Übungsblatt 5 - Lehrstuhl für praktische Informatik

Fakultät für Informatik
Lehrstuhl 4
Prof. Dr. Peter Buchholz, Dipl.-Inf. Iryna Felko
Sommersemester 2012
Modellgestützte Analyse und Optimierung
Übungsblatt 5
Ausgabe: 30. April, Abgabe: 7. Mai
Aufgabe 5.1 (5 Punkte) Eine Zufallsvariable X wird als gedaechtnislos bezeichnet, falls gilt
P (X > t + s | X > t) = P (X > s) ∀t, s > 0.
Zeigen Sie, dass die Exponentialverteilung gedaechtnislos ist.
Hinweis: Nutzen Sie die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit: P (B|A) = P (B∩A)/P (A).
Aufgabe 5.2 (7 Punkte) Sei X eine Zufallsvariable mit unbekannter Verteilung und x1 , . . . , xn
eine Stichprobe mit n unabhaengigen Beobachtungen von X (jeder Wert xi kann als eine Realisierung einer Zufallsvariable Xi aufgefasst werden, wobei alle Xi paarweise identisch und
identisch zu X verteilt sind).
Der Mittelwert der Stichprobe ist definiert als
x̂ =
1
n
n
P
(xi ).
i=1
Die Stichprobenvarianz ist definiert durch
σ̂ 2 =
1
n−1
n
P
(xi − x̂)2 .
i=1
Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
1. Der Mittelwert ist ein erwartungstreuer Schaetzer fuer den Erwartungswert µ von X.
2. Die Stichprobenvarianz ist ein erwartungstreuer Schaetzer fuer die Varianz σ 2 von X.
Hinweis: Nutzen Sie die folgenden allgemeinen Zusammenhaenge:
• V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 .
• E(
n
P
ai X i ) =
i=1
n
P
ai E(Xi ) fuer beliebige konstante Zahlen a1 , . . . , an .
i=1
• Falls Xi unabhaengige Zufallsvariablen sind, dann gilt:
n
n
P
P
V ar( ai Xi ) =
a2i V ar(Xi ) fuer beliebige konstante Zahlen a1 , . . . , an .
i=1
i=1
Vorlesung: http://ls4-www.cs.tu-dortmund.de/cms/de/lehre/2012 ss/mao/index.html
Übung: http://ls4-www.cs.tu-dortmund.de/cms/de/lehre/2012 ss/mao uebung/index.html