¨Ubungen zu Analysis 2, 13. ¨Ubung

Übungen zu Analysis 2, 13. Übung
1. Zeigen Sie, dass die chordale Metrik (siehe Bsp. 2 der ersten Ana2 Übung)
χ und die 2-Metrik d2 auf R2 ∼
= C die selbe Topologie induzieren, aber
dort NICHT äquivalent sind!
2. Sei f : X → Y mit topologischen Räumen (X, TX ) und (Y, TY ), wobei
(X, TX ) das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt. Zeigen Sie, dass f bei x ∈
X genau dann stetig ist, wenn für jede Folge (!!) (xn ) aus X mit Grenzwert
x folgt, dass f (xn ) → f (x)!
Hinweis: Kombinieren Sie die Überlegungen aus dem Beweisteil ’(iii) ⇒
(i)’ von Lemma 12.3.3 und Bemerkung 12.2.10!
3. Ist (X, T ) ein topologischer Raum und B eine Basis von T , so zeige man
zunächst, dass für jedes x ∈ X {B ∈ B : x ∈ B} eine Filterbasis des
Umgebungsfilters U(x) von x ist.
Schließlich zeige man, dass (X, T ) separabel ist (enthält also eine abzählbare dichte Teilmenge), wenn (X, T ) das zweite Abzählbarkeitsaxiom
erfüllt!
Hinweis für den zweiten Teil: Man greife aus jedem B einen Punkt heraus,
wobei B alle Mengen einer abzählbaren Basis durchläuft, und zeige die
Dichtheit dieser Menge in X!
4. Zeigen Sie, dass für einen metrischen Raum (X, d) auch die Umkehrung
gilt: Ist (X, T (d)) separabel (enthält also eine abzählbare dichte Teilmenge), dann erfüllt (X, T (d)) das zweite Abzählbarkeitsaxiom!
Hinweis: Betrachte {Uǫ (x) : x ∈ D, Q ∋ ǫ > 0} mit D ⊆ X abzählbar und
dicht!
5. Mit der Notation aus dem Beispiel 4 der zwölften Übung zeige man: Jede Basis B der Topologie T muss schon mit T oder mit {{1}, {1, 2}, X}
übereinstimmen. Weiters zeige man: V ist eine Subbasis von T genau dann
wenn V ⊇ {{1}, {1, 2}}.
6. Man sagt, dass ein topologiscger Raum das erste Trennungsaxiom (T 1)
erfüllt, wenn es zu x, y ∈ X mit x 6= y zwei offene Mengen Ox , Oy ∈ T
gibt, sodass x ∈ Ox , y ∈ Oy und x 6∈ Oy , y 6∈ Ox gilt.
Zeigen Sie, dass aus (T 2) das (T 1) folgt. Zeigen Sie auch, dass (T 1) äquivalent dazu ist, dass einpunktige Mengen abgeschlossen sind.
Hinweis für die zweite Behauptung: {x} ist genau dann abgeschlossen,
wenn {x}c offen ist.
7. Seien (Xn , dn ), n ∈ N, metrische Räume. Weiters seienP(cn )n∈N und
∞
(c̃n )n∈N Folgen positiver reeller Zahlen mit cn → 0 bzw. n=1 c̃n < ∞.
2
Q
Definiere Abbildungen d, d˜ :
→ R durch
n∈N Xn
d(f, g) := max cn
n∈N
dn (fn , gn ) ,
1 + dn (fn , gn )
˜ g) :=
d(f,
∞
X
n=0
c̃n
dn (fn , gn )
,
1 + dn (fn , gn )
f = (fn )n∈N , g = (gn )n∈N .
˜
˜
Zeige,
Q dass d und d Metriken sind, und dass sowohl T (d) als auch T (d)
mit n∈N T (dn ) übereinstimmt.
8. Sei (Y, T ) ein Topologischer Raum und sei X ⊆ Y versehen mit der Spurtopologie T |X . Man weise nach:
• U ⊆ X ist genau dann eine Umgebung eines x ∈ X bezüglich T |X ,
falls U = X ∩ V für eine Umgebung V von x bezüglich T .
• Ist A ⊆ X und ist A der Abschluss von A in (Y, T ), so ist A ∩ X
genau der Abschluss von A in (X, T |X ).
• Sei (Z, O) ein weiterer topologischer Raum und f : Y → Z eine
stetige Funktion. Dann ist auch f |X : X → Z stetig, wenn man X
mit T |X versieht.
9. Zeigen Sie, dass das Produkt von Hausdorffräumen ((T 2) ist erfüllt) versehen mit der Produkttopologie wieder ein Hausdorffraum ist!
Q
10. Sei X = R[0,1] = x∈[0,1] R die Menge aller reellwertigen Funktionen mit
Definitionsbereich D = [0, 1] versehen mit der Produkttopologie.
Man zeige, dass für f ∈ X das Mengensystem
{Vx1 ,...,xn ;ǫ (f ) : n ∈ N; x1 , . . . , xn ∈ D; ǫ > 0} ,
wobei
Vx1 ,...,xn ;ǫ (f ) := {g ∈ X : |g(xj ) − f (xj )| < ǫ, j = 1, . . . , n} ,
eine Filterbasis des Umgebungsfilters U(f ) von f abgibt. Zeigen Sie auch,
dass der Umgebungsfilter von f keine Filterbasis bestehend aus abzählbar
vielen Mengen besitzt. Gibt es dann eine Metrik d, sodass T (d) = T ?
Hinweis: Falls es eine abzählbare Filterbasis (Uk )k∈N von U(f ) gibt, so
konstruiere man induktiv x11 , . . . x1n1 , x21 , . . . x2n2 , · · · ∈ [0, 1] und eine Nullfolge ǫ1 ≥ ǫ2 ≥ · · · > 0, sodass Vx11 ,...x1n ,...,xk1 ,...xkn ;ǫk (f ) ⊆ Uk und daher
1
k
auch (Vx11 ,...x1n ,...,xk1 ,...xkn ;ǫk (f ))k∈N eine Filterbasis abgibt.
1
k
T
Nun zeige man g ∈ k∈N Vx11 ,...x1n ,...,xk1 ,...xkn ;ǫk (f ) ⇔ g(xkj ) = f (xkj ), ∀k ∈
1
k
N, j ∈ {1, . . . , nk }.....