4. ¨Ubungsblatt zur Vorlesung ” Logik“

Dipl.-Math. Ingmar Meinecke
Zimmer 3-50, Tel. 97-32345
[email protected]
SS 2005
Institut für Informatik
4. Übungsblatt zur Vorlesung
Logik“
”
Die Hausaufgaben dieser Serie sind vor der Vorlesung am 26.5. abzugeben (aufgrund der
Pfingstwoche). Bitte vermerken Sie Ihren Namen und Ihre Übungsgruppe auf jedem Blatt.
Jede Lösung ist zu begründen. Das nächste Übungsblatt erscheint voraussichtlich am 26.5.
Laden Sie es bitte von folgender Webseite herunter:
http://www.informatik.uni-leipzig.de/∼meinecke/ (dort auch weitere Infos).
27. Zeigen Sie:
Satz (Deduktionstheorem). Sei Γ Formelmenge und ϕ, ψ Formeln. Gilt Γ ∪ {ϕ} ` ψ,
so gilt auch Γ ` (ϕ → ψ).
Führen Sie den Beweis des Deduktionstheorems durch Induktion über die Anzahl der
Schritte im Beweis von ψ aus Γ ∪ {ϕ}.
28. Zeigen Sie für beliebige Formeln ϕ, ψ, %: (ϕ → ψ), (ψ → %) ` (ϕ → %).
29. Zeigen Sie für beliebige Formeln ϕ:
(a) ϕ, ¬ϕ ` ¬(ϕ → ϕ),
(b) ` ϕ → (¬ϕ → ¬(ϕ → ϕ)).
30. Ist die Menge der Junktoren J = {¬, →} vollständig im Sinne der Aufgabe 14(b)?
H-31. Sei Φ eine Formelmenge und Mod(Φ) die Menge aller Belegungen f mit f |= Φ. Die
Formelmenge Ψ heißt Axiomensystem von Φ genau dann, wenn Mod(Φ) = Mod(Ψ).
Φ heißt endlich axiomatisierbar, falls Φ ein endliches Axiomensystem besitzt.
(a) Geben Sie ein unendliches Φ an, das endlich axiomatisierbar ist.
(b) Zeigen Sie, dass {p1 , p1 → p2 , p2 → p3 , . . . } nicht endlich axiomatisierbar ist.
H-32. Zeigen Sie, dass für beliebige Formeln ϕ die Implikation ϕ → ϕ beweisbar ist, d.h. dass
gilt: ` ϕ → ϕ.
H-33. Zeigen Sie für beliebige Formeln ϕ, ψ, dass ψ aus ϕ und ¬ϕ beweisbar ist, dass also gilt:
ϕ, ¬ϕ ` ψ.
H-34. Es sei Φ eine Menge von Formeln, so dass für jede Belegung f ein ϕ ∈ Φ mit f |= ϕ
existiert. Beweisen
W Sie, dass es dann eine endliche Menge von Formeln {ϕ1 , ϕ2 , . . . , ϕn } ⊆
Φ gibt, so dass ni=1 ϕi eine Tautologie ist.