Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 6

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Martin Monath
1. Dezember 2016
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 6
Aufgabe 1 (1+3+2+2=8 Punkte)
Wir betrachten die Sprache L = L(f1 , f2 ; c1 , c2 ) wobei f1 und f2 2-stellige Funktionszeichen
seien und c1 und c2 Konstanten. Dann ist A = (Q; ·, +; 12 , 2) eine L-Struktur. Weiter sei
ϕ0 (x), ϕ1 (x), . . . , ϕn (x), . . . (n ∈ N) eine Folge von L-Formeln gegeben.
(a) Geben Sie die Signatur von A an.
(b) Entscheiden Sie mit kurzer Begründung, ob es sich bei folgenden Zeichenreihen um
L-Terme, L-Formeln und/oder L-Sätze handelt oder ob nichts davon zutrifft.
c1
= f1 (c1 , c1 )
c2
∃x f1 (x, x) = c2
c1 + c1 + c1 + c1
∃n ϕn (x)
∀x ∈ N ϕy (x)
f1 (c1 , ϕ0 (x))
(c) Bestimmen Sie für t(x1 , x2 ) ≡ f1 (f2 (x2 , x1 ), f1 (x1 , c2 )) die in A interpretierte Funktion
A
ft(x
und den Wert tA [3, 4].
1 ,x2 )
(d) Geben Sie eine L-Formel ϕ ≡ ϕ(x) an, sodass für jede Belegung B von {x} in A gilt:
WBA (ϕ) = 1 genau dann, wenn B(x) = 31 .
Aufgabe 2 (4 Punkte)
Sei L = L(σ) eine beliebige Sprache der Signatur σ = ((ni |i ∈ I); (fj |j ∈ J); K), A eine
L-Struktur, t ein L-Term, V = {x1 , . . . , xm } und V 0 = {x01 , . . . , x0n } Variablenmengen mit
V (t) ⊆ V ∩ V 0 und B bzw. B 0 Belegungen von V bzw. V 0 in A, sodass B V (t) = B 0 V (t)
A
gilt. Zeigen Sie, dass dann tA
B = tB 0 gilt.
1
Aufgabe 3 (4 Punkte)
Sei ϕ(x1 , . . . , xn ) eine L-Formel, deren freie Variable sämtlich unter x1 , . . . , xn vorkommen
und sei B eine Belegung dieser Variablen in der L-Struktur A. Zeigen Sie:
WBA (∀xϕ) = 1 genau dann, wenn WBAa (ϕ) = 1 für alle a ∈ A,
wobei Ba eine Belegung der Variablen {x, x1 , . . . , xn } ist, die durch
(
a,
falls y = x
Ba (y) =
B(xi ), falls y = xi und xi 6= x
definiert ist.
Abgabe: Bis Donnerstag, den 8. Dezember 2016, 14 Uhr in den Briefkästen im 1.
Obergeschoss des Mathematikon (INF 205) auf der Seite des Haupteingangs. Homepage der
Vorlesung:
http://www.math.uni-heidelberg.de/logic/ws16/mathlogik_ws16.html
2