Verständnisfragen zur 1. Vorlesungswoche - Ruhr

Dr. J. P. Schröder
SS 2015
Vorkurs für Naturwissenschaftler
Verständnisfragen zur 1. Vorlesungswoche
Nachdem Sie Ihr Manuskript vervollstaendigt haben etc., koennen Sie mit den folgenden
Fragen Ihr Wissen testen.
§1 - reelle Zahlen
1. Wie begruendet man die Binomischen Formeln?
2. Wie lautet die Formel fuer die geometrische Reihe und wie kommt man auf die Formel?
§2 - Funktionen
1. Was ist eine Funktion f : R → R?
2. Wie berechnet man die Nullstellen eines quadratischen Polynoms? (Stichwort quadratische Ergaenzung)
3. Wie ist der Betrag |.| definiert und was besagt die Dreiecksungleichung?
§3 - Grenzwerte
1. Wann sagen wir, dass eine Folge an gegen eine Zahl a ∈ R konvergiert, d.h. an → a?
Beschreiben Sie den Sachverhalt anschaulich, ohne die Schreibweise “∀ε > 0...” zu
verwenden.
2. Was ist der Grenzwert limn→∞ 5 + 1/n (ohne Beweis)?
3. Wann schreiben wir limx→a f (x) = b?
4. Wann heisst eine Funktion f : R → R stetig?
5. Seien a, b ∈ R feste Koeffizienten und f (x) = ax + b. Bestimmen Sie den Abstand
|f (x) − f (y)| und begruenden Sie: ist x ≈ y, so ist auch f (x) ≈ f (y). Was hat dies mit
der Stetigkeit von f zu tun?
§4 - Diff ’barkeit
1. Wann heisst eine Funktion f : R → R diff’bar (in einem Punkt a ∈ R)?
2. Beweisen Sie durch Grenzuebergang im Differenzenquotienten, dass f (x) = 1/x2 differenzierbar ist in allen Punkten a 6= 0. Bestimmen Sie ausserdem die Ableitung.
3. Was besagen Ketten-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel?
4. Wie kann man anhand der Ableitung einer Funktion f sehen, ob f konstant ist?
1
§5 - Lokale Extrema
1. Wann heisst a ∈ R lokales Extremum von f : R → R?
2. Wie kann man Kandidaten a ∈ R bestimmen, in denen f ein lokales Extremum haben
koennte?
3. Betrachten Sie den Differenzenquotienten
a lokales Minimum, so ist f 0 (a) = 0.
f (x)−f (a)
x−a
fuer x = a ± 1/n, um zu zeigen: Ist
§6 - Integration
1. Wie ist das Integral einer nicht-negativen, stetigen Funktion f : R → R definiert?
2. Was besagt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung? Koennen Sie eine
Beweisidee angeben (etwa durch eine Skizze)?
3. Begruenden Sie die Substitutionsregel und die Formel fuer partielle Integration.
§7 - Taylorformel
1. Geben Sie das Taylorpolynom Tn einer Funktion f : R → R mit Entwicklungspunkt
a ∈ R vom Grad n an. Formulieren Sie dann die Taylorformel.
2. Nutzen Sie (ex )0 = ex und e0 = 1 um das n-te Taylorpolynom der Exponentialfunktion
ex zu bestimmen mit Entwicklungspunkt a = 0. Skizzieren Sie ex , T0 , T1 , T2 .
3. Welche Integrationsregel war hilfreich beim Beweis der Taylorformel?
4. Geben Sie ein hinreichendes Kriterium an dafuer, dass f in a ein lokales Minimum
besitzt. Denken Sie dabei an das Taylorpolynom T2 .
§8 - Lineare Gleichungssysteme (LGS)
1. Was ist ein LGS? Wie kann man es mit Hilfe von Matrizen und Vektoren einfacher
schrieben?
2. Wie funktioniert das Gauß’sche Eliminationsverfahren?
1 1
a
3. Loesen Sie fuer a, b ∈ R fest das LGS
·x=
.
1 −1
b
2