Klausur zur Analysis I (Lehramt) 1 2 3 4 5 6 ∑ Note

Klausur zur Analysis I (Lehramt)
SS 2014; Dirk Werner
15. Juli 2014, 10.15–11.45
Bitte füllen Sie leserlich in GROSSEN DRUCKBUCHSTABEN aus:
Vorname:
Name:
Matrikelnummer:
2 Ich bin zu einem Freischuss“ berechtigt.
”
1
2
3
4
5
6
P
Note
Bitte beachten Sie:
• Jedes abgegebene Blatt mit Namen und Matrikelnummer versehen!
Namen bitte leserlich in BLOCKSCHRIFT!
• (Teil-)Lösungen werden nur mit vollständigem (Teil-)Lösungsweg anerkannt.
• Erlaubte Hilfsmittel sind ein vorbereitetes DIN A4 Blatt.
• Jede Aufgabe zählt 5 Punkte; die besten 4 Aufgaben werden angerechnet. Die
Klausur ist mit 10 Punkten bestanden.
Bitte wenden!
Aufgabe 1. Beweisen Sie mit vollständiger Induktion für natürliche Zahlen n ≥ 2 und
für reelle Zahlen xj ∈ (0, 1) die Ungleichung
(1 − x1 )(1 − x2 ) · · · (1 − xn ) > 1 − (x1 + · · · + xn ).
Aufgabe 2.
(a) Definieren Sie, was (an ) konvergiert gegen a ∈ R“ bedeutet.
”
(b) Definieren Sie, was an → ∞“ bedeutet.
”
(c) Sei (an ) eine Folge mit an 6= 0 für alle n und an → ∞. Zeigen Sie mit Ihren
Definitionen lim a1n = 0.
n→∞
Aufgabe 3. Bestimmen Sie diejenigen x ∈ R, für die die Reihe
∞
X
2k k
x
k2
k=1
konvergiert, und diejenigen x ∈ R, für die diese Reihe divergiert.
Aufgabe 4.
(a) Bestimmen Sie zu einem gegebenen ε > 0 ein δ > 0, so dass gilt
√
x ≥ 0, |x − 1| < δ ⇒ | x − 1| < ε.
(b) Sei f : [a, b] → R eine stetige Funktion. Es gelte f (x) > 0 für alle x ∈ [a, b]. Zeigen
Sie inf{f (x): a ≤ x ≤ b} > 0. (Sätze der Vorlesung dürfen dabei benutzt werden.)
(c) Gilt die Aussage in (b) auch, wenn f nicht als stetig vorausgesetzt ist? Wenn ja,
geben Sie einen Beweis, wenn nein, geben Sie ein Gegenbeispiel.
Aufgabe 5.
(a) Formulieren Sie den Mittelwertsatz und den Satz von Rolle.
(b) Leiten Sie den Mittelwertsatz aus dem Satz von Rolle her.
(c) Zeigen Sie
|log x − log y| ≤ |x − y|
für alle x, y ≥ 1.
Aufgabe 6.
(a) Definieren Sie, was es bedeutet, dass eine Funktion f : [a, b] → R bei x0 ∈ [a, b] ein
lokales Minimum bzw. ein striktes lokales Minimum hat.
(b) Besitzt jede differenzierbare Funktion f : [a, b] → R ein lokales Minimum?
(c) Zeigen Sie folgende Aussage: Wenn eine differenzierbare Funktion f : [a, b] → R an
einer Stelle x0 ∈ (a, b) ein lokales Minimum besitzt, dann gilt f 0 (x0 ) = 0.