3. Relationen - Hochschule Trier

3. Relationen
Wozu Relationen?
Rolf Linn
Rolf Linn
Mathematik
Theoretische Informatik
3.1 Kartesische Produkte
3.2 Zweistellige Relationen
3.3 Äqivalenzrelationen
3.4 Halbordnungen
3.5 Hüllen
Kryptographie
Beispiel:
Sei m∈IN. Für x∈Z und y∈Z wird die Relation ≡m definiert durch
x≡my ⇔ ∃z∈Z: x-y = z⋅m
Relationale Datenbanken
Beispiel: Relationen der Datenbank einer Autovermietung
Wagennummer
3. Relationen
GM 3-1
3.1 Kartesische Produkte
Typ
Kundennummer
Wagennummer
Mietbeginn
Mietende
12 VW Golf
13
12
1.1.2007
10.1.2007
90 Audi A4
146
90
4.5.2007
15.5.2007
87 VW Golf
13
87
5.5.2007
13.5.2007
115 Citroën C2
21
115
11.5.2007
26.5.2007
21
90
27.6.2007
5.7.2007
3. Relationen
Geordnetes Paar, Tripel, n-tupel
Rolf Linn
GM 3-2
Rolf Linn
Das „Gebilde“ ( a1, a2, a3, …, an ) heißt n-tupel.
Geordnetes Paar
Tripel
n-tupel
Kartesisches Produkt
Ist n=2 spricht man von einem geordneten Paar, ist n=3 von einem
Tripel.
Beispiel:
Relation als Menge
geordneter Paare
René Descartes (Renatus Cartesius, 1596-1650): französischer Philosoph
und Naturwissenschaftler, Wegbereiter der analytischen Geometrie
(Kartesische Koordinaten).
3.1 Kartesische Produkte
3. Relationen
GM 3-3
Wagennummer
Typ
Relation als Menge von 4-tupeln
Kundennummer
Wagennummer
Mietbeginn
Mietende
12 VW Golf
13
12
1.1.2007
10.1.2007
90 Audi A4
146
90
4.5.2007
15.5.2007
87 VW Golf
13
87
5.5.2007
13.5.2007
115 Citroën C2
21
115
11.5.2007
26.5.2007
21
90
27.6.2007
5.7.2007
3.1 Kartesische Produkte
GM 3-4
27.06.2013
1
Definition 3.1.1: Kartesisches Produkt
Beispiel: Punkt in der Ebene
Rolf Linn
Seien A1, A2, …, An Mengen.
A1×A2×…×An = { (a1, a2, … an) | a1∈A1 ∧ a2∈A2 ∧ … ∧ an∈An } heißt
kartesisches oder auch direktes Produkt von
A1, A2, …, An .
Ist A1 = A2 = … = An = A, setzt man An = A1×A2×…×An.
Rolf Linn
Nach Wahl eines Nullpunktes und eines Maßstabes ist jeder Punkt
in der Ebene eindeutig durch ein geordnetes Paar von reellen
Zahlen festgelegt:
y
Beispiel:
Sei A = { a0, a1 } und B = { b0, b1, b2 }. Dann ist
A×B = { (a0,b0), (a0,b1), (a0,b2), (a1,b0), (a1,b1), (a1,b2) }
● P = ( x p , yp )
yp
A
A×B = { a0, a1 } × { b0, b1, b2 }.
a1 ●
a0 ●
●
●
●
(a1,b0) (a1,b1) (a1,b2)
●
●
xp
●
x
(a0,b0) (a0,b1) (a0,b2)
●
●
●
b0
b1
b2
B
3.1 Kartesische Produkte
GM 3-5
Beispiel: Punkt im Raum
3.1 Kartesische Produkte
GM 3-6
3.2 Zweistellige Relationen
Rolf Linn
Rolf Linn
Nach Wahl eines Nullpunktes und eines Maßstabes ist jeder Punkt im
Raum eindeutig durch ein Tripel von reellen Zahlen festgelegt:
Reflexivität
Symmetrie
Antisymmetrie
Asymmetrie
Transitivität
y
yp
● P = ( x p , yp , zp )
zp
z
3.1 Kartesische Produkte
3. Relationen
xp
x
Übungsaufgaben 3.1.1 und 3.1.2
GM 3-7
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-8
27.06.2013
2
Relation: Teilmenge eines Kartesischen Produktes
Wagennummer
Definition 3.2.1: Relation
Rolf Linn
Seien A und B Mengen. Eine Teilmenge R ⊆ A×B heißt
(zweistellige oder binäre) Relation zwischen A und B. Ist
A=B, so heißt R Relation auf A.
Typ
Typ
12 VW Golf
VW Golf ●
●
●
●
●
Audi A4 ●
●
●
●
●
Citroën C2 ●
●
●
●
●
●
12
●
90
Beispiel:
90 Audi A4
87 VW Golf
115 Citroën C2
Rolf Linn
●
●
87 115
Typ
Wagennummer
VW Golf ●
●
●
●
●
Audi A4 ●
●
Citroën C2 ●
●
●
●
●
●
●
●
●
12
●
90
●
●
87 115
Wagennummer
{ (12, VW Golf), (90, Audi A4), (87, VW Golf), (115, Citroën C2) }
{ (12, VW Golf), (90, Audi A4), (87, VW Golf), (115, Citroën C2) }
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-9
Weiteres Beispiel für eine Relation
3.2 Zweistellige Relationen
Visualisierung einer Relation zwischen A und B
Rolf Linn
Lackfarbe
R = { (a2, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b2) }
" " " " " " " " " "
Matrix
"
"
" "
"
" " "
" "
" "
b1 b2 b3
a2
3. Relationen
Tabelle
a1
●
●
a3
{ (Glutrot, Schiefergrau), (Floraviolett, Schiefergrau), (Kaskadenblau, Schiefergrau),
(Oasengrün, Schiefergrau), (Schneeweiß, Schiefergrau), (Schneeweiß, Blauviolett),
(Schneeweiß, Petrol), …, (Mondsilber, Ziegelrot) }
3.2 Zweistellige Relationen
Rolf Linn
A = { a 1, a 2, a 3 , a 4 }
B = { b 1, b 2, b 3 }
Mondsilber
Meteorgrau
Dschungelgrün
Tiefseeblau
Vulkanrot
Schneeweiß
Ziegelrot
Oasengrün
Petrol
Kaskadenblau
Blauviolett
Floraviolett
Glutrot
Polsterfarbe
Schiefergrau
GM 3-10
a4
GM 3-11
●
●
Graph
A
B
a1
a2
b1
a2
a2
b2
a3
b3
a4
b2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
b1
b2
b3
GM 3-12
27.06.2013
3
Visualisierung einer Relation auf A
Die Relation x ≥ y auf den reellen Zahlen
Rolf Linn
Rolf Linn
y
A = { a 1, a 2, a 3 , a 4 }
R = { (a1, a2), (a1, a4), (a3, a1), (a3, a3), (a4, a4) }
≥
Matrix
Tabelle
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
●
●
a4
●
A
A
a1
a2
a1
a4
a3
a1
a3
a3
a4
a4
Graph
x
a2
a1
a4
a3
Entsprechend sind auch <, ≤, >, = und ≠ Relationen auf den reellen Zahlen (und auch
auf den natürlichen, ganzen sowie den rationalen Zahlen).
Statt (x,y)∈R schreiben wir wie üblich xRy
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-13
Definition 3.2.2: Reflexivität
Beispiel:
Übungsaufgabe 3.2.1
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-14
Eine nicht reflexive Relation
Rolf Linn
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt reflexiv, falls gilt
∀x∈A: xRx.
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt reflexiv, falls gilt
∀x∈A: xRx.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine reflexive Relation auf A
R = { (a1,a1), (a1,a2), (a1,a4), (a2,a2), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
a3
a4
3.2 Zweistellige Relationen
3. Relationen
●
●
●
a1
●
●
●
a2
a2
●
●
a3
a4
●
●
a4
a3
●
a1
a4
a3
∃x∈A: ¬xRx
GM 3-15
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-16
27.06.2013
4
Definition 3.2.3: Symmetrie
Beispiel:
Eine nicht symmetrische Relation
Rolf Linn
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt symmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ yRx.
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt symmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ yRx.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine symmetrische Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a3), (a1,a4), (a2,a1), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a1), (a4,a4) }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
●
a3
●
a4
●
●
●
a1
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a1
a2
a4
a3
●
●
a4
a3
●
●
a4
a3
●
∃x∈A, ∃y∈A: ¬ (xRy ⇒ yRx)
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-17
Definition 3.2.4: Antisymmetrie
Beispiel:
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-18
Eine nicht antisymmetrische Relation
Rolf Linn
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt
antisymmetrisch, falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y.
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt
antisymmetrisch, falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y.
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine antisymmetrische Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a2,a1), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a2
a3
a4
●
●
●
a1
a2
a1 a2 a3 a4
a1
a4
a2
●
a3
●
a4
a3
●
●
●
●
a1
a4
a3
∃x∈A, ∃y∈A: ¬ ((xRy ∧ yRx) ⇒ x=y)
3.2 Zweistellige Relationen
3. Relationen
GM 3-19
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-20
27.06.2013
5
Eine symmetrische und antisymmetrische Relation
Definition 3.2.5: Asymmetrie
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt symmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ yRx.
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt asymmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ ¬yRx.
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt
antisymmetrisch, falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: (xRy ∧ yRx) ⇒ x=y.
Beispiel:
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine asymmetrische Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1) }
R = { (a1,a1), (a2,a2), (a3,a3), (a4,a4) }
a1 a2 a3 a4
a1
●
a2
a3
a1
●
a4
●
a1
a4
a3
a3
Eine nicht asymmetrische Relation
Beispiel:
●
a4
●
●
GM 3-22
Rolf Linn
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
Eine transitive Relation auf A
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a2), (a3,a3), (a3,a4), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a3
a3
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt transitiv, falls gilt
∀x∈A, ∀y∈A, ∀z∈A: (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz.
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a2,a1), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
●
a4
Definition 3.2.6: Transitivität
Rolf Linn
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
a2
a1
●
3.2 Zweistellige Relationen
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt asymmetrisch,
falls gilt ∀x∈A, ∀y∈A: xRy ⇒ ¬yRx.
●
●
a4
GM 3-21
●
●
a2
3.2 Zweistellige Relationen
a1
a2
a1 a2 a3 a4
a2
●
a1
a2
a1 a2 a3 a4
a4
a1
●
●
a2
a3
a3
a4
●
●
●
●
●
a1
a4
a3
∃x∈A, ∃y∈A: ¬(xRy ⇒ ¬yRx)
3.2 Zweistellige Relationen
3. Relationen
GM 3-23
3.2 Zweistellige Relationen
GM 3-24
27.06.2013
6
Eine nicht transitive Relation
3.3 Äquivalenzrelationen
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation R auf der Menge A heißt transitiv, falls gilt
∀x∈A, ∀y∈A, ∀z∈A: (xRy ∧ yRz) ⇒ xRz.
Äquivalenzklassen
Partition
Zerlegung
Klasseneinteilung
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a2), (a1,a4), (a3,a1), (a3,a3), (a4,a4) }
a2
a1 a2 a3 a4
a1
●
●
a1
a2
a3
a4
●
Rolf Linn
●
a4
a3
●
∃x∈A, ∃y∈A, ∃z∈A: ¬ ((xRy ∧ yRz) ⇒ xRz)
Übungsaufgaben 3.2.2 bis 3.2.6
3.2 Zweistellige Relationen
Klassifikation und Abstraktion
GM 3-25
3.4 Äquivalenzrelationen
Definition 3.3.1: Äquivalenzrelation
Rolf Linn
1. Beispiel:
Personen – gleicher Beruf
4 12
=
9 27
a1 a2 a3 a4
Berechnungsverfahren – bei gleicher Eingabe gleiches Ergebnis
Innere Zustände eines Automaten – bei gleicher nachfolgender
Eingabe gleiche Ausgabe
1. 
2. 
3. 
3.4 Äquivalenzrelationen
3. Relationen
Sei A = { a1, a2, a3 , a4 }
R = { (a1,a1), (a1,a2), (a1,a4), (a2,a1), (a2,a2), (a2,a4), (a3,a3), (a4,a1), (a4,a2), (a4,a4) }
Personen – gleiches Alter
Brüche – gleicher Wert, z.B.
Rolf Linn
Eine zweistellige Relation heißt Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv,
symmetrisch und transitiv ist.
Zerlegung einer Menge in Teile, deren Elemente in bestimmten
Eigenschaften übereinstimmen. Diese Elemente heißen dann äquivalent
(gleichwertig).
Beispiele:
GM 3-26
a1
●
●
●
a2
●
●
●
●
●
a3
a4
Jedes Element ist zu sich selbst gleichwertig.
Ist A zu B gleichwertig, dann auch B zu A.
Ist A zu B gleichwertig und B zu C, dann auch A zu C.
2. Beispiel:
●
a2
a1
●
a4
a3
Sei m∈IN.
Für x∈Z und y∈Z wird die Relation ≡m auf Z definiert durch
GM 3-27
3.4 Äquivalenzrelationen
x≡my ⇔ ∃z∈Z: x-y = z⋅m
GM 3-28
27.06.2013
7
Äquivalenzrelation und Klasseneinteilung
Definition 3.3.2: Äquivalenzklasse
Rolf Linn
Seien ~ eine Äquvalenzrelation auf der Menge A und a∈A.
[a]~ = { x∈A | x~a } heißt Äquvalenzklasse von a bezüglich ~.
Sei A = { x∈IN | x<10 }.
Für x∈A und y∈A ist die Relation ≡3 auf A definiert durch
Wenn die Äquivalenzrelation ~ aus dem Kontext eindeutig
hervorgeht, schreiben wir wie üblich statt [a]~ einfach nur [a].
x≡3y ⇔ ∃z∈Z: x-y = z⋅3
0
1
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
2
3
4
6
8
Satz 3.3.1: Eigenschaften von Äquivalenzklassen
8
9
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-30
Definition 3.3.3: Partition
Rolf Linn
Rolf Linn
Es sei M eine Menge und P eine Menge von nichtleeren
Teilmengen von M. Die Menge P heißt Partition, Zerlegung oder
Klasseneinteilung von M, wenn gilt:
a)
(A∈P ∧ B∈P ∧ A≠B) ⇒ A∩B = Ø
b)
∀m∈M ∃A∈P: m∈A
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
Für a∈A und b∈A gilt:
a)  a∈[a]
b)  a~b ⇔ [a] = [b]
c)  ¬(a~b) ⇔ [a]∩[b] = Ø
Übungsaufgaben 3.3.1 bis 3.3.3
Beispiel:
0
1
2
A3
A1
3
6
4
7
5
[0]=[3]=[6]=[9]={0,3,6,9}
A2
A5
8
A7
A4
9
3. Relationen
5
7
[6] = { x∈A | x≡36 }
GM 3-29
2
4
6
3.4 Äquivalenzrelationen
3.4 Äquivalenzrelationen
1
3
9
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
0
5
7
Rolf Linn
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
A6
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
GM 3-31
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-32
27.06.2013
8
Definition 3.3.4: Quotientenmenge
Satz 3.3.2: Äquivalenzrelation und Partition
Rolf Linn
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
A/~ = { [a]~ | a∈A } heißt Quotient oder Quotientenmenge von A
bezüglich ~.
Rolf Linn
Sei ~ eine Äquivalenzrelation auf der Menge A.
Der Quotient A/~ ist dann eine Partition von A.
Die Elemente der Quotientenmenge sind die Äquivalenzklassen.
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
0
1
Beispiel:
A = { x∈IN | x<10 }
≡3
2
0
1
3
3
4
4
5
5
6
6
2
7
7
8
8
9
9
[0]=[3]=[6]=[9]={0,3,6,9}
[0]=[3]=[6]=[9]={0,3,6,9}
3.4 Äquivalenzrelationen
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
A/~ = { {0,3,6,9}, {1,4,7}, {2,5,8}}
GM 3-33
Äquivalenzrelation und Partition
[2]=[5]=[8]={2,5,8}
A/~ = { {0,3,6,9}, {1,4,7}, {2,5,8}}
3.4 Äquivalenzrelationen
GM 3-34
3.4 Halbordnungen
Rolf Linn
Zu jeder Partition P auf einer Menge A gibt es eine eindeutig
bestimmte Relation ~ auf A, sodass P = A/~. Wir bezeichnen diese
Relation mit ~P. Es gilt
Rolf Linn
Strikte Halbordnung
(Nicht strikte) Halbordnung
Hasse-Diagramm
~ A/~ = ~
Übungsaufgaben 3.3.4 und 3.3.5
A/ ~P = P
[1]=[4]=[7]={1,4,7}
(ohne Beweis)
A3
A1
A2
A5
A7
A4
A6
3.4 Äquivalenzrelationen
3. Relationen
GM 3-35
3.4 Halbordnungen
GM 3-36
27.06.2013
9
Strikte Halbordnungen
Definition 3.4.1: Strikte Halbordnung
Rolf Linn
Eine Relation R heißt strikte Halbordnung, wenn sie
asymmetrisch und transitiv ist.
Anordnung der Elemente einer Menge nach bestimmten Kriterien, wie
„kleiner - größer“, „früher - später“ oder „langsamer - schneller“.
Beispiele:
Beispiel:
Personen: kleiner - größer
Rolf Linn
Anna
(Digitaltechnik, Mathematik, Theoretische Informatik)
Studierende: nach absolvierten Modulen
Auto: langsamer – schneller
Einträge im Telefonbuch: lexikographisch
1. 
2. 
Ist A vor B, dann ist nicht B vor A.
Ist A vor B und B vor C, dann ist auch A vor C.
3.4 Halbordnungen
GM 3-37
Halbordnung
Petra
(Digitaltechnik, Theoretische Informatik)
Karl
Heiner
(Mathematik)
(Theoretische Informatik)
3.4 Halbordnungen
GM 3-38
Definition 3.4.2: Halbordnung
Rolf Linn
Beispiel:
Anna
Anna
Petra
Hans
Karl
3.4 Halbordnungen
3. Relationen
Rolf Linn
Eine Relation R heißt (nicht strikte) Halbordnung (auch (nicht
strikte) partielle Ordnung), wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und
transitiv ist.
Nimmt man zu einer strikten Halbordnung auf A für alle x∈A die
Elemente (x,x) hinzu, erhält man eine (nicht strikte) Halbordnung.
Beispiel:
Hans
(Mathematik, Theoretische Informatik)
Heiner
Karl
GM 3-39
Petra
Hans
Heiner
3.4 Halbordnungen
GM 3-40
27.06.2013
10
Satz 3.4.1: Strikte Halbordnung und Halbordnung
Definition 3.4.3: unmittelbarer Nachfolger
Rolf Linn
Rolf Linn
Sei R eine Halbordnung oder eine strikte Halbordnung auf A. y
heißt unmittelbarer Nachfolger von x, falls xRy, x≠y und ¬∃z∈A:
(x≠z ∧ xRz ∧ z≠y ∧ zRy).
Sei S eine strikte Halbordnung auf der Menge A.
Dann ist H = S ∪ { (x,x) | x∈A } eine Halbordnung auf A.
Beispiel:
Sei H eine Halbordnung auf der Menge A.
Dann ist S = H \ { (x,x) | x∈A } eine strikte Halbordnung auf A.
Anna
Petra
Hans
Karl
Übungsaufgabe 3.4.1 bis 3.4.3
3.4 Halbordnungen
GM 3-41
Hasse-Diagramm
3.4 Halbordnungen
Hans ist unmittelbarer Nachfolger von Karl,
Anna ist nicht unmittelbarer Nachfolger von Karl.
3.5 Hüllen
Rolf Linn
Halbordnungen oder strikte Halbordnungen können durch HasseDiagramme dargestellt werden, hierbei wird jedes Element nur mit
seinen unmittelbaren Nachfolgern durch einen Strich verbunden.
Beispiel:
Heiner
GM 3-42
Rolf Linn
Reflexive Hülle
Symmetrische Hülle
Transitive Hülle
Anna
Petra
Hans
Karl
Heiner
Übungsaufgabe 3.4.4
3.4 Halbordnungen
3. Relationen
GM 3-43
3.5 Hüllen
GM 3-44
27.06.2013
11
Definition 3.5.1: Hülle
Transitive Hülle
Rolf Linn
A = { a, b, c, d, e, f, g, h }
Sei R eine Relation auf A und E eine Eigenschaft von Relationen.
Die Relation R* heißt Hülle (oder Abschluss) von R bezüglich E,
wenn gilt:
a)
R* besitzt die Eigenschaft E
b)
R ⊆ R*
c)
Für alle Relationen S mit den Eigenschaften E und
R⊆S gilt R*⊆S
R = { (b,f), (c,a), (d,g), (e,h), (f,c), (g,f), (h,h) }
a
b
Beispiele:
Rolf Linn
c
d
e
g
h
Sei R eine Relation auf A
f
R ∪ { (x,x) | x∈A } ist die reflexive Hülle von R (die Hülle von R
bezüglich der Reflexivität).
R ∪ { (x,y) | (y,x)∈R } ist die symmetrische Hülle von R.
R* = { (b,a), (b,c), (b,f), (c,a), (d,a), (d,c), (d,f), (d,g), (e,h), (f,a), (f,c), (g,a), (g,c), (g,f), (h,h) }
Transitive Hülle von R ?
3.5 Hüllen
Übungsaufgabe 3.5.1
GM 3-45
Definition 3.5.2: Durchschnitt vieler Mengen
3.5 Hüllen
Satz 3.5.1: Durchschnitt transitiver Relationen
Rolf Linn
Rolf Linn
Sei R eine Menge transitiver Relationen auf der Menge A.
R ist dann auch eine transitive Relation auf A.
S= 
∈
Sei A eine nichtleere Menge von Mengen. Wir definieren
den Durchschnitt 
A = { x | ∀A∈A: x∈A }
A durch 
A∈ A
A∈ A
Beispiel:
GM 3-46
R
R
Sei A = { {1,5,8,9}, IN, {-1,5,8} }
 A = { 5, 8 }
A∈ A
3.5 Hüllen
3. Relationen
GM 3-47
3.5 Hüllen
GM 3-48
27.06.2013
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Satz 3.5.2: Transitive Hülle
Rolf Linn
Sei R eine Relation auf der Menge A. S sei die Menge aller
transitiven Relationen S auf A, für die R⊆S gilt.
S ist dann die transitive Hülle von R.
T= 
∈
S S
3.5 Hüllen
3. Relationen
GM 3-49
27.06.2013
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