Institut für Geometrie und Topologie

Institut für Geometrie und Topologie
Mark Hamilton
Zimmer 7.548 V57
Wintersemester 2012/13
Differentialgeometrie (Prof. Semmelmann)
Übungsblatt 1
1. a) Sei {Ui }i∈I eine offene Überdeckung von A. Dann gibt es in X offene
Mengen Vi , so dass Ui = Vi ∩ A. Die Vi zusammen mit der offenen Menge
X \ A bilden eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt ist, gibt es
eine endliche Teilüberdeckung. Diese ist von der Form X \ A, Vi1 , . . . , Vin . Da
X \ A disjunkt von A ist, müssen die Ui1 , . . . , Uin eine Überdeckung von A
sein. Damit ist A kompakt.
b) Sei {Ui }i∈I eine offene Überdeckung von f (X). Dann gibt es in Y offene
Mengen Vi , so dass Ui = Vi ∩ f (X). Da f stetig ist, sind die Mengen Wi =
f −1 (Vi ) in X offen. Sie bilden eine offene Überdeckung von X. Da X kompakt
ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung Wi1 , . . . , Win . Die entsprechenden
Mengen Ui1 , . . . , Uin bilden eine offene Überdeckung von f (X). Also ist f (X)
kompakt.
c) Wir müssen zeigen, dass X \ A offen ist. Sei p ein Punkt in X \ A. Da
X hausdorff ist, gibt es zu jedem q ∈ A in X offene, disjunkte Umgebungen
Uq von p und Vq von q. Die Vq bilden eine offene Überdeckung von A. Da A
kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung Vq1 , . . . , Vqn . Die Menge
W = Uq1 ∩ . . . ∩ Uqn
ist offen und disjunkt von X \ A. Also gibt es um jeden Punkt p in X \ A eine
offene Umgebung W ⊂ X \ A. Damit ist X \ A offen.
2. a) Annahme: X ist wegzusammenhängend, aber nicht zusammenhängend.
Seien U, V offene nichtleere disjunkte Mengen mit U ∪ V = X. Sei p ein Punkt
in U und q ein Punkt in V . Da X wegzusammenhängend ist, gibt es einen
stetigen Weg γ : [0, 1] → X mit γ(0) = p und γ(1) = q. Dann sind auch die
Mengen γ −1 (U ) und γ −1 (V ) offen in [0, 1]. Sie sind nichtleer, disjunkt und
ihre Vereinigung ist [0, 1]. Also ist [0, 1] nicht zusammenhängend. Das stimmt
nicht, Widerspruch.
b) Sei X lokal euklidisch und zusammenhängend. Wir wählen einen beliebigen festen Punkt p ∈ X und definieren Teilmengen U und V von X als die
Menge aller Punkte, die wir von p durch stetige Wege erreichen, bzw. nicht
erreichen können.
Es gilt U ∪V = X und U, V sind disjunkt. Die Menge U ist nichtleer, da p ∈
U . Die Menge U ist offen: Ist q erreichbar und W eine Karte um q homöomorph
zu einem offenen Ball im Rn , dann ist jeder Punkt in W erreichbar durch eine
Verbindung von Wegen. Die Menge V ist offen: Ist q nicht erreichbar und W
eine Karte um q homöomorph zu einem offenen Ball im Rn , dann ist jeder
Punkt in W nicht erreichbar, denn wäre ein Punkt in W erreichbar, dann
auch q.
Also ist X die Vereinigung zweier disjunkter offener Mengen U und V . Da
U nichtleer und X zusammenhängend ist, muß V leer sein, d.h. jeder Punkt
in X ist durch einen Weg von p erreichbar und X ist wegzusammenhängend.
c) Sei f : X → Y stetig und X zusammenhängend. Angenommen f (X) ist
nicht zusammenhängend. Eine Zerlegung von f (X) in zwei offene disjunkte
nichtleere Mengen induziert durch f −1 eine solche von X, da f stetig ist.
Widerspruch. Also ist f (X) zusammenhängend.
Sei X wegzusammenhängend. Komposition mit f von stetigen Wegen in
X sind stetige Wege in f (X). Also ist f (X) wegzusammenhängend.
3. Das kartesische Produkt M ×N ist ein topologischer Raum mit der Produktopologie. Sind p und q verschiedene Punkte in M × N , dann ist mindestens
eine Komponente der beiden Punkte verschieden. Da M und N hausdorff sind,
folgt, dass man p und q durch offene Kästchen trennen kann. Also ist M × N
hausdorff. M und N haben eine abzählbare Basis der Topologie. Die offenen
Kästchen, die aus beliebigen Paaren dieser Basiselemente gebildet werden, bilden eine abzählbare Basis der Topologie von M × N . Der topologische Raum
M × N ist lokal euklidisch: Sei (x, y) ein beliebiger Punkt in M × N . Dann
gibt es Karten φ : U → Rm um x in M und ψ : V → Rn um y in N . Dann ist
φ × ψ : U × V → Rm × Rn = Rm+n
eine Karte um (x, y). Stammen die Karten φ und ψ aus differenzierbaren Atlanten für M und N , dann sind sie untereinander verträglich, da die Kartenwechsel die Produkte der Kartenwechsel und damit differenzierbar sind. Also
ist M × N in kanonischer Weise eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.
Die Projektion π : M ×N → M ist differenzierbar in (x, y): Sei φ : U → Rm
eine Karte um x und ψ : V → Rn eine Karte um y. Dann ist φ × ψ eine Karte
um (x, y). In diesen Karten ist die Projektion φ ◦ π ◦ (φ × ψ)−1 gegeben durch
(x1 , . . . , xm+n ) 7→ (φ−1 (x1 , . . . , xm ), ψ −1 (x1 , . . . , xn ))
π
7→ φ−1 (x1 , . . . , xm )
7→ (x1 , . . . , xm ).
Diese Abbildung ist differenzierbar.
Die Injektion i : M → M × N ist differenzierbar in x: Sei φ : U → Rm
eine Karte um x und ψ : V → Rn eine Karte um p mit ψ(p) = 0. In den
entsprechenden Karten ist die Injektion (φ × ψ) ◦ i ◦ φ−1 gegeben durch:
(x1 , . . . , xm ) 7→ φ−1 (x1 , . . . , xm )
i
7→ (φ−1 (x1 , . . . , xm ), p)
7→ (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0).
Diese Abbildung ist differenzierbar.
Bemerkung 1. Die hier definierte differenzierbare Struktur auf der topologischen Mannigfaltigkeit M × N ist die kanonische. Auf M × N kann es andere
differenzierbare Strukturen geben, die zu der kanonischen nicht diffeomorph
sind.
4. Sei p ein beliebiger Punkt auf der Sphäre S n . Wir nehmen zunächst an,
dass p nicht der Südpol −en+1 ist. Dann ist f (p) nicht der Nordpol. Mit der
Bezeichnung aus dem Skript sind g2 : U2 → Rn und g1 : U1 → Rn Karten um
p bzw. f (p). Die Abbildung g1 ◦ f ◦ g2−1 ist gegeben durch:
2x
1 − ||x||2
x 7→
,
1 + ||x||2 1 + ||x||2
2x
||x||2 − 1
f
7→ −
,
1 + ||x||2 1 + ||x||2
1
−2x
1 + ||x||2 −2x
7→
=
2
2
2
1 + ||x||2
1 + 1−||x||2 1 + ||x||
1+||x||
= −x.
Diese Abbildung ist differenzierbar. Eine analoge Rechnung kann man machen,
wenn p der Südpol ist, indem man g1 und g2 vertauscht.