Vorkurs für Naturwissenschaftler - Ruhr

Dr. J. P. Schröder
SS 2015
Vorkurs für Naturwissenschaftler
Verständnisfragen zur 3. Vorlesungswoche
Nachdem Sie Ihr Manuskript vervollstaendigt haben etc., koennen Sie mit den folgenden
Fragen Ihr Wissen testen.
Kapitel V - Stochastik
§4 - Erwartungswert und Varianz
1. Wie ist der Erwartungswert einer ZV X : Ω → R mit endlich vielen Werten definiert?
Was misst er anschaulich?
2. Bestimmen Sie den Erwartungswert fuer X ∼ Bernoulli(p), sowie fuer eine auf X =
{1, 2, 3, 4, 5, 6} gleichverteilte ZV. Was modelliert letztere ZV?
3. Wie kann man fuer eine beliebige Funktion f : X → R und eine ZV X : Ω → X den
Erwartungswert der ZV f (X) : Ω → R berechnen? Geben Sie eine allgemeine Formel
an.
4. Nutzen Sie Ihre Formel fuer E(f (X, Y )), um eine Formel fuer E(aX + bY ) zu finden.
Finden Sie im Fall, dass X, Y unabhaengig sind auch eine Formel fuer E(X · Y ).
5. Wie ist die Varianz Var(X) einer ZV X : Ω → R definiert? Was misst sie anschaulich?
6. Zeigen Sie Var(aX + b) = a2 Var X.
P
7. P
Wie kann man bewiesen, dass fuer unabhaengige ZV X1 , ..., Xn gilt, dass Var( i Xi ) =
i Var Xi ? Zeigen Sie dies fuer den Fall n = 2.
8. Bestimmen Sie EX und Var X fuer X ∼ Bin(n, p).
§5 - Das Gesetz der grossen Zahlen (GGZ)
1. Was besagt die Markov-Ungleichung? Nutzen Sie diese, um fuer ε > 0 zu beweisen,
dass
1
P (|X − EX| ≥ ε) ≤ 2 Var X.
ε
Pn
1
Was erhalten Sie fuer X = X n = n i=1 Xi ?
2. Was besagt das (starke) GGZ fuer uiv ZV X1 , X2 , ... : Ω → R?
1
§6 - Parameterschaetungen
1. Geben Sie einen moeglichen Schaetzer Tk (x1 , ..., xn ) fuer das k-te Moment E(X1k ) von
uiv ZV X1 , ..., Xn : Ω → R an. Was besagt das GGZ in dieser Situation?
uiv
2. Fuer Xi ∼ Bernoulli(p) schaetzen Sie p = EX1 und p(1 − p) = Var X1 auf der Grundlage, dass bei n = 10.000 Experimenten 48% der Ergebnisse 1 und der Rest 0 sind.
§7 - Die Normalverteilung
1. Wann heisst eine ZV X : Ω → R normalverteilt? Wann standard-normalverteilt?
2. Was besagt der Zentrale Grenzwertsatz (ZGS)?
3. Angenommen wir fuehren n = 10.000 Bernoulli(p)-Experimente durch, deren Ergebnisse entweder 0 oder 1 sind und 34% der Experimente liefern eine 1. Wie gehen Sie
prinzipiell vor, wenn sie ein asymptotisches 95%-Konfidenzintervall fuer den Parameter
p angeben sollen (ohne explizite Formeln anzugeben)? An welcher Stelle ist der ZGS
hilfreich?
4. Wie gehen Sie in der obigen Situation prinzipiell vor, wenn Sie die Hypothese H : p ≤
1/4 gegen die Alternative A : p > 1/4 testen sollen und dabei fuer einen Fehler 1. Art
eine Wahrscheinlichkeit von maximal 5% erreichen moechten?
5. Konstruieren Sie in der obigen Situation ein asymptotisches Konfidenzintervall und eine
Testentscheidung, indem Sie die folgende “Version” des ZGS nutzen:


Z b
√
exp(−t2 /2)
X
−
p
n→∞
n
√
−→
≤ b
dt.
P a ≤ n q
2π
a
X (1 − X )
n
n
2