Mathematik B für die Molekulare Biotechnologie

Dr. Moritz Diehl
Dr. Torsten Fischer
Ileana Borja Tecuatl, Gerrit Schultz
Interdisziplinäres Zentrum für Wissenschaftliches Rechnen (IWR)
Zentrum für Molekulare Biologie (ZMBH)
Mathematik B
für die Molekulare Biotechnologie, SS 2003
Übungsblatt 4
Aufgabe 1. (Unabhängigkeit von Ereignissen)
In einer Urne liegen 2N Kugeln, wobei N ≥ 1. Die Kugeln seien von 1 bis 2N durchnumeriert. Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln entnommen, wobei vor der
Ziehung der zweiten Kugel die erste wieder in Urne zurückgelegt wird. Bei jeder einzelnen
Ziehung werde jede in der Urne vorhandene Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit
gezogen.
1. Geben Sie einen geeigneten Ergebnisraum Ω und für jedes Elementarereignis dessen Wahrscheinlichkeit an. Wie ist dadurch die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges
Ereignis definiert?
2. Betrachten Sie die folgenden drei Ereignisse.
A: Die Nummer der ersten Kugel ist gerade.“
”
B: Die Nummer der zweiten Kugel ist ungerade.“
”
C: Die Summe der Nummern der beiden Kugeln ist gerade.“
”
Untersuchen Sie, ob die Ereignisse paarweise unabhängig sind.
3. Prüfen Sie ferner, ob auch die Familie der Ereignisse (A, B, C) unabhängig ist. (Falls
die Ereignisse paarweise unabhängig sind (s. Teil 2), müssen Sie zusätzlich noch
überprüfen, ob die Produktformel auch für (A, B, C) gilt, d.h. ob P (A ∩ B ∩ C) =
P (A) · P (B) · P (C) gilt.
4. Wiederholen Sie diese Untersuchungen (1.-3.) für den Fall, dass die erste gezogene
Kugel nicht wieder zurückgelegt wird.
(6 Punkte)
Aufgabe 2. (Kovarianz von Zufallsvariablen)
Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) mit Ω = {1, 2, 3, 4} und P (1) = P (2) =
1
und P (3) = P (4) = 10
. Ferner seien die reellen Zufallsvariablen X1 , X2 definiert durch
X1 (1) = 1, X2 (1) = −1, X1 (2) = −1, X2 (2) = 1,
X1 (3) = X2 (3) = 2, X1 (4) = X2 (4) = −2.
1. Geben Sie die Verteilungen von X1 und X2 an.
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2. Berechnen Sie für jedes i ∈ {1, 2} den Erwartungswert E(Xi ), die Varianz Var(Xi )
und die Streuung σXi .
3. Geben Sie die gemeinsame Verteilung von
i) X1 und X1 ,
ii) X1 und − 2X2 ,
iii) X1 und X2
an. Skizzieren Sie die Verteilungen i), ii), iii) jeweils in einem Diagramm. Zeichnen
Sie dazu Punkte in ein zweidimensionales Koordinatensystem ein, mit entsprechender
Angabe der Wahrscheinlichkeiten. Dabei sollen nur solchePunkte gezeichnet werden,
die einer positiven Wahrscheinlichkeit entsprechen.)
4. Berechnen sie zu jedem der drei Paare von Zufallsvariablen die Kovarianz. Untersuchen Sie ferner in allen Fällen, ob die jeweiligen Zufallsvariablen unabhängig sind.
(6 Punkte)
Aufgabe 3. (Binomialverteilung, Zentrierung und Normierung)
Die Zufallsvariablen X1 , X2 , . . . seien unabhängig und identisch verteilt auf {0, 1}, und
zwar mit der Gleichverteilung. (D.h. zu einem nicht näher genannten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ) ist für jeden Index i ∈ {1, 2, . . .} die Verteilung der Zufallsvariablen
Xi : Ω → {0, 1} gegeben durch PXi (0) = PXi (1) = 12 . Und zusätzlich ist die Familie
(Xi )i≥1 unabhängig.)
Wir definieren nun für jedes n ∈ {1, 2, . . .} die Zufallsvariablen X (n) durch
X (n) := X1 + . . . + Xn ,
Z (n) :=
X (n) − E(X (n) )
p
.
Var(X (n) )
1. Geben Sie in Worten ein Beispiel für Zufallsexperimente an, die durch die Xi beschrieben werden könnten. Welche Bedeutung haben in Ihrem Beispiel die X (n) ?
2. Berechnen Sie jeweils Erwartungswert, Varianz und Streuung von X (n) und Z (n) (für
n ≥ 1).
3. Stellen Sie mit Hilfe von Stabdiagrammen für n ∈ {1, 2, 8} die Verteilungen von
X (n) und von Z (n) dar. Markieren Sie in den Stabdiagrammen jeweils das Intervall
[E(X (n) ) − σX (n) , E(X (n) ) + σX (n) ], bzw. [E(Z (n) ) − σZ (n) , E(Z (n) ) + σZ (n) ].
4. (2 Zusatzpunkte) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß X (8) einen Wert in dem
Intervall [E(X (8) ) − σX (8) , E(X (8) ) + σX (8) ] annimmt? Welche Abschätzung für diese
Wahrscheinlichkeit liefert Ihnen die Tschebyscheff-Ungleichung?
Welche Ergebnisse erhalten Sie, wenn Sie Z (8) anstelle von X (8) verwenden?
5. (2 Zusatzpunkte) Untersuchen Sie, so wie in Teilaufgaben 3 und 4, den Fall n = 100
mit Hilfe eines Computers (freie Wahl der Software).
(4 Punkte + 4 Zusatzpunkte)