Einführung in die Logik für Informatiker - Mathematik@TU

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Thomas Streicher
Peter Lietz
Tobias Löw
Florence Micol
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2002
1. Juli 2002
Einführung in die Logik für Informatiker
Zehntes Übungsblatt
Dringend Übungsleiter(innen) gesucht!
Für das nächste Wintersemester sucht der Fachbereich Mathematik dringend studentische
Hilfskräfte für die Lehrveranstaltung Allgemeine Algebra für (W)Inf“. Kannst Du Dir vor”
stellen, eine der Übungsgruppen zu betreuen? Dann melde Dich bitte bei Tobias Löw,
Raum S2 / 15 – 228, Tel. 16–36 15, E-Mail [email protected]
Präsenzübungen
(P 28) Konstruktive und nicht-konstruktive Beweise
(a) Untersuche die folgenden beiden Beweise daraufhin, ob sie Tertium non datur oder Reductio
ad absurdum verwenden. Sind sie in diesem Sinne also klassisch oder intuitionistisch?
√
√
/ Q.
Behauptung: 2 ist irrational, d. h. 2 ∈
√
√
Beweis: Wäre 2 ∈ Q, so gäbe es teilerfremde ganze Zahlen m und n mit 2 = m
. Wir
n
schließen
√
2
2= m
=⇒ 2 = m
=⇒ 2n2 = m2 =⇒ 2 teilt m2
n
n2
=⇒ 2 teilt m =⇒ 4 teilt m2 =⇒ 2 teilt n2
=⇒ 2 teilt n.
√
Also sind m und n nicht teilerfremd; ein Widerspruch. Daher gilt 2 ∈
/ Q.
Behauptung: ld 9, der Logarithmus von 9 zur Basis 2, ist irrational.
und n 6= 0. Wir
Beweis: Wäre ld 9 ∈ Q, so gäbe es ganze Zahlen m und n mit ld 9 = m
n
schließen
m
n
=⇒ n ld 9 = m =⇒ ld(9n ) = m =⇒ 2ld(9 ) = 9n = 2m
ld 9 =
n
Weil 9 und 2 teilerfremd sind, folgt n = m = 0 im Widerspruch zur n 6= 0. Daher gilt
ld 9 ∈
/ Q.
(b) Betrachte die folgenden zwei Beweise der Aussage:
Es gibt zwei irrationale Zahlen a und b, für die ab eine rationale Zahl ist.
√ √2
Beweis 1: Die Zahl 2 ist entweder rational oder irrational.
Falls sie rational ist, so wähle
√
√ √2
√
ich a = b = 2 bin fertig. Andernfalls setze ich a = 2 und b = 2. Dann gilt:
√ √ 2
√ 2
√ (√2·√2) √ 2
b
a =
2
= 2
= 2 =2∈Q
Beweis 2: Ich setze a =
ab =
√
√
2 und b = ld 9; beides sind irrationale Zahlen. Es gilt:
ld 9
2
=
√
ld(32 )
2
=
√
(2 ld 3)
2
=
√ 2 ld 3
2
= 2ld 3 = 3 ∈ Q
Welcher der beiden Beweise ist konstruktiv (= intuitionistisch), welcher klassisch?
Welche Vor- und Nachteile haben die gezeigten Beweismethoden?
(P 29) Nicht-Axiomatisierbarkeit termerzeugter Strukturen
Zeige, daß zu jeder termerzeugten unendlichen L-Struktur M eine nicht termerzeugte Struktur
existiert, in der exakt die gleichen Sätze der Prädikatenlogik gelten. Gehe folgendermaßen vor:
Sei T die Menge der Sätze, die in M gelten. Erweitere die Sprache L um eine Konstante c 6∈ L.
Sei T 0 = T ∪ {c 6= t | t ∈ Tm(L), FV(t) = ∅}.
a) Zeige, daß T 0 ein Modell M0 hat, indem Du zeigst, daß jede endliche Teilmenge von T 0 ein
Modell hat.
b) Zeige, daß M0 nicht termerzeugt ist.
c) Zeige, daß in M dieselben Sätze (bzgl. L) gelten wie in M0 .
(P 30) Drei griechische Weise und das Resolutionsverfahren der Aussagenlogik
Die folgende Geschichte dürfte den meisten modulo Ort, Beruf, Staatsangehörigkeit usw. wohlbekannt vorkommen:
Drei griechische Weise sitzen unter einem Baum und philosophieren. Dies ermattet sie so sehr,
daß sie alle einschlafen. Während ihrer intellektuellen Besinnungsphase kommt ein Junge vorbei
und malt jedem der drei einen Punkt in Form Vogeldreck auf die Stirn. Als die Weisen später
erwachen, trägt sich folgendes zu: Alle drei lachen. Hierbei muß jedoch folgendes beachtet werden:
• Sieht ein Philosoph weniger als zwei andere Philosophen mit Vogeldreck auf der Stirn, und
die beiden anderen lachen, dann lacht er nicht. (Denn er ist selbst Philosoph und hat erkannt,
daß er Vogeldreck auf der Stirn haben muß.)
Schauen wir uns nun das ganze aus der Sicht eines der Weisen an: Er glaubt, selbst keinen
Vogeldreck auf der Stirn zu haben und lacht mit den anderen mit. Welche Lehre hätte dieser
Philosoph aus dem Resolutionsverfahren der Aussagenlogik ziehen können?
Hausübungen
Abgabe in den Übungen am 8. Juli 2002
(H 31) Deduktiv abgeschlosse Mengen
Eine Menge T von Sätzen, d. h. geschlossenen Formeln, einer Sprache 1. Stufe heißt deduktiv
abgeschlossen genau dann, wenn T |= A ⇔ A ∈ T .
Sei K eine nichtleere und bzgl. ⊆ total S
geordente Menge von deduktiv abgeschlossen Mengen
einer Sprache L. Zeige, auch die Menge K ist deduktiv abgeschlossen, und sie ist konsistent
genau dann, wenn alle T ∈ K konsistent sind.
(H 32) Gleichheit
Sei L eine Sprache erster Stufe mit einem zweistelligen Prädikatensymbol =. Wir erinnern uns
Bitte wenden!
an die Gleichheitsaxiome
(Eq1)
(Eq2)
∀x. x = x
∀x.∀y. A(x) ∧ (x = y) → A(y)
für A ∈ Fm(L)
a) Eine Erinnerung zum Einstieg : In einer früheren Aufgabe wurde aus den Axiomen (Eq1) und
(Eq2) bereits die Reflexivität, Symmetrie und die Transitivität der Gleichheit hergeleitet.
b) Leite aus (Eq1) und (Eq2) den Satz her der besagt, daß = eine Kongruenzrelation ist, d.h.
leite für jedes Funktionssymbol f aus L mit ar(f ) = n den Satz
∀x1 ∀x01 · · · ∀xn ∀x0n . (x1 = x01 ∧ · · · ∧ xn = x0n ) → f (x1 , . . . , xn ) = f (x01 , . . . , x0n )
her. (Hinweis: Zeige dies zuerst für n = 2 und verallgemeinere dann.)
c) Zeige für jedes Prädikatensymbol P aus L mit ar(f ) = n den Satz
∀x1 ∀x01 · · · ∀xn ∀x0n . (x1 = x01 ∧ · · · ∧ xn = x0n ) → P (x1 , . . . , xn ) → P (x01 , . . . , x0n )
Sei M nun eine L-Struktur, in welcher die Gleichheitsaxiome gelten:
d) Warum wird das Prädikatensymbol = in M als eine Äquivalenzrelation =M auf der unterliegenden Menge DM interpretiert.
e) Warum ist diese Äquivalenzrelation =M sogar eine Kongruenzrelation? D. h. warum für
jedes n-stellige Funktionsymbol f , jedes n-stellige Prädikatensymbol P und jede Folge von
Elementen d1 , . . . , dn , d01 , . . . , d0n ∈ D derart, daß d1 =M d01 , . . . dn =M d0n , gilt:
fM (d1 , . . . , dn ) = fM (d01 , . . . , d0n )
PM (d1 , . . . , dn ) genau dann, wenn
PM (d01 , . . . , d0n )
f) Definiere eine Struktur M0 mit unterliegender Menge DM0 = DM /=M , in der die gleichen
Prädikatenlogischen Sätze wie in M gelten.
g) Folgere, daß wenn es zu einer die Gleichheitsaxiome enthaltenden Menge von Sätzen T ein
Modell M gibt, dann gibt es sogar ein Modell M0 , so daß =M0 die tatsächliche Gleichheitsrelation auf DM0 ist.