Ubungen zur Geometrie — Blatt 2 - Fachbereich Mathematik und

Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik
Dr. Florian Berchtold
Übungen zur Geometrie — Blatt 2
Abgabe: Donnerstag, 18.5.2017, vor der Vorlesung
Aufgabe 2.1 Man zeige für zwei Dreiecke der euklidischen Ebene:
1. Aus der Kongruenz zweier Seiten und eines Winkels folgt im Allgemeinen nicht die
Kongruenz der beiden Dreiecke (ssw gilt im Allgemeinen nicht).
2. Aus der Kongruenz aller drei Winkel folgt im Allgemeinen nicht die Kongruenz der
Dreiecke (www gilt im Allgemeinen nicht).
Aufgabe 2.2 1. Es seien Γ = A + Rv und K = B + Ru zwei Geraden (A, B ∈ E, v, u ̸= 0).
Man zeige, dass Γ und K genau dann parallel sind, wenn v = tu für ein geeignetes
t ∈ R \ {0} gilt.
2. Man zeige das Parallelenaxiom 2.2.23: Ist Γ eine Gerade und P ∈ E ein Punkt, so
gibt es maximal eine zu Γ parallele Gerade durch P .
Aufgabe 2.3 Es seien ℓ = T M (M ̸= T ) eine Gerade in der euklidischen Ebene sowie g und h
zwei Geraden orthogonal zu ℓ mit T ∈ g und M ∈ h. Weiter seien F ∈ T M und P ∈ g \ T
zwei Punkte sowie Q := h ∩ P F . Mit ℓ′ sei die Parallele zu ℓ durch Q bezeichnet. Für
P ′ := P M ∩ ℓ′ zeige man
1
1
1
+
=
.
′
|T M | |QP |
|F M |
Aufgabe 2.4 Ein n-Eck ist die konvexe Hülle von n-Punkten in der Ebene (d.h. die Verbindungsstrecke je zweier Punkte liegt im Innern des n-Ecks. Man zeige: Ist n ≥ 5 und
unterteilen die Verbindungslinien jeden Innenwinkel des n-Ecks in gleich große Teilwinkel,
so ist das n-Eck regelmäßig, d.h. alle Seiten und alle Innenwinkel sind kongruent.
Trifft das auch für n = 4 zu?
Universität Konstanz
Fachbereich Mathematik
Dr. Florian Berchtold
Übungen zur Geometrie — Blatt 2
Abgabe: Donnerstag, 18.5.2017, vor der Vorlesung
Aufgabe 2.1 Man zeige für zwei Dreiecke der euklidischen Ebene:
1. Aus der Kongruenz zweier Seiten und eines Winkels folgt im Allgemeinen nicht die
Kongruenz der beiden Dreiecke (ssw gilt im Allgemeinen nicht).
2. Aus der Kongruenz aller drei Winkel folgt im Allgemeinen nicht die Kongruenz der
Dreiecke (www gilt im Allgemeinen nicht).
Aufgabe 2.2 1. Es seien Γ = A + Rv und K = B + Ru zwei Geraden (A, B ∈ E, v, u ̸= 0).
Man zeige, dass Γ und K genau dann parallel sind, wenn v = tu für ein geeignetes
t ∈ R \ {0} gilt.
2. Man zeige das Parallelenaxiom 2.2.23: Ist Γ eine Gerade und P ∈ E ein Punkt, so
gibt es maximal eine zu Γ parallele Gerade durch P .
Aufgabe 2.3 Es seien ℓ = T M (M ̸= T ) eine Gerade in der euklidischen Ebene sowie g und h
zwei Geraden orthogonal zu ℓ mit T ∈ g und M ∈ h. Weiter seien F ∈ T M und P ∈ g \ T
zwei Punkte sowie Q := h ∩ P F . Mit ℓ′ sei die Parallele zu ℓ durch Q bezeichnet. Für
P ′ := P M ∩ ℓ′ zeige man
1
1
1
+
=
.
′
|T M | |QP |
|F M |
Aufgabe 2.4 Ein n-Eck ist die konvexe Hülle von n-Punkten in der Ebene (d.h. die Verbindungsstrecke je zweier Punkte liegt im Innern des n-Ecks. Man zeige: Ist n ≥ 5 und
unterteilen die Verbindungslinien jeden Innenwinkel des n-Ecks in gleich große Teilwinkel,
so ist das n-Eck regelmäßig, d.h. alle Seiten und alle Innenwinkel sind kongruent.
Trifft das auch für n = 4 zu?