Ubungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 7

Universität Heidelberg / Institut für Informatik
Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies
Dipl.-Math. Thorsten Kräling
28. November 2011
Übungen zur Vorlesung
Mathematische Logik
Blatt 7
Aufgabe 1 (3 Punkte)
Sei R = (R; ≤; +; ·; 0; 1) die Struktur der reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung,
Addition, Multiplikation, der 0 und der 1.
(a) Geben Sie die Signatur σ = σ(R) an.
(b) Geben Sie L(σ)-Sätze an, die die folgenden Sachverhalte ausdrücken:
1. Es gibt keine größte reelle Zahl.
2. Jede positive reelle Zahl besitzt eine positive Wurzel.
Aufgabe 2 (5 Punkte)
Sei L die Sprache L = (f1 , f2 , c1 , c2 ) wobei f1 und f2 2-stellige Funktionszeichen seien und
c1 und c2 Konstanten. Dann ist A = (Q, ·, +, 12 , 2) eine L-Struktur.
(a) Geben Sie jeweils mit (kurzer) Begründung an, ob es sich bei folgenden Zeichenreihen
um L-Terme, L-Formeln und/oder L-Sätze handelt oder ob nichts davon zutrifft.
c1
= f1 (c1 , c1 )
c2
∃x f1 (x, x) = c2
c1 + c1 + c1 + c1
(b) Bestimmen Sie für t(x1 , x2 ) = f1 (f2 (x2 , x1 ), f1 (x1 , c2 )) den Wert tA [3, 4].
(c) Geben Sie eine L-Formel ϕ ≡ ϕ(x1 ) derart an, dass für jede Belegung B von {x1 } in A
gilt: WBA (ϕ) = 1 genau dann, wenn B(x1 ) = − 41 .
Aufgabe 3 (3 Punkte)
Sei ϕ(x1 , . . . , xn ) eine L-Formel (deren freie Variable sämtlich unter x1 , . . . , xn vorkommen)
und sei B eine Belegung dieser Variablen in der L-Struktur A. Zeigen Sie:
WBA (∀xϕ) = 1 genau dann, wenn WBAa (ϕ) = 1 für alle a ∈ A,
wobei Ba eine Belegung der Variablen {x, x1 , . . . , xn } ist, die durch
(
a,
falls y = x
Ba (y) =
B(xi ), falls y = xi und xi 6= x
definiert ist.
Aufgabe 4 (3 Punkte)
Geben Sie Formeln ϕ≤n , ϕ≥n und ϕ=n über der Sprache L = L() ohne nicht-logische Zeichen
an, sodass für jede L-Struktur A folgendes gilt:
A ϕ≤n
A ϕ≥n
A ϕ=n
⇔ |A| ≤ n
⇔ |A| ≥ n
⇔ |A| = n
Geben Sie die Formeln für n = 3 explizit an und erläutern Sie, wie man die Formeln für
beliebiges n erhält.
Aufgabe 5 (4 Punkte)
Seien A eine L-Struktur und V = {x1 , . . . , xm } sowie V 0 = {x01 , . . . , x0n } Variablenmengen.
(a) Beweisen Sie das Koinzidenzlemma für Terme (siehe Vorlesungsfolie 28 zu Kapitel 2.0):
Seien V = {x1 , . . . , xm } sowie V 0 = {x01 , . . . , x0n } Variablenmengen. Ist t ein L-Term mit
V (t) ⊆ V ∩V 0 und sind B bzw. B 0 Belegungen von V bzw. V 0 in A mit B V (t) = B 0 V (t),
A
dann gilt tA
B = tB 0 .
(b) Beweisen Sie das Koinzidenzlemma für Formeln (siehe Vorlesungsfolie 42 zu Kapitel
2.0): Seien V = {x1 , . . . , xm } sowie V 0 = {x01 , . . . , x0n } Variablenmengen. Ist ϕ eine LFormel mit F V (ϕ) ⊆ V ∩ V 0 und sind B bzw. B 0 Belegungen von V bzw. V 0 in A mit
B F V (ϕ) = B 0 F V (ϕ), dann gilt WBA (ϕ) = WBA0 (ϕ).
Hinweis: Führen Sie die Beweise durch Induktion über den Term- bzw. Formelaufbau.
Abgabe: Bis Montag, den 5. Dezember 2011 in den Briefkästen im Foyer im EG der
Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 11 Uhr!).