§3 Topologische Gruppen

Lie Gruppen, SS 2010
Mittwoch 19.05
$Id: topgr.tex,v 1.4 2010/05/31 08:41:53 hk Exp hk $
§3
Topologische Gruppen
Nachdem wir jetzt gezeigt haben das Quotienten G/H topologischer Gruppen wieder topologische Gruppen sind, wollen wir das Ergebnis sowie den Beweis noch etwas
kommentieren.
Wir beginnen mit einigen weiteren Bemerkungen zu Quotiententopologien. Seien X ein topologischer Raum und ∼ eine Äqui- X
valenzrelation auf X. Dann haben wir den Quotientenraum X/∼
f
und bezeichnen die Projektion p : X → X/ ∼ mit p. Seien Y
p
ein weiterer topologischer Raum und f : X → Y eine mit ∼
verträgliche Abbildung, d.h. es soll ∼⊆ Kern(f ) gelten. Etwas X/~
g Y
ausführlicher soll also f (x) = f (y) für alle x, y ∈ X mit x ∼ y
gelten. Dann induziert f auch eine Abbildung
g : X/∼→ Y ; [x] 7→ f (x)
mit f = g ◦ p. Ist g stetig, so ist auch f als Hintereinanderausführung zweier stetiger
Abbildungen stetig. Nun sei umgekehrt f : X → Y stetig. Wir behaupten das dann
auch g stetig ist. Sei U ⊆ Y offen. Dann ist
p−1 (g −1 (U )) = (g ◦ p)−1 (U ) = f −1 (U ) ⊆ X
offen, und nach Definition der Quotiententopologie ist damit g −1 (U ) ⊆ X/ ∼ offen.
Dies beweist die Stetigkeit von g : X/∼→ Y . Die auf dem Quotienten X/∼ definierten
stetigen Abbildungen, sind also genau die auf X definierten und mit ∼ verträglichen
stetigen Abbildungen.
Tatsächlich hätten wir den Beweis der Stetigkeit des Invertierens in G/H für H G
mit dieser Tatsache über Quotiententopologien führen können. Dies trifft aber nicht auf
den Beweis der Stetigkeit der Multiplikation in G/H, beziehungsweise auf die Stetigkeit
der Abbildung ω : G/H × G → G/H wenn H nur eine Untergruppe ist, zu. Das hierbei
zu betrachtende Diagramm ist
G×G


p×idG y
µ
−−−→
G


py
ω
G/H × G −−−→ G/H
wobei µ : G × G → G die Multiplikation ist. Da omega ◦ (p × idG ) = p ◦ µ stetig ist,
scheint auch die Stetigkeit von ω sofort zu folgen, aber dies ist leider nicht ganz wahr.
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Zunächst einmal ist G/H × G als Menge kein Quotient von G × G. Das ist aber kein
großes Problem, auf G × G haben wir die durch
(a, a0 ) ∼ (b, b0 ) :⇐⇒ a ∼ b ∧ a0 = b0
(a, b, a0 , b0 ∈ G)
definierte Äquivalenzrelation ∼ ×idG und bis auf eine Bijektion ist p×idG die Projektion auf den Quotienten. Allerdings trifft dies nicht auf die Topologien zu die Quotiententopologie auf einem Produkt muss nicht die Produkttopologie der einzelnen Quotienten
sein, Produkt und Quotientenbildung vertragen sich im allgemeinen nicht miteinander.
Damit benötigt man zum Beweis der Stetigkeit von ω tatsächlich ein spezifisches Argument, in diesem Fall war dies die Offenheit der Projektion.
Solche Abbildungen die bis auf eine Bijektion die Projektion auf einen Quotienten
sind nennt man identifizierend. Eine Abbildung f : X → Y zwischen topologischen
Räumen heißt identifizierend wenn f surjektiv ist und für jede Menge U ⊆ Y die
Äquivalenz
U ⊆ Y ist offen ⇐⇒ f −1 (U ) ⊆ X ist offen
besteht. Insbesondere ist f dann stetig.
Kommen wir zum nächsten Punkt, was ist überhaupt die Bedeutung der Abbildung
ω : G/H × G → G/H und warum interessiert man sich für ihre Stetigkeit. Dazu
betrachten wir zunächst den rein algebraischen Begriff der Wirkung einer Gruppe G
auf einer Menge X. Eine solche Wirkung ist eine Abbildung
ω : X × G → X; (x, g) 7→ xg
die die folgenden beiden Eigenschaften besitzt
(a) Für alle a, b ∈ G, x ∈ X gilt (xa )b = xab .
(b) Für alle x ∈ X gilt x1 = x.
Eine solche Wirkung heißt transitiv, wenn es für alle x, y ∈ X stets ein a ∈ G mit
y = xa gibt. Das Grundbeispiel einer transitiven Wirkung ist die Wirkung von G auf
G/H. Ist H ≤ G eine Untergruppe, so erfüllt die durch
(Ha)g := Hah (a, g ∈ G)
definierte Abbildung offenbar die definierenden Eigenschaften einer Wirkung. Sind
−1
a, b ∈ G, so haben wir weiter (Ha)a b = Haa−1 b = Hb, d.h. die Wirkung von G
auf G/H ist transitiv. Im wesentlichen sind dies alle Beispiele transitiver Wirkungen.
Man nennt zwei Wirkungen von G auf Mengen X, Y äquivalent wenn es eine bijektive
Abbildung f : X → Y mit
f (xa ) = f (x)a
für alle x ∈ X, a ∈ G gibt. Sei nun eine beliebige transitive Wirkung von G auf einer
Menge X gegeben. Wähle ein x ∈ X und betrachte die folgende Teilmenge von G
Gx := {a ∈ G|xa = x} ⊆ G.
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Dies ist eine Untergruppe von G, denn wegen x1 = x ist 1 ∈ Gx und sind a, b ∈ Gx ,
−1
−1
−1
so haben wir auch xab = (xa )b = xb = x und xa = (xa )a = xaa = x1 = x, d.h.
es sind ab, a−1 ∈ Gx . Man nennt die Untergruppe Gx die Standgruppe von G auf x.
Andere gängige Bezeichnungen für diese Untergruppe sind Stabilisator von G auf x,
Isotropiegruppe von G auf X, Zentralisator von G auf x, und wahrscheinlich gibt es
auch noch weitere Namen für diese Gruppe. Wir behaupten jetzt, dass die Wirkung
von G auf X zur Wirkung von G auf G/Gx äquivalent ist. Hierzu betrachten wir
φx : G/Gx → X; Gx a 7→ xa .
Dies ist eine wohldefinierte Abbildung, denn für alle a, b ∈ G mit Gx a = Gx b ist
ba−1 ∈ Gx , also
−1
−1
xb = xba a = (xba )a = xa .
Da G transitiv auf X wirkt, ist φx auch surjektiv. Sind schließlich a, b ∈ G mit
φx (Gx a) = φx (Gx b), also xa = xb , so folgt auch
−1
xba
= (xb )a
−1
= (xa )a
−1
= xaa
−1
= x1 = x,
d.h. es ist ba−1 ∈ Gx und somit Gx a = Gx b. Damit ist φx : G/Gx → X bijektiv. Für
alle a, g ∈ G ist auch
φx ((Gx a)g ) = φx (Gx ag) = xag = (xa )g = φx (Gx a)g ,
d.h. φx : G/Gx → X ist eine Äquivalenz der Wirkung von G auf G/Gx zur Wirkung
von G auf X. Hier interessieren wir uns für die topologische Situation, und definieren
erst einmal den passenden Wirkungsbegriff.
Definition 3.13: Eine topologische Transformationsgruppe besteht aus einer topologischen Gruppe G und einer stetigen Wirkung ω : X × G → X von G auf einem
topologischen Raum X.
Mit diesem Begriff besagt Lemma 9.(a) das die Wirkung einer topologischen Gruppe G
auf einem homogenen Raum G/H für H ≤ G eine topologische Transformationsgruppe
ist. Wirkt die topologische Gruppe G stetig und transitiv auf einem topologischen Raum
X, so wählen wir x ∈ X und haben wie oben die Äquivalenz φx : G/Gx → X, aber
diese ist im Allgemeinen kein Homöomorphismus. Was immerhin noch gilt ist das φx
stetig ist. Denn sind
p : G → G/Gx ; a 7→ Gx a und ψx : G → X; a 7→ xa
so ist φx ◦ p = ψx stetig, und damit ist auch φx stetig. Wie wir noch sehen werden, gibt
es einige oft erfüllte Voraussetzungen an G und X unter denen φx stets ein Homöomorphismus ist. Wir diskutieren erst einmal zwei kleine Beispiele. Zunächst betrachten wir
die spezielle orthogonale Gruppe G = SO(n + 1) in ihrer natürlichen Wirkung auf der
Sphäre X = S n . Da die Anwendung von Matrizen auf Vektoren stetig ist, ist dies überhaupt eine topologische Transformationsgruppe. Weiter wirkt SO(n + 1) transitiv auf
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S n . Dies kann man auf mehrere Arten sehen. Sind etwa x, y ∈ S n , so setzen wir diese
zu Orthogonalbasen e1 , . . . , en+1 und f1 , . . . , fn+1 des Rn+1 mit x = e1 , y = f1 fort,
und nach eventueller Ersetzung von en+1 durch −en+1 können wir annehmen das beide
Basen gleich orientiert sind. Dann ist die Matrix A ∈ GLn+1 R definiert durch Aei = fi
für i = 1, . . . , n + 1 in SO(n + 1) mit Ax = y. Wir wollen S n jetzt als homogenen
Raum sehen. Als Basispunkt verwenden wir den Nordpol z := (0, 1) ∈ Rn × R = Rn+1
der S n . Die Standgruppe von SO(n + 1) auf z besteht aus den orthogonalen Matrizen
A ∈ SO(n + 1) der Form
B 0
A=
,
0 1
denn ist en+1 unter A invariant, so auch das orthogonale Komplement
e⊥
n+1 = he1 , . . . , en i.
Dabei muss B ∈ SO(n) sein, d.h. es ist
B 0 SO(n + 1)z =
B ∈ SO(n) .
0 1 Identifizieren wir diese Untergruppe mit SO(n), so wird unser homogener Raum zu
SO(n + 1)/SO(n). Wir haben also eine stetige bijektive Abbildung ψx : SO(n +
1)/SO(n) → S n , und wir werden etwas später einsehen das diese sogar ein Homöomorphismus sein muss. Oft wird dann etwas verkürzend S n = SO(n+1)/SO(n) geschrieben.
Als ein Beispiel einer Quotientengruppe wollen wir die Torusgruppe behandeln.
Zunächst bilden die komplexen Zahlen von Betrag 1 bezüglich der Multiplikation aus C
eine topologische Gruppe. Geometrisch ist diese der Einheitskreis. Das n-fache Produkt
dieser Gruppe mit sich selbst
1
Tn = S
· · × S}1
| × ·{z
n mal
wird als die n-dimensionale Torusgruppe bezeichnet. Dabei verwenden wir die Tatsache
das das Produkt topologischer Gruppen wieder eine topologische Gruppe ist. Dies ist
klar, da wir schon bemerkt haben das eine Abbildung in ein Produkt genau dann stetig
ist, wenn alle Komponentenfunktionen stetig sind. Weiter haben wir eine surjektiven,
stetigen Gruppenhomomorphismus
f : Rn → T n ; x 7→ (e2πix1 , . . . , e2πixn ).
Als Kern haben wir Kern(f ) = Zn und damit induziert f einen stetigen Gruppenisomorphismus
ϕ : Rn /Zn → T n ; x + Zn 7→ f (x).
Die Abbildung
g : R → S 1 ; t 7→ e2πit
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ist offen. Da nämlich jede offene Teilmenge von R eine Vereinigung offener Intervalle ist,
reicht es zu zeigen das g((a, b)) ⊆ S 1 für a, b ∈ R mit a < b offen ist. Aber diese Mengen
sind entweder ganz S 1 oder ein offenes Intervall in S 1 , also in beiden Fällen offen. Damit
ist auch f = g × · · · × g : Rn → T n eine offene Abbildung. Ist nun U ⊆ Rn /Zn offen, so
ist auch p−1 (U ) ⊆ Rn offen, wobei p : Rn → Rn /Zn die Projektion ist. Damit ist aber
auch ϕ(U ) = f (p−1 (U )) ⊆ T n offen. Also ist ϕ auch eine offene Abbildung und damit
ein Homöomorphismus ϕ : Rn /Zn → T n .
Zur Fortsetzung der Theorie topologischer Gruppen wollen wir uns noch überlegen
das das Zentrum einer hausdorffschen, topologischen Gruppe immer abgeschlossen ist.
Lemma 3.10 (Zentrum und Zentralisatoren)
Sei G eine hausdorffsche topologische Gruppe.
(a) Für jede Teilmenge M ⊆ G ist der Zentralisator
CG (M ) := {a ∈ G|∀(b ∈ M ) : ab = ba}
abgeschlossen in G und es gilt CG (M ) = CG (M ).
(b) Das Zentrum Z(G) von G ist abgeschlossen in G.
Beweis: (a) Zunächst sei a ∈ G gegeben. Wir betrachten dann die stetige Abbildung
f : G → G : x 7→ x−1 ax.
Für x ∈ G ist genau dann f (x) = a wenn xa = ax gilt, d.h. wenn x ∈ CG (a) gilt.
Da G hausdorffsch ist, ist die Menge {a} ⊆ G in G abgeschlossen, und damit ist auch
CG (a) = f −1 ({a}) ⊆ G abgeschlossen. Jetzt sei M ⊆ G eine beliebige Teilmenge. Dann
ist zunächst
\
Cg (a) ⊆ G
CG (M ) =
a∈M
abgeschlossen in G. Ein Element von M kommutiert mit jedem Element des Zentralisators CG (M ), es ist also M ⊆ CG (CG (M )). Von der rechts stehenden Menge wissen
wir bereits das sie abgeschlossen ist, und damit ist auch
M ⊆ CG (CG (M )).
Jedes Element von M kommutiert also mit jedem Element von CG (M ) und dies bedeutet CG (M ) ⊆ CG (M ). Wegen M ⊆ M ist trivialerweise auch CG (M ) ⊆ CG (M ),
d.h. insgesamt haben wir CG (M ) = CG (M ).
(b) Klar nach (a) da Z(G) = CG (G) gilt.
Wir führen jetzt den topologischen Zusammenhangsbegriff ein. Dieser läßt sich wörtlich
von den metrischen Räumen übernehmen.
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Definition 3.14: Sei X ein topologischer Raum. Dann heißt X zusammenhängend
wenn für alle offenen Mengen U, V ⊆ X mit X = U ∪ V und U ∩ V = ∅ stets U = ∅
oder V = ∅ gilt, wenn X sich also nicht als disjunkte Vereinigung zweier nicht leerer,
offener Teilmengen schreiben läßt.
Wir wollen die Grundeigenschaften des Zusammenhangsbegriffs einmal kurz durchgehen. Sei dazu X im folgenden ein topologischer Raum.
1. Bezeichne 2 = {0, 1} den zweielementigen, diskreten topologischen Raum. Ist
f : X → 2 eine stetige Abbildung, so sind die Mengen U := f −1 ({0}) ⊆ X und
V := f −1 ({1}) ⊆ X offen mit X = U ∪ V und U ∩ V = ∅. Außerdem ist genau
dann U = ∅ wenn f (x) = 1 für alle x ∈ X gilt und genau dann V = ∅ wenn
f (x) = 0 für alle x ∈ X gilt, d.h. genau dann ist U = ∅ oder V = ∅ wenn f
konstant ist.
Sind umgekehrt U, V ⊆ X offen mit X = U ∪ V und U ∩ V = ∅, so können wir
eine Abbildung
(
0, x ∈ U,
f : X → 2; x 7→
1, x ∈ V
definieren mit U = f −1 ({0}) und V = f −1 ({1}). Da die Mengen f −1 (∅) = ∅,
f −1 ({0}) = U , f −1 ({1}) = V und f −1 ({0, 1}) = X alle in X offen sind, ist f eine
stetige Abbildung.
Es folgt das X genau dann zusammenhängend ist, wenn jede stetige Abbildung
f : X → 2 konstant ist.
2. Ist X zusammenhängend und ist f : X → Y eine surjektive, stetige Abbildung
auf einen topologischen Raum Y , so ist auch Y zusammenhängend. Ist nämlich
g : Y → 2 stetig, so ist auch g ◦ f : X → 2 stetig, also konstant, und da f
surjektiv ist, ist auch g konstant. Nach (1) ist Y damit zusammenhängend.
3. Ist A ⊆ X ein zusammenhängender Teilraum und B ⊆ X mit A ⊆ B ⊆ A, so ist
auch B zusammenhängend. Betrachte nämlich eine stetige Abbildung f : B → 2.
Dann ist auch die Einschränkung f |A : A → 2 stetig, also konstant, und sei etwa
f (x) = k ∈ 2 für alle x ∈ A. Dann folgt mit Lemma 3 auch
B
f (B) = f (A ∩ B) = f (A ) ⊆ f (A) ⊆ {k} = {k},
es ist also auch f (x) = k für alle x ∈ B, d.h. f ist konstant. Nach (1) ist B
zusammenhängend.
4. Sind X, Y zusammenhängende topologische Räume, so ist auch X × Y zusammenhängend. Ist Y = ∅, so ist X × Y = ∅ und die Aussage ist klar. Wir können
also Y 6= ∅ annehmen. Sei f : X × Y → 2 eine stetige Abbildung. Wähle ein
y0 ∈ Y und betrachte die stetige Abbildung g : X → 2; x 7→ f (x, y0 ). Da X
zusammenhängend ist, ist g konstant, also existiert ein k ∈ 2 mit f (x, y0 ) = k
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für alle x ∈ X. Sei x ∈ X. Dann ist auch g : Y → 2; y 7→ f (x, y) stetig mit
g(y0 ) = f (x, y0 ) = k. Da Y zusammenhängend ist, ist g konstant, und dies bedeutet f (x, y) = k für alle y ∈ Y . Damit ist f konstant, und somit ist X × Y
zusammenhängend.
5. Ist (Ai )i∈I eine Familie zusammenhängender
Teilräume von X mit AiS
∩Aj 6= ∅ für
S
alle i, j ∈ I, so ist auch i∈I Ai zusammenhängend. Sei nämlich f : i∈I Xi → 2
stetig. Für jedes i ∈ I ist dann auch f |Ai : Ai → 2 stetig, also konstant und es
existiert ki ∈ 2 mit f (x) = ki für alle x ∈ Ai . Sind i, j ∈ I, so ist Ai ∩ Aj 6= ∅, es
existiert also ein x ∈ Ai ∩ Aj und somit ki S
= f (x) = kj . Damit ist f insgesamt
konstant, und nach (1) ist die Vereinigung i∈I Ai zusammenhängend.
6. Wir betrachten die durch
x ∼ y :⇐⇒ ∃(A ⊆ X zusammenhängend) : x, y ∈ A
für x, y ∈ X auf X definierte Relation. Diese ist offenbar symmetrisch und da
einelementige Räume zusammenhängend sind, auch reflexiv. Sind x, y, z ∈ X
mit x ∼ y und y ∼ z, so finden wir zusammenhängende Mengen A, B ⊆ X mit
x, y ∈ A und y, z ∈ B. Wegen y ∈ A∩B ist nach (5) auch A∪B zusammenhängend
mit x, z ∈ A∪B, und wir haben x ∼ z. Folglich ist ∼ eine Äquivalenzrelation und
X ist die disjunkte Vereinigung der Äquivalenzklassen von ∼. Sei C eine solche
Äquivalenzklasse. Wählen wir ein x ∈ C, so ist
[
C = {y ∈ X|x ∼ y} = {A ⊆ X|A ist zusammenhängend mit x ∈ A}
nach (5) zusammenhängend. Ist A ⊆ X eine beliebige zusammenhängende Menge
mit C ∩ A 6= ∅, so wählen wir x ∈ C ∩ A und haben y ∼ x für jedes y ∈ A, d.h. es
ist A ⊆ C. Insbesondere ist C eine maximale zusammenhängende Teilmenge von
X, denn ist A ⊆ X zusammenhängend mit C ⊆ A, so ist insbesondere C ∩ A 6= ∅
und damit A ⊆ C, also A = C. Da nach (3) auch C ⊇ C zusammenhängend ist,
ist damit insbesondere C = C und C ist abgeschlossen in X.
Die Äquivalenzklassen von ∼ heißen die Zusammenhangskomponenten von X,
und wir haben gesehen das jede Zusammenhangskomponente C maximal zusammenhängend und abgeschlossen in X ist. Ist ∅ 6= A ⊆ X eine beliebige
zusammenhängende Teilmenge, so existiert eine Zusammenhangskomponente C
mit A ∩ C 6= ∅, und dann ist sogar A ⊆ C. Jede zusammenhängende Teilmenge
von X ist also in einer Zusammenhangskomponente von X enthalten, wenn wir
vom trivialen Fall X = ∅ einmal absehen. Insbesondere ist jede maximale zusammenhängende Teilmenge von X damit eine Zusammenhangskomponente von
X.
Die Zusammenhangskomponenten einer topologischen Gruppe haben eine erfreulich
übersichtliche Struktur, sie sind die Nebenklassen eines Normalteilers von G.
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Lemma 3.11 (Zusammenhangskomponenten einer topologischen Gruppe)
Sei G eine topologische Gruppe und bezeichne C die Zusammenhangskomponente von
G mit 1 ∈ C. Dann ist C G ein abgeschlossener Normalteiler und die Zusammenhangskomponenten von G sind genau die Nebenklassen von C.
Beweis: Es ist 1 ∈ G. Nach der obigen Eigenschaft (4) ist das Produkt C × C zusammenhängend und die Stetigkeit der Multiplikation ergibt mit Eigenschaft (2) das auch
C · C ⊆ G zusammenhängend ist, also nach (6) in einer Zusammenhangskomponente
von G liegt. Wegen 1 = 1 · 1 ∈ C × C ist damit C · C ⊆ C. Wieder nach Eigenschaft
(2) ist C −1 ⊆ G zusammenhängend mit 1 = 1−1 ∈ C −1 , also ist auch C −1 ⊆ C nach
(6). Damit ist C ≤ G zumindest eine Untergruppe von G. Sei jetzt a ∈ G gegeben.
Dann ist die Konjugation mit a eine stetige Abbildung auf G, und erneut nach (2) ist
C a ⊆ G zusammenhängend mit 1 = 1a ∈ C a , also C a ⊆ C nach (6). Also ist C G
und als Zusammenhangskomponente ist C nach (6) in G abgeschlossen.
Sei a ∈ C. Dann ist auch die Nebenklasse Ca als stetiges Bild von C wieder zusammenhängend. Ist C ∗ die Zusammenhangskomponente von G mit Ca ⊆ C ∗ , so ist auch
C ∗ a−1 ⊆ G zusammenhängend mit C = Caa−1 ⊆ C ∗ a−1 , also C ∗ a−1 = C und somit
C ∗ = Ca. Die Nebenklassen von C sind also Zusammenhangskomponenten von G. Da
die Nebenklassen ganz G überdecken, sind sie auch genau die Zusammenhangskomponenten von G.
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