenn f die zu integrierende Funktion ist, die
Integration über [a, b] erfolgen soll, h die Schrittweite bezeichnet und m die Zahl der Extrapolationsschritte bestimmt.
Benutzen Sie das Romberg-Verfahren zur Integration der Gauß’schen Glockenkurve auf [0, 1],
also
Z1
I := exp(−x2 /2) dx.
0
Wie viele signifikante Stellen erhält man in der Computerrealisierung für eine minimale Schrittweite von h = 81 einer zugrundeliegenden zusammengesetzten Trapezregel?
Vergleichen Sie mit einer Gaußquadratur mit n = 1, . . . , 5 Gaußpunkten.
Vergleichen Sie in einer übersichtlichen Konsolenausgabe interpolatorische Quadraturformeln
und zusammengesetzte Quadraturformeln.