Universität Heidelberg / Institut für Informatik Prof. Dr. Klaus Ambos-Spies Dipl.-Math. Thorsten Kräling 29. November 2012 Übungen zur Vorlesung Mathematische Logik Blatt 7 Aufgabe 1 (3 Punkte) Sei R = (R; ≤; +; ·; 0; 1) die Struktur der reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Ordnung, Addition, Multiplikation, der 0 und der 1. (a) Geben Sie die Signatur σ = σ(R) an. (b) Geben Sie L(σ)-Sätze an, die die folgenden Sachverhalte ausdrücken: 1. Es gibt keine größte reelle Zahl. 2. Jede positive reelle Zahl besitzt eine positive Wurzel. Aufgabe 2 (5 Punkte) Sei L die Sprache L = (f1 , f2 ; c1 , c2 ) wobei f1 und f2 2-stellige Funktionszeichen seien und c1 und c2 Konstanten. Dann ist A = (Q; ·, +; 12 , 2) eine L-Struktur. (a) Geben Sie jeweils mit (kurzer) Begründung an, ob es sich bei folgenden Zeichenreihen um L-Terme, L-Formeln und/oder L-Sätze handelt oder ob nichts davon zutrifft. c1 = f1 (c1 , c1 ) c2 ∃x f1 (x, x) = c2 c1 + c1 + c1 + c1 (b) Bestimmen Sie für t(x1 , x2 ) = f1 (f2 (x2 , x1 ), f1 (x1 , c2 )) den Wert tA [3, 4]. (c) Geben Sie eine L-Formel ϕ ≡ ϕ(x1 ) derart an, dass für jede Belegung B von {x1 } in A gilt: WBA (ϕ) = 1 genau dann, wenn B(x1 ) = − 41 . Aufgabe 3 (3 Punkte) Sei ϕ(x1 , . . . , xn ) eine L-Formel (deren freie Variable sämtlich unter x1 , . . . , xn vorkommen) und sei B eine Belegung dieser Variablen in der L-Struktur A. Zeigen Sie: WBA (∀xϕ) = 1 genau dann, wenn WBAa (ϕ) = 1 für alle a ∈ A, wobei Ba eine Belegung der Variablen {x, x1 , . . . , xn } ist, die durch ( a, falls y = x Ba (y) = B(xi ), falls y = xi und xi 6= x definiert ist. Aufgabe 4 (3 Punkte) Geben Sie Formeln ϕ≤n , ϕ≥n und ϕ=n über der Sprache L = L() ohne nicht-logische Zeichen an, sodass für jede L-Struktur A folgendes gilt: A ϕ≤n A ϕ≥n A ϕ=n ⇔ |A| ≤ n ⇔ |A| ≥ n ⇔ |A| = n Geben Sie die Formeln für n = 3 explizit an und erläutern Sie, wie man die Formeln für beliebiges n erhält. Aufgabe 5 (4 Punkte) Seien A eine L-Struktur und V = {x1 , . . . , xm } sowie V 0 = {x01 , . . . , x0n } Variablenmengen. (a) Beweisen Sie das Koinzidenzlemma für Terme (siehe Vorlesungsfolie 32 zu Kapitel 2): Ist t ein L-Term mit V (t) ⊆ V ∩ V 0 und sind B bzw. B 0 Belegungen von V bzw. V 0 in A A mit B V (t) = B 0 V (t), dann gilt tA B = tB 0 . (b) Beweisen Sie das Koinzidenzlemma für Formeln (siehe Vorlesungsfolie 49 zu Kapitel 2): Ist ϕ eine L-Formel mit F V (ϕ) ⊆ V ∩ V 0 und sind B bzw. B 0 Belegungen von V bzw. V 0 in A mit B F V (ϕ) = B 0 F V (ϕ), dann gilt WBA (ϕ) = WBA0 (ϕ). Hinweis: Führen Sie die Beweise durch Induktion über den Term- bzw. Formelaufbau. Abgabe: Bis Donnerstag, den 6. Dezember 2012 in den Briefkästen im Foyer im EG der Angewandten Mathematik (INF 294; Leerung 14 Uhr!).