Theoretische Physik I (WS 2015 / 2016)

Theoretische Physik I
(WS 2015 / 2016)
Übung 5
12.11.2015
Aufgabe 16
(Jojo)
(20 Punkte)
Ein masseloser Faden hängt vertikal von einem festen Punkt herab und ist
auf der anderen Seite mehrmals um einen gleichförmigen Zylinder mit der
Masse m und dem Radius R gewickelt. Wenn man den Zylinder loslässt,
bewegt er sich vertikal nach unten und rotiert, während sich der Faden abwickelt.
Stellen Sie die Lagrange-Funktion auf. Verwenden Sie hierzu die Entfernung
x als verallgemeinerte Koordinate.
Geben Sie die Lagrange’sche Bewegungsgleichung an und zeigen Sie, dass
der Zylinder mit ẍ = 2g/3 nach unten beschleunigt wird.
Hinweis: Die kinetische Energie des Jojos wird durch T = 12 mv 2 + 12 Iω 2
beschrieben, wobei v die Geschwindigkeit des Schwerpunkts und I das
Trägheitsmoment des Zylinders, I = 21 mR2 des Zylinders ist. ω ist die Winkelgeschwindigkeit bezüglich des Schwerpunktes.
Aufgabe 17
(Massives Federpendel)
(30 Punkte)
Betrachten Sie einen Wagen der Masse m, der sich entlang der x-Achse bewegt. An dem Wagen
ist eine Feder befestigt (Federkonstante k), deren anderes Ende festgehalten wird. Wenn wir die
Masse der Feder vernachlässigen q
führt der Wagen bekannterweise eine harmonische Schwingung
mit Winkelgeschwindigkeit ω = k/m durch. Mit dem Lagrange’schen Ansatz können wir nun
den Einfluss der Masse M der Feder berücksichtigen.
(a) Die kinetische Energie der Feder beträgt 61 M ẋ2 ist. (Wie üblich gibt x die Auslenkung
der Feder aus ihrer Gleichgewichtsposition an.)
Stellen Sie die Lagrange-Funktion aus Wagen und Feder auf. Beachte Sie, dass die potenzielle Energie weiterhin durch 12 kx2 gegeben ist.
(b) Stellen Sie die Lagrange-Gleichung auf und zeigen Sie, dass der Wagen immer noch eine
harmonische Schwingung ausführt, allerdings jetzt mit der Winkelgeschwindigkeit ω =
q
k/(m + M/3)
(c) Beweisen Sie den Ausdruck für die kinetische Energie der Feder. Gehen Sie dazu davon
aus, dass die Feder gleichförmig ist und sich gleichmäßig dehnt.
Aufgabe 18
(Seilschwinger)
(20 Punkte )
Zwei kleine masselose Rollen im Abstand 2` liegen fest auf gleicher
Höhe. Über die Rollen werden zwei masselose, nicht-dehnbare Seile mit
genügend großer Länge gelegt. Die Seile verbinden die beiden äußeren
Kugeln mit jeweiliger Masse m2 mit der inneren Kugel der Masse m1 .
Alle drei Kugeln schwingen aufgrund geeigneter Anfangsbedingungen
nur parallel zur vertikalen x-Achse auf und ab.
Stellen Sie die Lagrange-Gleichung für die Koordinate x1 der mittleren
Kugel auf.
Aufgabe 19
(Perle auf rotierendem Draht)
(30 Punkte)
Betrachten Sie eine Perle der Masse m, die reibungsfrei auf einem Draht gleitet, der in Form
einer Parabel gebogen ist und sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine vertikale
Achse dreht.
Verwenden Sie zylindrische Koordinaten, um die Lagrange-Funktion der Kugel mit Hilfe der
verallgemeinerten Koordinate ρ aufzustellen. Die Parabelgleichung ist z = kρ2 .
Geben Sie die Bewegungsgleichung der Perle an und ermitteln Sie, ob es Gleichgewichtspositionen gibt, d.h. Werte von ρ, bei denen die Perle an einer festen Position bleibt, ohne sich auf
dem drehenden Draht hinauf oder hinab zu bewegen. Beurteilen Sie die Stabilität der Gleichgewichtspositionen, die Sie finden.