Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz

Der erste Gödelsche Unvollständigkeitssatz
Referent: Tobias Gleißner
29. Januar 2013
Definition
-
(syntaktischer Aufbau eines arithmetischen Terms)
Jede Zahl
ist ein Term
Jede Variable
ist ein Term
Sind und Terme, so auch
Definition
-
(syntaktischer Aufbau einer arithmetischen Formel)
Sind und Terme, so ist
eine Formel
Sind
Formeln, so auch
Ist eine Variable und eine Formel, so auch
und
Definition
Sei
sowie
(semantische Interpretation von Operationen in arithmetischen Formeln)
eine Menge von Variablen. Sei
eine Belegung.
(
)
(
Definition
-
erweitert auf arithmetische Terme:
)
(Wahrheitswert für arithmetische Formeln)
ist wahr, falls
für alle Belegungen
ist wahr, falls nicht wahr ist
ist wahr, falls wahr ist und wahr ist
ist wahr, falls wahr ist oder wahr ist
ist wahr, falls es ein
gibt, so dass
wahr ist
ist wahr, falls für alle
gilt, dass
wahr ist
Definition
(arithmetische Repräsentierbarkeit)
Eine Funktion
heißt arithmetisch repräsentierbar, falls es eine arithmetische Formel
gibt, so dass für alle
gilt:
Satz
(über die arithmetische Repräsentierbarkeit von WHILE-berechenbaren Funktionen)
Jede WHILE-berechenbare Funktion ist arithmetisch repräsentierbar.
Beweis:
Man zeigt, dass für jedes WHILE-Programm
mit den Programmvariablen
eine
arithmetische Formel
mit den freien Variablen
existiert, so dass für alle
gilt:
ist genau dann wahr, wenn P (mit den Variablenwerten
gestartet) stoppt und die Programmvariablen dann die Werte
besitzen.
(Für den vollständigen Beweis s. Schöning, Uwe. Theoretische Informatik – kurz gefasst S. 138 - 139)
Der Beweis des Satzes lautet dann wie folgt: Angenommen das WHILE-Programm berechnet eine
WHILE-berechenbare Funktion mit Parametern,
, so kann diese Funktion durch die
Formel
arithmetisch repräsentiert werden:
Satz
(zur Entscheidbarkeit der Menge der wahren arithmetischen Formeln)
ist nicht rekursiv aufzählbar.
Beweis:
Für jede arithmetische Formel
Angenommen
aufzählt, z.B.
entscheidbar.
gilt:
ist wahr oder
ist wahr.
wäre rekursiv aufzählbar, so existierte eine Turing-Maschine, die
, und bei
sowie
akzeptiert. Somit wäre sie auch
Sei eine rekursiv aufzählbare aber nicht entscheidbare Sprache. Da
Funktion
rekursiv aufzählbar ist, ist die
{
Turing-berechenbar (ist äquivalent zu WHILE-berechenbar) und damit arithmetisch repräsentierbar
mit einer Formel
.
Es gilt:
Damit hat man eine Turing-berechenbare Abbildung
konstruiert, die eine Reduktion von
nach
darstellt. Da nicht entscheidbar ist, ist auch
nicht entscheidbar und
damit nicht rekursiv aufzählbar.
Definition
(Beweissystem)
Ein Beweissystem einer Menge
-
ist ein Paar
mit
ist entscheidbar
ist berechenbar
Mit
Elemente (Aussagen) von A bezeichnet.
wird die Menge der durch
Ein Beweissystem
heißt vollständig, falls
. Da
Definition eingebaut ist, folgt daraus schon, dass ein Beweissystem
wenn
. Dies ist der Fall, genau dann wenn surjektiv ist.
Satz
beweisbaren
bereits in der
genau dann vollständig ist,
(erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz)
Jedes Beweissystem für die Menge der wahren arithmetischen Formeln
ist unvollständig.
Beweis:
Angenommen
aufzählbar, indem man alle
für ein Beweissystem
durchläuft und
aufzählt.
. Dann wäre
rekursiv
Anmerkungen
Erster Gödelscher Unvollständigkeitssatz:
Unmittelbare Folgerung: Es existieren in der Arithmetik der natürlichen Zahlen mit den
Operationen plus und mal wahre Aussagen, die nicht beweisbar sind.
Zweiter Gödelscher Unvollständigkeitssatz:
Jedes Hinreichend mächtige, konsistente, formale System kann seine eigene Konsistenz nicht
beweisen.
Davon betroffen sind: Peano Arithmetik, Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre mit Auswahlaxiom (ZFC)
Davon nicht betroffen sind: Pressburger Arithmetik, ZFC ohne Unendlichkeitsaxiom, ZFC mit großen
Kardinalzahlen
Eine Liste weiterführender Literatur ist im Wikipedia-Artikel „Gödelscher Unvollständigkeitssatz“ zu
finden.
http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz
Quellen
Sipser, Michael. Introduction to the Theory of Computation. PWS Publ. Comp. 1997 (S. 204 – 211)
Schöning, Uwe. Theoretische Informatik – kurz gefasst. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag
2008 (S. 133 – 142)